七年級數(shù)學(xué)上冊專題5.8 期末專項復(fù)習(xí)之幾何圖形初步十八大必考點(diǎn)（舉一反三）（人教版）（原卷版）

/專題5.8幾何圖形初步十八大考點(diǎn)【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)1直線、射線、線段的條數(shù)】 1【考點(diǎn)2雙中點(diǎn)線段問題】 2【考點(diǎn)3線段的等分點(diǎn)問題】 3【考點(diǎn)4線段動點(diǎn)的定值計算】 4【考點(diǎn)5線段中的參數(shù)表示(比例關(guān)系)問題】 6【考點(diǎn)6剪繩子(端點(diǎn)重合)問題】 7【考點(diǎn)7動點(diǎn)中線段和差問題】 8【考點(diǎn)8線段的長短比較】 10【考點(diǎn)9時針和分針重合次數(shù)與時間】 10【考點(diǎn)10兩定角、雙角平分線與角度關(guān)系】 11【考點(diǎn)11線段、角的規(guī)律問題】 13【考點(diǎn)12角度的翻折問題】 14【考點(diǎn)13兩塊三角板旋轉(zhuǎn)問題】 16【考點(diǎn)14射線旋轉(zhuǎn)與角度的關(guān)系】 18【考點(diǎn)15余角和補(bǔ)角的性質(zhì)】 20【考點(diǎn)16從三個方向看幾何體】 22【考點(diǎn)17根據(jù)從三個方向看到的圖形確定幾何體】 23【考點(diǎn)18幾何體展開圖的識別】 24【考點(diǎn)1直線、射線、線段的條數(shù)】【例1】（2022·遼寧錦州·七年級期末）如圖，C，D是線段AB上的點(diǎn)，若AB=8，CD=2，則圖中以C為端點(diǎn)的所有線段的長度之和為______．【變式1-1】（2022·山西·右玉縣第三中學(xué)校七年級期末）閱讀并填空：問題：在一條直線上有A，B，C，D四個點(diǎn)，那么這條直線上總共有多少條線段？要解決這個問題，我們可以這樣考慮，以A為端點(diǎn)的線段有AB，AC，AD3條，同樣以B為端點(diǎn)，以C為端點(diǎn)，以D為端點(diǎn)的線段也各有3條，這樣共有4個3，即4×3＝12（條），但AB和BA是同一條線段，即每一條線段重復(fù)一次，所以一共有______條線段．那么，若在一條直線上有5個點(diǎn)，則這條直線上共有______條線段；若在一條直線上有n個點(diǎn)，則這條直線上共有______條線段．知識遷移：若在一個銳角∠AOB內(nèi)部畫2條射線OC，OD，則這個圖形中總共有______個角；若在∠AOB內(nèi)部畫n條射線，則總共有______個角．學(xué)以致用：一段鐵路上共有5個火車站，若一列火車往返過程中，必須停靠每個車站，則鐵路局需為這段線路準(zhǔn)備______種不同的車票．【變式1-2】（2022·北京通州·七年級期末）如圖，棋盤上有黑、白兩色棋子若干，若直線l經(jīng)過3枚顏色相同的棋子，則這樣的直線共有_____條．【變式1-3】（2022·黑龍江·撫遠(yuǎn)市第三中學(xué)七年級期末）平面上不重合的兩點(diǎn)確定一條直線，不同三點(diǎn)最多可確定3條直線，若平面上不同的n個點(diǎn)最多可確定28條直線，則n的值是（）A．6 B．7 C．8 D．9【考點(diǎn)2雙中點(diǎn)線段問題】【例2】（2022·福建泉州·七年級期末）在一條直線上依次有E、F、G、H四點(diǎn)．若點(diǎn)F是線段EG的中點(diǎn)，點(diǎn)G是線段EH的中點(diǎn)，則有（）A．EF=GH B．EG>GH C．GH>2FG D．FG=【變式2-1】（2022·山東東營·期末）如圖，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為線段AB上的點(diǎn)，點(diǎn)D為線段AE的中點(diǎn)．(1)若線段AB＝a，CE＝b且(a?16)2+|2b?8|=0，求a，(2)在（1）的條件下，求線段CD的長，【變式2-2】（2022·山東濰坊·七年級期中）已知點(diǎn)C在直線AB上，點(diǎn)M，N分別為AC，BC的中點(diǎn)．(1)如圖所示，若C在線段AB上，AC=6厘米，MB=10厘米，求線段BC，MN的長；(2)若點(diǎn)C在線段AB的延長線上，且滿足AC?BC=a厘米，請根據(jù)題意畫圖，并求MN的長度（結(jié)果用含a的式子表示）．【變式2-3】（2022·山西·右玉縣第三中學(xué)校七年級期末）一條直線上有A，B，C三點(diǎn)，AB=8cm，AC=18cm，點(diǎn)P，Q分別是AB，AC的中點(diǎn)，則【考點(diǎn)3線段的等分點(diǎn)問題】【例3】（2022·吉林白城·七年級期末）如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為－10，點(diǎn)B表示的數(shù)為2．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運(yùn)動，P、Q同時出發(fā)，設(shè)運(yùn)動時間為t（t＞0）秒，解答下列問題．