2023-2024學年河南省信陽市固始縣桃花塢中學及分校八年級（上）開學數(shù)學試卷（含解析）

2023-2024學年河南省信陽市固始縣桃花塢中學及分校八年級第一學期開學數(shù)學試卷一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個選項，其中只有一個是正確的.1．已知三角形的兩邊長分別為4和9，則此三角形的第三邊長可能為（）A．9 B．4 C．5 D．132．將一個n邊形變成（n+2）邊形，內(nèi)角和將（）A．減少180° B．增加180° C．減少360° D．增加360°3．要使五邊形木架（用五根木條釘成）不變形，至少要再釘上（）根木條．A．1 B．2 C．3 D．44．已知AD是△ABC的中線，BE是△ABD的中線，若△ABC的面積為18，則△ABE的面積為（）A．5 B．4.5 C．4 D．95．下列命題是真命題的是（）A．五邊形的內(nèi)角和是720° B．三角形的任意兩邊之和大于第三邊 C．三角形的外角大于任意一個內(nèi)角 D．三角形的重心是這個三角形的三條角平分線的交點6．三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)之比為2：3：7，則這個三角形最大內(nèi)角一定是（）A．75° B．90° C．105° D．120°7．一個多邊形的內(nèi)角和為1800°，則這個多邊形的邊數(shù)為（）A．9 B．10 C．11 D．128．一個角的兩邊分別垂直于另一個角的兩邊，那么這兩個角之間的關(guān)系是（）A．相等 B．互補 C．相等或互補 D．無法確定9．一副直角三角板，按如圖所示的方式疊放在一起，其中∠B＝45°，∠D＝60°，若EF∥AB，則∠BGF＝（）A．65° B．70° C．75° D．80°10．如圖，在豎直墻角AOB中，可伸長的繩子CD的端點C固定在OA上，另一端點D在OB上滑動，在保持繩子拉直的情況下，∠BOE＝30°，∠BDC的平分線DF與OE交于點E，∠DCO＝α，當CE⊥DE時，則2∠OEC+α＝（）A．120° B．135° C．150° D．152°二、填空題（每小題3分，共15分）11．已知△ABC的三邊長a、b、c，化簡|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的結(jié)果是．12．等腰三角形的周長為20cm，一邊長為6cm，則底邊長為cm．13．用一條寬度相等的足夠長的紙條打一個結(jié)（如圖1所示），然后輕輕拉緊、壓平就可以得到如圖2所示的正五邊形ABCDE．圖中，∠BAC＝度．14．如圖，AD，CE都是△ABC的角平分線，且交于點O，∠DAC＝30°，∠ECA＝35°，則∠ABO的度數(shù)為．15．如圖，在△ABC中，∠A＝80°，延長BC到點D，∠ABC與∠ACD的平分線交于點A1，得∠A1，∠A1BC與∠A1CD的平分線相交于點A2，得∠A2＝，…，則依此規(guī)律得∠An，則∠An＝．三、解答題（本大題共8個小題，共75分）16．如圖，點D是△ABC的邊BC上的一點，∠B＝∠1，∠ADC＝70°，∠C＝70°（1）求∠B的度數(shù)；（2）求∠BAC的度數(shù)．17．已知一個多邊形的內(nèi)角和與外角和的差為1080°，（1）求這個多邊形的邊數(shù)；（2）求此多邊形的對角線條數(shù)．18．在△ABC中，∠ADB＝100°，∠C＝80°，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，求∠BED的度數(shù)．19．已知：如圖，△ABC的兩個外角的平分線交于點P，如果∠A＝40°，求∠BPC的度數(shù)．20．如圖，在△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC，E為邊AD（不與點A，D重合）上一動點，EF⊥BC于點F．（1）若∠B＝40°，∠DEF＝20°，求∠C的度數(shù)；（2）求證：∠C﹣∠B＝2∠DEF．21．將一副三角尺疊放在一起：（1）如圖①，若∠1＝4∠2，請計算出∠CAE的度數(shù)；（2）如圖②，若∠ACE＝2∠BCD，請求出∠ACD的度數(shù)．22．【圖形定義】有一條高線相等的兩個三角形稱為等高三角形．例如：如圖1，在△ABC和△A′B′C′中，AD，A′D′分別是BC和B′C′邊上的高線，且AD＝A′D′，則△ABC和△A′B′C′是等高三角形．【性質(zhì)探究】如圖1，用S△ABC，S△A′B′C′分別表示△ABC和△A′B′C′的面積．則，．∵AD＝A′D′，∴S△ABC：S△A′B′C′＝BC：B′C′．【性質(zhì)應(yīng)用】（1）如圖2，D是△ABC的邊BC上的一點．若BD＝3，DC＝4，則S△ABD：S△ADC＝．（2）如圖3，在△ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，則S△BEC＝，S△CDE＝．【提示】∵△BEC和△ABC是等高三角形，∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：2．∴．∵△CDE和△BEC是等高三角形，∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：3．