行測(cè)計(jì)算題技巧匯總

目錄空瓶換飲料問題的最快求解公式 1八大類數(shù)列及變式總結(jié) 2數(shù)列運(yùn)算的某些小技巧 9幾種需要熟記的常見數(shù)列 13有關(guān)數(shù)算的心得體會(huì) 13處理牛吃草問題常用到四個(gè)基本公式 18雞兔同籠問題 20某些小學(xué)行程題目（純列式解題） 31數(shù)字的整除特性 35完全平方數(shù) 43數(shù)量關(guān)系——商品銷售問題迅速求解 44有關(guān)頁碼中出現(xiàn)多少個(gè)N這個(gè)數(shù)字這一系列問題的解答 48空瓶換飲料問題的最快求解公式6個(gè)空瓶能換1瓶汽水，要喝157瓶汽水（有一部分是用喝過的空瓶換的）至少要買多少瓶汽水？

157÷6×5=130.83（向上取整）=131

X=A÷N×(N-1)（向上取整）

如改為:每瓶飲料1元錢，131元最多能喝到多少瓶飲料，則為：

131÷5×6=157.2（向下取整）=157

A=X÷(N-1)×N（向下取整）

八大類數(shù)列及變式總結(jié)一、簡(jiǎn)樸數(shù)列

自然數(shù)列：1，2，3，4，5，6，7，……

奇數(shù)列：1，3，5，7，9，……

偶數(shù)列：2，4，6，8，10，……

自然數(shù)平方數(shù)列：1，4，9，16，25，36，……

自然數(shù)立方數(shù)列：1，8，27，64，125，216，……

等差數(shù)列：1，6，11，16，21，26，……

等比數(shù)列：1，3，9，27，81，243，……

二、等差數(shù)列

1，

等差數(shù)列：后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)形成一種常數(shù)數(shù)列。

例題：12，17，22，27，（），37

解析：17-12=5，22-17=5，……

2，

二級(jí)等差數(shù)列：后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)形成一種新的數(shù)列是一種等差數(shù)列。

例題1：9，13，18，24，31，（）

解析：13-9=4，18-13=5，24-18=6，31-24=7，……

例題2.：66，83，102，123，（）

解析：83-66=17，102-83=19，123-102=21，……

3，二級(jí)等差數(shù)列變化：后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)形成一種新的數(shù)列，這個(gè)新的數(shù)列也許是自然數(shù)列、等比數(shù)列、平方數(shù)列、立方數(shù)列、或者與加減“1”、“2”的形式有關(guān)。

例題1：0，1，4，13，40，（）

解析：1-0=1，4-1=3，13-4=9，40-13=27，……公比為3的等比數(shù)列

例題2：20，22，25，30，37，（）

解析：22-20=2，25-22=3，30-25=5，37-30=7，…….二級(jí)為質(zhì)數(shù)列

4，三級(jí)等差數(shù)列及變化：后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)形成一種新的數(shù)列，再在這個(gè)新的數(shù)列中，后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)形成一種新的數(shù)列，這個(gè)新的數(shù)列也許是自然數(shù)列、等比數(shù)列、平方數(shù)列、立方數(shù)列、或者與加減“1”、“2”的形式有關(guān)。

例題1：1，9，18，29，43，61，（）

解析：9-1=8，18-9=9，29-18=11，43-29=14，61-43=18，……二級(jí)特性不明顯

9-8=1，11-9=2，14-11=3，18-14=4，……三級(jí)為公差為1的等差數(shù)列

例題2.：1，4，8，14，24，42，（）

解析：4-1=3，8-4=4，14-8=6，24-14=10，42-24=18，……二級(jí)特性不明顯

4-3=1，6-4=2，10-6=4，18-10=8，……三級(jí)為等比數(shù)列

例題3：（），40，23，14，9，6

解析：40-23=17，23-14=9，14-9=5，9-6=3，……二級(jí)特性不明顯

17-9=8，9-5=4，5-3=2，……三級(jí)為等比數(shù)列

三、等比數(shù)列

1，等比數(shù)列：后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比為固定的值叫做等比數(shù)列

例題：36，24，（）32/3，64/9

解析：公比為2/3的等比數(shù)列。

2，二級(jí)等比數(shù)列變化：后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比所得的新的數(shù)列也許是自然數(shù)列、等比數(shù)列、平方數(shù)列、立方數(shù)列、或者與加減“1”、“2”的形式有關(guān)。

例題1：1，6，30，（），360

解析：6/1=6，30/6=5，（）/30=4，360/（）=3，……二級(jí)為等差數(shù)列

例題2：10，9，17，50，（）

解析：1*10-1=9，2*9-1=18，3*17-1=50，……

例題3：16，8，8，12，24，60，（）

解析：8/16=0.5，8/8=1，12/8=1.5，24/12=2，60*24=2.5，……二級(jí)為等差數(shù)列

例題4：60，30，20，15，12，（）

解析：60/30=2/1，30/20=3/2，20/15=4/3，15/12=5/4，……

重點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列是最基本、最經(jīng)典、最常見的數(shù)字推理題型。必須純熟掌握其基本形式及其變式。

四、和數(shù)列

1，經(jīng)典（兩項(xiàng)求和）和數(shù)列：前兩項(xiàng)的加和得到第三項(xiàng)。

例題1：85，52，（），19，14

解析：85=52+（），52=（）+19，（）=19+14，……

例題2：17，10，（），3，4，-1

解析：17-10=7，10-7=3，7-3=4，3-4=-1，……

例題3：1/3，1/6，1/2，2/3，（）

解析：前兩項(xiàng)的加和得到第三項(xiàng)。

2，經(jīng)典（兩項(xiàng)求和）和數(shù)列變式：前兩項(xiàng)的和，通過變化之后得到第三項(xiàng)，這種變化也許是加、減、乘、除某一常數(shù)；或者是每?jī)身?xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)之間具有某種關(guān)系。

例題1：22，35，56，90，（），234

解析：前兩項(xiàng)相加和再減1得到第三項(xiàng)。

例題2：4，12，8，10，（）

解析：前兩項(xiàng)相加和再除2得到第三項(xiàng)。

例題3：2，1，9，30，117，441，（）

解析：前兩項(xiàng)相加和再乘3得到第三項(xiàng)。

3，三項(xiàng)和數(shù)列變式：前三項(xiàng)的和，通過變化之后得到第四項(xiàng)，這種變化也許是加、減、乘、除某一常數(shù)；或者是每?jī)身?xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)之間具有某種關(guān)系。

例題1：1，1，1，2，3，5，9，（）

解析：前三項(xiàng)相加和再減1得到第四項(xiàng)。

例題2：2，3，4，9，12，25，22，（）

解析：前三項(xiàng)相加和得到自然數(shù)平方數(shù)列。

例題：-4/9，10/9，4/3，7/9，1/9，（）

解析：前三項(xiàng)相加和得到第四項(xiàng)。

五、積數(shù)列

1，經(jīng)典（兩項(xiàng)求積）積數(shù)列：前兩項(xiàng)相乘得到第三項(xiàng)。

例題：1，2，2，4，（），32

解析：前兩項(xiàng)相乘得到第三項(xiàng)。

2，積數(shù)列變式：前兩項(xiàng)相乘通過變化之后得到第三項(xiàng)，這種變化也許是加、減、乘、除某一常數(shù)；或者是每?jī)身?xiàng)的乘與項(xiàng)數(shù)之間具有某種關(guān)系。