（1）數(shù)軸上點(diǎn)P表示的數(shù)為，點(diǎn)Q表示的數(shù)為（用含t的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)點(diǎn)P表示的數(shù)和點(diǎn)Q表示的數(shù)互為相反數(shù)時，求t的值；（3）點(diǎn)P追上點(diǎn)Q時，求t的值；（4）若點(diǎn)B恰好是線段PQ的3等分點(diǎn)時，t的值為．【變式3-1】（2022·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·七年級期末）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)C是線段BD的四等分點(diǎn)．若CB=2，則線段AB的長為______．【變式3-2】（2022·湖北武漢·七年級期末）如圖，已知線段AB，延長線段BA至C，使CB＝43AB（1）請根據(jù)題意將圖形補(bǔ)充完整．直接寫出ACAB（2）設(shè)AB＝9cm，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，分別以3cm/s，1cm/s的速度沿直線AB向左運(yùn)動．①當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動，求ADCE②在點(diǎn)D，E沿直線AB向左運(yùn)動的過程中，M，N分別是線段DE、AB的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)C恰好為線段BD的三等分點(diǎn)時，求MN的長．【變式3-3】（2022·遼寧錦州·七年級期末）小明在學(xué)習(xí)了比較線段的長短時對下面一道問題產(chǎn)生了探究的興趣：如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)．若AB＝12，AC＝8，求MN的長．(1)根據(jù)題意，小明求得MN＝___________；(2)小明在求解（1）的過程中，發(fā)現(xiàn)MN的長度具有一個特殊性質(zhì)，于是他先將題中的條件一般化，并開始深入探究．設(shè)AB＝a，C是線段AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），小明提出了如下三個問題，請你幫助小明解答．①如圖1，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，則MN＝______________；②如圖2，M，N分別是AC，BC的三等分點(diǎn)，即AM=13AC，BN=③若M，N分別是AC，BC的n等分點(diǎn)，即AM=1nAC，BN=【考點(diǎn)4線段動點(diǎn)的定值計算】【例4】（2022·內(nèi)蒙古赤峰·七年級期末）點(diǎn)A、B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為a、b，且a、b滿足a+1+(1)如圖1，求線段AB的長；(2)若點(diǎn)C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為x，且x是方程2x+1=12x?2的根，在數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P使PA+PB=BC(3)如圖2，點(diǎn)P在B點(diǎn)右側(cè)，PA的中點(diǎn)為M，N為PB靠近于B點(diǎn)的四等分點(diǎn)，當(dāng)P在B的右側(cè)運(yùn)動時，有兩個結(jié)論：①PM?2BN的值不變；②PM?2【變式4-1】（2022·湖北孝感·七年級期末）如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為9，點(diǎn)B表示的數(shù)為-6，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以5個單位長度/秒的速度沿數(shù)軸向左勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為tt>0(1)數(shù)軸上點(diǎn)P表示的數(shù)為__________（用含t的式子表示）(2)當(dāng)t為何值時，AP=2BP？(3)若M為AP的中點(diǎn)，N為BP的中點(diǎn)，點(diǎn)P在運(yùn)動的過程中，線段MN的長度是否為定值？若是，請畫出圖形，并求出該定值，若不是，請說明理由．【變式4-2】（2022·江蘇·南京市科利華中學(xué)七年級階段練習(xí)）【概念與發(fā)現(xiàn)】當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上，AC=nAB時，我們稱n為點(diǎn)C在線段AB上的“點(diǎn)值”，記作dAC例如，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)時，即AC=12AB反之，當(dāng)dACAB=因此，我們可以這樣理解：“dACAB=n【理解與應(yīng)用】(1)如圖，點(diǎn)C在線段AB上．若AC=3，AB=4，則dAC若dACAB=23【拓展與延伸】(2)已知線段AB=10cm，點(diǎn)P以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)，向點(diǎn)B運(yùn)動．