電工基礎(chǔ)（第五版） 課件 第3-5章 電感元件與電容元件、正弦交流電路、三相正弦交流電路

第3章電感元件與電容元件3.1電容元件3.2電容的串、并聯(lián)3.3電感元件本章小結(jié)習(xí)題

3.1電容元件

3.1.1電容元件的基本概念

任何兩個(gè)彼此靠近而且又相互絕緣的導(dǎo)體都可以構(gòu)成電容器。這兩個(gè)導(dǎo)體叫做電容器的極板,它們之間的絕緣物質(zhì)叫做介質(zhì)。

在電容器的兩個(gè)極板間加上電源后,極板上分別積聚起等量的異性電荷,在介質(zhì)中建立起電場,并且儲(chǔ)存電場能量。電源移去后,由于介質(zhì)絕緣,電荷仍然可以聚集在極板上,電場繼續(xù)存在。所以,電容器是一種能夠儲(chǔ)存能量的器件,這就是電容器的基本電磁性能。但在實(shí)際中,當(dāng)電容器兩端電壓變化時(shí),介質(zhì)中往往有一定的介質(zhì)損耗,而且介質(zhì)也不可能完全絕緣,因而也存在一定的漏電流。如果忽略電容器的這些次要性能,就可以用一個(gè)代表其基本電磁性能的理想二端元件作為模型。電容元件就是實(shí)際電容器的理想化模型。

電容元件是一個(gè)理想的二端元件,它的圖形符號(hào)如圖3.1所示。其中,+q和q代表該元件正、負(fù)極板上的電荷量。

若電容元件上的電壓參考方向規(guī)定為由正極板指向負(fù)極板,則任何時(shí)刻都有以下關(guān)系:

C=q/u (3.1)

其中C是用以衡量電容元件容納電荷本領(lǐng)大小的一個(gè)物理量,叫做電容元件的電容量,簡稱電容。它是一個(gè)與電荷q、電壓u無關(guān)的正實(shí)數(shù),但在數(shù)值上等于電容元件的電壓每升

高一個(gè)單位所容納的電荷量。電容的SI單位為法[拉],符號(hào)為F(1F=1C/V)。電容器的電容往往比1F小得多,因此常采用微法(μF)和皮法(pF)作為其單位。其換算關(guān)系如下:

如果電容元件的電容為常量,不隨它所帶電量的變化而變化,這樣的電容元件即為線性電容元件。本書只涉及線性電容元件,除非特別說明,否則都是指線性電容元件。

電容元件和電容器也簡稱為電容。所以,電容一詞,有時(shí)指電容元件(或電容器),有時(shí)則指電容元件(或電容器)的電容量。

3.1.2電容元件的ui關(guān)系

由式(3.1)可知,當(dāng)電容元件極板間的電壓u變化時(shí),極板上的電荷也隨著變化,電路中就有電荷的轉(zhuǎn)移,于是該電容電路中出現(xiàn)電流。對(duì)于圖3.1所示的電容元件,選擇電流的參考方向指向正極板,即與電壓u的參考方向關(guān)聯(lián)。假設(shè)在時(shí)間dt內(nèi),極板上電荷量改變了dq,則由電流的定義式有

又根據(jù)式(3.1)可得q=Cu,代入上式得

這就是關(guān)聯(lián)參考方向下電容元件的電壓與電流的約束關(guān)系,或電容元件的ui關(guān)系。

式(3.2)表明:任何時(shí)刻,線性電容元件的電流與該時(shí)刻電壓的變化率成正比,只有當(dāng)極板上的電荷量發(fā)生變化時(shí),極板間的電壓才發(fā)生變化,電容支路才形成電流。因此,電容元件也叫動(dòng)態(tài)元件。故電容元件有隔斷直流(簡稱隔直)的作用。(3.2)3.1.3電容元件的儲(chǔ)能

如前所述,電容器兩極板間加上電源后,極板間產(chǎn)生電壓,介質(zhì)中建立起電場,并儲(chǔ)存電場能量,因此,電容元件是一種儲(chǔ)能元件。在電壓和電流關(guān)聯(lián)的參考方向下,電容元件吸收的功率為

從t0到t的時(shí)間內(nèi),電容元件吸收的電能為

若選取t0為電壓等于零的時(shí)刻,即u(t0)=0,經(jīng)過時(shí)間t電壓升至u(t),則電容元件吸收的電能以電場能量的形式儲(chǔ)存在電場中,此時(shí)它吸收的電能可寫為

從時(shí)間t1到t2,電容元件吸收的能量為

即電容元件吸收的能量等于電容元件在t2和t1時(shí)刻的電場能量之差。

電容元件充電時(shí),|u(t2)|>|u(t1)|,wC(t2)>wC(t1),wC>0,元件吸收能量,并全部轉(zhuǎn)換成電場能量;電容元件放電時(shí),|u(t2)|<|u(t1)|,wC(t2)<wC(t1),wC<0,元件釋放電場能量。由上式可知,若元件原先沒有充電,那么它在充電時(shí)吸收的并儲(chǔ)存起來的能量一定又會(huì)在放電完畢時(shí)完全釋放,它并不消耗能量。

3.2電容的串、并聯(lián)

在實(shí)際工作中,經(jīng)常會(huì)遇到電容器的電容量大小不合適或電容器的額定耐壓不夠高等情況。為此,就需要將若干個(gè)電容器適當(dāng)?shù)丶右源⒉⒙?lián)以滿足需求。

3.2.1電容器的并聯(lián)

圖3.3(a)所示為三個(gè)電容器并聯(lián)的電路。

由于C1、C2、C3上加的是相同的電壓u,它們各自的電量為

q1=C1u,q2=C2u,q3=C3u

因此

q1∶q2∶q3=C1∶C2∶C3

即并聯(lián)電容器所帶的電量與各電容器的電容量成正比。

電容并聯(lián)后所帶的總電量為

q=q1+q2+q3=C1u+C2u+C3u=(C1+C2+C3)u

其等效電容為(如圖3.3(b)所示)

C=C1+C2+C3 (3.4)

電容器并聯(lián)的等效電容等于并聯(lián)的各電容器的電容之和。并聯(lián)電容的數(shù)目越多,總電容就越大。3.2.2電容器的串聯(lián)

圖3.4(a)所示為三個(gè)電容器串聯(lián)的電路。

外加電壓u此時(shí)是加在這一電容組合體兩端的兩塊極板上的,使這兩塊與外電路相連的極板分別充有等量異性電荷q,中間的各個(gè)極板則由于靜電感應(yīng)而產(chǎn)生感應(yīng)電荷,感應(yīng)電荷量與兩端極板上的電荷量相等,均為q。所以,電容串聯(lián)時(shí),各電容所帶電量相等,即

q=C1u1=C2u2=C3u3

每個(gè)電容所帶的電量為q,而且此電容組合體(即它的等效電容)所帶的總電量也為q。

串聯(lián)電路的總電壓為又由圖3.4(b)所示的串聯(lián)電容的等效電容的電壓與電量的關(guān)系知

u=q/C

則等效條件為

也就是說,幾個(gè)電容串聯(lián)時(shí),其等效電容的倒數(shù)等于各串聯(lián)電容的倒數(shù)之和。

各電容的電壓之比為

即電容串聯(lián)時(shí),各電容兩端的電壓與其電容量成反比。(3.5)對(duì)于電容量C一定的電容器,當(dāng)工作電壓等于其耐壓值

UM時(shí),它所帶的電量為

q=qM=CUM

即為電量的限額。

根據(jù)上述關(guān)系可知,只要電量不超過這一限額,電容器的工作電壓就不會(huì)超過其耐壓值?？砂凑杖缦聝蓚€(gè)步驟求串聯(lián)電容的工作電壓:

(1)應(yīng)以串聯(lián)各電容與其耐壓值乘積的最小值為依據(jù),確定電量的限額qM為

(2)根據(jù)串聯(lián)電容的電量相等以及串聯(lián)電路的特點(diǎn),確定工作電壓UM

為

或 3.3電感元件

3.3.1電感元件的基本概念

用導(dǎo)線繞制的空芯線圈或具有鐵芯的線圈在工程中具有廣泛的應(yīng)用。

線圈內(nèi)有電流i流過時(shí),電流在該線圈內(nèi)產(chǎn)生的磁通為自感磁通。在圖3.7中,ΦL表示電流i產(chǎn)生的自感磁通。其中

ΦL與i的參考方向符合右手螺旋法則,我們把電流與磁通這種參考方向的關(guān)系叫做關(guān)聯(lián)的參考方向。如果線圈的匝數(shù)為N,且穿過每一匝線圈的自感磁通都是ΦL,則

ΨL=NΦL

即是電流i產(chǎn)生的自感磁鏈。

電感元件是一種理想的二端元件,它是實(shí)際線圈的理想化模型。實(shí)際線圈通入電流時(shí),線圈內(nèi)及周圍都會(huì)產(chǎn)生磁場,并儲(chǔ)存磁場能量。電感元件就是體現(xiàn)實(shí)際線圈基本電磁性能的理想化模型。圖3.8所示為電感元件的圖形符號(hào)。

在磁通ΦL與電流i參考方向關(guān)聯(lián)的情況下,任何時(shí)刻電感元件的自感磁鏈ΨL與元件的電流i的比為

L=ΨL/iL (3.6)

稱為電感元件的自感系數(shù)或電感系數(shù),簡稱電感。

電感的SI單位為亨[利],符號(hào)為H(1H=1Wb/A)。通常還用毫亨(mH)和微亨(μH)作為其單位。它們的換算關(guān)系為

如果電感元件的電感為常量,而不隨通過它的電流的改變而變化,則稱為線性電感元件。

電感元件和電感線圈也稱為電感。所以,電感一詞有時(shí)指電感元件,有時(shí)則是指電感元件或電感線圈的電感系數(shù)。

3.3.2電感元件的ui關(guān)系

電感元件的電流變化時(shí),其自感磁鏈也隨之改變,由電磁感應(yīng)定律可知,在元件兩端會(huì)產(chǎn)生自感電壓。若選擇u、i的參考方向都和ΦL關(guān)聯(lián)(如圖3.8所示),則u和i的參考方向也彼此關(guān)聯(lián)。此時(shí),自感磁鏈為

ΨL=Li

而自感電壓為即(3.7)這就是關(guān)聯(lián)參考方向下電感元件的電壓與電流的約束關(guān)系或電感元件的ui關(guān)系。

由式(3.7)可知,電感元件的電壓與其電流的變化率成正比。只有當(dāng)元件的電流發(fā)生變化時(shí),其兩端才會(huì)有電壓。因此,電感元件也叫動(dòng)態(tài)元件。電流變化越快,自感電壓越大;電流變化越慢,自感電壓越小。當(dāng)電流不隨時(shí)間變化時(shí),則自感電壓為零。所以,直流電路中,電感元件相當(dāng)于短路。 3.3.3電感元件的儲(chǔ)能

當(dāng)電感線圈中通入電流時(shí),電流在線圈內(nèi)及線圈周圍建立起磁場,并儲(chǔ)存磁場能量,因此,電感元件也是一種儲(chǔ)能元件。

在電壓和電流關(guān)聯(lián)參考方向下,電感元件吸收的功率為

從t0到t時(shí)間內(nèi),電感元件吸收的電能為若選取t

0為電流等于零的時(shí)刻,即i(t

0)=0,經(jīng)過時(shí)間t電流升至i(t),則電感元件吸收的電能以磁場能量的形式儲(chǔ)存在磁場中,此時(shí)它吸收的電能可寫為

從時(shí)間t1到t2,電感元件吸收的能量為

即電感元件吸收的能量等于電感元件在t2

和t1時(shí)刻的磁場能量之差。當(dāng)電流|i|增加時(shí),wL(t2)>wL(t1),wL>0,元件吸收能量,并全部轉(zhuǎn)換成磁場能量;當(dāng)電流|i|減小時(shí),wL(t2)<wL(t1),wL<0,元件釋放磁場能量。

可見,電感元件并不是把吸收的能量消耗掉,而是以磁場能量的形式儲(chǔ)存在磁場中。所以,電感元件是一種儲(chǔ)能元件。同時(shí),它不會(huì)釋放出多于它所吸收或儲(chǔ)存的能量,因此它也是一種無源元件。

第4章正弦交流電路4.1正弦量的基本概念4.2正弦量的有效值4.3正弦量的相量表示法4.4正弦電路中的基本元件4.5基爾霍夫定律的相量形式4.6復(fù)阻抗、復(fù)導(dǎo)納及其等效變換4.7RLC串聯(lián)電路4.8RLC并聯(lián)電路4.9正弦交流電路的相量分析法4.10正弦交流電路的功率4.11功率因數(shù)的提高4.12諧振本章小結(jié)習(xí)題

4.1正弦量的基本概念

4.1.1正弦交流電的三要素

確定一個(gè)正弦量必須具備三個(gè)要素,即振幅值、角頻率和初相角。已知這三個(gè)要素,這個(gè)正弦量就可以完全地描述出來了。

1.振幅值(最大值)

正弦量瞬時(shí)值中的最大值,叫振幅值,也叫峰值。用大寫字母帶下標(biāo)“m”表示,如Um、Im等。圖4.1所示正弦交流電的波形圖中的Um便是電壓的振幅值。振幅值為正值。

2.角頻率ω角頻率ω表示正弦量在單位時(shí)間內(nèi)變化的弧度數(shù),即

ω=α/t (4.1)

它反映了正弦量變化的快慢。

在一個(gè)周期Τ內(nèi),正弦量所經(jīng)歷的電角度為2π弧度。由角頻率的定義可知,角頻率和頻率及周期間的關(guān)系為

由角頻率的定義可知α=ωt,則圖4.1中正弦電壓的解析式便可寫成

u=Umsinωt

(4.3)

例4.1

已知工頻f=50Hz,試求其周期及角頻率。

解：周期為

(4.2)角頻率為3.初相

式(4.3)是在計(jì)時(shí)開始(t=0)時(shí)發(fā)電機(jī)有效邊處于中性面位置時(shí)正弦量的解析式,這是一種特殊情況。一般情況下,若以電樞繞組處在α=θ的位置為計(jì)時(shí)起點(diǎn),如圖4.2(a)所示,即t=0時(shí)線圈所在平面與中性面之間有一夾角θ,則電樞旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為

(4.4)

圖4.2(b)為其波形圖。上式中的(ωt+θ)是反映正弦量變化進(jìn)程的電角度,可根據(jù)(ωt+θ)確定任一時(shí)刻交流電的瞬時(shí)值,把這個(gè)電角度稱為正弦量的“相位”或“相位角”,把t=0時(shí)刻正弦量的相位叫做“初相”,用字母“θ”表示。

正弦量的相位和初相都與計(jì)時(shí)起點(diǎn)的選擇有關(guān)。計(jì)時(shí)起點(diǎn)選擇的不同,相位和初相都不同。由于正弦量一個(gè)周期中瞬時(shí)值出現(xiàn)兩次為零的情況,我們規(guī)定由負(fù)值向正值變化之間的一個(gè)零點(diǎn)叫做正弦量的“零值”,則正弦量的初相便是由正弦量的零值到計(jì)時(shí)起點(diǎn)t=0之間的電角度。圖4.3給出了幾種不同計(jì)時(shí)起點(diǎn)的正弦電流的解析式和波形圖。由波形圖可以看出,若正弦量以零值為計(jì)時(shí)起點(diǎn),則初相θ=0;若零值在坐標(biāo)原點(diǎn)左側(cè),則初相θ為正;若零值在坐標(biāo)原點(diǎn)右側(cè),則初相θ為負(fù)。

這樣,知道了正弦量的三要素,便可以確定出正弦量的解析式,用小寫字母表示。下面給出常用的正弦交流電的函數(shù)表達(dá)式。4.1.2相位差

兩個(gè)同頻率正弦量的相位之差,稱為相位差,用字母“φ”表示。有兩個(gè)正弦量:

即兩個(gè)同頻率正弦量的相位差等于它們的初相之差。

下面分別加以討論:

(1)φ12=θ1θ2>0且|φ12|≤π弧度,如圖4.5(a)所示,u1達(dá)到零值或振幅值后,u2

它們的相位差為需經(jīng)過一段時(shí)間才能到達(dá)零值或振幅值。因此,u1超前于u2,或稱u2滯后于u1。u1超前于u2的角度為φ12,超前的時(shí)間為φ12/ω。

(2)φ12=θ1θ2<0且|φ12|≤π弧度,則u1滯后于u2,滯后的角度為|φ12|。

(3)φ12=θ1θ2=0,稱這兩個(gè)正弦量同相,如圖4.5(b)所示。(4)φ12=θ1θ2=π,稱這兩個(gè)正弦量反相,如圖4.5(c)所示。(5)φ12=θ1θ2=π2,稱這兩個(gè)正弦量正交,如圖4.5(d)所示。 4.2正弦量的有效值

4.2.1有效值的定義

前面已介紹了正弦量的瞬時(shí)值和最大值,它們都不能確切反映在轉(zhuǎn)換能量方向的效果,為此,引入有效值。在日常生活和生產(chǎn)中常提到的220V、380V及常用于測(cè)量交流電壓和交流電流的各種儀表所指示的數(shù)字,電氣設(shè)備銘牌上的額定值都指的是交流電的有效值。

交流電流i通過電阻R

在一個(gè)周期內(nèi)所產(chǎn)生的熱量和直流電流I通過同一電阻R在相同時(shí)間內(nèi)所產(chǎn)生的熱量相等,則這個(gè)直流電流I的數(shù)值叫做交流電流i的有效值。一個(gè)周期內(nèi)直流電通過電阻R所產(chǎn)生的熱量為

交流電通過同樣的電阻R,在一個(gè)周期內(nèi)所產(chǎn)生的熱量為

由有效值的定義,這兩個(gè)電流所產(chǎn)生的熱量應(yīng)該相等,即

所以交流電的有效值為

對(duì)于交流電壓也有同樣的定義,即

(4.9)(4.10)4.2.2正弦量的有效值

當(dāng)電阻R上通以正弦交流電流i=Imsinωt時(shí),由有效值的定義可知即同樣,正弦電壓的有效值為這樣,只要知道有效值,再乘以2就可以得到它的振幅值。如我們?nèi)粘Ｋf的照明用電電壓為220V,其最大值為

思考題

1.用電流表測(cè)得一正弦交流電路中的電流為10A,則其最大值Im=A。

2.一正弦電壓的初相為60°,在t=T/2時(shí)的值為-465.4V,試求它的有效值和解析式。 4.3正弦量的相量表示法

要表示一個(gè)正弦量,我們前面介紹了解析式和正弦量的波形圖兩種方法。但這兩種方法在分析和計(jì)算交流電路時(shí)比較麻煩,為此,下面將介紹正弦量的相量表示法。

相量法要涉及到復(fù)數(shù)的運(yùn)算,所以在介紹相量法以前,我們先扼要復(fù)習(xí)一下復(fù)數(shù)的運(yùn)算。

4.3.1復(fù)數(shù)及四則運(yùn)算

1.復(fù)數(shù)

在數(shù)學(xué)中常用A=a+bi表示復(fù)數(shù)。其中a為實(shí)部,b為部,i=-1稱為虛單位。在電工技術(shù)中,為區(qū)別于電流的符號(hào),虛單位常用j表示。若已知一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部,那么這個(gè)復(fù)數(shù)便可確定。

我們?nèi)∫恢苯亲鴺?biāo)系,其橫軸稱為實(shí)軸,縱軸稱為虛軸,這兩個(gè)坐標(biāo)軸所在的平面稱為復(fù)平面。這樣,每一個(gè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上都可找到唯一的點(diǎn)與之對(duì)應(yīng),而復(fù)平面上每一點(diǎn)也都對(duì)應(yīng)著唯一的復(fù)數(shù)。如復(fù)數(shù)A=4+j3,所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)即為圖4.7上的A點(diǎn)。

復(fù)數(shù)還可以用復(fù)平面上的一個(gè)矢量來表示。復(fù)數(shù)A=a+jb可以用一個(gè)從原點(diǎn)O到P點(diǎn)的矢量來表示,如圖4.8所示,這種矢量稱為復(fù)矢量。矢量的長度r為復(fù)數(shù)的模,即矢量和實(shí)軸正方向的夾角θ稱為復(fù)數(shù)A的輻角,即

不難看出,復(fù)數(shù)A的模|A|在實(shí)軸上的投影就是復(fù)數(shù)A的實(shí)部,在虛軸上的投影就是復(fù)數(shù)A的虛部,即

在以后的運(yùn)算中,代數(shù)形式和極坐標(biāo)形式是常用的,對(duì)它們的換算應(yīng)十分熟練。4.3.2正弦量的相量表示法

給出一個(gè)正弦量u=Umsin(ωt+θ),在復(fù)平面上作一矢量(如圖4.10所示),滿足:①矢量的長度按比例等于振幅值Um;②矢量和橫軸正方向之間的夾角等于初相角θ;③矢量以角速度ω繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)。當(dāng)t=0時(shí),該矢量在縱軸上的投影O'a=Umsinθ。經(jīng)過一定時(shí)間t1,矢量從OA轉(zhuǎn)到OB,這時(shí)矢量在縱軸上的投影為Umsin(ωt1+θ),等于t1時(shí)刻正弦量的瞬時(shí)值O'b。由此可見,上述旋轉(zhuǎn)矢量既能反映正弦量的三要素,又能通過它在縱軸上的投影確定正弦量的瞬時(shí)值,所以復(fù)平面上一個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量可以完整地表示一個(gè)正弦量。

復(fù)平面上的矢量與復(fù)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的,用復(fù)數(shù)Umejθ來表示復(fù)數(shù)的起始位置,再乘以旋轉(zhuǎn)因子ejωt便為上述旋轉(zhuǎn)矢量,即該矢量的虛部即為正弦量的解析式,由于復(fù)數(shù)本身并不是正弦函數(shù),因此用復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)地表示一個(gè)正弦量并不意味著兩者相等。

在正弦交流電路中,由于角頻率ω常為一定值,各電壓和電流都是同頻率的正弦量,這樣,便可用起始位置的矢量來表示正弦量,即把旋轉(zhuǎn)因子ejωt省去,而用復(fù)數(shù)Umejθ對(duì)應(yīng)地表示一個(gè)正弦量。

又因?yàn)槲覀兂Ｓ玫秸伊康挠行е?所以我們也常用Uejθ來表示一個(gè)正弦量,把模等于正弦量的有效值(振幅值),幅角等于正弦量初相的復(fù)數(shù)稱為該正弦量的相量,常用正弦量的大寫符號(hào)頂上加一圓點(diǎn)“·”來表示。本書中說的相量的模都指有效值,以?U、?I等表示,如

正弦量的相量和復(fù)數(shù)一樣,可以在復(fù)平面上用矢量表示。畫在復(fù)平面上表示相量的圖形稱為相量圖。顯然,只有同頻率的多個(gè)正弦量對(duì)應(yīng)的相量畫在同一復(fù)平面上才有意義。

只有同頻率的正弦量才能相互運(yùn)算,運(yùn)算方法按復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行。把用相量表示正弦量進(jìn)行正弦交流電路運(yùn)算的方法稱為相量法。

例4.12已知同頻率的正弦量的解析式分別為

i=10sin(ωt+30°),u=2202sin(ωt-45°),寫出電流和電壓的相量?I、?U,并繪出相量圖。

解：由解析式可得 4.4正弦電路中的基本元件

電阻元件、電感元件及電容元件是交流電路的基本元件,日常生活中的交流電路都是由這三個(gè)元件組合起來的。為了分析這種交流電路,我們先來分析單個(gè)元件上電壓與電流的關(guān)系,能量的轉(zhuǎn)換及儲(chǔ)存。