例題1：3/2，2/3，3/4，1/3，3/8，（）

解析：兩項(xiàng)相乘得到1，1/2，1/4，1/8，……

例題2：1，2，3，35，（）

解析：前兩項(xiàng)的積的平方減1得到第三項(xiàng)。

例題3：2，3，9，30，273，（）

解析：前兩項(xiàng)的積加3得到第三項(xiàng)。

六、平方數(shù)列

1，經(jīng)典平方數(shù)列（遞增或遞減）

例題：196，169，144，（），100

解析：14立方，13立方，……

2，平方數(shù)列變式：這一數(shù)列特點(diǎn)不是簡(jiǎn)樸的平方或立方數(shù)列，而是在此基礎(chǔ)上進(jìn)行“加減乘除”的變化。

例題1：0，5，8，17，（），37

解析：0=12-1，5=22+1，8=32-1，17=42+1，（）=52-1，37=62+1

例題2：3，2，11，14，27，（）

解析：12+2，22-2，32+2，42-2，52+2，……

例題3：0.5，2，9/2，8，（）

解析：等同于1/2，4/2，9/2，16/2，分子為12，22，32，42，……

例題4：17，27，39，（），69

解析：17=42+1，27=52+2，39=62+3，……

3，

平方數(shù)列最新變化二級(jí)平方數(shù)列

例題1：1，4，16，49，121，（）

解析：12，22，42，72，112，……二級(jí)不看平方

1，2，3，4，……三級(jí)為自然數(shù)列

例題2：9，16，36，100，（）

解析：32，42，62，102，……二級(jí)不看平方

1，2，4，……三級(jí)為等比數(shù)列]

七、立方數(shù)列

1，經(jīng)典立方數(shù)列（遞增或遞減）：不寫例題了。

2，立方數(shù)列變化：這一數(shù)列特點(diǎn)不是簡(jiǎn)樸的立方數(shù)列，而是在此基礎(chǔ)上進(jìn)行“加減乘除”的變化。

例題1：0，9，26，65，124，（）

解析：項(xiàng)數(shù)的立方加減1的數(shù)列。

例題2：1/8，1/9，9/64，（），3/8

解析：各項(xiàng)分母可變化為2，3，4，5，6的立方，分之可變化為1，3，9，27，81

例題3：4，11，30，67，（）

解析：各項(xiàng)分別為立方數(shù)列加3的形式。

例題4：11，33，73，（），231

解析：各項(xiàng)分別為立方數(shù)列加3，6，9，12，15的形式。

例題5：-26，-6，2，4，6，（）

解析：（-3）3+1，（-2）3+2，（-1）3+3，（0）3+4，（1）3+5，……

八、組合數(shù)列

1，數(shù)列間隔組合：兩個(gè)數(shù)列（七種基本數(shù)列的任何一種或兩種）進(jìn)行分隔組合。

例題1：1，3，3，5，7，9，13，15，（），（）

解析：二級(jí)等差數(shù)列1，3，7，13，……和二級(jí)等差數(shù)列3，5，9，15，……的間隔組合。

例題2：2/3，1/2，2/5，1/3，2/7，（）

解析：數(shù)列2/3，2/5，2/7和數(shù)列1/2，1/3，……的間隔組合。

2，數(shù)列分段組合：

例題1：6，12，19，27，33，（），48

解析：

6

7

8

6

（）

8

例題2：243，217，206，197，171，（），151

解析：

26

11

9

26

（）

9

特殊組合數(shù)列：

例題1：1.01，2.02，3.04，5.08，（）

解析：整數(shù)部分為和數(shù)列1，2，3，5，……小數(shù)部分為等比數(shù)列0.01，0.02，0.04，……

九、其他數(shù)列

1，質(zhì)數(shù)列及其變式：質(zhì)數(shù)列是一種非常重要的數(shù)列，質(zhì)數(shù)即只能被1和自身整除的數(shù)。

例題1：4，6，10，14，22，（）

解析：各項(xiàng)除2得到質(zhì)數(shù)列2，3，5，7，11，……

例題2：31，37，41，43，（），53

解析：這是個(gè)質(zhì)數(shù)列。

2，合數(shù)列：

例題：4，6，8，9，10，12，（）

解析：和質(zhì)數(shù)列相對(duì)的即合數(shù)列，除去質(zhì)數(shù)列剩余的不含1的自然數(shù)為合數(shù)列。

3，分式最簡(jiǎn)式：

例題1：133/57，119/51，91/39，49/21，（），7/3

解析：各項(xiàng)約分最簡(jiǎn)分式的形式為7/3。

例題2：105/60，98/56，91/52，84/48，（），21/12

解析：各項(xiàng)約分最簡(jiǎn)分式的形式為7/4。數(shù)列運(yùn)算的某些小技巧等差，等比這種最簡(jiǎn)樸的不用多說，深一點(diǎn)就是在等差，等比上再加、減一種數(shù)列，如24,70,208,622，規(guī)律為a*3-2=b

深一點(diǎn)模式，各數(shù)之間的差有規(guī)律，如1、2、5、10、17。它們之間的差為1、3、5、7，成等差數(shù)列。這些規(guī)律尚有差之間成等比之類。B，各數(shù)之間的和有規(guī)律，如1、2、3、5、8、13，前兩個(gè)數(shù)相加等于后一種數(shù)。

3、看各數(shù)的大小組合規(guī)律，做出合理的分組。如7,9,40,74,1526,5436，7和9，40和74，1526和5436這三組各自是大體處在同一大小級(jí)，那規(guī)律就要從組方面考慮，即不把它們看作6個(gè)數(shù)，而應(yīng)當(dāng)看作3個(gè)組。而組和組之間的差距不是很大，用乘法就能從一種組過渡到另一種組。因此7*7-9=40,9*9-7=74,40*40-74=1526,74*74-40=5436</B>，這就是規(guī)律。

4、如根據(jù)大小不能分組的，A，看首尾關(guān)系，如7，10，9，12，11，14，這組數(shù);7+14＝10+11＝9+12。首尾關(guān)系常常被忽視，但又是很簡(jiǎn)樸的規(guī)律。B，數(shù)的大小排列看似無序的，可以看它們之間的差與和有無次序關(guān)系。

5、各數(shù)間相差較大，但又不相差大得離譜，就要考慮乘方，這就要看各位對(duì)數(shù)字敏感程度了。如6、24、60、120、210，感覺它們之間的差越來越大，但這組數(shù)又看著比較舒適(個(gè)人感覺，嘿嘿)，它們的規(guī)律就是2^3-2=6、3^3-3=24、4^3-4=60、5^3-5=120、6^3-6=210。這組數(shù)比較巧的是都是6的倍數(shù)，輕易導(dǎo)入歧途。

6)看大小不能看出來的，就要看數(shù)的特性了。如21、31、47、56、69、72，它們的十位數(shù)就是遞增關(guān)系，如25、58、811、1114，這些數(shù)相鄰兩個(gè)數(shù)首尾相接，且2、5、8、11、14的差為3，如論壇上答：256，269，286，302，（），2+5+6=132+6+9＝172+8+6＝163+0+2＝5，∵256+13＝269269+17＝286286+16＝302∴下一種數(shù)為302+5＝307。

7)再復(fù)雜一點(diǎn)，如0、1、3、8、21、55，這組數(shù)的規(guī)律是b*3-a=c，即相鄰3個(gè)數(shù)之間才能看出規(guī)律，這算最簡(jiǎn)樸的一種，更復(fù)雜數(shù)列也用把前面簡(jiǎn)介措施深化后來找出規(guī)律。

8)分?jǐn)?shù)之間的規(guī)律，就是數(shù)字規(guī)律的深入演化，分子同樣，就從分母上找規(guī)律；或者第一種數(shù)的分母和第二個(gè)數(shù)的分子有銜接關(guān)系。并且第一種數(shù)假如不是分?jǐn)?shù)，往往要當(dāng)作分?jǐn)?shù)，如2就要當(dāng)作2/1。