同時，點(diǎn)Q以3cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)，先向點(diǎn)A方向運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)A后立即按原速向點(diǎn)B方向返回．當(dāng)P，Q其中一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)時，兩點(diǎn)均停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t①小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B向點(diǎn)A方向運(yùn)動時，m?dAPAB+d②t為何值時，dAQ【變式4-3】（2022·全國·七年級專題練習(xí)）已知線段AB＝m，CD＝n，線段CD在直線AB上運(yùn)動（A在B的左側(cè)，C在D的左側(cè)），且m，n滿足|m－12|＋（n－4）2＝0.（1）m＝，n＝；（2）點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時，線段CD以2個單位長度/秒的速度向左運(yùn)動．①如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，若M是線段AC的中點(diǎn)，N是線段BD的中點(diǎn)，求線段MN的長；②P是直線AB上A點(diǎn)左側(cè)一點(diǎn)，線段CD運(yùn)動的同時，點(diǎn)F從點(diǎn)P出發(fā)以3個單位/秒的向右運(yùn)動，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，若點(diǎn)F與點(diǎn)C相遇1秒后與點(diǎn)E相遇．試探索整個運(yùn)動過程中，F(xiàn)C－5DE是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．【考點(diǎn)5線段中的參數(shù)表示(比例關(guān)系)問題】【例5】（2022·浙江舟山·七年級期末）已知點(diǎn)C在線段AB上，AC＝2BC，點(diǎn)D、E在直線AB上，點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)，（1）若AB＝18，DE＝8，線段DE在線段AB上移動，①如圖1，當(dāng)E為BC中點(diǎn)時，求AD的長；②當(dāng)點(diǎn)C是線段DE的三等分點(diǎn)時，求AD的長；（2）若AB＝2DE，線段DE在直線上移動，且滿足關(guān)系式AD+ECBE=32，則【變式5-1】（2022·廣西河池·七年級期末）如圖，點(diǎn)M位于數(shù)軸原點(diǎn)，C點(diǎn)從M點(diǎn)出發(fā)以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸向左運(yùn)動，D點(diǎn)從B點(diǎn)出發(fā)以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向左運(yùn)動．(1)若點(diǎn)A表示的數(shù)為?3，點(diǎn)B表示的數(shù)為7，當(dāng)點(diǎn)C，D運(yùn)動時間為2秒時，求線段CD的長；(2)若點(diǎn)A，B分別表示?2，6，運(yùn)動時間為t，當(dāng)t為何值時，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)．(3)若AM=14AB，N是數(shù)軸上的一點(diǎn)，且AN?BN=MN【變式5-2】（2022·全國·七年級單元測試）已知：如圖1，M是定長線段AB上一定點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)分別從M、B出發(fā)以1cm/s、3cm/s的速度沿直線BA向左運(yùn)動，運(yùn)動方向如箭頭所示（C在線段AM上，D在線段BM上）(1)若AB＝11cm，當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動了1s，求AC+MD的值．(2)若點(diǎn)C、D運(yùn)動時，總有MD＝3AC，直接填空：AM＝BM．(3)在（2）的條件下，N是直線AB上一點(diǎn)，且AN﹣BN＝MN，求2MN3【變式5-3】（2022·全國·七年級專題練習(xí)）已知：如圖1，點(diǎn)M是線段AB上一定點(diǎn)，AB＝12cm，C、D兩點(diǎn)分別從M、B出發(fā)以1cm/s、2cm/s的速度沿直線BA向左運(yùn)動，運(yùn)動方向如箭頭所示（C在線段AM上，D在線段BM上）（1）若AM＝4cm，當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動了2s，此時AC＝，DM＝；（直接填空）（2）當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動了2s，求AC+MD的值．