角平分線與角的對稱性

專題二角平分線與角的對稱性一、教學(xué)目標(biāo)：、知識(shí)與技能：培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)并能運(yùn)用角平分線所在直線是角的對稱軸這一特點(diǎn),利用角的對稱性解決相關(guān)題目.、過程與方法：培養(yǎng)學(xué)生觀察圖形,研究問題的能力,掌握等量變化的技巧.、情感態(tài)度與價(jià)值觀：指導(dǎo)相應(yīng)的學(xué)習(xí)方法，使學(xué)生不僅學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)，而且會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)。二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：1、教學(xué)重點(diǎn)：掌握角的對稱性與角平分線的關(guān)系.2、教學(xué)難點(diǎn):如何利用這種對稱性得到線段和角的等量關(guān)系.三、教學(xué)方法：引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)、練習(xí)提高四、教學(xué)手段：多媒體電腦、黑板五、具體內(nèi)容：（一）復(fù)習(xí)引入角平分線的常用使用環(huán)境基本圖形當(dāng)角平分線構(gòu)成的等量關(guān)系和“三角形”結(jié)合的時(shí)候，可以構(gòu)造軸對稱圖形?C D當(dāng)角平分線構(gòu)成的等量關(guān)系和“距離”結(jié)合的時(shí)候，可以利用角平分線的性質(zhì)?(廣7C

二)例題例1已知：如圖1,在厶ABC中,AB=AC,ZA=100°,BD為ZB的平分線,求證:BC=BD+AD圖1設(shè)計(jì)思路:這道題要利用角平分線構(gòu)造軸對稱圖形,截長補(bǔ)短是常用輔助線,可以借助這道題感受作輔助線的意義.分析：容易想到在BC上截BE,使BE=BD,再來證明AD=EC.由已知可得ZDBC=20°,ZDCE=40°,連結(jié)DE,那么ZDEB=(180°-20。)-2=80°,得DE=EC.只需證明DE=AD.觀察圖形，可以在BC上截BF=BA,便構(gòu)造出厶BDF與厶BDA全等，得DF=AD,接下來再證明DF=DE即可.證明：在BC上取E、F,使BE=BD,BF=BA,連結(jié)DF、DE.???在△ABC中,AB=AC,ZA=100° ,???ZABC=ZC=(180°-100°片2=40°.???BD平分ZABC,???ZABD=ZFBD=20°,又BD=BD,BA=BF,???△ABD9△FBD.DF=AD,ZBFD=ZBAD=100°.ZDFE=180°-100°=80°.BD=BE,ZDEF=(180°-20°)-2=80°.ZDFE=ZDEF.DE=DF=AD.???在△DEC中，ZEDC=80°-40°=40°,

???乙EDC=ZC.???DE=EC,AD=EC.BC=BE+EC=BD+AD.點(diǎn)撥:這道題需要利用割補(bǔ)法,構(gòu)造另一個(gè)三角形與之全等,再利用全等三角形對應(yīng)元素相等的性質(zhì),證得命題成立.例2如圖1,在厶ABC中，AD是ZBAC的平分線，從厶ABC兩頂點(diǎn)B、C分別向ZBAC的平分線作垂線BE和CF,垂足分別是E、F,又BC的中點(diǎn)為P.求證:ZPEF=ZPFE.BB設(shè)計(jì)思路:融入角平分線和垂直共同構(gòu)造軸對稱圖形.分析:在這道題中,CF、BE分別是過角兩邊上的點(diǎn)向角平分線所作的垂線段,“垂直”和“角平分線”都是構(gòu)造軸對稱圖形的基本元素.因此只要分別延長CF、延長BE都可構(gòu)造軸對稱圖形.在得到的軸對稱得到了中點(diǎn),點(diǎn)F、E、P分別是所在線段中點(diǎn)，因此再用中位線即可得到平行關(guān)系，最后利用平行關(guān)系代換等角即可得證.證明：延長CF交AB于N,延長BE交AC延長線于胚?/AD是ZBAC的平分線，Z3=Z4.在△ANF和△ACF中，???AF丄CN，得ZAFN=ZAFC=90°，又AF=AF，???△ANF ACF.NF=CF，同理可得BE=ME.???點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，???PF、PE分別為△CNB和厶BCM的中位線.???PF〃BN，即PF〃AB,?Z1=Z3.同理，PE〃CM，即PE〃AC.