補(bǔ)充：

中間數(shù)等于兩邊數(shù)的乘積，這種規(guī)律往往出目前帶分?jǐn)?shù)的數(shù)列中，且輕易忽視

如1/2、1/6、1/3、2、6、3、1/2

9）數(shù)的平方或立方加減一種常數(shù)，常數(shù)往往是1，這種題規(guī)定對(duì)數(shù)的平方數(shù)和立方數(shù)比較熟悉

如看到2、5、10、17，就應(yīng)當(dāng)想到是1、2、3、4的平方加1

如看到0、7、26、63，就要想到是1、2、3、4的立方減1

對(duì)平方數(shù)，個(gè)人覺得熟悉1~20就夠了，對(duì)于立方數(shù)，熟悉1~10就夠了，并且波及到平方、立

方的數(shù)列往往數(shù)的跨度比較大，并且間距遞增，且遞增速度較快

10）A＾2－B＝C由于近來碰到論壇上朋友發(fā)這種類型的題比較多，因此單獨(dú)列出來

如數(shù)列5，10，15，85，140，7085

如數(shù)列5,;6,;19,;;17,;344,－55

如數(shù)列5,15,10,215，－115

這種數(shù)列背面常常會(huì)出現(xiàn)一種負(fù)數(shù)，因此看到前面都是正數(shù)，背面忽然出現(xiàn)一種負(fù)數(shù)，就

考慮這個(gè)規(guī)律看看

11）奇偶數(shù)分開解題，有時(shí)候一種數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)是一種規(guī)律，偶數(shù)項(xiàng)是另一種規(guī)律，互相成干擾項(xiàng)

如數(shù)列1,8,9,64,25，216

奇數(shù)位1、9、25分別是1、3、5的平方

偶數(shù)位8、64、216是2、4、6的立方

先補(bǔ)充到這兒。。。。。。

12)后數(shù)是前面各數(shù)之各，這種數(shù)列的特性是從第三個(gè)數(shù)開始，呈2倍關(guān)系

如數(shù)列：1、2、3、6、12、24

由于背面的數(shù)呈2倍關(guān)系，因此輕易導(dǎo)致誤解！

數(shù)字推理的題目就是給你一種數(shù)列,但其中缺乏一項(xiàng),規(guī)定你仔細(xì)觀測(cè)這個(gè)數(shù)列各數(shù)字之間的關(guān)系,找出其中的規(guī)律,然后在四個(gè)選項(xiàng)中選擇一種最合理的一種作為答案.幾種需要熟記的常見數(shù)列數(shù)字推理題中對(duì)數(shù)列的敏感非常重要，下面共享幾種比較常見的數(shù)列：

1.

1，1，2，6，24，120后除前為1，2，3，4，5

2.

1，2，3，5，8，13瓦格納數(shù)列,第三個(gè)為前兩個(gè)和

3.

1，2，4，7，11，16，22后減前為1，2，3，4，5。。

4.

1，2，5，14，41，122差是等比

5.

3，4，6，9，13，18，24后減前

8.

1，4，27，256項(xiàng)數(shù)的項(xiàng)多次方

有關(guān)數(shù)算的心得體會(huì)要純熟運(yùn)用規(guī)律。拿到題目后來，怎樣一眼就能大體判斷出這道題目具有什么規(guī)律呢？這也是有章可循的。做題目時(shí)，我們可以在一秒之內(nèi)做出的判斷，就是一種數(shù)列項(xiàng)數(shù)的多少和數(shù)字變化幅度的大小，包括備選答案的數(shù)字的大小。根據(jù)這些信息我們就可以基本懂得這個(gè)數(shù)列具有某種規(guī)律。例如，給出的數(shù)列項(xiàng)數(shù)較多，有6項(xiàng)以上，一般可以首先考慮運(yùn)用交替、分組和組合拼湊規(guī)律等。假如項(xiàng)數(shù)少就3項(xiàng)，一般只能用乘方和組合拼湊。假如數(shù)字之間變化幅度比較大，呈幾何級(jí)增長，多半要用到乘法、二級(jí)等比和乘方規(guī)律。剩余的可以考慮用加減法、等差及變式和質(zhì)數(shù)規(guī)律。此外，還可以根據(jù)數(shù)字之間變化展現(xiàn)的曲線來判斷。例如，假如數(shù)字變化呈平緩的一條線，一般用加減法；假如數(shù)字變化展現(xiàn)的線條比較陡，或者斜率絕對(duì)值較大，可以考慮用乘法、二級(jí)等比和乘方等；假如展現(xiàn)拋物線形態(tài)，可考慮用乘方、質(zhì)數(shù)等；呈U型線可考慮用減法、除法和乘方等；假如大小變動(dòng)呈波浪線，重要考慮交替和分組。

處理牛吃草問題常用到四個(gè)基本公式（1）草的生長速度

吃的較少天數(shù)吃的較多天數(shù)－對(duì)應(yīng)的牛頭數(shù)＝對(duì)應(yīng)的牛頭數(shù)

（吃的較多天數(shù)－吃的較少天數(shù)）；

吃的天數(shù)；`吃的天數(shù)－草的生長速度（2）原有草量＝牛頭數(shù)

（牛頭數(shù)－草的生長速度）；（3）吃的天數(shù)＝原有草量

吃的天數(shù)＋草的生長速度。（4）牛頭數(shù)＝原有草量牛吃草問題常常給出不一樣頭數(shù)的牛吃同一片次的草，這塊地既有原有的草，又有每天新長出的草。由于吃草的牛頭數(shù)不一樣，求若干頭牛吃的這片地的草可以吃多少天。

解題關(guān)鍵是弄清晰已知條件，進(jìn)行對(duì)比分析，從而求出每日新長草的數(shù)量，再求出草地里原有草的數(shù)量，進(jìn)而解答題總所求的問題。

此類問題的基本數(shù)量關(guān)系是：

1.(牛的頭數(shù)×吃草較多的天數(shù)-牛頭數(shù)×吃草較少的天數(shù))÷（吃的較多的天數(shù)-吃的較少的天數(shù))=草地每天新長草的量。

2.牛的頭數(shù)×吃草天數(shù)-每天新長量×吃草天數(shù)=草地原有的草。

下面來看幾道經(jīng)典試題：

例1.

由于天氣逐漸變冷，牧場(chǎng)上的草每天一均勻的速度減少。經(jīng)計(jì)算，牧場(chǎng)上的草可供20頭牛吃5天，或供16頭牛吃6天。那么可供11頭牛吃幾天？()

A.12B.10C.8D.6

【答案】C。

解析：設(shè)每頭牛每天吃1份草，則牧場(chǎng)上的草每天減少(20×5-16×6)÷（6-5)=4份草，本來牧場(chǎng)上有20×5+5×4=120份草，故可供11頭牛吃120÷（11+4)=8天。

例2.

有一片牧場(chǎng)，24頭牛6天可以將草吃完；21頭牛8天可以吃完，要使牧草永遠(yuǎn)吃不完，至多可以放牧幾頭牛？()

A.8B.10C.12D.14

【答案】C。

解析：設(shè)每頭牛每天吃1份草，則牧場(chǎng)上的草每天生長出(21×8-24×6)÷（8-6)=12份，假如放牧12頭牛恰好可吃完每天長出的草，故至多可以放牧12頭牛。

例3.