（3）若點(diǎn)C、D運(yùn)動時，總有MD＝2AC，則AM＝（填空）（4）在（3）的條件下，N是直線AB上一點(diǎn)，且AN﹣BN＝MN，求MNAB【考點(diǎn)6剪繩子(端點(diǎn)重合)問題】【例6】（2022·全國·七年級專題練習(xí)）把根繩子對折成一條線段AB，在線段AB取一點(diǎn)P，使AP=13PB，從P處把繩子剪斷，若剪斷后的三段繩子中最長的一段為24A．32cm B．64cm C．32cm或64cm 【變式6-1】（2022·全國·七年級課時練習(xí)）將一段72cm長的繩子，從一端開始每3cm作一記號，每4cm也作一記號，然后從有記號的地方剪斷，則這段繩子共被剪成的段數(shù)為（）A．37 B．36 C．35 D．34【變式6-2】（2022·湖北武漢·七年級期末）如圖，將一股標(biāo)有0～60均勻刻度的繩子鋪平后折疊(繩子無彈性)，使繩子自身的一部分重疊，然后在重疊部分某處剪斷，將繩于分為A，B，C三段若這三段的長度的比為3：2：1，則折痕對應(yīng)的刻度是__________．【變式6-3】（2022·全國·七年級專題練習(xí)）如圖1，將一段長為60厘米繩子AB拉直鋪平后折疊（繩子無彈性，折疊處長度忽略不計），使繩子與自身一部分重疊．（1）若將繩子AB沿M、N點(diǎn)折疊，點(diǎn)A、B分別落在A′①如圖2，若A′,B②如圖3，若點(diǎn)A′落在B′的左側(cè)，且③若A′（2）如圖4，若將繩子AB沿N點(diǎn)折疊后，點(diǎn)B落在B′處，在重合部分B【考點(diǎn)7動點(diǎn)中線段和差問題】【例7】（2022·全國·七年級階段練習(xí)）已知多項式(a+10)x3+20x2?5x+3是關(guān)于x的二次多項式，且二次項系數(shù)為(1)a=___________，b=___________，線段AB=___________；(2)若數(shù)軸上有一點(diǎn)C，使得AC=32BC，點(diǎn)M為(3)有一動點(diǎn)G從點(diǎn)A出發(fā)，以1個單位每秒的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動，同時動點(diǎn)H從點(diǎn)B出發(fā)，以56個單位每秒的速度在數(shù)軸上作同向運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒（t＜30），點(diǎn)D為線段GB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段DH的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段GB上且GE=13GB，在G【變式7-1】（2022·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，在直線AB上，線段AB=24，動點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度在直線AB上運(yùn)動．M為AP的中點(diǎn)，N為BP的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒．(1)若點(diǎn)P在線段AB上的運(yùn)動，當(dāng)PM=10時，PN=；(2)若點(diǎn)P在射線AB上的運(yùn)動，當(dāng)PM=2PN時，求點(diǎn)P的運(yùn)動時間t的值；(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的反向延長線上運(yùn)動時，線段AB、PM、PN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的結(jié)論，并說明你的理由．【變式7-2】（2022·福建·廈門市松柏中學(xué)七年級期末）在數(shù)軸上，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)為9，動點(diǎn)B，C在數(shù)軸上移動（點(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)），總保持BC=n（n大于0且小于4.5），設(shè)點(diǎn)B表示的數(shù)為m．(1)如圖，當(dāng)動點(diǎn)B，C在線段OA上移動時，①若n=2，且B為OA中點(diǎn)時，則點(diǎn)B表示的數(shù)為__________，點(diǎn)C表示的數(shù)為__________；②若AC=OB，求多項式6m+3n?40的值；(2)當(dāng)線段BC在射線AO上移動時，且AC?OB=12AB，求m【變式7-3】（2022·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，直線l上有A，B兩點(diǎn)，AB＝12cm，點(diǎn)O是線段AB上的一點(diǎn)，OA＝2OB．（1）則OA＝cm，OB＝cm；（2）若點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)（點(diǎn)C不與點(diǎn)A、B重合），且滿足AC＝CO+CB，求CO的長；（3）若動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，動點(diǎn)Q從點(diǎn)B同時出發(fā)，都向右運(yùn)動，點(diǎn)P的速度為2cm/s．