2014屆數(shù)學(理)一輪復習知識點逐個擊破專題講座：圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系、空間直角坐標系

【名師面對面】2014屆數(shù)學一輪知識點講座：考點32圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系、空間直角坐標系加（*）號的知識點為了解內(nèi)容，供學有余力的學生學習使用一.考綱目標圓的方程、點與圓的關(guān)系；垂徑定理的運用；圓的方程的求法；直線與圓的位置關(guān)系；圓的切線方程和弦長問題；圓的綜合問題的解題思路；會建立右手直角坐標系，準確找到點的坐標.二.知識梳理1.空間直角坐標系：（2）在空間選定一點和一個單位正交基底，以點為原點，分別以的方向為正方向建立三條數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標軸．我們稱建立了一個空間直角坐標系，點叫原點，向量都叫坐標向量．通過每兩個坐標軸的平面叫坐標平面，分別稱為平面，平面，平面；2.空間直角坐標系中的坐標：在空間直角坐標系中，對空間任一點，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標系中的坐標，記作，叫橫坐標，叫縱坐標，叫豎坐標．3．圓的定義：平面內(nèi)與一定點距離等于定長的點的軌跡稱為圓4.圓的標準方程：圓心為，半徑為，若圓心在坐標原點上，這時，則圓的方程就是5.圓的標準方程的兩個基本要素：6.圓的一般方程：只有當時，①表示的曲線才是圓，把形如①的表示圓的方程稱為圓的一般方程（1）當時，①表示以（-，-）為圓心,為半徑的圓；（2）當時，方程①只有實數(shù)解，，即只表示一個點（-，-）;（3）當時，方程①沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形7.研究圓與直線的位置關(guān)系最常用的方法：①判別式法；②考查圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系。直線與圓的位置關(guān)系有三種，若，則;;8.兩圓位置關(guān)系的判定方法設兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，①②③④⑤過圓上一點的切線方程：圓為切點的切線方程是。當點在圓外時，表示切點弦的方程。一般地，曲線為切點的切線方程是：。當點在圓外時，表示切點弦的方程。這個結(jié)論只能用來做選擇題或者填空題，若是做解答題，只能按照求切線方程的常規(guī)過程去做。10.經(jīng)過兩個圓交點的圓系方程：經(jīng)過，的交點的圓系方程是：在過兩圓公共點的圖象方程中，若λ=－1，可得兩圓公共弦所在的直線方程11.經(jīng)過直線與圓交點的圓系方程：經(jīng)過直線與圓的交點的圓系方程是：三．考點逐個突破1.圓的方程例1.圓心在曲線y＝eq\f(3,x)(x>0)上，且與直線3x＋4y＋3＝0相切的面積最小的圓的標準方程為()A．(x－1)2＋(y－3)2＝(eq\f(18,5))2B．(x－3)2＋(y－1)2＝(eq\f(16,5))2C．(x－2)2＋(y－eq\f(3,2))2＝9D．(x－eq\r(3))2＋(y－eq\r(3))2＝9[答案]C[解析]設圓心坐標為(a，eq\f(3,a))(a>0)，則圓心到直線3x＋4y＋3＝0的距離d＝eq\f(|3a＋\f(12,a)＋3|,5)＝eq\f(3,5)(a＋eq\f(4,a)＋1)≥eq\f(3,5)(4＋1)＝3，等號當且僅當a＝2時成立．此時圓心坐標為(2，eq\f(3,2))，半徑為3，故所求圓的方程為(x－2)2＋(y－eq\f(3,2))2＝9.2.與圓有關(guān)的最值問題例2.若直線ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始終平分圓x2＋y2－4x－2y－8＝0的周長，則eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值為()A．1B．5C．4eq\r(2) D．3＋2eq\r(2)[答案]D[解析]由條件知圓心C(2,1)在直線ax＋2by－2＝0上，∴a＋b＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝(eq\f(1,a)＋eq\f(2,b))(a＋b)＝3＋eq\f(b,a)＋eq\f(2a,b)≥3＋2eq\r(2)，等號在eq\f(b,a)＝eq\f(2a,b)，即b＝2－eq\r(2)，a＝eq\r(2)－1時成立．3.與其他知識的交匯命題例3.