有一種水池，池底有一種打開的出水口。用5臺(tái)抽水機(jī)20小時(shí)可將水抽完，用8臺(tái)抽水機(jī)15小時(shí)可將水抽完。假如僅靠出水口出水，那么多長時(shí)間將水漏完？()

A.25B.30C.40D.45

【答案】D。

解析：出水口每小時(shí)漏水為(8×15-5×20)÷（20-15)=4份水，本來有水8×15+4×15=180份，故需要180÷4=45小時(shí)漏完。雞兔同籠問題“雞兔同籠”是一類有名的中國古算題.最早出目前《孫子算經(jīng)》中.許多小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化成此類問題，或者用解它的經(jīng)典解法--“假設(shè)法”來求解.因此很有必要學(xué)會(huì)它的解法和思緒.

例1有若干只雞和兔子，它們共有88個(gè)頭，244只腳，雞和兔各有多少只？

解：我們?cè)O(shè)想，每只雞都是“金雞獨(dú)立”，一只腳站著；而每只兔子都用兩條后腿，像人同樣用兩只腳站著.目前，地面上出現(xiàn)腳的總數(shù)的二分之一，?也就是

244÷2=122（只）.

在122這個(gè)數(shù)里，雞的頭數(shù)算了一次，兔子的頭數(shù)相稱于算了兩次.因此從122減去總頭數(shù)88，剩余的就是兔子頭數(shù)122-88=34，有34只兔子.當(dāng)然雞就有54只.

答：有兔子34只，雞54只.

上面的計(jì)算，可以歸結(jié)為下面算式：

總腳數(shù)÷2-總頭數(shù)=兔子數(shù).

上面的解法是《孫子算經(jīng)》中記載的.做一次除法和一次減法，立即能求出兔子數(shù)，多簡(jiǎn)樸！可以這樣算，重要運(yùn)用了兔和雞的腳數(shù)分別是4和2，4又是2的2倍.可是，當(dāng)其他問題轉(zhuǎn)化成此類問題時(shí)，“腳數(shù)”就不一定是4和2，上面的計(jì)算措施就行不通.因此，我們對(duì)此類問題給出一種一般解法.

還說例1.

假如設(shè)想88只都是兔子，那么就有4×88只腳，比244只腳多了88×4-244=108（只）.每只雞比兔子少（4-2）只腳，因此共有雞（88×4-244）÷（4-2）=54（只）.闡明我們?cè)O(shè)想的88只“兔子”中，有54只不是兔子.而是雞.因此可以列出公式：

雞數(shù)=（兔腳數(shù)×總頭數(shù)-總腳數(shù)）÷（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）

當(dāng)然，我們也可以設(shè)想88只都是“雞”，那么共有腳2×88=176（只），比244只腳少了244-176=68（只）.每只雞比每只兔子少（4-2）只腳，68÷2=34（只）.

闡明設(shè)想中的“雞”，有34只是兔子，也可以列出公式：

兔數(shù)=（總腳數(shù)-雞腳數(shù)×總頭數(shù)）÷（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）.

上面兩個(gè)公式不必都用，用其中一種算出兔數(shù)或雞數(shù)，再用總頭數(shù)去減，就懂得另一種數(shù).

假設(shè)全是雞，或者全是兔，一般用這樣的思緒求解，有人稱為“假設(shè)法”.

目前，拿一種詳細(xì)問題來試試上面的公式.

例2紅鉛筆每支0.19元，藍(lán)鉛筆每支0.11元，兩種鉛筆共買了16支，花了2.80元.問紅、藍(lán)鉛筆各買幾支？

解：以“分”作為錢的單位.我們?cè)O(shè)想，一種“雞”有11只腳，一種“兔子”有19只腳，它們共有16個(gè)頭，280只腳.目前已經(jīng)把買鉛筆問題，轉(zhuǎn)化成“雞兔同籠”問題了.

運(yùn)用上面算兔數(shù)公式，就有：

藍(lán)筆數(shù)=（19×16-280）÷（19-11）=24÷8=3（支）.

紅筆數(shù)=16-3=13（支）.

答：買了13支紅鉛筆和3支藍(lán)鉛筆.

對(duì)于此類問題的計(jì)算，常?？梢赃\(yùn)用已知腳數(shù)的特殊性.例2中的“腳數(shù)”19與11之和是30.我們也可以設(shè)想16只中，8只是“兔子”，8只是“雞”，根據(jù)這一設(shè)想，腳數(shù)是8×（11+19）=240.比280少40.40÷（19-11）=5.

就懂得設(shè)想中的8只“雞”應(yīng)少5只，也就是“雞”（藍(lán)鉛筆）數(shù)是3.

30×8比19×16或11×16要輕易計(jì)算些.運(yùn)用已知數(shù)的特殊性，靠心算來完畢計(jì)算.實(shí)際上，可以任意設(shè)想一種以便的兔數(shù)或雞數(shù).

例如，設(shè)想16只中，“兔數(shù)”為10，“雞數(shù)”為6，就有腳數(shù)

19×10+11×6=256.

比280少24.

24÷（19-11）=3，

就懂得設(shè)想6只“雞”，要少3只.

要使設(shè)想的數(shù)，能給計(jì)算帶來以便，常常取決于你的心算本領(lǐng).

下面再舉四個(gè)稍有難度的例子.

例3一份稿件，甲單獨(dú)打字需6小時(shí)完畢.乙單獨(dú)打字需10小時(shí)完畢，目前甲單獨(dú)打若干小時(shí)后，因有事由乙接著打完，共用了7小時(shí).甲打字用了多少小時(shí)？

解：我們把這份稿件平均提成30份（30是6和10的最小公倍數(shù)），甲每小時(shí)打

甲每小時(shí)打30÷6=5（份），乙每小時(shí)打30÷10=3（份）.

目前把甲打字的時(shí)間當(dāng)作“兔”頭數(shù)，乙打字的時(shí)間當(dāng)作“雞”頭數(shù)，總頭數(shù)是7.“兔”的腳數(shù)是5，“雞”的腳數(shù)是3，總腳數(shù)是30，就把問題轉(zhuǎn)化成“雞兔同籠”問題了.

根據(jù)前面的公式

“兔”數(shù)=（30-3×7）÷（5-3）

=4.5，

“雞”數(shù)=7-4.5

=2.5，

也就是甲打字用了4.5小時(shí)，乙打字用了2.5小時(shí).

答：甲打字用了4小時(shí)30分.

例4今年是1998年，父母年齡（整數(shù)）和是78歲，兄弟的年齡和是17歲.四年后（）父的年齡是弟的年齡的4倍，母的年齡是兄的年齡的3倍.那么當(dāng)父的年齡是兄的年齡的3倍時(shí)，是公元哪一年？

解：4年后，兩人年齡和都要加8.此時(shí)兄弟年齡之和是17+8=25，父母年齡之和是78+8=86.我們可以把兄的年齡看作“雞”頭數(shù)，弟的年齡看作“兔”頭數(shù).25是“總頭數(shù)”.86是“總腳數(shù)”.根據(jù)公式，兄的年齡是：

（25×4-86）÷（4-3）=14（歲）.

1998年，兄年齡是

14-4=10（歲）.

父年齡是

（25-14）×4-4=40（歲）.

因此，當(dāng)父的年齡是兄的年齡的3倍時(shí)，兄的年齡是

（40-10）÷（3-1）=15（歲）.

這是.

答：公元時(shí)，父年齡是兄年齡的3倍.

例5蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對(duì)翅膀，蟬有6條腿和1對(duì)翅膀.目前這三種小蟲共18只，有118條腿和20對(duì)翅膀.每種小蟲各幾只？

解：由于蜻蜓和蟬均有6條腿，因此從腿的數(shù)目來考慮，可以把小蟲提成“8條腿”與“6條腿”兩種.運(yùn)用公式就可以算出8條腿的

蜘蛛數(shù)=（118-6×18）÷（8-6）=5（只）.

因此就懂得6條腿的小蟲共

18-5=13（只）.