???Z2=Z4.???Z1=Z2,即ZPEF=ZPFE.點(diǎn)撥:觀察圖形中的“垂直”和“角平分線”,這些都是構(gòu)造軸對稱圖形的基本元素,在軸對稱圖形中我們可以利用對應(yīng)線段等、角等的關(guān)系進(jìn)行等量代換.例3(09海淀二模)△ABC是等邊三角形，P為平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，BP=BA，若0VZPBCV180°,且ZPBC平分線上的一點(diǎn)D滿足DB=DA,(1)當(dāng)BP與BA重合時(shí)(如圖1),ZBPD= °；(2)當(dāng)BP在ZABC的內(nèi)部時(shí)(如圖2),求ZBPD的度數(shù)；(3)當(dāng)BP在ZABC的外部時(shí)，請你直接寫出ZBPD的度數(shù)，并畫出相應(yīng)設(shè)計(jì)思路:加入旋轉(zhuǎn),使得這道題目中的對稱性不是那么好找了,但如果有前面的鋪墊,這道題可以很好的使學(xué)生體會(huì)角平分線的作用.解：(1)ZBPD=30°.(2)如圖2-1，連結(jié)CD解法一：B分析：由于ZBPD并不在一個(gè)特殊三角形中，直接求它的度數(shù)是很困難的，因此想到可以轉(zhuǎn)移角，它所在的厶BPD各個(gè)角中，只有ZPBD由于解：(1)ZBPD=30°.(2)如圖2-1，連結(jié)CD解法一：B點(diǎn)D在ZPBC的平分線上Z1=Z2．△ABC是等邊三角形，BA=BC=AC，ZACB=60°BP=BA，BP=BC．BD=BD，

ZBPD=Z3.DB=DA，BC=AC，CD=CD，BCD◎△ACD.Z3=Z4=-ZACB=30。2-解法二：ZBPD=30°．解法二：ABC是等邊三角形，BA=BC=AC．DB=DA，CD垂直平分AB．-Z3二厶4二ZACB=30。2?BP=BA，BP=BC點(diǎn)D在ZPBC的平分線上，PBD與厶CBD關(guān)于BD所在直線對稱.ZBPD=Z3ZBPD=30°3)ZBPD=30°或-50°圖形見圖3--、圖3-2圖3-1圖3-2圖3-1圖3-2點(diǎn)撥:當(dāng)我們遇到題目當(dāng)中有很多等量關(guān)系的情況時(shí),需要找到架接等量關(guān)系的橋梁，在這道題目中，有三組等量關(guān)系：關(guān)于等邊厶ABC的，關(guān)于BP=BA的,關(guān)于DA=DB的，而找到AB這座“橋”卻是很重要的，它是等量代換的重要元素.另外，在第三問畫圖時(shí)，需要注意全面考慮點(diǎn)P、點(diǎn)D的可能性.有規(guī)律的是，

點(diǎn)D一定在線段AB的垂直平分線上.例4(08上海)正方形ABCD的邊長為2，E是射線CD上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)D重合)，直線AE交直線BC于點(diǎn)G,ZBAE的平分線交射線BC于點(diǎn)O.(1)如圖1,當(dāng)CE=2時(shí)，求線段BG的長；3CE(2)當(dāng)點(diǎn)O在線段BC上時(shí)，設(shè)=x，BO=y，求y與x的函數(shù)解析式;ED3)當(dāng)CE=2ED時(shí)，求線段BO的長．GG設(shè)計(jì)思路:到了例4,構(gòu)造軸對稱圖形已經(jīng)不是難度,而需要適度提升找數(shù)量關(guān)系的難度.分析：在這道題目中，有這樣的字眼:E是“射線”CD上的動(dòng)點(diǎn)，這本身就意味著關(guān)于點(diǎn)E的位置是由兩種可能性的，需要依題意探究位置可能性.第(1)問可以直接從CE入手,自然得到DE的長,用相似得BG長度.第(2)問中的x就比較不常規(guī)，是比值的形式，但線段量的關(guān)系一直用比表示，并不便利，因此可以將一條線段長用含x和另一條線段長的式子來表示.接下來，將BO代換到角平分線的另一邊，就可以把x、y都放到一組相似三角形中去了.第(3)問顯然要結(jié)合點(diǎn)E的位置進(jìn)行討論.解：(1)在邊長為2的正方形ABCD中，CE=3，得DE=3又???AD//BC，即AD//CG，???△ADE GCE,得CG=得CG=1．■?==—GADDE2?BC=2，G?BG=32)當(dāng)點(diǎn)O在線段BC上時(shí)，過點(diǎn)O作