已知動圓的圓心C在拋物線x2＝2py(p>0)上，該圓經(jīng)過點A(0，p)，且與x軸交于兩點M、N，則sin∠MCN的最大值為________．[答案]1[解析]當圓心C的縱坐標為p時，C(eq\r(2)p，p)為圓心的圓方程為(x－eq\r(2)p)2＋(y－p)2＝2p2，令y＝0得，x＝eq\r(2)p±p，∴MC⊥NC，∴sin∠MCN＝1.4.直線與圓的位置關(guān)系的判斷例4.已知圓C：x2＋y2＋x－6y＋m＝0與直線l：x＋2y－3＝0.(1)若直線l與圓C沒有公共點，求m的取值范圍；(2)若直線l與圓C相交于P、Q兩點，O為原點，且OP⊥OQ，求實數(shù)m的值．[解析](1)將圓的方程配方，得(x＋eq\f(1,2))2＋(y－3)2＝eq\f(37－4m,4)，故有eq\f(37－4m,4)>0，解得m<eq\f(37,4).將直線l的方程與圓C的方程組成方程組，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3＝0，,x2＋y2＋x－6y＋4m＝0，))消去y，得x2＋(eq\f(3－x,2))2＋x－6×eq\f(3－x,2)＋m＝0，整理，得5x2＋10x＋4m－27＝0，①∵直線l與圓C沒有公共點，∴方程①無解，故有Δ＝102－4×5(4m－27)<0，解得m>∴m的取值范圍是(8，eq\f(37,4))．(2)設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由OP⊥OQ，得eq\o(OP,\s\up16(→))·eq\o(OQ,\s\up16(→))＝0，由x1x2＋y1y2＝0，②由(1)及根與系數(shù)的關(guān)系得，x1＋x2＝－2，x1·x2＝eq\f(4m－27,5)③又∵P、Q在直線x＋2y－3＝0上，∴y1·y2＝eq\f(3－x1,2)·eq\f(3－x2,2)＝eq\f(1,4)[9－3(x1＋x2)＋x1·x2]，將③代入上式，得y1·y2＝eq\f(m＋12,5)，④將③④代入②得x1·x2＋y1·y2＝eq\f(4m－27,5)＋eq\f(m＋12,5)＝0，解得m＝3，代入方程①檢驗得Δ>0成立，∴m＝3.5.直線與圓相交例5.(1)過點(0,1)的直線與x2＋y2＝4相交于A、B兩點，則|AB|的最小值為()A．2B．2eq\r(3)C．3 D．2eq\r(5)[答案]B[解析]當過點(0,1)的直線與直徑垂直且(0,1)為垂足時，|AB|取最小值2eq\r(3).(2)已知直線x＋y＝a與圓x2＋y2＝4交于A，B兩點，且|eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))|＝|eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→))|(其中O為坐標原點)，則實數(shù)a等于()A．2B．－2C．2或－2 D.eq\r(6)或－eq\r(6)[答案]C[解析]∵|eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))|＝|eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→))|，∴|eq\o(OA,\s\up16(→))|2＋|eq\o(OB,\s\up16(→))|2＋2eq\o(OA,\s\up16(→))·eq\o(OB,\s\up16(→))＝|eq\o(OA,\s\up16(→))|2＋|eq\o(OB,\s\up16(→))|2－2eq\o(OA,\s\up16(→))·eq\o(OB,\s\up16(→))，∴eq\o(OA,\s\up16(→))·eq\o(OB,\s\up16(→))＝0，∴eq\o(OA,\s\up16(→))⊥eq\o(OB,\s\up16(→))，畫圖易知A、B為圓x2＋y2＝4與兩坐標軸的交點，又A、B是直線x＋y＝a與圓的交點，∴a＝2或－2.6.圓與圓的位置關(guān)系例6.圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系為()A．內(nèi)切B．相交C．外切 D．相離[答案]B[解析]本題考查圓與圓的位置關(guān)系．兩圓圓心分別為A(－2,0)，B(2,1)，半徑分別為r1＝2，r2＝3，|AB|＝eq\r(17)，∵3－2<eq\r(17)<2＋3，∴兩圓相交．7.空間直角坐標系例7.如圖正方體中，，求與所成角的余弦解：不妨設正方體棱長為，建立空間直角坐標系，則，，，，∴，，∴，．．8.直線與圓的綜合運用例8.(1)已知點M(3,1)，直線ax－y＋4＝0及圓(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求過M點的圓的切線方程；(2)若直線ax－y＋4＝0與圓相切，求a的值；(3)若直線ax－y＋4＝0與圓相交于A，B兩點，且弦AB的長為2eq\r(3)，求a的值．