也就是蜻蜓和蟬共有13只，它們共有20對(duì)翅膀.再運(yùn)用一次公式

蟬數(shù)=（13×2-20）÷（2-1）=6（只）.

因此蜻蜓數(shù)是13-6=7（只）.

答：有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蟬.

例6某次數(shù)學(xué)考試考五道題，全班52人參與，共做對(duì)181道題，已知每人至少做對(duì)1道題，做對(duì)1道的有7人，5道全對(duì)的有6人，做對(duì)2道和3道的人數(shù)同樣多，那么做對(duì)4道的人數(shù)有多少人？

解：對(duì)2道、3道、4道題的人共有

52-7-6=39（人）.

他們共做對(duì)

181-1×7-5×6=144（道）.

由于對(duì)2道和3道題的人數(shù)同樣多，我們就可以把他們看作是對(duì)2.5道題的人（（2+3）÷2=2.5）.這樣兔腳數(shù)=4，雞腳數(shù)=2.5，總腳數(shù)=144，總頭數(shù)=39.

對(duì)4道題的有（144-2.5×39）÷（4-1.5）=31（人）.

答：做對(duì)4道題的有31人.例7買某些4分和8分的郵票，共花6元8角.已知8分的郵票比4分的郵票多40張，那么兩種郵票各買了多少張？

解一：假如拿出40張8分的郵票，余下的郵票中8分與4分的張數(shù)就同樣多.

（680-8×40）÷（8+4）=30（張），這就懂得，余下的郵票中，8分和4分的各有30張.

因此8分郵票有40+30=70（張）.

答：買了8分的郵票70張，4分的郵票30張.

也可以用任意假設(shè)一種數(shù)的措施.

解二：譬如，假設(shè)有20張4分，根據(jù)條件“8分比4分多40張”，那么應(yīng)有60張8分.以“分”作為計(jì)算單位，此時(shí)郵票總值是4×20+8×60=560.比680少，因此還要增長郵票.為了保持“差”是40，每增長1張4分，就要增長1張8分，每種要增長的張數(shù)是：

（680-4×20-8×60）÷（4+8）=10（張）.

因此4分有20+10=30（張），8分有60+10=70（張）.

例8一項(xiàng)工程，假如全是晴天，15天可以完畢.倘若下雨，雨天一天工程要多少天才能完畢？

解：類似于例3，我們?cè)O(shè)工程的所有工作量是150份，晴天每天完畢10份，雨天每天完畢8份.用上一例題解一的措施，晴天有

（150-8×3）÷（10+8）=7（天）.

雨天是7+3=10天，總共7+10=17（天）.

答：這項(xiàng)工程17天完畢.

請(qǐng)注意，假如把“雨天比晴天多3天”去掉，而換成已知工程是17天完畢，由此又回到上一節(jié)的問題.差是3，與和是17，懂得其一，就能推算出另一種.這闡明了例7、例8與上一節(jié)基本問題之間的關(guān)系.

總腳數(shù)是“兩數(shù)之和”，假如把條件換成“兩數(shù)之差”，又應(yīng)當(dāng)怎樣去解呢？

例9雞與兔共100只，雞的腳數(shù)比兔的腳數(shù)少28.問雞與兔各幾只？

解一：假如再補(bǔ)上28只雞腳，也就是再有雞28÷2=14（只），雞與兔腳數(shù)就相等，兔的腳是雞的腳4÷2=2（倍），于是雞的只數(shù)是兔的只數(shù)的2倍.

兔的只數(shù)是：（100+28÷2）÷（2+1）=38（只）.

雞是：100-38=62（只）.

答：雞62只，兔38只.

當(dāng)然也可以去掉兔28÷4=7（只）.兔的只數(shù)是（100-28÷4）÷（2+1）+7=38（只）.

也可以用任意假設(shè)一種數(shù)的措施.

解二：假設(shè)有50只雞，就有兔100-50=50（只）.此時(shí)腳數(shù)之差是：

4×50-2×50=100，

比28多了72.就闡明假設(shè)的兔數(shù)多了（雞數(shù)少了）.為了保持總數(shù)是100，一只兔換成一只雞，少了4只兔腳，多了2只雞腳，相差為6只（千萬注意，不是2）.因此要減少的兔數(shù)是：

（100-28）÷（4+2）=12（只）.

兔只數(shù)是：

50-12=38（只）.

此外，還存在下面這樣的問題：總頭數(shù)換成“兩數(shù)之差”，總腳數(shù)也換成“兩數(shù)之差”.

例10古詩中，五言絕句是四句詩，每句都是五個(gè)字；七言絕句是四句詩，每句都是七個(gè)字.有一詩選集，其中五言絕句比七言絕句多13首，總字?jǐn)?shù)卻反而少了20個(gè)字.問兩種詩各多少首.

解一：假如去掉13首五言絕句，兩種詩首數(shù)就相等，此時(shí)字?jǐn)?shù)相差

13×5×4+20=280（字）.

每首字?jǐn)?shù)相差：7×4-5×4=8（字）.

因此，七言絕句有：28÷（28-20）=35（首）.

五言絕句有：35+13=48（首）.

答：五言絕句48首，七言絕句35首.

解二：假設(shè)五言絕句是23首，那么根據(jù)相差13首，七言絕句是10首.字?jǐn)?shù)分別是20×23=460（字），28×10=280（字），五言絕句的字?jǐn)?shù)，反而多了：460-280=180（字）.與題目中“少20字”相差：180+20=200（字）.

闡明假設(shè)詩的首數(shù)少了.為了保持相差13首，增長一首五言絕句，也要增一首七言絕句，而字?jǐn)?shù)相差增長8.因此五言絕句的首數(shù)要比假設(shè)增長

200÷8=25（首）.

五言絕句有

23+25=48（首）.

七言絕句有

10+25=35（首）.

在寫出“雞兔同籠”公式的時(shí)候，我們假設(shè)都是兔，或者都是雞，對(duì)于例7、例9和例10三個(gè)問題，當(dāng)然也可以這樣假設(shè).目前來詳細(xì)做一下，把列出的計(jì)算式子與“雞兔同籠”公式對(duì)照一下，就會(huì)發(fā)現(xiàn)非常有趣的事.

例7，假設(shè)都是8分郵票，4分郵票張數(shù)是（680-8×40）÷（8+4）=30（張）.

例9，假設(shè)都是兔，雞的只數(shù)是（100×4-28）÷（4+2）=62（只）.

例10，假設(shè)都是五言絕句，七言絕句的首數(shù)是（20×13+20）÷（28-20）=35（首）.

首先，請(qǐng)讀者先弄明白上面三個(gè)算式的由來，然后與“雞兔同籠”公式比較，這三個(gè)算式只是有一處“-”成了“+”.其奧妙何在呢？當(dāng)你進(jìn)入初中，有了負(fù)數(shù)的概念，并會(huì)列二元一次方程組，就會(huì)明白，從數(shù)學(xué)上說，這一講前兩節(jié)列舉的所有例子都是同一件事.

例11

有一輛貨車運(yùn)送只玻璃瓶，運(yùn)費(fèi)按抵達(dá)時(shí)完好的瓶子數(shù)目計(jì)算，每只2角，如有破損，破損瓶子不給運(yùn)費(fèi)，還要每只賠償1元.成果得到運(yùn)費(fèi)379.6元，問這次搬運(yùn)中玻璃瓶破損了幾只？

解：假如沒有破損，運(yùn)費(fèi)應(yīng)是400元.但破損一只要減少1+0.2=1.2（元）.因此破損只數(shù)是（400-379.6）÷（1+0.2）=17（只）.

答：這次搬運(yùn)中破損了17只玻璃瓶.