∴．（3）如圖3，在△ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點，若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，則S△CDE＝．【提示】∵△BEC和△ABC是等高三角形，∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：m．∴．∵△CDE和△BEC是等高三角形，∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：n．∴．23．（1）問題發(fā)現(xiàn)：由“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和”聯(lián)想到四邊形的外角．如圖①，∠1，∠2是四邊形ABCD的兩個外角．∵四邊形ABCD的內(nèi)角和是360°，∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°，又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°，由此可得∠1，∠2與∠A，∠D的數(shù)量關(guān)系是；（2）知識應(yīng)用：如圖②，已知四邊形ABCD，AE，DE分別是其外角∠NAD和∠MDA的平分線，若∠B+∠C＝230°，求∠E的度數(shù)；（3）拓展提升：如圖③，四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠CDN和∠CBM是它的兩個外角，且∠CDP＝∠CDN，∠CBP＝∠CBM，求∠P的度數(shù)．

參考答案一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個選項，其中只有一個是正確的.1．已知三角形的兩邊長分別為4和9，則此三角形的第三邊長可能為（）A．9 B．4 C．5 D．13【分析】設(shè)第三邊為x，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出9﹣4＜x＜9+4，再逐個判斷即可．解：設(shè)第三邊為x，則9﹣4＜x＜9+4，5＜x＜13，符合的數(shù)只有9，故選：A．【點評】本題考查了三角形三邊關(guān)系定理，能熟記三角形的三邊關(guān)系定理的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：三角形的兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之差小于第三邊．2．將一個n邊形變成（n+2）邊形，內(nèi)角和將（）A．減少180° B．增加180° C．減少360° D．增加360°【分析】利用多邊形的內(nèi)角和公式即可求出答案．解：n邊形的內(nèi)角和是（n﹣2）?180°，n+2邊形的內(nèi)角和是n?180°，因而（n+2）邊形的內(nèi)角和比n邊形的內(nèi)角和大n?180°﹣（n﹣2）?180＝360°．故選：D．【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，熟記內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．3．要使五邊形木架（用五根木條釘成）不變形，至少要再釘上（）根木條．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性，添加的木條把五邊形分成三角形即可．解：如圖，至少需要2根木條．故選：B．【點評】本題考查三角形穩(wěn)定性的實際應(yīng)用．三角形的穩(wěn)定性在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如鋼架橋、房屋架梁等，因此要使一些圖形具有穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，往往通過連接輔助線轉(zhuǎn)化為三角形而獲得．4．已知AD是△ABC的中線，BE是△ABD的中線，若△ABC的面積為18，則△ABE的面積為（）A．5 B．4.5 C．4 D．9【分析】根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可知三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形解答即可．解：∵AD是△ABC的中線，∴S△ABD＝S△ABC＝×18＝9，∵BE是△ABD的中線，∴S△ABE＝S△ABD＝×9＝4.5．故選：B．【點評】本題考查了三角形的面積，熟記三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形是解題的關(guān)鍵．5．下列命題是真命題的是（）A．五邊形的內(nèi)角和是720° B．三角形的任意兩邊之和大于第三邊 C．三角形的外角大于任意一個內(nèi)角 D．