點(diǎn)Q的速度為1cm/s，設(shè)運(yùn)動時間為t（s）（其中t≥0）．①若把直線l看作以O(shè)為原點(diǎn)，向右為正方向的一條數(shù)軸，則t（s）后，P點(diǎn)所到的點(diǎn)表示的數(shù)為；此時，Q點(diǎn)所到的點(diǎn)表示的數(shù)為．（用含t的代數(shù)式表示）②求當(dāng)t為何值時，2OP﹣OQ＝4（cm）．【考點(diǎn)8線段的長短比較】【例8】（2022·陜西·延安市實驗中學(xué)七年級期末）如圖，已知在三角形ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，作一條線段EF，使EF的長等于a+b，并比較線段EF與線段AB的長短．（保留作圖痕跡，不要求寫作法）【變式8-1】（2022·全國·七年級課時練習(xí)）為比較兩條線段AB與CD的大小，小明將點(diǎn)A與點(diǎn)C重合使兩條線段在一條直線上，點(diǎn)B在CD的延長線上，則(

)A．AB＜CD B．AB＞CD C．AB＝CD D．以上都有可能【變式8-2】（2022·浙江·衢州華茂外國語學(xué)校七年級期末）如圖，已知AC=BD，則AB與CD之間的大小關(guān)系是()A．AB>CD. B．AB=CD. C．AB<CD. D．無法確定.【變式8-3】（2022·江蘇鹽城·七年級期末）如圖，A、B、C、D四點(diǎn)在同一直線上．(1)若AB=CD．①比較線段的大小：AC________BD（填“＞”、“＝”或“＜”）；②若BC=34AC，且AC=16cm，則(2)若線段AD被點(diǎn)B、C分成了2：3：4三部分，且AB的中點(diǎn)M和CD的中點(diǎn)N之間的距離是18cm，求AD的長．【考點(diǎn)9時針和分針重合次數(shù)與時間】【例9】（2022·江蘇蘇州·七年級期末）鐘面角是指時鐘的時針與分針?biāo)傻慕?，如果時間從下午2點(diǎn)整到下午4點(diǎn)整，鐘面角為90°的情況有（

）A．有一種 B．有二種 C．有三種 D．有四種【變式9-1】（2022·全國·七年級單元測試）根據(jù)所學(xué)知識完成題目：

（1）一個角的余角與補(bǔ)角的和是這個角的補(bǔ)角與余角的差的兩倍，求這個角．

（2）從兩點(diǎn)三十分時開始算起，鐘表上的時針與分針經(jīng)過多久第一次重合？【變式9-2】（2022·全國·七年級單元測試）時鐘上的分針和時針像兩個運(yùn)動員，繞著它們的跑道晝夜不停地運(yùn)轉(zhuǎn)．以下請你解答有關(guān)時鐘的問題：(1)分針每分鐘轉(zhuǎn)了幾度？(2)中午12時整后再經(jīng)過幾分鐘，分針與時針?biāo)傻拟g角會第一次等于121°？(3)在(2)中所述分針與時針?biāo)傻拟g角等于121°后，再經(jīng)過幾分鐘兩針?biāo)傻拟g角會第二次等于121°？【變式9-3】（2022·江蘇·射陽縣實驗初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）探究實驗：《鐘面上的數(shù)字》實驗?zāi)康模毫私忡娒嫔蠒r針與分針在轉(zhuǎn)動時的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)會用一元一次方程解決鐘面上的有關(guān)數(shù)學(xué)問題，體會數(shù)學(xué)建模思想．實驗準(zhǔn)備：機(jī)械鐘（手表）一只實驗內(nèi)容與步驟：觀察與思考：（1）時針每分鐘轉(zhuǎn)動__°，分針每分鐘轉(zhuǎn)動__°．（2）若時間為8：30，則鐘面角為__°，（鐘面角是時針與分針?biāo)傻慕牵┎僮髋c探究：（1）轉(zhuǎn)動鐘面上的時針與分針，使時針與分針重合在12點(diǎn)處．再次轉(zhuǎn)動鐘面上的時針與分針，算一算，什么時刻時針與分針再次重合？一天24小時中，時針與分針重合多少次？（一天中起始時刻和結(jié)束時刻時針與分針重合次數(shù)只算一次，下同）（2）轉(zhuǎn)動鐘面上的時針與分針，使時針與分針重合在12點(diǎn)處，再次轉(zhuǎn)動鐘面上的時針與分針，算一算，什么時刻鐘面角第一次為90°？一天24小時中，鐘面角為90°多少次？拓展延伸：一天24小時中，鐘面角為180°__次，鐘面角為n°（0＜n＜180）____次．（直接寫出結(jié)果）【考點(diǎn)10兩定角、雙角平分線與角度關(guān)系】【例10】（2022·陜西西安·七年級期中）已知∠AOB和三條射線OE、OC、OF在同一個平面內(nèi)，其中OE平分角∠BOC,OF平分角∠AOC，(1)如圖，若∠BOC=70°,∠AOC=50°，求∠EOF的度數(shù)；(2)如圖，若∠BOC=α,∠AOC=β，直接用α、β表示∠EOF；(3)若∠BOC、∠AOC在同一平面內(nèi)，且∠BOC=α,∠AOC=β，OE平分角∠BOC，OF平分角∠AOC，直接寫出用α、β表示∠EOF．【變式10-1】（2022·廣東·正德中學(xué)七年級期末）多多對幾何中角平分線等興趣濃厚，請你和多多一起探究下面問題吧．