請(qǐng)你想一想，這是“雞兔同籠”同一類型的問題嗎？

例12有兩次自然測(cè)驗(yàn)，第一次24道題，答對(duì)1題得5分，答錯(cuò)（包括不答）1題倒扣1分；第二次15道題，答對(duì)1題8分，答錯(cuò)或不答1題倒扣2分，小明兩次測(cè)驗(yàn)共答對(duì)30道題，但第一次測(cè)驗(yàn)得分比第二次測(cè)驗(yàn)得分多10分，問小明兩次測(cè)驗(yàn)各得多少分？

解一：假如小明第一次測(cè)驗(yàn)24題全對(duì)，得5×24=120（分）.那么第二次只做對(duì)30-24=6（題）得分是：8×6-2×（15-6）=30（分）.兩次相差：120-30=90（分）.

比題目中條件相差10分，多了80分.闡明假設(shè)的第一次答對(duì)題數(shù)多了，要減少.第一次答對(duì)減少一題，少得5+1=6（分），而第二次答對(duì)增長一題不僅不倒扣2分，還可得8分，因此增長8+2=10分.兩者兩差數(shù)就可減少6+10=16（分）.（90-10）÷（6+10）=5（題）.

因此，第一次答對(duì)題數(shù)要比假設(shè)（全對(duì)）減少5題，也就是第一次答對(duì)19題，第二次答對(duì)：30-19=11（題）.

第一次得分：5×19-1×（24-9）=90.

第二次得分：8×11-2×（15-11）=80.

答：第一次得90分，第二次得80分.

解二：答對(duì)30題，也就是兩次共答錯(cuò)

24+15-30=9（題）.

第一次答錯(cuò)一題，要從滿分中扣去5+1=6（分），第二次答錯(cuò)一題，要從滿分中扣去8+2=10（分）.答錯(cuò)題互換一下，兩次得分要相差6+10=16（分）.

假如答錯(cuò)9題都是第一次，要從滿分中扣去6×9.但兩次滿分都是120分.比題目中條件“第一次得分多10分”，要少了6×9+10.因此，第二次答錯(cuò)題數(shù)是：（6×9+10）÷（6+10）=4（題）?

第一次答錯(cuò)9-4=5（題）.

第一次得分5×（24-5）-1×5=90（分）.

第二次得分8×（15-4）-2×4=80（分）.某些小學(xué)行程題目（純列式解題）甲、乙兩車同步從A、B兩地相向而行，在距A地60千米處相遇。它們各自抵達(dá)對(duì)方車站后立即返回，途中又在距A地40千米處相遇。求A、B兩地相距多少千米

(60*3+40)÷2＝110千米

2.客貨兩車同步從甲乙兩地相對(duì)開出，第一次相遇在離乙地80千米的地方。相遇后繼續(xù)行駛，抵達(dá)對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，第二次相遇在距離甲地50千米處。求甲乙兩地間旅程？

80*3-50＝190千米

3.兩輛汽車同步從東西兩站相對(duì)開出，第一次在離東站60千米處相遇。之后兩車原速前進(jìn)，各車到站后立即返回，又在中點(diǎn)西側(cè)30千米處相遇點(diǎn)之間的距離是多少千米？

（60*3+30）÷3*2＝140千米

4.湖中有東、西兩島。甲乙二人同步從兩島出發(fā)，來回游泳。他們第一次相遇時(shí)距東島700米，第二次相遇距西島400米。問：兩相遇點(diǎn)之間的距離是多少米？

700*3-400-400-700＝600米

5.甲、乙兩人同步從兩地騎車相向而行。甲每小時(shí)行15千米，乙每小時(shí)行13千米，兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇。求這兩地間的旅程？

3*2÷（15-13）*（15+13）＝54千米

6.甲、乙兩人同步從A地去B地，甲每小時(shí)行12千米，乙每小時(shí)行9千米。甲行到15千米處，又回去取東西。因此比乙遲到1小時(shí)。求A、B兩地的距離？

（15*2-12）÷（12-9）*9＝54千米

7.甲、乙兩人同步從A地到B地。甲每分鐘走250米，乙每分鐘走90米。甲抵達(dá)B地后立即返回，在離B地3.2千米處與乙相遇。A、B兩地間的距離是多少？

3.2*2÷（0.25-0.09）*0.25-3.2＝6.8千米。

8.小平和小紅同步從學(xué)校出發(fā)步行到少年宮。小平每分鐘比小紅多走20米，30分鐘后小平剛到少年宮就立即返回學(xué)校，在距少年宮350米處碰到小紅。小紅每分鐘走多少米？

30*20-350＝250米，350-250＝100米，100÷20＝5分、250÷5＝50米。

9.甲、乙二人上午7時(shí)同步從A地去B地，甲每小時(shí)比乙快8千米，上午11時(shí)甲抵達(dá)B地后立即返回，在距B地24千米處和乙相遇。求A、B兩地相距多少千米？

（11-7）*8＝32千米，［24-（32-24）］÷8＝2小時(shí)。24÷2*（11-7）＝48千米。

10.某學(xué)生乘車上學(xué)，步行回家，來回共需一種半小時(shí)；假如來回都坐車，所有行程只要30分鐘。假如來回都步行，需要多少時(shí)間？

乘車+步行＝1.5小時(shí)，乘車+乘車＝0.5小時(shí)，即乘車＝0.25小時(shí)。因此步行+步行＝2.5小時(shí)。

11.甲、乙兩人分別從A、B兩地同步出發(fā)，相向而行，勻速前進(jìn)。假如各人按原定速度前進(jìn)，則4小時(shí)相遇；假如兩人各自都比原計(jì)劃每小時(shí)少走1千米，則5小時(shí)相遇。求A、B兩地間相距多少千米？

4*1*2*5＝40千米。

12.甲、乙兩車從相距480千米的兩地同步相向而行，6小時(shí)相遇。假如兩車各自每小時(shí)加緊8千米，那么相遇點(diǎn)距前一次相遇點(diǎn)4千米，已知乙車比甲車快，求甲車每小時(shí)行多少千米？

480÷6＝80千米，80+8*2＝96千米。480÷96＝5小時(shí)。（5*8－4）÷（6-5）＝36千米

13.小王、小張步行的速度分別是每小時(shí)4.8千米和5.4千米。小李騎車的速度為每小時(shí)10.8千米。小王、小張從甲地到乙地，小李從乙地到甲地，三人同步出發(fā)，在小張與小李6相遇分鐘后，小王又與小李相遇。小李騎車從乙地到甲地需多長時(shí)間？

6分鐘＝0.1小時(shí)。（4.8+10.8）*0.1÷（5.4-4.8）*（5.4+10.8）＝42.12千米。42.12÷10.8＝3.9小時(shí)

14.甲、乙、丙三人走路，甲每分鐘走60米，乙每分鐘走50米，丙每分鐘走40米。甲從A地，乙和丙從B地同步出發(fā)，相向而行。甲和乙相遇后，過了15分鐘又與丙相遇。求A、B兩地間距離？

（60+40）*15÷（50-40）*（60+50）＝16500米

15.甲、乙、丙三人都以均勻的速度進(jìn)行60米賽跑。當(dāng)甲沖過終點(diǎn)時(shí)，比乙領(lǐng)先10米，比丙領(lǐng)先20米。當(dāng)乙抵達(dá)終點(diǎn)時(shí)，比丙領(lǐng)先多少米？

60-40÷50*60＝12米。數(shù)字的整除特性1．我們已學(xué)過奇數(shù)與偶數(shù)，我們正是以能否被2整除來辨別偶數(shù)與奇數(shù)的。因此，有下面的結(jié)論：末位數(shù)字為0、2、4、6、8的整數(shù)都能被2整除。偶數(shù)總可表為2k，奇數(shù)總可表為2k＋1（其中k為整數(shù)）。