三角形的重心是這個三角形的三條角平分線的交點【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式可知，五邊形的內(nèi)角和為540°；根據(jù)三角形三邊的關(guān)系可知，任意兩邊之和大于第三邊；三角形的外角大于任意一個與它不相鄰的內(nèi)角；三角形的重心是三角形三條中線的交點．解：根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式可知，五邊形的內(nèi)角和為540°，故A是假命題；根據(jù)三角形三邊的關(guān)系可知，三角形的任意兩邊之和大于第三邊，故B是真命題；三角形的外角大于任意一個與它不相鄰的內(nèi)角，故C是假命題；三角形的重心是三角形三條中線的交點，故D是假命題．故選：B．【點評】本題考查命題與定理及三角形的相關(guān)性質(zhì)和結(jié)論，熟知三角形的相關(guān)性質(zhì)和結(jié)論是解題的關(guān)鍵．6．三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)之比為2：3：7，則這個三角形最大內(nèi)角一定是（）A．75° B．90° C．105° D．120°【分析】由一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比為2：3：7，利用三角形的內(nèi)角和定理，可求得這個三角形的最大角的度數(shù)，繼而求得答案．解：∵一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比為2：3：7，∴這個三角形的最大角為：180°×＝105°．故選：C．【點評】此題考查了三角形的內(nèi)角和定理．此題依據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得三角形的最大角是關(guān)鍵．7．一個多邊形的內(nèi)角和為1800°，則這個多邊形的邊數(shù)為（）A．9 B．10 C．11 D．12【分析】n邊形的內(nèi)角和是（n﹣2）180°，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和為1800°，就得到一個關(guān)于n的方程，從而求出邊數(shù)．解：根據(jù)題意得：（n﹣2）180＝1800，解得：n＝12．故選：D．【點評】本題根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理，把求邊數(shù)問題轉(zhuǎn)化成為一個方程問題．8．一個角的兩邊分別垂直于另一個角的兩邊，那么這兩個角之間的關(guān)系是（）A．相等 B．互補 C．相等或互補 D．無法確定【分析】此題可以通過兩個圖形得出這兩個角的關(guān)系相等或互補．解：如圖：圖1中，根據(jù)垂直的量相等的角都等于90°，對頂角相等，所以∠1＝∠2，圖2中，同樣根據(jù)垂直的量相等的角都等于90°，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°，所以∠1+∠2＝360°﹣90°﹣90°＝180°．所以如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角的關(guān)系是相等或互補，故選：C．【點評】本題考查了垂線的定義．解題的關(guān)鍵是明確四邊形的內(nèi)角和等于360°，三角形的內(nèi)角和等于180°，對頂角相等的性質(zhì)．9．一副直角三角板，按如圖所示的方式疊放在一起，其中∠B＝45°，∠D＝60°，若EF∥AB，則∠BGF＝（）A．65° B．70° C．75° D．80°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BMF＝∠F＝30°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得解．解：∵∠D＝60°，∴∠F＝90°﹣60°＝30°，∵EF∥AB，∴∠BMF＝∠F＝30°，∴∠BGF＝∠B+∠BMF＝30°+45°＝75°．故選：C．【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，正確得出∠BMF的度數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．10．如圖，在豎直墻角AOB中，可伸長的繩子CD的端點C固定在OA上，另一端點D在OB上滑動，在保持繩子拉直的情況下，∠BOE＝30°，∠BDC的平分線DF與OE交于點E，∠DCO＝α，當CE⊥DE時，則2∠OEC+α＝（）A．120° B．135° C．150° D．152°【分析】由題意可得∠CDO＝90°﹣α，則有∠BDC＝180°﹣∠CDO＝90°+α，由角平分線可得∠BDE＝∠CDE＝45°+0.5α，由三角形的外角性質(zhì)可得∠DEO＝45°+0.5α﹣30°，再由CE⊥DE，則有∠OEC＝90°﹣∠DEO＝75°﹣0.5α，代入所求運算即可．