已知∠AOB=100°，射線OE，OF分別是∠AOC和∠COB的角平分線．(1)如圖1，若射線OC在∠AOB的內(nèi)部，且∠AOC=30°，求∠EOF的度數(shù)；(2)如圖2，若射線OC在∠AOB的內(nèi)部繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，則∠EOF的度數(shù)_____；(3)若射線OC在∠AOB的外部繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)中∠AOC，∠BOC均指小于180°的角），其余條件不變，請借助圖3探究∠EOF的大小，請直接寫出∠EOF的度數(shù)（不寫探究過程）．【變式10-2】（2022·浙江寧波·七年級期末）【定義】如圖1，OM平分∠AOB，則稱射線OB,OA關(guān)于OM(1)【理解題意】如圖1，射線OB,OA關(guān)于OM對稱且∠AOB=45°(2)【應(yīng)用實際】如圖2，若∠AOB=45°,OP在∠AOB內(nèi)部，OP,OP1關(guān)于OB(3)如圖3,若∠AOB=45°,OP在∠AOB外部，且0°<∠AOP<(4)【拓展提升】如圖4，若∠AOB=45°,OP,OP1關(guān)于∠AOB【變式10-3】（2022·湖北黃石·七年級期末）將一副直角三角板ABC，AED，按如圖1放置，其中B與E重合，∠BAC=45°，∠BAD=30°．(1)如圖1，點(diǎn)F在線段CA的延長線上，求∠FAD的度數(shù)；(2)將三角板AED從圖1位置開始繞A點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，AM，AN分別為∠BAE，∠CAD的角平分線．①如圖2，當(dāng)AE旋轉(zhuǎn)至∠BAC的內(nèi)部時，求∠MAN的度數(shù)；②當(dāng)AE旋轉(zhuǎn)至∠BAC的外部時，直接寫出∠MAN的度數(shù)．【考點(diǎn)11線段、角的規(guī)律問題】【例11】（2022·重慶忠縣·七年級期末）如圖中∠AOB＝60°，圖①中∠AOC1＝∠C1OB，圖②中∠AOC1＝∠C1OC2＝∠C2OB，圖③中∠AOC1＝∠C1OC2＝∠C2OC3＝∠C3OB，…，按此規(guī)律排列下去，前④個圖形中的∠AOC1之和為(

)A．60° B．67° C．77° D．87°【變式11-1】（2022·黑龍江大慶·中考真題）如圖，3條直線兩兩相交最多有3個交點(diǎn)，4條直線兩兩相交最多有6個交點(diǎn)，按照這樣的規(guī)律，則20條直線兩兩相交最多有______個交點(diǎn)【變式11-2】（2022·全國·七年級）如圖，已知∠MON，在∠MON內(nèi)畫一條射線時，則圖中共有3個角；在∠MON內(nèi)畫兩條射線時，則圖中共有6個角；在∠MON內(nèi)畫三條射線時，則圖中共有10個角；……．按照此規(guī)律，在∠MON內(nèi)畫20條射線時，則圖中角的個數(shù)是（

）A．190 B．380 C．231 D．462【變式11-3】（2022·云南昆明·七年級期末）如圖所示，數(shù)軸上O，A兩點(diǎn)的距離為8，一動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，按以下規(guī)律跳動：第1次跳動到AO的中點(diǎn)A1處，第2次從A1點(diǎn)跳動到A1O的中點(diǎn)A2處，第3次從A2點(diǎn)跳動到A2O的中點(diǎn)A3處，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動到點(diǎn)A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整數(shù)）處，問經(jīng)過這樣2023次跳動后的點(diǎn)與A1A的中點(diǎn)的距離是（）A．4?122020 B．6?122019【考點(diǎn)12角度的翻折問題】【例12】（2022·山東德州·七年級期末）如圖，一紙片沿直線AB折成的V字形圖案，已知圖中∠1=62°，則∠2的度數(shù)=_____．【變式12-1】（2022·廣西·上思縣教育科學(xué)研究所七年級期末）下圖所示的圖形，長方形紙片沿AE折疊后，點(diǎn)與重合，且已知∠CED′=50o.則∠AED的是()A．60o B．50o C．75o D．65o【變式12-2】（2022·福建省福州第一中學(xué)七年級期末）在福州一中初中部第十二屆手工大賽中，初一年段的小紅同學(xué)用長方形紙帶折疊出逼真的動物造型．其中有三個步驟如下：如圖①，已知長方形紙帶，∠DEF=20°，將紙帶EF折疊成圖案②，再沿BF折疊成圖案③，則③中的∠CFE的度數(shù)是()A．20° B．120° C．90° D．150°【變式12-3】（2022·江西南昌·七年級期末）已知長方形紙片ABCD，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)N在邊AD上，將∠NAE沿EN翻折到∠NA'E，射線EA'與CD交于點(diǎn)F.