4.4.1電阻元件

1.電阻元件上電壓與電流的關(guān)系

如圖4.13所示,當(dāng)線性電阻R兩端加上正弦電壓uR時(shí),電

阻中便有電流iR通過。在圖4.13所示電壓和電流為關(guān)聯(lián)參考方向時(shí),便可得到交流電路中電阻元件的下列關(guān)系式。

1)電阻元件上電流和電壓之間的瞬時(shí)關(guān)系

2)電阻元件上電流和電壓之間的大小關(guān)系

若則其中把上式中電流和電壓的振幅各除以2,便可得

3)電阻元件上電流和電壓之間的相位關(guān)系

因電阻是純實(shí)數(shù),在電壓和電流為關(guān)聯(lián)參考方向時(shí),電流和電壓同相。圖4.14(a)所示是電阻元件上電流和電壓的波形圖。

2.電阻元件上電壓與電流的相量關(guān)系

在關(guān)聯(lián)參考方向下,流過電阻元件的電流為(4.22)式(4.22)就是電阻元件上電壓與電流的相量關(guān)系,也就是相量形式的歐姆定律。圖4.14(b)是電阻元件上電流和電壓的相量圖,二者是同相關(guān)系。

3.電阻元件的功率

交流電路中,任一瞬間,元件上電壓的瞬時(shí)值與電流的瞬時(shí)值的乘積叫做該元件的瞬時(shí)功率,用小寫字母p表示,即

電阻元件通過正弦交流電時(shí),在關(guān)聯(lián)參考方向下,瞬時(shí)功率為圖4.15畫出了電阻元件的瞬時(shí)功率曲線。由上式和功率曲線可知,電阻元件的瞬時(shí)功率以電源頻率的兩倍作周期性變化。在電壓和電流為關(guān)聯(lián)參考方向時(shí),在任一瞬間,電壓與電流同號(hào),所以瞬時(shí)功率恒為正值,即pR≥0,表明電阻元件是一個(gè)耗能元件,任一瞬間均從電源接受功率。

工程上都是計(jì)算瞬時(shí)功率的平均值,即平均功率,用大寫字母P表示。周期性交流電路中的平均功率就是其瞬時(shí)功率在一個(gè)周期內(nèi)的平均值,即

正弦交流電路中電阻元件的平均功率為

功率的單位為瓦(W),工程上也常用千瓦(kW),兩者的換算關(guān)系為

1kW=1000W

由于平均功率反映了電阻元件實(shí)際消耗電能的情況,因此又稱有功功率。習(xí)慣上常把“平均”或“有功”二字省略,簡稱功率。例如,60W的燈泡,1000W的電爐等,瓦數(shù)都是指平均功率。 4.4.2電感元件

1.電感元件上電壓和電流的關(guān)系

1)瞬時(shí)關(guān)系

電感元件上的伏安關(guān)系在第3章,在圖4.17所示的關(guān)聯(lián)參考方向下,有

式(4.25)是電感元件上電壓和電流的瞬時(shí)關(guān)系式,二者是微分關(guān)系,而不是正比關(guān)系。2)大小關(guān)系設(shè)代入式(4.25)得

兩邊同除以2便得有效值關(guān)系:

所以式中其中

XL稱為感抗,當(dāng)ω的單位為1/s,L的單位為H時(shí),XL的單位為Ω。感抗是用來表示電感線圈對(duì)電流的阻礙作用的一個(gè)物理量。在電壓一定的條件下,ωL

越大,電路中的電流越小。式(4.29)表明感抗XL

與電源的頻率(角頻率)成正比。電源頻率越高,感抗越大,表示電感對(duì)電流的阻礙作用越大。反之,頻率越低,線圈的感抗也就越小。對(duì)直流電來說,頻率f=0,感抗也就為零。電感元件在直流電路中相當(dāng)于短路。

3)相位關(guān)系

由式(4.26)便可得出電感元件上電壓和電流的相位關(guān)系為

即電感元件上電壓較電流超前90°,或者說,電流滯后電壓90°。圖4.18給出了電流和電壓的波形圖。2.電感元件上電壓和電流的相量關(guān)系

在關(guān)聯(lián)參考方向下,流過電感的電流為對(duì)應(yīng)的相量為電感元件兩端的電壓為對(duì)應(yīng)的相量為所以(4.31)電流與電壓的相量圖如圖4.19所示。3.電感元件的功率

1)瞬時(shí)功率

設(shè)通過電感元件的電流為

式(4.32)電感元件的瞬時(shí)功率p也是隨著時(shí)間按正弦規(guī)律變化的,其頻率為電流頻率的兩倍。圖4.20給出了功率曲線圖。則2)平均功率

由圖4.20可看到,在第一及第三個(gè)1/4周期內(nèi),瞬時(shí)功率為正值,電感元件從電源吸收功率;在第二及第四個(gè)1/4周期內(nèi),瞬時(shí)功率為負(fù)值,電感元件釋放功率。在一個(gè)周期內(nèi),吸收功率和釋放功率是相等的,即平均功率為零。這說明電感元件不是耗能元件,而是“儲(chǔ)能元件”。3)無功功率我們把電感元件上電壓的有效值和電流的有效值的乘積叫做電感元件的無功功率,用QL表示,即

QL>0,表明電感元件是接受無功功率的。

無功功率的單位為“伏安”(V·A),工程中也常用“千伏安”(kV·A)。

1kV·A=1000V·A4.4.3電容元件

1.電容元件上電壓與電流的關(guān)系

1)瞬時(shí)關(guān)系電容元件上的伏安關(guān)系在第3章所講,在圖4.21所示的關(guān)聯(lián)參考方向下,有

由式(4.34)可知,電容元件上電壓和電流的瞬時(shí)關(guān)系也是微分關(guān)系。

2)大小關(guān)系

設(shè)則所以式中兩邊同除以2可得有效值關(guān)系:其中

XC稱為容抗,當(dāng)ω的單位為1/s,C的單位為F時(shí),XC的單位為Ω。容抗表示電容在充、放電過程中對(duì)電流的一種阻礙作用。在一定的電壓下,容抗越大,電路中的電流越小。

由式(4.38)可看出,容抗與電源的頻率(角頻率)成反比。在直流電路中電容元件的容抗為無窮大,相當(dāng)于開路。3)相位關(guān)系

由式(4.35)可得出電容元件上電壓和電流的相位關(guān)系,即

即電容元件上電流較電壓超前90°,或電壓滯后于電流90°，圖4.22給出了電流和電壓的波形圖。

2.電容元件上電壓與電流的相量關(guān)系

在關(guān)聯(lián)參考方向下,選定電容兩端的電壓為相量圖如圖4.23所示,?IC超前于?UC90°。3.電容元件的功率

1)瞬時(shí)功率

在電壓和電流取關(guān)聯(lián)參考方向時(shí),電容元件上的瞬時(shí)功率為由式(4.41)可知,電容元件上的瞬時(shí)功率也是隨時(shí)間而變化的正弦函數(shù),其頻率為電流頻率的兩倍。圖4.24給出了功率曲線圖。

與電感元件一樣,電容元件也不是耗能元件,而是儲(chǔ)能元件。

3)無功功率

我們把電容元件上電壓的有效值與電流的有效值乘積的負(fù)值,稱為電容元件的無功功率,用QC

表示,即

QC<0,表示電容元件是發(fā)出無功功率的,QC和QL一樣,單位也是伏安(V·A)或千伏安(kV·A)。 4.5基爾霍夫定律的相量形式

前面我們分析了電阻元件、電感元件與電容元件上電壓和電流的相量關(guān)系。本節(jié)介紹正弦電路中基爾霍夫定律的相量形式。

4.5.1相量形式的基爾霍夫電流定律

基爾霍夫電流定律的實(shí)質(zhì)是電流的連續(xù)性原理。在交流電路中,任一瞬間電流總是連續(xù)的,因此,基爾霍夫定律也適用于交流電路的任一瞬間。即任一瞬間流過電路的一個(gè)節(jié)點(diǎn)(閉合面)的各電流瞬時(shí)值的代數(shù)和等于零,亦即