解：由題意得：∠CDO＝90°﹣α，∴∠BDC＝180°﹣∠CDO＝90°+α，∵∠BDC的平分線DF與OE交于點E，∴∠BDE＝∠CDE＝∠BDC＝45°+0.5α，∵∠BDE是△DEO的一個外角，∴∠DEO＝∠BDE﹣∠DOE＝45°+0.5α﹣30°＝15°+0.5α，∵CE⊥DE，∴∠OEC＝90°﹣∠DEO＝75°﹣0.5α，∴2∠OEC+α＝2×（75°﹣0.5α）+α＝150°﹣α+α＝150°．故選：C．【點評】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚角與角之間的關(guān)系．二、填空題（每小題3分，共15分）11．已知△ABC的三邊長a、b、c，化簡|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的結(jié)果是2b﹣2c．【分析】先根據(jù)三角形三邊關(guān)系判斷出a+b﹣c與b﹣a﹣c的符號，再把要求的式子進行化簡，即可得出答案．解：∵△ABC的三邊長分別是a、b、c，∴a+b＞c，b﹣a＜c，∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|＝a+b﹣c﹣（﹣b+a+c）＝a+b﹣c+b﹣a﹣c＝2b﹣2c；故答案為：2b﹣2c【點評】此題考查了三角形三邊關(guān)系，用到的知識點是三角形的三邊關(guān)系、絕對值、整式的加減，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷出a+b﹣c與，b﹣a﹣c的符號．12．等腰三角形的周長為20cm，一邊長為6cm，則底邊長為6或8cm．【分析】分6cm是底邊與腰長兩種情況討論求解．解：①6cm是底邊時，腰長＝（20﹣6）＝7cm，此時三角形的三邊分別為7cm、7cm、6cm，能組成三角形，②6cm是腰長時，底邊＝20﹣6×2＝8cm，此時三角形的三邊分別為6cm、6cm、8cm，能組成三角形，綜上所述，底邊長為6或8cm．故答案為：6或8．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，難點在于要分情況討論．13．用一條寬度相等的足夠長的紙條打一個結(jié)（如圖1所示），然后輕輕拉緊、壓平就可以得到如圖2所示的正五邊形ABCDE．圖中，∠BAC＝36度．【分析】利用多邊形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)即可解決問題．解：∵∠ABC＝＝108°，△ABC是等腰三角形，∴∠BAC＝∠BCA＝36度．【點評】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)．n邊形的內(nèi)角和為：180°（n﹣2）．14．如圖，AD，CE都是△ABC的角平分線，且交于點O，∠DAC＝30°，∠ECA＝35°，則∠ABO的度數(shù)為25°．【分析】根據(jù)角平分線的定義可得出∠BAC＝60°、∠ACB＝70°，結(jié)合三角形內(nèi)角和可得出∠ABC＝50°，由三角形的三條角平分線交于一點，可得出BO平分∠ABC，進而可得出∠ABO的度數(shù)，此題得解．解：∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∠DAC＝30°，∠ECA＝35°，∴∠BAC＝2∠DAC＝60°，∠ACB＝2∠ECA＝70°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝50°．∵△ABC的三條角平分線交于一點，∴BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠ABC＝25°．故答案為：25°．【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線以及三角形的內(nèi)心，利用角平分線的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和定理找出∠ABO的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在△ABC中，∠A＝80°，延長BC到點D，∠ABC與∠ACD的平分線交于點A1，得∠A1，∠A1BC與∠A1CD的平分線相交于點A2，得∠A2＝20°，…，則依此規(guī)律得∠An，則∠An＝．【分析】由∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝∠ABC+∠A，而A1B、A1C分別平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，于是有∠A＝2∠A1，同理可得∠A1＝2∠A2，即∠A＝22∠A2，因此找出規(guī)律．解：∵A1B、A1C分別平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，而∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠A1＝80°，∴∠A1＝40°，同理可得∠A1＝2∠A2，即∠A＝22∠A2＝80°，∴∠A2＝20°，∴∠A＝2n∠An，∴∠An＝80°×（）n．故答案為：20°，．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．