點(diǎn)M在邊BC上，將∠MBE沿EM翻折到∠MB'（1）如圖1，若點(diǎn)F與點(diǎn)G重合，直接寫出以E為頂點(diǎn)的兩對相等的角，并求∠MEN的度數(shù)；（2）如圖2，若點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)，且∠AEN=∠FEG+10°，∠BEM=∠FEG+20°，求（3）若點(diǎn)G在點(diǎn)F的左側(cè)，且∠FEG=a，求∠MEN的度數(shù)（用含a的代數(shù)式表示）.【考點(diǎn)13兩塊三角板旋轉(zhuǎn)問題】【例13】（2022·河北·泊頭市教師發(fā)展中心七年級期中）【實踐操作】三角尺中的數(shù)學(xué)．(1)如圖1，將兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C疊放在一起，∠ACD=∠ECB=90°．①若∠ECD=35°，則∠ACB=_________；若∠ACB=140°，則∠ECD=______；②猜想∠ACB與∠ECD的大小有何特殊關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，若是兩個同樣的直角三角尺60°銳角的頂，點(diǎn)A重合在一起，∠ACD=∠AFG=90°，則∠GAC與∠DAF的大小又有何關(guān)系，請說明理由；(3)已知∠AOB=α，∠COD=β（α、β都是銳角），如圖3，若把它們的頂點(diǎn)O重合在一起，請直接寫出∠AOD與∠BOC的大小關(guān)系：________．【變式13-1】（2022·湖南長沙·七年級期末）（1）利用一副三角板可以畫出一些特殊的角，在①135°，②120°，③75°，④50°，⑤35°，⑥15°，四個角中，利用一副三角板畫不出來的特殊角是______；（填序號）（2）在圖①中，寫出一組互為補(bǔ)角的兩角為______；（3）如圖①，先用三角板畫出了直線EF，然后將一副三角板拼接在一起，其中45°角∠AOB的頂點(diǎn)與60°角∠COD的頂點(diǎn)互相重合，且邊OA、OC都在直線EF上（圖①），固定三角板COD不動，將三角板AOB繞點(diǎn)O按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度α（如圖②），當(dāng)OB平分∠EOD時，求旋轉(zhuǎn)角度α．【變式13-2】（2022·河南南陽·七年級期末）（1）如圖1所示，將兩塊不同的三角尺（∠A＝60°，∠D＝30°，∠B＝∠E＝45°）的直角頂點(diǎn)C疊放在一起．①若∠DCE＝25°，則∠ACB＝；若∠ACB＝130°，則∠DCE＝．②猜想∠ACB與∠DCE有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）如圖2所示，若兩個相同的三角尺的60°角的頂點(diǎn)A重合在一起，則∠DAB與∠CAE有何數(shù)量關(guān)系，請說明理由．（3）已知∠AOB=α，∠COD＝β（α，β都是銳角），如圖3所示，∠AOD與∠BOC有何數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)果，不說明理由．【變式13-3】（2022·湖北隨州·七年級期末）如圖1，點(diǎn)O為線段MN上一點(diǎn)，一副直角三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)O重合，直角邊DO、BO在線段MN上，∠COD=∠AOB=90°．(1)將圖1中的三角板COD繞著點(diǎn)O沿順時針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，若∠AOC=35°，則∠BOD=______；當(dāng)∠AOC＜90°時猜想∠AOC與∠BOD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)將圖1中的三角板COD繞著點(diǎn)O沿逆時針方向按每秒15°的速度旋轉(zhuǎn)一周，三角板AOB不動，請問幾秒時OD所在的直線平分∠AOB？【考點(diǎn)14射線旋轉(zhuǎn)與角度的關(guān)系】【例14】（2022·湖北武漢·七年級期末）已知∠COD在∠AOB的內(nèi)部，∠AOB＝150°，∠COD＝20°．(1)如圖1，求∠AOD+∠BOC的大??；(2)如圖2，OM平分∠BOC，ON平分∠AOD，求∠MON的大小．(3)如圖3，若∠AOC＝30°，射線OC繞點(diǎn)O以每秒10°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)與射線OB重合后，再以每秒15°的速度繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)；同時射線OD以每秒30°的速度繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)．設(shè)射線OD，OC運(yùn)動的時間是t秒（0＜t≤22），當(dāng)∠COD＝120°時，直接寫出t的值．【變式14-1】（2022·新疆烏魯木齊·七年級期末）圖（1）所示，點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn)，∠COD是直角，OE平分∠BOC．