∑i=0 (4.43）既然適用于瞬時(shí)值,那么解析式也同樣適用,即流過電路中的一個(gè)節(jié)點(diǎn)的各電流解析式的代數(shù)和等于零。

正弦交流電路中各電流都是與電源同頻率的正弦量,把這些同頻率的正弦量用相量表示即得

∑?I=0 (4.44）

電流前的正、負(fù)號(hào)是由其參考方向決定的。若支路電流的參考方向流出節(jié)點(diǎn)取正號(hào),流入節(jié)點(diǎn)取負(fù)號(hào),式(4.44)就是相量形式的基爾霍夫電流定律(KCL)。4.5.2相量形式的基爾霍夫電壓定律

根據(jù)能量守恒定律,基爾霍夫電壓定律也同樣適用于交流電路的任一瞬間,即任一瞬間,電路的任一個(gè)回路中各段電壓瞬時(shí)值的代數(shù)和等于零,亦即

∑u=0 (4.45) 在正弦交流電路中,各段電壓都是同頻率的正弦量,所以表示一個(gè)回路中各段電壓相量的代數(shù)和也等于零,即

∑?U=0 (4.46) 這就是相量形式的基爾霍夫電壓定律(KVL) 4.6復(fù)阻抗、復(fù)導(dǎo)納及其等效變換

4.6.1復(fù)阻抗與復(fù)導(dǎo)納 1.復(fù)阻抗

前面我們分析了電路中的電阻、電感和電容元件上的電流和電壓的相量關(guān)系,分別為

以上各式可以用如下統(tǒng)一形式來表示,即

把式中Z稱為元件的阻抗。

把以上對(duì)元件上電流、電壓的相量關(guān)系的討論推廣到正弦交流電路,如圖4.27所示。

設(shè)加在電路中的端電壓為u=2Usin(ωt+θu),對(duì)應(yīng)相量為?U=U/θu,通過電路端口的電流為i=2Isin(ωt+θi),對(duì)應(yīng)的相量為?I=I/θi。?U和?I之比用Z表示,即有

Z稱為該電路的阻抗,由上式還可得

Z是一個(gè)復(fù)數(shù),所以又稱為復(fù)阻抗,|Z|是阻抗的模,φ為阻抗角。復(fù)阻抗的圖形符號(hào)與電阻的圖形符號(hào)相似。復(fù)阻抗的單位為Ω。

阻抗Z用代數(shù)形式表示時(shí),可寫為Z=R+jX,Z的實(shí)部

為R,稱為“電阻”,Z的虛部為X,稱為“電抗”,它們之間符合阻抗三角形(如圖4.28所示),從而有下列關(guān)系式:|2.復(fù)導(dǎo)納

復(fù)阻抗的倒數(shù)叫復(fù)導(dǎo)納,用大寫字母Y表示,即

Y=1/Z (4.52）

在國際單位制中,Y的單位是西門子,用“S”表示,簡“西”。由于Z=R+jX,因此

復(fù)導(dǎo)納Y的實(shí)部稱為電導(dǎo),用G表示;復(fù)導(dǎo)納的虛部稱為電納,用B表示,由上式可知

復(fù)導(dǎo)納的極坐標(biāo)形式為

|Y|為復(fù)導(dǎo)納的模,φ'為復(fù)導(dǎo)納的導(dǎo)納角,所以有

3.復(fù)阻抗與復(fù)導(dǎo)納的關(guān)系又可以看出

即復(fù)導(dǎo)納的模等于對(duì)應(yīng)復(fù)阻抗模的倒數(shù),導(dǎo)納角等于對(duì)應(yīng)阻抗角的負(fù)值。

當(dāng)電壓和電流的參考方向一致時(shí),用復(fù)導(dǎo)納表示的歐姆定律為

?I=?UY (4.58)

4.6.2復(fù)阻抗與復(fù)導(dǎo)納的等效變換

上面我們討論了復(fù)阻抗和復(fù)導(dǎo)納,在交流電路中,有時(shí)為了分析電路時(shí)方便,常要將復(fù)阻抗等效為復(fù)導(dǎo)納或?qū)?fù)導(dǎo)納等效為復(fù)阻抗。對(duì)于一個(gè)無源二端網(wǎng)絡(luò),不論其內(nèi)部結(jié)構(gòu)如何,從等效的角度來看,只要端口間電壓?U和電流?I保持不變,二者即可等效。下面來分析二者的等效變換。

1.將復(fù)阻抗等效為復(fù)導(dǎo)納

圖4.29(a)所示為電阻R與電抗X串聯(lián)組成的復(fù)阻抗,即Z=R+jX。圖4.29(b)所示為電導(dǎo)G與電納B組成的復(fù)導(dǎo)納,即Y=G+jB根據(jù)等效的含義:兩個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)只要端口處具有完全相同的電壓電流關(guān)系,二者便是互為等效的?？梢?式(4.53)就是由復(fù)阻抗等效為復(fù)導(dǎo)納的參數(shù)條件。2.將復(fù)導(dǎo)納等效為復(fù)阻抗

與上述類似,同樣如圖4.29(a)、(b)所示,其端口的電壓?U和電流?I保持不變時(shí),有

所以

式(4.59)和式(4.60)就是由復(fù)導(dǎo)納等效變換為復(fù)阻抗的參數(shù)條件。 4.7RLC串聯(lián)電路

電阻、電感、電容串聯(lián)電路是具有一般意義的典型電路,它包含了三個(gè)不同的電路參數(shù)。常用的串聯(lián)電路都可認(rèn)為是這種電路的特例。

4.7.1電壓與電流的關(guān)系

圖4.30給出了RLC串聯(lián)電路。電路中流過各元件的是同一個(gè)電流i,若電流圖4.30RLC串聯(lián)電路i=Imsinωt,則其相量為電容元件上的電壓為

由KVL得

其中X=XL-XC稱為RLC串聯(lián)電路的電抗,X的正、負(fù)關(guān)系到電路的性質(zhì)。

所以4.7.2電路的性質(zhì)

1.電感性電路:XL>XC

此時(shí),X>0,UL>UC,阻抗角φ=arctanX/R>0。

以電流?I為參考方向,?UR和電流?I同相,?UL超前于電流?I90°,?UC滯后于電流?I90°。將各電壓相量相加,即得總電壓?U。相量圖如圖4.31(a)所示,從相量圖中可看出,電流滯后于電壓φ角。

2.電容性電路:XL<XC

此時(shí),X<0,UL<UC,阻抗角φ<0。如前所述作相量圖,如圖4.31(b)所示,從相量圖中可看出,電流超前于電壓φ角。

3.電阻性電路:XL=XC此時(shí),X=0,UL=UC,阻抗角φ=0。其相量圖如圖4.31(c)所示,此時(shí)電流與電壓同相。

注意:這種電路相當(dāng)于純電阻電路,但與純電阻電路不同,因?yàn)樗举|(zhì)上是有感抗和容抗的,只是作用相互抵消而已,所以稱它為“電阻性”電路。4.7.3阻抗串聯(lián)電路

圖4.32給出了多個(gè)復(fù)阻抗(每個(gè)復(fù)阻抗都由R、L、C

組合而成)串聯(lián)的電路,電流和電壓的參考方向如圖中所示。

由KVL可得

其中Z為串聯(lián)電路的等效阻抗,由上式可得

即串聯(lián)電路的等效復(fù)阻抗等于各串聯(lián)復(fù)阻抗之和。4.7.4串聯(lián)諧振

諧振現(xiàn)象是正弦交流電路中的一種特殊現(xiàn)象,它在無線電和電工技術(shù)中得到了廣泛的應(yīng)用。例如,收音機(jī)和電視機(jī)就是利用諧振電路的特性來選擇所需的接收信號(hào),抑制其它干擾信號(hào)的。但在某些場合特別是在電力系統(tǒng)中,若出現(xiàn)諧振會(huì)引起過電壓,有可能破壞系統(tǒng)的正常工作。所以,對(duì)諧振現(xiàn)象的研究有重要的實(shí)際意義。通常采用的諧振電路是由R、L、C組成的串聯(lián)諧振電路和并聯(lián)諧振電路。下面我們來分析電路發(fā)生串聯(lián)諧振的條件及特征。