也考查了三角形的外角性質(zhì)以及角平分線性質(zhì)，難度適中．三、解答題（本大題共8個小題，共75分）16．如圖，點D是△ABC的邊BC上的一點，∠B＝∠1，∠ADC＝70°，∠C＝70°（1）求∠B的度數(shù)；（2）求∠BAC的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計算；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算．解：（1）∵∠ADC＝∠1+∠B，∠B＝∠1，∴∠B＝∠ADC＝×70°＝35°；（2）∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠BAC＝180°﹣35°﹣70°＝75°．【點評】本題考查的是三角形的外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．17．已知一個多邊形的內(nèi)角和與外角和的差為1080°，（1）求這個多邊形的邊數(shù)；（2）求此多邊形的對角線條數(shù)．【分析】（1）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和、外角和公式列出方程，解方程即可；（2）根據(jù)多邊形的對角線的條數(shù)的計算公式計算即可．解：（1）設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，由題意得，（n﹣2）×180°﹣360°＝1080°，解得，n＝10，答：這個多邊形的邊數(shù)為10；（2）此多邊形的對角線條數(shù)＝×10×（10﹣3）＝35．【點評】本題考查的是多邊形的內(nèi)角與外角、多邊形的對角線的條數(shù)，掌握多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180°、多邊形的外角和等于360度是解題的關(guān)鍵．18．在△ABC中，∠ADB＝100°，∠C＝80°，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，求∠BED的度數(shù)．【分析】根據(jù)外角的性質(zhì)，求得∠CAD＝20°，根據(jù)角平分線的定義可得∠BAD＝20°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和求得∠DBA＝60°，角平分線的性質(zhì)可得∠DBE＝30°，根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求解．解：∵∠ABD＝∠C+∠CAD＝100°，∠C＝80°，∴∠CAD＝20°，∵AD平分∠BACM∴∠BAD＝∠CAD＝20°，由三角形的內(nèi)角和性質(zhì)可得，∠ABC＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝60°，∵BE平分∠ABC，∴∠DBE＝，由三角形的內(nèi)角和性質(zhì)可得，∠BED＝180°﹣∠ADB﹣∠EBD＝50°．【點評】此題考查了三角形內(nèi)角和的性質(zhì)、外角的性質(zhì)以及角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是掌握并靈活運用相關(guān)性質(zhì)進行求解．19．已知：如圖，△ABC的兩個外角的平分線交于點P，如果∠A＝40°，求∠BPC的度數(shù)．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠ABC+∠ACB＝140°，根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理計算即可．解：∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，∴∠EBC+∠FCB＝360°﹣140°＝220°，∵BP、CP是△ABC的外角平分線，∴∠PBC＝∠EBC，∠PCB＝∠FCB，∴∠PBC+∠PCB＝（∠EBC+∠FCB）＝110°，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝70°．【點評】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義，掌握三角形內(nèi)角和等于180°是解題的關(guān)鍵．20．如圖，在△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC，E為邊AD（不與點A，D重合）上一動點，EF⊥BC于點F．（1）若∠B＝40°，∠DEF＝20°，求∠C的度數(shù)；（2）求證：∠C﹣∠B＝2∠DEF．【分析】（1）先求出∠EDF的度數(shù)和∠BAD的度數(shù)，進而求出∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠C的度數(shù)；（2）由（1）知∠EDF＝90°﹣∠DEF＝∠B+∠BAD，從而∠DEF＝90°﹣∠B﹣∠BAD，再利用等量代換可證明出結(jié)論．