愛提分四年級(jí)第一階數(shù)論第02講

./數(shù)論第02講_100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)知識(shí)圖譜-100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)100以內(nèi)質(zhì)數(shù)表偶質(zhì)數(shù)性質(zhì)與基本應(yīng)用質(zhì)數(shù)與合數(shù)的應(yīng)用提高數(shù)論第02講_100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)錯(cuò)題回顧100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)知識(shí)精講一．質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念1．只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)的數(shù),稱為質(zhì)數(shù)。2．除了1和它本身,還有其他因數(shù)的數(shù),稱為合數(shù)。0和1既不是質(zhì)數(shù),與不是合數(shù)。二．100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)表1~100中的質(zhì)數(shù)是：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97。1~100中有25個(gè)質(zhì)數(shù),74個(gè)合數(shù),其中1既不是質(zhì)數(shù)與不是合數(shù)。質(zhì)數(shù)中有且僅有一個(gè)偶數(shù),那就是2。三點(diǎn)剖析重難點(diǎn)：熟悉100以內(nèi)的25個(gè)質(zhì)數(shù),并且靈活應(yīng)用奇偶性,解決偶質(zhì)數(shù)的相關(guān)應(yīng)用。題模精講題模一100以內(nèi)質(zhì)數(shù)表例1.1、只能被1和它本身整除的自然數(shù)叫做質(zhì)數(shù),如：2、3、5、7,等．那么,比40大并且比50小的質(zhì)數(shù)是___________,小于100的最大的質(zhì)數(shù)是___________．答案：41、43、47；97解析：本題考查100以內(nèi)的常見質(zhì)數(shù)．例1.2、爸爸和兒子歲數(shù)之和是一個(gè)兩位數(shù),這個(gè)兩位數(shù)是一個(gè)質(zhì)數(shù),且數(shù)字之和為13,又已知爸爸比兒子大27歲,則兒子是________歲．答案：20解析：,只有67為質(zhì)數(shù),故年齡和為67．由和差問題易知兒子20歲．例1.3、五個(gè)連續(xù)自然數(shù),每個(gè)數(shù)都是合數(shù)且都不超過60,則這五個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和最大是〔．A、170B、250C、280D、285答案：解析：小于60的質(zhì)數(shù)有59、53、47、43、41、……,所以連續(xù)的五個(gè)自然數(shù)且都是合數(shù),最大的是58、57、56、55、54,它們的和是．例1.4、已知為50以內(nèi)的一個(gè)兩位質(zhì)數(shù),且也是質(zhì)數(shù),則滿足條件的所有的和是________．答案：104解析：50以內(nèi)的兩位質(zhì)數(shù)是11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47,滿足條件的有11、23、29、41,和為．例1.5、有一類最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)滿足以下條件：〔1分子與分母都是兩位數(shù)的質(zhì)數(shù)；〔2分母正好是分子這個(gè)質(zhì)數(shù)逆序排列所成的質(zhì)數(shù)．如就是滿足上述條件的一個(gè)分?jǐn)?shù)．那么滿足這兩個(gè)條件的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)有__________個(gè),其中最大的一個(gè)是__________．答案：解析：滿足自身與其逆序數(shù)均為兩位質(zhì)數(shù)的有11；13、31；17、71；37、73；79、97．符合條件的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)有有4個(gè),最大的是．題模二偶質(zhì)數(shù)性質(zhì)與基本應(yīng)用例2.1、Leta、bareprimenumbersandthesumoftheseprimesis49．Then〔．A、B、C、D、答案：B解析：根據(jù)奇偶性及2是質(zhì)數(shù)中唯一的偶數(shù)易知兩個(gè)質(zhì)數(shù)分別為2和47,．