1.諧振現(xiàn)象

圖4.36為一由R、L、C組成的串聯(lián)電路(簡稱RLC串

聯(lián)電路),在正弦激勵(lì)下,該電路的復(fù)阻抗為

由前面討論可以知道,當(dāng)X=XL-XC=0時(shí),電路相當(dāng)于“純電阻”電路,其總電壓U和總電流I同相。電路出現(xiàn)的這種現(xiàn)象稱為“諧振”。串聯(lián)電路出現(xiàn)的諧振又稱“串聯(lián)諧振”。2.產(chǎn)生諧振的條件

由以上分析可知,串聯(lián)諧振的條件是

這樣便可通過改變?chǔ)亍、C三個(gè)參數(shù),使電路發(fā)生諧振或消除諧振。(1)當(dāng)L、C固定時(shí),可以改變電源頻率達(dá)到諧振,由式(4.64)可得

由于ω=2πf,因此有

即

由上式可知,串聯(lián)電路中的諧振頻率f0

與電阻R無關(guān),它反映了串聯(lián)電路的一種固有的性質(zhì),所以又稱“固有頻率”;ω0

稱為“固有角頻率”。而且對(duì)于每一個(gè)RLC串聯(lián)電路,總有一個(gè)對(duì)應(yīng)的諧振頻率f0。

(2)當(dāng)電源的頻率ω一定時(shí),可改變電容C和電感L使電路諧振。由式(4.64)可得

調(diào)節(jié)L和C均可使電路諧振,我們常把調(diào)節(jié)L或C使電路諧振的過程稱為“調(diào)諧”。

例4.24圖4.37所示為一RLC串聯(lián)電路,已知R=10Ω,L=500μH,C為可變電容,變化范圍為12~290pF。若外施信號(hào)源頻率為800kHz,則電容應(yīng)為何值才能使電路發(fā)生諧振？例4.25某收音機(jī)的輸入回路(調(diào)諧回路)可簡化為一

RLC串聯(lián)電路,已知電感L=250μH,R=20Ω,今欲收到頻率范圍為525kHz~1610kHz的中波段信號(hào),試求電容C的變化范圍。3.串聯(lián)諧振的基本特征

串聯(lián)諧振的基本特征如下:

(1)諧振時(shí),阻抗最小,且為純阻性。

因?yàn)橹C振時(shí),X=0,所以Z=R,|Z|=R。

(2)諧振時(shí),電路中的電流最大,且與外加電源電壓同相。

諧振時(shí),|Z|=R,為最小,所以電流I為最大,最大值為

由圖4.38所示可知,此時(shí)?U=?UR,且二者同相。(3)諧振時(shí),電路的電抗為零。感抗XL和容抗XC相等,其值稱為電路的特性阻抗ρ。

由于諧振時(shí)

特性阻抗ρ的單位為Ω,它的大小由電路的參數(shù)L和C來決定,與諧振頻率的大小無關(guān)。ρ是衡量電路特性的一個(gè)重要參數(shù)。

(4)諧振時(shí),電感和電容上的電壓大小相等,相位相反,且其大小為電源電壓Us的Q倍。Q稱為電路的品質(zhì)因數(shù)。

因?yàn)橹C振時(shí)XL=XC,電感上的電壓為UL0=IXL,電容上的電壓為UC

0=IXC,所以UL

0=UC

0,則諧振時(shí)

因此則

這樣,諧振時(shí),電感和電容上的電壓相等,且為電源電壓的

Q倍,所以把串聯(lián)諧振又稱電壓諧振。

電路的Q值一般為50~200。因此,即使外加電源電壓不高,在諧振時(shí),電路元件上的電壓仍有可能很高,特別對(duì)于電力系統(tǒng)來說,由于電源電壓本身較高,如果電路在接近于串聯(lián)諧振的情況下工作,在電感和電容兩端將出現(xiàn)過電壓,從而燒壞電氣設(shè)備。所以在電力系統(tǒng)中必須適當(dāng)選擇電路的參數(shù)L和C,以避免諧振的發(fā)生。 4.8RLC并聯(lián)電路

4.8.1阻抗法分析并聯(lián)電路

圖4.43所示為一個(gè)兩條支路并聯(lián)的電路,其中每一條支路都是一個(gè)簡單的串聯(lián)電路。在并聯(lián)電路中,各條支路的電壓相同,在電路參數(shù)已知的情況下,每一條支路的電流就不難求出來。

這個(gè)電路的相量圖也是不難作出的。由于并聯(lián)電路各支路的電壓相同。當(dāng)把電壓U的相量畫出后,支路1是由R、L串聯(lián)組成的,?I1滯后于?U為φ1角;支路2是由R、C串聯(lián)組成的,?I2超前于?U為φ2角,如圖4.44所示。?I1和?I2相量之和為總電流?I。從圖4.40可以看出,?I滯后于電壓?Uφ角。4.8.2導(dǎo)納法分析并聯(lián)電路

一個(gè)并聯(lián)電路可以用阻抗法分析,也可以用導(dǎo)納法分析。對(duì)于多個(gè)支路的并聯(lián)電路,用導(dǎo)納法顯得更為方便。下面舉例分析RLC并聯(lián)電路。

在圖4.47所示電路中,選定?U、?I、?IR

、?IL

、?IC

的參考方向如圖所示,則各支路的導(dǎo)納為各支路的電流為

其中,G=1/R為電阻支路的“電導(dǎo)”,BL=1/ωL為電感支路的“感納”,BC=ωC為電容支路的“容納”,

B=BC-BL稱為“電納”,利用電納也可判斷電路的性質(zhì):

(1)B>0,即BC>BL,這時(shí),IL<IC總電流超前于端電壓,電路呈電容性,如圖4.48(a)所示。

(2)B<0,即BC<BL,這時(shí),IL>IC,總電流滯后于端電壓,電路呈電感性,如圖4.48(b)所示。

(3)B=0,即BC=BL,這時(shí),IL=IC,總電流與端電壓同相,電路呈電阻性,如圖4.48(c)所示。4.8.3多阻抗并聯(lián)

圖4.50給出了一個(gè)由多支路并聯(lián)的電路圖。

按習(xí)慣選定各電流?I,?I1,?I2,…,?In及電壓?U的參考方向,每一條支路均用它的復(fù)導(dǎo)納表示。由于各支路并聯(lián)時(shí)其端電壓相同,常選?U為參考方向,則

由KCL得

上式中Y是n條支路并聯(lián)時(shí)的等效復(fù)導(dǎo)納,即

即并聯(lián)電路中總導(dǎo)納等于各支路的導(dǎo)納之和。這樣4.8.4并聯(lián)諧振

工程上也常用到電感線圈與電容并聯(lián)的諧振電路。如圖4.52所示,其中電感線圈用R和L的串聯(lián)組合來表示。

同串聯(lián)諧振一樣,當(dāng)端電壓?U和總電流?I同相時(shí),電路的這一工作狀態(tài)稱為并聯(lián)諧振。

1.并聯(lián)諧振的條件

采用復(fù)導(dǎo)納分析和討論并聯(lián)諧振較為方便。

電感支路的復(fù)導(dǎo)納為電容支路的復(fù)導(dǎo)納為

則并聯(lián)電路的總導(dǎo)納為

當(dāng)回路中總導(dǎo)納的虛部(電納)為0時(shí),總電壓?U和總電流?I同相,即電路處于諧振狀態(tài)時(shí),有

解得(4.72)

由上式可以看出,電路的諧振頻率完全由電路的參數(shù)來決定,而且只有當(dāng)