[解析](1)∵(3－1)2＋(1－2)2>4，∴M在圓外，當過點M的直線斜率不存在時，易知直線x＝3與圓相切．當直線的斜率存在時，設直線的方程為y－1＝k(x－3)，即kx－y－3k＋1＝0，∵直線與圓相切，∴eq\f(|k－2＋1－3k|,\r(k2＋1))＝2，解之得k＝eq\f(3,4)，∴切線方程為y－1＝eq\f(3,4)(x－3)，即3x－4y－5＝0.∴所求的切線方程為x＝3或3x－4y－5＝0.(2)由ax－y＋4＝0與圓相切知eq\f(|a－2＋4|,\r(1＋a2))＝2，∴a＝0或a＝eq\f(4,3).(3)圓心到直線的距離d＝eq\f(|a＋2|,\r(1＋a2))，又l＝2eq\r(3)，r＝2，∴由r2＝d2＋(eq\f(l,2))2，可得a＝－eq\f(3,4).(2)在平面直角坐標系xOy中，動點P到兩點(0，－eq\r(3))，(0，eq\r(3))的距離之和等于4，設點P的軌跡為C，已知直線y＝kx＋1與C交于A、B兩點．(1)寫出C的方程；(2)若以AB為直徑的圓過原點O，求k的值；(3)若點A在第一象限，證明：當k>0時，恒有|OA|>|OB|.[解析](1)設P(x，y)，由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以(0，－eq\r(3))，(0，eq\r(3))為焦點，長半軸長為2的橢圓，它的短半軸b＝eq\r(22－\r(3)2)＝1，故橢圓方程為eq\f(y2,4)＋x2＝1.(2)由題意可知，以AB為直徑的圓過原點O，即OA⊥OB，聯(lián)立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2＋\f(y2,4)＝1，))消去y得(4＋k2)x2＋2kx－3＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韋達定理可知：x1＋x2＝－eq\f(2k,4＋k2)，x1·x2＝－eq\f(3,4＋k2)，y1·y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝eq\f(4－4k2,4＋k2)，所以，eq\o(OA,\s\up16(→))·eq\o(OB,\s\up16(→))＝x1x2＋y1y2＝－eq\f(3,4＋k2)＋eq\f(4－4k2,4＋k2)＝0，得k2＝eq\f(1,4)，即k＝±eq\f(1,2).(3)|eq\o(OA,\s\up16(→))|2－|eq\o(OB,\s\up16(→))|2＝xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)－(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))＝xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝(x1－x2)(x1＋x2)＋k(x1－x2)[k(x1＋x2)＋2]＝[2k＋(1＋k2)(x1＋x2)](x1－x2)＝eq\f(6kx1－x2,4＋k2).因為A在第一象限，所以x1>0，又因為x1·x2＝－eq\f(3,4＋k2)，所以x2<0，故x1－x2>0，又因為k>0，所以|OA|>|OB|.9.與直線和圓有關(guān)的軌跡問題例9．（1）設定點M(－3,4)，動點N在圓x2＋y2＝4上運動，以OM、ON為兩邊作平行四邊形MONP，則點P的軌跡方程為________．[答案](x＋3)2＋(y－4)2＝4(x≠－eq\f(9,5)且x≠－eq\f(21,5))[解析]如圖所示，設P(x，y)，N(x0，y0)，則線段OP的中點坐標為(eq\f(x,2)，eq\f(y,2))，線段MN的中點坐標為(eq\f(x0－3,2)，eq\f(y0＋4,2))．由于平行四邊形的對角線互相平分，故eq\f(x,2)＝eq\f(x0－3,2)，eq\f(y,2)＝eq\f(y0＋4,2).從而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝x＋3,y0＝y(tǒng)－4)).因為N(x＋3，y－4)在圓上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因此所求軌跡為圓：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但應除去兩點(－eq\f(9,5)，eq\f(12,5))和(－eq\f(21,5)，eq\f(28,5))(點P在直線OM上時的情況)．（2）設圓C與圓x2＋(y－3)2＝1外切，與直線y＝0相切，則圓C的圓心軌跡為()A．拋物線B