2．末位數(shù)字為零的整數(shù)必被10整除。這種數(shù)總可表為10k（其中k為整數(shù)）。

3．末位數(shù)字為0或5的整數(shù)必被5整除，可表為5k（k為整數(shù)）。

4．末兩位數(shù)字構(gòu)成的兩位數(shù)能被4（25）整除的整數(shù)必被4（25）整除。

如1996＝1900＋96，由于100是4和25的倍數(shù)，因此1900是4和25的倍數(shù)，只要考察96與否4或25的倍數(shù)即可。

能被25整除的整數(shù)，末兩位數(shù)只也許是00、25、50、75。能被4整除的整數(shù)，末兩位數(shù)只也許是00，04，08，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，84，88，92，96，不也許是其他的數(shù)。

5．末三位數(shù)字構(gòu)成的三位數(shù)能被8（125）整除的整數(shù)必能被8（125）整除。

由于1000＝8×125，因此，1000的倍數(shù)當(dāng)然也是8和125的倍數(shù)。

如判斷765432與否能被8整除。

由于765432＝765000＋432

顯然8|765000，故只要考察8與否整除432即可。由于432＝8×54，即432能被8整除，因此765432能8被整除。

能被8整除的整數(shù)，末三位只能是000，008，016，024，…984，992。

由于125×1＝125，125×2＝250，125×3＝375；

125×4＝500，125×5＝625；125×6＝750；

125×7＝875；125×8＝10000

故能被125整除的整數(shù)，末三位數(shù)只能是000，125，250，375，500，625，750，875。

6．各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和能被3（9）整除的整數(shù)必能被3（9）整除。

如478323與否能被3（9）整除？

由于478323＝4×100000＋7×10000＋8×1000＋3×100＋2×10＋3

＝4×（99999＋1）＋7（9999＋1）＋8×（999＋1）＋3×（99＋1）＋2×（9＋1）＋3＝（4×99999＋7×9999＋8×999＋3×99＋2×9）＋（4＋7＋8＋3＋2＋3）

前一括號(hào)里的各項(xiàng)都是3（9）的倍數(shù)，因此，判斷478323與否能被3（9）整除，只要考察第二括號(hào)的各數(shù)之和（4＋7＋8＋3＋2＋3）能否被3（9）整除。而第二括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和，恰好是原數(shù)478323各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和。

∵4＋7＋8＋3＋2＋3＝27是3（9）的倍數(shù)，故知478323是3（9）的倍數(shù)。

在實(shí)際考察4＋7＋8＋3＋2＋3與否被3（9）整除時(shí)，總可將3（9）的倍數(shù)劃掉不予考慮。

即考慮被3整除時(shí)，劃去7、2、3、3，只看4＋8，考慮被9整除時(shí)，由于7＋2＝9，故可直接劃去7、2，只考慮4＋8＋3＋3即可。

如考察9876543被9除時(shí)與否整除，可以只考察數(shù)字和（9＋8＋7＋6＋5＋4＋3）與否被9整除，還可劃去9、5＋4、6＋3，即只考察8

如問3與否整除9876543，則先可將9、6、3劃去，再考慮其他數(shù)位上數(shù)字之和。由于3整除（8＋7＋5＋4），故有3整除9876543。

實(shí)際上，一種整數(shù)各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和被3（9）除所得的余數(shù)，就是這個(gè)整數(shù)被3（9）除所得的余數(shù)。

7．一種整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差假如是11的倍數(shù)，那么這個(gè)整數(shù)也是11的倍數(shù)。（一種整數(shù)的個(gè)位、百位、萬位、…稱為奇數(shù)位，十位、千位、百萬位……稱為偶數(shù)位。）

如判斷42559能否被11整除。

42559＝4×10000＋2×1000＋5×100＋5×10＋9

＝4×（9999＋1）＋2×（1001－1）＋5（99＋1）

＋5×（11－1）＋9

＝（4×9999＋2×1001＋5×99＋5×11）＋（4－2＋5－5＋9）

＝11×（4×909＋2×91＋5×9＋5）＋（4－2＋5－5＋9）

前一部分顯然是11的倍數(shù)。因此判斷42559與否11的倍數(shù)只要看后一部分4－2＋5－5＋9與否為11的倍數(shù)。

而4－2＋5－5＋9＝（4＋5＋9）－（2＋5）恰為奇數(shù)位上數(shù)字之和減去偶數(shù)位上數(shù)字之和的差。

由于（4＋5＋9）－（2＋5）＝11是11的倍數(shù)，故42559是11的倍數(shù)。

目前要判斷7295871與否為11的倍數(shù)，只須直接計(jì)算（1＋8＋9＋7）－（7＋5＋2）與否為11的倍數(shù)即可。由25－14＝11知（1＋8＋9＋7）－（7＋5＋2）是1的倍數(shù)，故11|7295871。

上面所舉的例子，是奇數(shù)位數(shù)字和不小于偶數(shù)位數(shù)字和的情形。假如奇數(shù)位數(shù)字和不不小于偶數(shù)位數(shù)字和（即我們平時(shí)認(rèn)為“不夠減”），那么該怎么辦呢？

如867493的奇數(shù)位數(shù)字和為3＋4＋6，而偶數(shù)位數(shù)字和為9＋7＋8。顯然3＋4＋6不不小于9＋7＋8，即13不不小于24。

碰到這種狀況，可在13－24這種式子背面依次加上11，直至“夠減”為止。

由于13－24＋11＝0，恰為11的倍數(shù)，因此懂得867493必是11的倍數(shù)。

又如738292的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差為

（2＋2＋3）－（9＋8＋7）＝7－24

7－24＋11＋11＝5（加了兩次11使“夠減”）。由于5不能被11整除，故可立即判斷738292不能被11整除。

實(shí)際上，一種整數(shù)被11除所得的余數(shù)，即是這個(gè)整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差被11除所得的余數(shù)（不夠減時(shí)依次加11直至夠減為止）。

同學(xué)們還會(huì)發(fā)現(xiàn)：任何一種三位數(shù)連寫兩次構(gòu)成的六位數(shù)一定能被11整除。

如186這個(gè)三位數(shù)，連寫兩次成為六位數(shù)186186。由于這個(gè)六位數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字和為6＋1＋8，偶數(shù)位數(shù)字和為8＋6＋1，它們的差恰好為零，故186186是11的倍數(shù)。數(shù)位數(shù)字和為c＋a＋b，偶數(shù)位數(shù)字和為b＋c＋a，它們的差恰為零，

象這樣由三位數(shù)連寫兩次構(gòu)成的六位數(shù)與否能被7整除呢？

如186186被7試除后商為26598，余數(shù)為零，即7｜186186。能否不做186186÷7，而有較簡(jiǎn)樸的判斷措施呢？

由于186186＝186000＋186

＝186×1000＋186

＝186×1001

而1001＝7×11×13，因此186186一定能被7整除。

這就啟發(fā)我們考慮，由于7×11×13＝1001，故若一種數(shù)被1001整除，則這個(gè)數(shù)必被7整除，也被11和13整除。

或?qū)⒁环N數(shù)分為兩部分的和或差，假如其中一部分為1001的倍數(shù)，另一部分為7（11或13）的倍數(shù)，那么原數(shù)也一定是7（11或13）的倍數(shù)。

如判斷2839704與否是7的倍數(shù)？

由于2839704＝2839000＋704

＝2839×1000＋704

＝2839×1001－2839＋704

＝2839×1001－（2839－704）

∵2839－704＝2135是7的倍數(shù)，因此2839704也是7的倍數(shù)；2135不是11（13）的倍數(shù)，因此2839704也不是11（13）的倍數(shù)。

