動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的最值、最短路徑問(wèn)題(解析版)

.③.[解析]解：根據(jù)題意可知：OE==12,即E的軌跡為以O(shè)為圓心以12為半徑的四分之一圓〔第一象限的部分,根據(jù)弧長(zhǎng)公式,得點(diǎn)E的路徑長(zhǎng)為：=6π,故①錯(cuò)誤；因?yàn)锳B=24,當(dāng)斜邊AB上的高取最大值時(shí),△OAB的面積取最大值,點(diǎn)O在以AB為直徑的圓上〔圓心為E,當(dāng)OE⊥AB時(shí),斜邊AB上的高最大,所以△OAB的面積取最大值為：=144,故②正確；連接OE、DE,得：OD≤OE+DE,當(dāng)O、E、D三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào),即OD的最大值為25,如圖,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥y軸于F,過(guò)點(diǎn)E作EG⊥y軸于G,可得：,即：,,即：,設(shè)DF=x,在Rt△ADF中,由勾股定理得：,解得：x=,在Rt△ODF中,由勾股定理得：OF=,即點(diǎn)D的坐標(biāo)為,故③正確.綜上所述,答案為：②③.例4.〔2019·已知拋物線〔b、c為常數(shù),b>0經(jīng)過(guò)點(diǎn)A<－1,0>,點(diǎn)M<m,0>是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn).若點(diǎn)Q〔在拋物線上,當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r(shí),求b的值.[答案]見(jiàn)解析.[解析]解：∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)A<－1,0>,∴1+b+c=0,即∵點(diǎn)Q〔在拋物線上,∴,即,∵b>0,∴Q點(diǎn)在第四象限,所以只要構(gòu)造出即可得到的最小值取N〔1,0,連接AN,過(guò)M作MG⊥AN于G,連接QM,如圖所示,△AGM為等腰直角三角形,GM=,即當(dāng)G、M、Q三點(diǎn)共線時(shí),GM+MQ取最小值,即取最小值,此時(shí)△MQH為等腰直角三角形,∴QM==,GM==∴①∵QH=MH,∴=,解得：m=②聯(lián)立①②得：m=,b=4.即當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r(shí),b=4.[點(diǎn)睛]此題需要利用等腰直角三角形將轉(zhuǎn)化為2,進(jìn)而根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短及等腰三角形性質(zhì)求解.例5.〔2019·如圖,一副含30°和45°角的三角板和拼合在個(gè)平面上,邊與重合,．當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向滑動(dòng)時(shí),點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)沿射線方向滑動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)滑動(dòng)到點(diǎn)時(shí),點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為；連接,則△的面積最大值為．[答案][解析]解：如圖1所示,當(dāng)E運(yùn)動(dòng)至E’,F滑動(dòng)到F’時(shí),圖1過(guò)D’作D’G⊥AC于G,D’H⊥BC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,可得∠E’D’G=∠F’D’H,D’E’=D’F’,∴Rt△E’D’G≌Rt△F’D’H,∴D’G=G’H,∴D’在∠ACH的角平分線上,即C,D,D’三點(diǎn)共線.通過(guò)分析可知,當(dāng)D’E’⊥AC時(shí),DD’的長(zhǎng)度最大,隨后返回初始D點(diǎn),如圖2所示,D點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑為D→D’→D,行走路線長(zhǎng)度為2DD’；圖2∵∠BAC=30°,AC=12,DE=CD∴BC=,CD=DE=,由圖知：四邊形E’CF’D’為正方形,CD’=EF=12,∴DD’=CD’-CD=12-,D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路程為2DD’=24-；圖3如圖3所示,當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)至D’時(shí),△ABD’的面積最大,最大面積為：==[點(diǎn)睛]準(zhǔn)確利用全等、角平分線判定得到D點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是關(guān)鍵,利用三角函數(shù)及勾股定理求解,計(jì)算較為繁瑣,尤其是利用割補(bǔ)法求解三角形的面積時(shí)對(duì)學(xué)生計(jì)算能力要求較高,此題難度較大,新穎不失難度.例6.〔2019·如圖,在菱形ABCD中,連接BD、AC交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC于點(diǎn)H,以O(shè)為圓心,OH為半徑的半圓交AC于點(diǎn)M.〔1求證：DC是圓O的切線；〔2若AC=4MC,且AC=8,求圖中陰影部分面積；〔3在〔2的前提下,P是線段BD上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)PD為何值時(shí),PH+PM的值最小,并求出最小值.[答案]見(jiàn)解析.[解析]〔1證明：過(guò)點(diǎn)O作ON⊥CD于N,AC是菱形ABCD的對(duì)角線,∴AC平分∠BCD,∵OH⊥BC,ON⊥CD,∴OH=ON,又OH為圓O的半徑,∴ON為圓O的半徑,即CD是圓O的切線.〔2由題意知：OC=2MC=4,MC=OM=2,即OH=2,在Rt△OHC中,OC=2OH,可得：∠OCH=30°,∠COH=60°,由勾股定理得：CH=〔3作點(diǎn)M關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)M’,連接M’H交BD于點(diǎn)P,可知：PM=PM’即PH+PM=PH+PM’=HM’,由兩點(diǎn)之間線段最短,知此時(shí)PH+PM最小,∵OM’=OM=OH,∠MOH=60°,∴∠MM