例2.2、〔1兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和是1999,那么這兩個(gè)質(zhì)數(shù)是多少？〔2若兩個(gè)質(zhì)數(shù)的差是35,那么它們的積是多少？答案：〔11997〔274解析：〔1通過奇偶分析易知兩個(gè)質(zhì)數(shù)必為一奇一偶,即一個(gè)為2,另一個(gè)為．〔2通過奇偶分析易知兩個(gè)質(zhì)數(shù)必為一奇一偶,即一個(gè)為2,另一個(gè)為,它們的積是．例2.3、三個(gè)互不相同的質(zhì)數(shù)相加,和為52,這三個(gè)質(zhì)數(shù)可能是多少？答案：可能為〔2,3,47〔2,43,7〔2,37,13〔2,31,19解析：小于50的質(zhì)數(shù)有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、發(fā)現(xiàn)只有一個(gè)偶數(shù)2,所以一定包含2,另外兩個(gè)為奇數(shù),且和為50,、．例2.4、若兩個(gè)不同的質(zhì)數(shù)m、n滿足,那么__________．答案：7或8解析：滿足條件的有,或,,所以．例2.5、若三個(gè)不同的質(zhì)數(shù)的和是53,則這樣的三個(gè)質(zhì)數(shù)有__________組．答案：11解析：三個(gè)不同的質(zhì)數(shù)的和是53,所以三個(gè)質(zhì)數(shù)都必須是奇數(shù)．從最小的奇質(zhì)數(shù)枚舉如下：

．共11組．例2.6、三個(gè)數(shù)p,p+3,p+5都是質(zhì)數(shù),它們的倒數(shù)之和是____．答案：解析：可知p一定是2,．例2.7、有6個(gè)數(shù)字a、b、c、d、p、q,滿足,c和d的奇偶性相同,且p、q、都是質(zhì)數(shù),則最大是多少？答案：9846解析：c和d的奇偶性相同,故為偶數(shù),p、q、中必有偶數(shù),只能是,進(jìn)而易得,．將問題轉(zhuǎn)化為豎式,易知最大是9846．例2.8、已知p、q為質(zhì)數(shù),并且存在兩個(gè)正整數(shù)m、n,使得,,則_________．答案：解析：因?yàn)榍覟橘|(zhì)數(shù),所以中有一個(gè)為1．不妨設(shè),則,．又因?yàn)閜、q為質(zhì)數(shù),故．代入得原式值為．題模三質(zhì)數(shù)與合數(shù)的應(yīng)用提高例3.1、在1到100這100個(gè)正整數(shù)中,不能被2、3、5、7中任何一個(gè)數(shù)整除的數(shù)有__________個(gè)．答案：22解析：數(shù)論問題,不能被這些數(shù)整除的一定都是質(zhì)數(shù),1-100的質(zhì)數(shù)去掉1、2、3、5、7還有22個(gè)．例3.2、將正整數(shù)1,2,3,4,5,6,…,10000排成一行．若一個(gè)數(shù)不能表示成兩個(gè)合數(shù)的和,則將此數(shù)劃去．例如要?jiǎng)澣?,但是因?yàn)?8就不能劃去．根據(jù)上面規(guī)定劃掉所有能劃掉的數(shù)之后,將剩下的數(shù)由小到大排列．這時(shí)從左數(shù)第2013個(gè)數(shù)是_______．答案：2022解析：從8開始往后的偶數(shù)可以拆成兩個(gè)偶合數(shù)的和；從13開始的奇數(shù)可以拆成9+2n的形式〔n大于等于2,而1、2、3、4、5、6、7、9、11要?jiǎng)澣?所以剩下的數(shù)列為8、10、12、13、14、15……,第2013項(xiàng)即為2022．例3.3、小紅、小明二人在討論年齡,小紅說："我比你小,當(dāng)你像我這么大時(shí),我的年齡是個(gè)質(zhì)數(shù)．"小明說："當(dāng)你長(zhǎng)到我這么大時(shí),我的年齡也是個(gè)質(zhì)數(shù)．"小紅說："我發(fā)現(xiàn)現(xiàn)在咱倆的年齡和是個(gè)質(zhì)數(shù)的平方．"那么小明今年____________歲．〔小明今年年齡小于31歲,且年齡均為整數(shù)歲答案：16解析：設(shè)小紅歲,年齡差,則小明歲．由題意知為質(zhì)數(shù)①,為質(zhì)數(shù)②,為質(zhì)數(shù)③的平方即年齡和,年齡和可能為4,9,25,49．經(jīng)驗(yàn)證,年齡差為7,小紅今年9歲,小明今年16歲．例3.4、四個(gè)小三角形的頂點(diǎn)處有六個(gè)圓圈,如果在這些圓圈中分別填上六個(gè)質(zhì)數(shù),它們的和是20,而且每個(gè)小三角形頂點(diǎn)上的數(shù)之和相等．問這六個(gè)質(zhì)數(shù)的積是多少？答案：900解析：設(shè)每個(gè)小三角形頂點(diǎn)上的數(shù)之和為,當(dāng)計(jì)算題4個(gè)小三角形頂點(diǎn)上的數(shù)之和時(shí),中間三個(gè)圓圈算了三次,減去兩次后得到六個(gè)質(zhì)數(shù)之和20,,三個(gè)質(zhì)數(shù)和為10,則這三個(gè)質(zhì)數(shù)為2、3、5.六個(gè)圓圈分別填兩個(gè)2、3、5.