(1)若∠AOC＝30°，求∠DOE的度數(shù)；(2)將圖（1）中的∠COD繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)至圖（2）所示的位置，以（1）題思路探究∠AOC與∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，并說明理由；(3)將圖（1）中的∠COD繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)至圖（3）所示的位置，直接寫出∠AOC與∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系．【變式14-2】（2022·湖北武漢·七年級期末）如圖1，OB、OC是∠AOD內(nèi)部兩條射線．(1)若∠AOD和∠BOC互為補(bǔ)角，且∠AOD＝2∠BOC．求∠AOD及∠BOC的度數(shù)；(2)如圖2，若∠AOD＝2∠BOC，在∠AOD的外部分別作∠COD、∠AOB的余角∠DOM及∠AON，請寫出∠DOM、∠AON、∠BOC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，已知∠AOD＝120°，射線OE平分∠AOD，若將OB繞O點(diǎn)從OA出發(fā)以每秒6°逆時針旋轉(zhuǎn)，OC繞O點(diǎn)從OD出發(fā)以每秒5°順時針旋轉(zhuǎn)，OB、OC同時運(yùn)動；當(dāng)OC運(yùn)動一周回到OD時，OB、OC同時停止運(yùn)動．若運(yùn)動t（t＞0）秒后，OE恰好是∠BOC的四等分線，則此時t的值為（直接寫出答案）．【變式4-3】（2022·湖南岳陽·七年級期末）(1)特例感知：如圖①，已知線段MN＝30cm，AB＝2cm，線段AB在線段MN上運(yùn)動(點(diǎn)A不超過點(diǎn)M，點(diǎn)B不超過點(diǎn)N)，點(diǎn)C和點(diǎn)D分別是AM，BN的中點(diǎn)．①若AM＝16cm，則CD＝cm；②線段AB運(yùn)動時，試判斷線段CD的長度是否發(fā)生變化？如果不變，請求出CD的長度，如果變化，請說明理由．(2)知識遷移：我們發(fā)現(xiàn)角的很多規(guī)律和線段一樣，如圖②，已知∠AOB在∠MON內(nèi)部轉(zhuǎn)動，射線OC和射線OD分別平分∠AOM和∠BON．①若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，求∠COD=_____________度．②請你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三個角有怎樣的數(shù)量關(guān)系．請說明理由．(3)類比探究：如圖③，∠AOB在∠MON內(nèi)部轉(zhuǎn)動，若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，∠MOC∠AOC=∠NOD∠BOD=k【考點(diǎn)15余角和補(bǔ)角的性質(zhì)】【例15】（2022·山東·昌樂北大公學(xué)學(xué)校七年級階段練習(xí)）已知：點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O分別畫射線OC，OE，使得OC⊥OE．（1）如圖，OD平分∠AOC．若∠BOC=40°，求∠DOE的度數(shù)．請補(bǔ)全下面的解題過程（括號中填寫推理的依據(jù)）．解：∵點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn)，∴∠AOC+∠BOC=180°．∵∠BOC=40°，∴∠AOC=140°．∵OD平分∠AOC．∴∠COD=12∠AOC∴∠COD=°．∵OC⊥OE，∴∠COE=90°（）．∵∠DOE=∠+∠，∴∠DOE=°．（2）在平面內(nèi)有一點(diǎn)D，滿足∠AOC=2∠AOD．探究：當(dāng)∠BOC=α(0°<α<180°)時，是否存在α的值，使得∠COD=∠BOE．若存在，請直接寫出α的值；若不存在，請說明理由．【變式15-1】（2022·福建·福州市秀山初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖1，O是直線AB上的一點(diǎn)，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）若∠AOC＝40°，則∠DOE的度數(shù)為________°；（2）將圖1中的∠COD繞頂點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，其他條件不變，探究∠AOC和∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由；（3）將圖1中的∠COD繞頂點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，其他條件不變，直接寫出∠AOC和∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系：_________________________．【變式15-2】（2022·浙江·七年級專題練習(xí)）如圖所示，將兩塊三角板的直角頂點(diǎn)重合．(1)寫出以C為頂點(diǎn)的相等的角；(2)若∠ACB=150°，求∠DCE度數(shù)；(3)寫出∠ACB與∠DCE之間所具