即時(shí),電路才有諧振頻率。

這與串聯(lián)諧振條件是一樣的。即2.并聯(lián)諧振的基本特征

并聯(lián)諧振的基本特征如下:

(1)諧振時(shí),導(dǎo)納為最小值,阻抗為最大值,且為純阻性。

諧振時(shí)的導(dǎo)納為

(2)諧振時(shí)總電流最小,且與端電壓同相。

(3)諧振時(shí),電感支路與電容支路的電流大小近似相等,為總電流的Q倍。諧振時(shí)的阻抗為在圖4.62中,因?yàn)槎穗妷簽橐簿褪钦f,兩條支路的電流近似相等,均為總電流的Q倍,相位相反。因此并聯(lián)諧振又稱電流諧振。 4.9正弦交流電路的相量分析法

4.9.1網(wǎng)孔電流法

圖4.55給出了一個(gè)由兩個(gè)網(wǎng)孔組成的交流電路,圖中?Us

1、?Us2、R、XL、XC都已知,求各支路電流。選定網(wǎng)孔電流?Im1、?Im2和各支路電流?I1、?I2、?I3,其參考方向如圖4.55所示。各網(wǎng)孔繞行方向和本網(wǎng)孔電流參考方向一致,列網(wǎng)孔電流方程為其中

4.9.2節(jié)點(diǎn)法

用節(jié)點(diǎn)法求解圖4.55所示電路。各電流、電壓相量的參考方向如圖中所示,以b點(diǎn)為參考節(jié)點(diǎn),則

解方程可求?Im1和?Im2,然后求出各支路電流分別為例4.31圖4.55所示電路中已知數(shù)據(jù)同例4.30,試用節(jié)點(diǎn)法求各支路電流。

解:以b點(diǎn)為參考節(jié)點(diǎn),各支路電流?I1、?I2、?I3

參考方向如圖4.55所示,有則各支路電流分別為

4.10.1瞬時(shí)功率p

如圖4.56所示,設(shè)通過負(fù)載的電流為

加在負(fù)載兩端的電壓為

其中φ為阻抗角,φ=θu-θi,則在u、i取關(guān)聯(lián)參考方向時(shí),負(fù)載吸收的瞬時(shí)功率為可見,瞬時(shí)功率有恒定分量UIcosφ和正弦分量UIcos(2ωt+φ)兩部分,正弦分量的頻率是電源頻率的兩倍。

圖4.57所示為正弦電流、電壓和瞬時(shí)功率的波形圖。當(dāng)φ≠0時(shí)(一般情況),則在每一個(gè)周期里有兩段時(shí)間u和i的方向相反。這時(shí),瞬時(shí)功率p<0,說明電路不從外電路吸收電能,而是發(fā)出電能。4.10.2有功功率P

上面講的瞬時(shí)功率是一個(gè)隨時(shí)間變化的量,它的計(jì)算和測(cè)量都不方便,通常也不需要對(duì)它進(jìn)行計(jì)算和測(cè)量。我們介紹它是因?yàn)樗茄芯拷涣麟娐饭β实幕A(chǔ)。

我們把一個(gè)周期內(nèi)瞬時(shí)功率的平均值稱為“平均功率”或“有功功率”,用字母“P”表示,即所以有上式表明,有功功率等于這個(gè)負(fù)載的電流、電壓的有效值和cosφ的乘積。這里的φ角是該負(fù)載的阻抗角,阻抗角的余弦值(即λ=cosφ)稱做負(fù)載的“功率因數(shù)”。

不難證明,若電路中含有R、L、C元件,由于電感、電容元件上的平均功率為零,即PL=0,PC=0,因而,有功功率等于各電阻消耗的平均功率之和,即有或4.10.3無功功率Q

無功功率的定義式為

Q=UIsinφ (4.79)

對(duì)于電感性電路,阻抗角φ為正值,無功功率為正值;對(duì)于電容性電路,阻抗角φ為負(fù)值,無功功率為負(fù)值。這樣在既有電感又有電容的電路中,總的無功功率等于兩者的代數(shù)和,即

式(4.80)中Q為一代數(shù)量,可正可負(fù),Q為正代表接受無功功率,為負(fù)代表發(fā)出無功功率。4.10.4視在功率S

視在功率的定義式為

S=UI (4.81)

即視在功率為電路中的電壓和電流有效值的乘積。視在功率的單位為伏安(V·A),工程上也常用千伏安(kV·A)表示。兩者的換算關(guān)系為

1kV·A=1000V·A

電機(jī)和變壓器的容量是由它們的額定電壓和額定電流決定的,因此往往可以用視在功率來表示。4.10.5功率三角形

以上三種功率和功率因數(shù)cosφ在數(shù)量上有一定的關(guān)系,可以用“功率三角形”將它們聯(lián)系在一起(如圖4.58所示),即或例4.32已知一阻抗Z上的電壓、電流分別為?U=220/30°V,?I=5/-30°A(電壓和電流的參考方向一致),求Z、cosφ、P、Q、S。

解例4.33已知40W的日光燈電路如圖4.59所示,在U=220V的電壓之下,電流值為I=0.36A,求該日光燈的功率因數(shù)cosφ及所需的無功功率Q。

解因?yàn)?/p>

P=UIcosφ

所以

由于是電感性電路,因此φ=60°。電路中的無功功率為

4.11功率因數(shù)的提高

4.11.1提高功率因數(shù)的意義

在交流電路中,一般負(fù)載多為電感性負(fù)載,例如常用的交流感應(yīng)電動(dòng)機(jī)、日光燈等,通常它們的功率因數(shù)都比較低。交流感應(yīng)電動(dòng)機(jī)在額定負(fù)載時(shí),功率因數(shù)約為0.8~0.85,輕載時(shí)只有0.4~0.5,空載時(shí)更低,僅為0.2~0.3,不裝電容器的日光燈的功率因數(shù)為0.45~0.60。功率因數(shù)低會(huì)引起下述不良后果:(1)電源設(shè)備的容量不能得到充分的利用。電源設(shè)備(如變壓器、發(fā)電機(jī))的容量也就是視在功率,是依據(jù)其額定電壓與額定電流設(shè)計(jì)的。

(2)增加了線路上的功率損耗和電壓降。若用電設(shè)備在一定電壓與一定功率之下運(yùn)行,那么當(dāng)功率因數(shù)高時(shí),線路上電流就小;反之,當(dāng)功率因數(shù)低時(shí),線路上電流就大,線路電阻中與設(shè)備繞組中的功率損耗也就越大,同時(shí)線路上的電壓降也就增大,會(huì)使負(fù)載上電壓降低,從而影響負(fù)載的正常工作。

由以上分析可以看到,提高用戶的功率因數(shù)對(duì)國民經(jīng)濟(jì)有著十分重要的意義。4.11.2提高功率因數(shù)的方法

我們一般可以從兩方面來考慮提高功率因數(shù)。一方面是提高自然功率因數(shù),主要辦法有改進(jìn)電動(dòng)機(jī)的運(yùn)行條件,合理選擇電動(dòng)機(jī)的容量,或采用同步電動(dòng)機(jī)等措施;另一方面是采用人工補(bǔ)償,也叫無功補(bǔ)償,就是在通常廣泛應(yīng)用的電感性電路中,人為地并聯(lián)電容性負(fù)載,利用電容性負(fù)載的超前電流來補(bǔ)償滯后的電感性電流,以達(dá)到提高功率因數(shù)的目的。