它們的積為900．隨堂練習(xí)隨練1.1、最小的質(zhì)數(shù)是________,最小的自然數(shù)是________．答案：2；0解析：最小的質(zhì)數(shù)是2,最小的自然數(shù)是0．隨練1.2、在31、37、51、57、71、77、91、97這8個(gè)數(shù)中,有幾個(gè)合數(shù)？A、2個(gè)B、3個(gè)C、4個(gè)D、5個(gè)答案：C解析：在這8個(gè)數(shù)中,31、37、71、97是質(zhì)數(shù),51、57、77、91是合數(shù),即一共有4個(gè)合數(shù)．正確答案是C．隨練1.3、三個(gè)連續(xù)自然數(shù),每個(gè)數(shù)都是合數(shù),則這三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和最小是〔．A、6B、27C、45D、720答案：B解析：列舉可知,最小的三個(gè)數(shù)為8、9、10,所以這三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和最小是．隨練1.4、在20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)中,加上2以后結(jié)果還是質(zhì)數(shù)的,一共有〔個(gè)．A、8B、6C、4D、2答案：C解析：3、5、11、17符合要求,共4個(gè)．隨練1.5、兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和是45,這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的積是_______．答案：86解析：兩質(zhì)數(shù)必為一奇一偶,故一定有2,另一個(gè)為,兩數(shù)之積為86．隨練1.6、從20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)中選出6個(gè),寫在一個(gè)正方體的六個(gè)面上,使得兩個(gè)向?qū)γ娴暮投枷嗟?所選的6個(gè)數(shù)是________．答案：5、7、11、13、17、19解析：首先2不能入選,否則會(huì)出現(xiàn)有的和為奇數(shù),有的和為偶數(shù)的情況,那么還剩下3、5、7、11、13、17、19這7個(gè)數(shù),從中選擇6個(gè)相當(dāng)于剔除一個(gè),由于這7個(gè)數(shù)的和為75,是3的倍數(shù),而選出的6個(gè)數(shù)的和也是3的倍數(shù),所以被剔除的那個(gè)數(shù)應(yīng)該也是3的倍數(shù),只能是3,所以選出的6個(gè)數(shù)分別是5、7、11、13、17、19．隨練1.7、三個(gè)互不相同的質(zhì)數(shù)相加,和為30,這三個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積最大是__________．答案：374解析：三個(gè)數(shù)的和是偶數(shù),可以是三個(gè)偶數(shù),或者一偶兩奇．考慮質(zhì)數(shù)中只有2是偶數(shù),可知一定是一偶兩奇,且偶數(shù)是2．另外兩個(gè)奇數(shù)是5和23或11和17．所以這三個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積是或,乘積最大是374．隨練1.8、一個(gè)兩位質(zhì)數(shù)的兩個(gè)數(shù)字交換位置后,仍然是一個(gè)質(zhì)數(shù),請(qǐng)寫出所有這樣的質(zhì)數(shù)．答案：11、13、17、31、37、71、73、79、97解析：列出備選的兩位質(zhì)數(shù),十位數(shù)字是2、4、5、6、8的就不用羅列了．

觀察這些數(shù),只有19顛倒過來后是合數(shù)：,排除19,剩下的質(zhì)數(shù)

都滿足要求．自我總結(jié)課后作業(yè)作業(yè)1、1~100這100個(gè)自然數(shù)中質(zhì)數(shù)有25個(gè),合數(shù)有________個(gè)．答案：74解析：1~100中,25個(gè)質(zhì)數(shù)之外的75個(gè)數(shù)中,只有1不是合數(shù),其他的都是．所以有74個(gè)合數(shù)．作業(yè)2、a是100以內(nèi)最大的質(zhì)數(shù),b是100以內(nèi)最小的質(zhì)數(shù),那么__________．答案：99解析：,,所以．作業(yè)3、五個(gè)連續(xù)的自然數(shù),每個(gè)數(shù)都是合數(shù),這五個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和最小是__________．答案：130解析：最小的連續(xù)五個(gè)合數(shù)是24、25、26、27、28,所以這五個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和最小是130．作業(yè)4、在橫線上填入三個(gè)不同的質(zhì)數(shù),使等式成立________+________+________＝60,則共有________種不同的填法．