OF丄AG,垂足為點(diǎn)F???AO為ZBAE的角平分線，ZABO二90.??OF二BO二y.在正方形ABCD中，AD//BC，CGCETOC\o"1-5"\h\z? — —x.ADEDAD—2，.CG—2x．\o"CurrentDocument"CE 2x又?———x,CE+ED—2 ,得CE— ED 1+x?/在Rt△ABG中，AB=2,BG=2+2x,ZB=90°,AG—2\：x2+2x+2.?AF—AB—2 ，???FG—AG-AF—2、：x2+2x+2-2易證△FOG BAG,.OFAB>?—.OFAB>?—FGBG即y-BG-FG，得y—x2+2x+2-2,(x>0)(3)當(dāng)CE—2ED(3)當(dāng)CE—2ED時(shí),當(dāng)點(diǎn)O在線段BC上時(shí)，如圖3-1,即x—22価—2由(2)得OB—y—'—當(dāng)點(diǎn)O在線段BC延長線上時(shí)，如圖3-2,CE=4,ED=DC=2,在Rt△ADE中，AE=2：2.設(shè)AO交線段DC于點(diǎn)H,?/AO是ZBAE的平分線，即ZBAH—ZHAE,又???AB//CD,.??ZBAH—ZAHE..??ZHAE—ZAHE..??EH—AE—2邁.G圖3-2.??CH—4-2^2即3_g即3_g2 BO得BO_2^2+2點(diǎn)撥:找到邊的關(guān)系是這道題的關(guān)鍵,可利用的條件很多,有相似、角平分線性質(zhì)、勾股定理和正方形性質(zhì),只要找到中心量，用它將需要的線段表示出來就可以了。三）練習(xí)練習(xí)1.（09嘉興中考）如圖，等腰△ABC中，底邊BC_a練習(xí)1.（09嘉興中考）如圖，等腰△ABC中，底邊BC_a,ZA_36。，ZABC的平分線交AC于D,ZBCD的平分線交BD于則DE_ (）Ak3aC．D.幺k3練習(xí)2.（09陜西）如圖，在銳角AABC中，練習(xí)2.（09陜西）如圖，在銳角AABC中，AB_4J2,ZBAC_45°，ABAC的平分線交BC于點(diǎn)D,M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是 .4練習(xí)3.如圖,AD是厶ABC的角平分線，EF是AD的垂直平分線，交BC的延長線于點(diǎn)F,連接AF。求證：ZBAF=ZACF證明：TAD是A4BC的角平分線，:.ZBAD=ZCAD,?EF是AD的垂直平分線，???FA=FD.:.ZFAD=ZFDA.又ZACF=ZFDA+ZCAD,ZBAF=ZFAD+ZBAD,?ZACF=ZBAF.練習(xí)4.已知，如圖，△ABC中，ZABC=3ZC,AE平分ZBAC,BE丄AE于E.求證：AC-AB=2BE.

證明：延長BE交AC于點(diǎn)F.???AE平分ZBAC???Z1=Z2.又JZAEB=ZAEF=90°,AE=AE.?△ABE^^AFE.AB=AF,Z3=Z4,BE=FE.???ZABC=3ZC,又ZABC=Z3+Z5=Z4+Z5=ZC+Z5+ZC=2ZC+Z5.3ZC=2ZC+Z5.?ZC=Z5.?BF=FC.AC-AB=AF+FC-AB=FC=BF=2BE.AC-AB=2BE.練習(xí)5.（09宣武二模）如圖，在△ABC中，ZCAB、ZABC的平分線交于點(diǎn)D，CDEIIAC交BC于點(diǎn)E,DFHBC交AC于點(diǎn)F.C求證：四邊形DECF為菱形.證明：證法一：連結(jié)CD.JDEIAC，DFIBC，四邊形DECF為平行四邊形.JZCAB、ZABC的平分線交于點(diǎn)D,?點(diǎn)D是△ABC的內(nèi)心.???CD平分ZACB,即ZFCD=ZECD,JDFIBC,:.ZFDC=ZECD,???ZFCD=ZFDC???FC=FD,平行四邊形DECF為菱形.證法二：過D分別作DG丄AB于G,DH丄BC于H,DI丄AC于I.GJAD、BD分別平分ZCAB、ZABC，G:.DI=DG,DG=DH..?.DH=