圖4.62(a)給出了一個(gè)電感性負(fù)載并聯(lián)電容時(shí)的電路圖,圖4.62(b)是它的相量圖。從相量圖中可以看出,電感性負(fù)載未并聯(lián)電容時(shí),電流?I1滯后于電壓?Uφ1角,此時(shí)電路的總電流?I等于負(fù)載電流?I1;并聯(lián)電容后,由于端電壓?U不變,則負(fù)載電流?I1也沒有變化,但電容支路的電流?IC超前于端電壓?U90°,電路的總電流?I發(fā)生了變化,此時(shí)?I=?I1+?IC,且I<I1,即總電流在數(shù)值上(有效值)減小了,同時(shí)總電流?I與端電壓?U之間的相位差變小,φ2<φ1,因此cosφ2>cosφ1,這樣對(duì)總電路來說功率因數(shù)得到了提高。應(yīng)該注意:所謂提高功率因數(shù),并不是提高電感性負(fù)載本身的功率因數(shù),負(fù)載在并聯(lián)電容前后,由于端電壓沒變,其工作狀態(tài)不受影響,負(fù)載本身的電流、有功功率和功率因數(shù)均無變化。提高功率因數(shù)只是提高了電路總的功率因數(shù)。

用并聯(lián)電容來提高功率因數(shù),一般補(bǔ)償?shù)?.9左右,而不是補(bǔ)償?shù)礁?因?yàn)檠a(bǔ)償?shù)焦β室驍?shù)接近于1時(shí),所需電容量大,反而不經(jīng)濟(jì)了。

并聯(lián)電容前,有

并聯(lián)電容后,有

由圖4.62(b)可以看出

應(yīng)用式(4.83)就可以求出把功率因數(shù)從cosφ1提高到cosφ2所需的電容值。又知代入上式可得即在實(shí)用中往往需要確定電容器的個(gè)數(shù),而制造廠家生產(chǎn)的補(bǔ)償用的電容器的技術(shù)數(shù)據(jù)也是直接給出其額定電壓UN和額定功率QN(千伏安)。為此,我們就需要計(jì)算補(bǔ)償?shù)臒o功功率QC。

因?yàn)?/p>

所以代入式(4.83)可得

本章小結(jié)

第5章三相正弦交流電路

5.1三相電源

5.2三相負(fù)載

5.3對(duì)稱三相電路的分析計(jì)算*5.4不對(duì)稱三相電路的分析計(jì)算

5.5三相電路的功率本章小結(jié)習(xí)題

第5章三相正弦交流電路

5.1三相電源

5.1.1三相對(duì)稱正弦交流電壓

三相正弦電壓是由三相發(fā)電機(jī)產(chǎn)生的。圖5.1所示是三相交流發(fā)電機(jī)的原理圖。在發(fā)圖5.1三相交流發(fā)電機(jī)的原理電機(jī)的轉(zhuǎn)子上,固定有三組完全相同的繞組,它們的空間位置相差120°。其中U1、V1、W1

為這三個(gè)繞組的始端;U2、V2、W2

為三個(gè)繞組的末端。當(dāng)發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)子以角速度ω按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí),在三個(gè)繞組的兩端分別產(chǎn)生幅值相同、頻率相同、相位依次相差120°的正弦交流電壓。每個(gè)繞組電壓的參考方向通常規(guī)定為由繞組的始端指向繞組的末端。它們的波形圖和相量圖分別如圖5.2和圖5.3所示。

三個(gè)電壓的相量分別表示為

從相量圖中不難看出,這組對(duì)稱三相正弦電壓的相量之和等于零,即

從波形圖中可看出,任意時(shí)刻三個(gè)正弦電壓的瞬時(shí)值之和恒等于零,即

uU+uV+uW=0

能夠提供這樣一組對(duì)稱三相正弦電壓的就是對(duì)稱三相電源,通常所說的三相電源都是指對(duì)稱三相電源。

對(duì)稱三相正弦量達(dá)到最大值(或零值)的順序稱為相序,上述U相超前于V相,V相超前于W相的順序稱為正相序,簡稱為正序,一般的三相電源都是正序?qū)ΨQ的。工程上以黃、綠、紅三種顏色分別作為U、V、W三相的標(biāo)志。5.1.2三相電源的星形(Y)連接

將三個(gè)繞組的末端U2、V2、W2

連接在一起,而從繞組的三個(gè)始端U1、V1、W1

引出三根導(dǎo)線與外電路相連的三相電路稱為三相電源的星形連接,如圖5.4所示。從始端引出的導(dǎo)線稱為端線(俗稱火線)。從中性點(diǎn)可以引出導(dǎo)線,與外電路相連接,這條連接線稱為中線。在星形電路中,端線與中線間的電壓稱為相電壓,用uU、uV、uW表示。兩端線間的電壓稱為線電壓,用uU

V、uV

W、uW

U表示。因此,在三相四線制電路中,可以按需要提供兩組不同的對(duì)稱三相電壓;而三相三線制只能提供一組對(duì)稱的線電壓。

在圖5.5所示的相量圖中,根據(jù)KVL不難求得線電壓與相電壓的關(guān)系,即同理可得

即線電壓的大小是相電壓大小的根號(hào)3倍,且線電壓的相位比相應(yīng)相電壓相位超前30°。在三相電路中,三個(gè)線電壓之間的關(guān)系是

或用瞬時(shí)值表示為

即三個(gè)線電壓的相量和總等于零,或三個(gè)線電壓瞬時(shí)值的代數(shù)和恒等于零。

例5.1星形連接的對(duì)稱三相電源,線電壓是

uUV=380sin314tV,試求出其它各線電壓和各相電壓的解析式。

解：根據(jù)星形對(duì)稱三相電源的特點(diǎn),可以求得各線電壓分別為各相電壓分別為5.1.3三相電源的三角形(△)連接

如果將三相發(fā)電機(jī)的三個(gè)繞組依次首(始端)尾(末端)相連,接成一個(gè)閉合回路,則可構(gòu)成三角形連接(如圖5.6所示)。從三個(gè)連接點(diǎn)引出的三根導(dǎo)線即為三根端線。

當(dāng)三相電源作三角形連接時(shí),只能是三相三線制,而且線電壓就等于相電壓,即分別表示為

由對(duì)稱的概念可知,在任何時(shí)刻,三相電壓之和等于零。因此,即便是三個(gè)繞組接成閉合回路,只要連接正確,在電源內(nèi)部并沒有回路電流。但是,如果某一相的始端與末端接反,則會(huì)在回路中引起電流。例5.2說明了這種情況以及采取的預(yù)防措施。

例5.2三相發(fā)電機(jī)接成三角形供電。如果誤將U相接反,會(huì)產(chǎn)生什么后果?如何使連接正確?解：U相接反時(shí)的電路如圖5.7(a)所示。此時(shí),回路中的電流為

由圖5.7(b)所示的相量圖可以看出,此時(shí)閉合回路內(nèi)總電壓的大小為一相電壓大小的2倍。而發(fā)電機(jī)繞組的阻抗一般都很小,將在繞組回路中引起很大的電流,使發(fā)電機(jī)繞組過熱而損壞。

為了連接正確,可以按圖5.7(c)將一電壓表(量程大于2倍的相電壓)串接在三個(gè)繞組的閉合回路中,若發(fā)電時(shí)電壓為零,說明連接正確。這時(shí)即可撤去電壓表,再將回路閉合。

5.2三相負(fù)載

三相負(fù)載即三相電源的負(fù)載,由互相連接的三個(gè)負(fù)載組成,其中每個(gè)負(fù)載稱為一相負(fù)載。在三相電路中,負(fù)載有兩種情況:一種是負(fù)載是單相的,例如電燈、日光燈等照明負(fù)載,還有電爐、電視機(jī)、電冰箱,等等。但是通過適當(dāng)?shù)倪B接,可以組成三相負(fù)載。另一種負(fù)載如電動(dòng)機(jī),三相繞組中的每一相繞組也是單相負(fù)載。所以也存在如何將這三個(gè)單相繞組連接起來接入電網(wǎng)的問題。

三相負(fù)載的連接方法也有兩種,即星形連接和三角形連接。5.2.1負(fù)載的星形(Y)連接

三相負(fù)載的星形連接,就是把三相負(fù)載的一端連接到一個(gè)公共端點(diǎn),負(fù)載的另一端分別與電源的三個(gè)端線相連。負(fù)載的公共端點(diǎn)稱為負(fù)載的中性點(diǎn),簡稱中點(diǎn),用N'表示。如果電源為星形連接,則負(fù)載中點(diǎn)與電源中點(diǎn)