【解答】（1）解：∵EF⊥BC，∴∠EFD＝90°．∵∠DEF＝20°，∴∠EDF＝90°﹣∠DEF＝70°．∵∠EDF＝∠B+∠BAD，∴∠BAD＝∠EDF﹣∠B＝70°﹣40°＝30°．∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD＝60°．∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣40°﹣60°＝80°；（2）證明：由（1），可知∠EDF＝90°﹣∠DEF＝∠B+∠BAD，∴．∴∠C﹣∠B＝2∠DEF．【點評】本題考查三角形內(nèi)角和定理及其推論，熟練運用三角形內(nèi)角和定理及其推論是解題的關(guān)鍵．21．將一副三角尺疊放在一起：（1）如圖①，若∠1＝4∠2，請計算出∠CAE的度數(shù)；（2）如圖②，若∠ACE＝2∠BCD，請求出∠ACD的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)∠BAC＝90°列出關(guān)于∠1、∠2的方程求解即可得到∠2的度數(shù)，再根據(jù)同角的余角相等求出∠CAE＝∠2，從而得解；（2）根據(jù)∠ACB和∠DCE的度數(shù)列出等式求出∠ACE﹣∠BCD＝30°，再結(jié)合已知條件求出∠BCD，然后根據(jù)∠ACD＝∠ACB+∠BCD代入數(shù)據(jù)計算即可得解．解：（1）∵∠BAC＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∵∠1＝4∠2，∴4∠2+∠2＝90°，∴∠2＝18°，又∵∠DAE＝90°，∴∠1+∠CAE＝∠2+∠1＝90°，∴∠CAE＝∠2＝18°；（2）∵∠ACE+∠BCE＝90°，∠BCD+∠BCE＝60°，∴∠ACE﹣∠BCD＝30°，又∠ACE＝2∠BCD，∴2∠BCD﹣∠BCD＝30°，∠BCD＝30°，∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝90°+30°＝120°．【點評】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，準確識圖理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．22．【圖形定義】有一條高線相等的兩個三角形稱為等高三角形．例如：如圖1，在△ABC和△A′B′C′中，AD，A′D′分別是BC和B′C′邊上的高線，且AD＝A′D′，則△ABC和△A′B′C′是等高三角形．【性質(zhì)探究】如圖1，用S△ABC，S△A′B′C′分別表示△ABC和△A′B′C′的面積．則，．∵AD＝A′D′，∴S△ABC：S△A′B′C′＝BC：B′C′．【性質(zhì)應(yīng)用】（1）如圖2，D是△ABC的邊BC上的一點．若BD＝3，DC＝4，則S△ABD：S△ADC＝3：4．（2）如圖3，在△ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，則S△BEC＝，S△CDE＝．【提示】∵△BEC和△ABC是等高三角形，∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：2．∴．∵△CDE和△BEC是等高三角形，∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：3．∴．（3）如圖3，在△ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點，若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，則S△CDE＝．【提示】∵△BEC和△ABC是等高三角形，∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：m．∴．∵△CDE和△BEC是等高三角形，∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：n．∴．【分析】（1）根據(jù)等高的兩三角形面積的比等于底的比，直接求出答案；（2）同（1）的方法即可求出答案；（3）同（1）的方法即可求出答案．解：（1）∵BD＝3，DC＝4，∴S△ABD：S△ADC＝BD：DC＝3：4，故答案為：3：4；（2）∵BE：AB＝1：2，∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：2，∵S△ABC＝1，∴S△BEC＝；∵CD：BC＝1：3，∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：3，∴S△CDE＝S△BEC＝×＝；故答案為：，；（3）∵BE：AB＝1：m，∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：m，∵S△ABC＝a，∴S△BEC＝S△ABC＝；∵CD：BC＝1：n，∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：n，∴S△CDE＝