實(shí)際上，對(duì)于283904這樣一種七位數(shù)，要判斷它與否為7（11或13）的倍數(shù)，只需將它分為2839和704兩個(gè)數(shù)，看它們的差與否被7（11或13）整除即可。

又如判斷42952與否被13整除，可將42952分為42和952兩個(gè)數(shù)，只要看952－42＝910與否被13整除即可。由于910＝13×70，因此13整除910，

8．一種三位以上的整數(shù)能否被7（11或13）整除，只須看這個(gè)數(shù)的末三位數(shù)字表達(dá)的三位數(shù)與末三位數(shù)字此前的數(shù)字所構(gòu)成的數(shù)的差（以大減?。┠芊癖?（11或13）整除。

另法：將一種多位數(shù)從后往前三位一組進(jìn)行分段。奇數(shù)段各三位數(shù)之和與偶數(shù)段各三位數(shù)之和的差若被7（11或13）整除，則原多位數(shù)也被7（11或13）整除。

如3546725可分為3，546，725三段。奇數(shù)段的和為725＋3＝728，偶數(shù)段為546，兩者的差為

728－546＝182＝7×26＝7×2×13完全平方數(shù)一種數(shù)假如是另一種整數(shù)的完全平方，那麼我們就稱這個(gè)數(shù)為完全平方數(shù)，也叫做平方數(shù)。例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…

請(qǐng)大家認(rèn)真學(xué)習(xí)下面內(nèi)容：

性質(zhì)1：完全平方數(shù)的末位數(shù)只能是0,1,4,5,6,9。

性質(zhì)2：奇數(shù)的平方的個(gè)位數(shù)字為奇數(shù)，十位數(shù)字為偶數(shù)。

性質(zhì)3：假如完全平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，則它的個(gè)位數(shù)字一定是6；反之，假如完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字是6，則它的十位數(shù)字一定是奇數(shù)。

性質(zhì)4：凡個(gè)位數(shù)字是5，但末兩位數(shù)字不是25的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；末尾只有奇數(shù)個(gè)“0”的自然數(shù)（不包括0自身）不是完全平方數(shù)；個(gè)位數(shù)字為1，4，9而十位數(shù)字為奇數(shù)的自然數(shù)不是完全平方數(shù)。

性質(zhì)5：偶數(shù)的平方是4的倍數(shù)；奇數(shù)的平方是4的倍數(shù)加1。

性質(zhì)6：奇數(shù)的平方是8n+1型；偶數(shù)的平方為8k或8k+4型。

性質(zhì)7：平方數(shù)的形式必為下列兩種之一：3k,3k+1。

性質(zhì)8：不能被5整除的數(shù)的平方為5k±1型，能被5整除的數(shù)的平方為5k型。

性質(zhì)9：平方數(shù)的形式具有下列形式之一：16k,16k+1,16k+4,16k+9。

性質(zhì)10：完全平方數(shù)的各位數(shù)字之和只能是0,1,4,7,9。

性質(zhì)11：a^2b為完全平方數(shù)的充要條件是b為完全平方數(shù)。

性質(zhì)12：假如質(zhì)數(shù)p能整除a，但p^2不能整除a，則a不是完全平方數(shù)。

性質(zhì)13：在兩個(gè)相鄰的整數(shù)的平方數(shù)之間的所有整數(shù)都不是完全平方數(shù)，即若n^2<k<(n+1)^2,則k一定不是完全平方數(shù)。

性質(zhì)14：一種正整數(shù)n是完全平方數(shù)的充足必要條件是n有奇數(shù)個(gè)因子(包括1和n自身)。

性質(zhì)15：完全平方數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)個(gè)。約數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)的自然數(shù)是完全平方數(shù)。

性質(zhì)16：若質(zhì)數(shù)p整除完全平方數(shù)a，則p^2|a。數(shù)量關(guān)系——商品銷售問題迅速求解商店發(fā)售商品，總是期望獲得利潤.例如某商品買入價(jià)（成本）是50元，以70元賣出，就獲得利潤70-50＝20（元）.一般，利潤也可以用百分?jǐn)?shù)來說，20÷50＝0.4＝40％，我們也可以說獲得40％的利潤.因此

利潤的百分?jǐn)?shù)=（賣價(jià)-成本）÷成本×100％.

賣價(jià)=成本×（1+利潤的百分?jǐn)?shù)）.

成本=賣價(jià)÷（1+利潤的百分?jǐn)?shù)）.

商品的定價(jià)按照期望的利潤來確定.

定價(jià)=成本×（1+期望利潤的百分?jǐn)?shù)）.

定價(jià)高了，商品也許賣不掉，只能減少利潤（甚至賠本），減價(jià)發(fā)售.減價(jià)有時(shí)也按定價(jià)的百分?jǐn)?shù)來算，這就是打折扣.減價(jià)25％，就是按定價(jià)的（1-25％）＝75％發(fā)售，一般就稱為75折.因此

賣價(jià)=定價(jià)×折扣的百分?jǐn)?shù).

例1某商品按定價(jià)的80％（八折或80折）發(fā)售，仍能獲得20％的利潤，定價(jià)時(shí)期望的利潤百分?jǐn)?shù)是(

)

A：40%

B：60%

C：72%

D：50%

解析：設(shè)定價(jià)是“1”，賣價(jià)是定價(jià)的80％，就是0.8.由于獲得20％

定價(jià)的期望利潤的百分?jǐn)?shù)是

答：期望利潤的百分?jǐn)?shù)是50％.

例2某商店進(jìn)了一批筆記本，按30％的利潤定價(jià).當(dāng)售出這批筆記本的80％后，為了盡早銷完，商店把這批筆記本按定價(jià)的二分之一發(fā)售.問銷完后商店實(shí)際獲得的利潤百分?jǐn)?shù)是（

）

A：12%

B:18%

C:20%

D:17%

解：設(shè)這批筆記本的成本是“1”.因此定價(jià)是1×（1+30％）＝1.3.其中

80％的賣價(jià)是1.3×80％，

20％的賣價(jià)是1.3÷2×20％.

因此所有賣價(jià)是

1.3×80％＋1.3÷2×20％＝1.17.

實(shí)際獲得利潤的百分?jǐn)?shù)是

1.17－1＝0.17＝17％.

答：這批筆記本商店實(shí)際獲得利潤是17％.

例3有一種商品，甲店進(jìn)貨價(jià)（成本）比乙店進(jìn)貨價(jià)廉價(jià)10％.甲店按20％的利潤來定價(jià)，乙店按15％的利潤來定價(jià)，甲店的定價(jià)比乙店的定價(jià)廉價(jià)11.2元.問甲店的進(jìn)貨價(jià)是（

）元？

A：110

B：200

C：144

D：160

解：設(shè)乙店的進(jìn)貨價(jià)是“1”，甲店的進(jìn)貨價(jià)就是0.9.

乙店的定價(jià)是1×（1＋15％），甲店的定價(jià)就是0.9×（1＋20％）.

因此乙店的進(jìn)貨價(jià)是

11.2÷（1.15-0.9×1.2）=160（元）.

甲店的進(jìn)貨價(jià)是

160×0.9=144（元）.

答：甲店的進(jìn)貨價(jià)是144元.

設(shè)乙店進(jìn)貨價(jià)是1，比設(shè)甲店進(jìn)貨價(jià)是1，計(jì)算要以便些。

例4開明出版社出版的某種書，今年每?jī)?cè)書的成本比去年增長10％，不過仍保持原售價(jià)，因此每本利潤下降了40％，那么今年這種書的成本在售價(jià)中所占的百分?jǐn)?shù)是多少？

A:89%

B:88%

C:72%

D:87.5%

解：設(shè)去年的利潤是“1”.