答案：3解析：由奇偶性分析易知這三個(gè)質(zhì)數(shù)必為2奇1偶,即必有2,只需將58表示為2個(gè)質(zhì)數(shù)之和即可．,共3種填法．作業(yè)5、有一個(gè)質(zhì)數(shù)是兩位數(shù),這兩位上的數(shù)字相差6,則這個(gè)兩位數(shù)的質(zhì)數(shù)是．答案：17或71解析：各位必為偶數(shù)．分別試驗(yàn)1、7和3、9,17或71滿足要求．作業(yè)6、兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和是19,則這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的積是______．答案：34解析：由奇偶性可知必有2,另一個(gè)為,兩數(shù)乘積為34．作業(yè)7、當(dāng)和+5都是質(zhì)數(shù)時(shí),_______．答案：37解析：當(dāng)和+5奇偶性不同,而且都為質(zhì)數(shù),那么較小的數(shù)必須為2,所以37．作業(yè)8、已知正整數(shù)p、q都是質(zhì)數(shù),并且與也都是質(zhì)數(shù),求p、q的值．答案：或解析：若p、q均為奇數(shù)則為大于2的偶數(shù),與其為質(zhì)數(shù)矛盾,故p、q必有偶數(shù),即為2．當(dāng)時(shí),q、、均為質(zhì)數(shù),且討論得此三數(shù)被3除的余數(shù)各不相同,因此q只能為3,此時(shí)另兩個(gè)均為17,滿足條件；當(dāng)時(shí),p、、均為質(zhì)數(shù),同理可得p也只能為3,此時(shí)另兩個(gè)數(shù)分別為23和17,滿足要求．綜上,或．作業(yè)9、張中中小朋友手中有四張卡片,分別寫有1、2、3、4；張右右小朋友手中也有四張卡片,分別寫著5、6、7、9,兩位小朋友將卡片放在一起適當(dāng)組合恰好形成四個(gè)不同的兩位質(zhì)數(shù)〔卡片不重復(fù)使用,也不得有剩余,請(qǐng)將四個(gè)質(zhì)數(shù)的和求出．答：_________答案：190解析：2只能和9配,為29．4只能和7配,為47．進(jìn)而另兩個(gè)為61、53,總和為190．作業(yè)10、〔1兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和是39,這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的差是多少？〔2三個(gè)互不相同的質(zhì)數(shù)相加,和為40,這三個(gè)質(zhì)數(shù)分別是多少？答案：〔135〔22、7、31解析：〔1．偶質(zhì)數(shù)是2,所以奇質(zhì)數(shù)是．這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的差是〔240是偶數(shù),如果寫成三個(gè)數(shù)相加的形式則有兩種情況,,或,第一種情況顯然是不可能的〔質(zhì)數(shù)中只有2是偶數(shù)．所以可以確定出三個(gè)質(zhì)數(shù)中有一個(gè)一定是2,剩下兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)的和是38．通過簡(jiǎn)單的枚舉可得,只有符合題意．所以這三個(gè)質(zhì)數(shù)分別是：2,7,31．作業(yè)11、有一種數(shù),是以法國(guó)數(shù)學(xué)家梅森的名字命名的,它們就是形如〔n為質(zhì)數(shù)的梅森數(shù),當(dāng)梅森數(shù)是質(zhì)數(shù)時(shí)就叫梅森質(zhì)數(shù),是合數(shù)時(shí)就叫梅森合數(shù)．例如：就是第一個(gè)梅森質(zhì)數(shù)．第一個(gè)梅森合數(shù)是〔．A、4B、15C、127D、2047答案：D解析：可依次寫出梅森數(shù)：,第一個(gè)梅森質(zhì)數(shù)；,第二個(gè)梅森質(zhì)數(shù)；,第三個(gè)梅森質(zhì)數(shù)；,第四個(gè)梅森質(zhì)數(shù)；,第一個(gè)梅森合數(shù)．所以答案為D．也可以用排除法,梅森數(shù)一定為奇數(shù),A選項(xiàng)排除．,4為合數(shù),所以15不是梅森數(shù),B選項(xiàng)排除．,127為質(zhì)數(shù),所以127為梅森質(zhì)數(shù),C選項(xiàng)排除．檢驗(yàn)可知,D選項(xiàng)為梅森合數(shù),所以答案為D．作業(yè)12、在小于30的質(zhì)數(shù)中,加3以后是4的倍數(shù)的是____________．答案：5,13,17,29解析：通過枚舉法可得,5、13、17、29．作業(yè)13、已知a,b,c只3個(gè)彼此不同的質(zhì)數(shù),若,則最大是___________．答案：32解析：．作業(yè)14、有些三位數(shù),它的各位數(shù)字的乘積是質(zhì)數(shù),這