閉環(huán)Z傳遞函數(shù)

閉環(huán)Z傳遞函數(shù)第一頁(yè)，共54頁(yè)。2.1Z變換定義與常用函數(shù)Z變換

2.1.1Z變換的定義

已知連續(xù)信號(hào)f(t)經(jīng)過采樣周期為T的采樣開關(guān)后，變成離散的脈沖序列函數(shù)f*(t)即采樣信號(hào)。對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換，則

第一頁(yè)第二頁(yè)，共54頁(yè)。對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換，則根據(jù)廣義脈沖函數(shù)的性質(zhì)，可得：第二頁(yè)第三頁(yè)，共54頁(yè)。上式中，F(xiàn)*(s)是離散時(shí)間函數(shù)f*(t)的拉氏變換，因復(fù)變量s含在指數(shù)e-kTs中是超越函數(shù)不便于計(jì)算，故引一個(gè)新變量z=eTs，設(shè)

并將F*(s)記為F(z)則

式中F(z)就稱為離散函數(shù)f*(t)的Z變換。

第三頁(yè)第四頁(yè)，共54頁(yè)。求取離散時(shí)間函數(shù)的Z變換有多種方法，常用的有兩種。

1．級(jí)數(shù)求和法將離散時(shí)間函數(shù)寫成展開式的形式

對(duì)上式取拉氏變換，得

第四頁(yè)第五頁(yè)，共54頁(yè)。例2.1求f(t)=at/T函數(shù)（a為常數(shù)）的Z變換。

解：根據(jù)Z變換定義有

第五頁(yè)第六頁(yè)，共54頁(yè)。2．部分分式法設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)的拉氏變換為有理函數(shù)，將展開成部分分式的形式為

因此，連續(xù)函數(shù)的Z變換可以由有理函數(shù)求出第六頁(yè)第七頁(yè)，共54頁(yè)。例2.2已知（a為常數(shù)）

求F(Z)

解：將F(s)寫成部分分式之和的形式

第七頁(yè)第八頁(yè)，共54頁(yè)。2.1.2常用信號(hào)的Z變換

1．單位脈沖信號(hào)

2．單位階躍信號(hào)

第八頁(yè)第九頁(yè)，共54頁(yè)。3．單位速度信號(hào)

第九頁(yè)第十頁(yè)，共54頁(yè)。4．指數(shù)信號(hào)

第十頁(yè)第十一頁(yè)，共54頁(yè)。5．正弦信號(hào)

第十一頁(yè)第十二頁(yè)，共54頁(yè)。2.2Z變換的性質(zhì)和定理

1．線性定理設(shè)a,a1,a2為任意常數(shù)，連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t),f1(t),f2(t)的Z變換分別為F(z),F1(z),F2(z)、及，則有第十二頁(yè)第十三頁(yè)，共54頁(yè)。2．滯后定理設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)在t＜0時(shí)，f(t)=0，且f(t)的Z變換為F(z)，則有證明：第十三頁(yè)第十四頁(yè)，共54頁(yè)。3．超前定理設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)的Z變換為F(z)，則有證明：第十四頁(yè)第十五頁(yè)，共54頁(yè)。4．初值定理設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)的Z變換為F(z)，則有

證明：所以

第十五頁(yè)第十六頁(yè)，共54頁(yè)。5．終值定理設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)的Z變換為F(z)，則有證明：第十六頁(yè)第十七頁(yè)，共54頁(yè)。6．卷積和定理設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)和g(t)的Z變換分別為F(z)及G(z)，若定義則第十七頁(yè)第十八頁(yè)，共54頁(yè)。證明：由于當(dāng)i>k時(shí)

第十八頁(yè)第十九頁(yè)，共54頁(yè)。7．求和定理設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)和g(t)的Z變換分別為F(z)及G(z)，若有則

第十九頁(yè)第二十頁(yè)，共54頁(yè)。證明：

第二十頁(yè)第二十一頁(yè)，共54頁(yè)。8．位移定理設(shè)a為任意常數(shù)，連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)的Z變換為F(z)，則有

證明：

第二十一頁(yè)第二十二頁(yè)，共54頁(yè)。9．微分定理設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)的Z變換為F(z)，則有

證明：

第二十二頁(yè)第二十三頁(yè)，共54頁(yè)。2.3Z反變換

所謂Z反變換，是已知Z變換表達(dá)式F(z)，求相應(yīng)離散序列f(kT)或f*(t)的過程，表示為Z反變換主要有三種方法，即長(zhǎng)除法、部分分式法和留數(shù)計(jì)算法

第二十三頁(yè)第二十四頁(yè)，共54頁(yè)。1．長(zhǎng)除法設(shè)

用長(zhǎng)除法展開得：由Z變換定義得：比較兩式得：則：

第二十四頁(yè)第二十五頁(yè)，共54頁(yè)。2．部分分式法又稱查表法，設(shè)已知的Z變換函數(shù)F(z)無(wú)重極點(diǎn)，先求出F(z)的極點(diǎn)，再將F(z)展開成如下分式之和

然后逐項(xiàng)查Z變換表，得到

則：第二十五頁(yè)第二十六頁(yè)，共54頁(yè)。3．留數(shù)法設(shè)已知Z變換函數(shù)F(z)，則可證明，F(xiàn)(z)的Z反變換f(kT)值，可由下式計(jì)算

根據(jù)柯西留數(shù)定理，上式可以表示為

n表示極點(diǎn)個(gè)數(shù)，pi表示第i個(gè)極點(diǎn)。即f(kT)等于F(z)zk-1的全部極點(diǎn)的留數(shù)之和。

第二十六頁(yè)第二十七頁(yè)，共54頁(yè)。即：第二十七頁(yè)第二十八頁(yè)，共54頁(yè)。2.5線性定常離散系統(tǒng)的差分方程及其解

對(duì)于單輸入、單輸出的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)，設(shè)在某一采樣時(shí)刻的輸出為y(kT)，

輸入為u(kT)，為了書寫方便，用y(k)表示y(kT)，用u(k)表示u(kT)。

在某一采樣時(shí)刻的輸出值y(k)不但與該時(shí)刻的輸入u(k)及該時(shí)刻以前的輸入值u(k-1)，u(k-2)，…，u(k-m)有關(guān)，且與該時(shí)刻以前的輸出值y(k-1)，y(k-2)，…，y(k-n)有關(guān)，即：

或第二十八頁(yè)第二十九頁(yè)，共54頁(yè)。上式稱為n階線性定常離散系統(tǒng)的差分方程，其中ai、bi由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定，它是描述計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的一般表達(dá)式，對(duì)于實(shí)際的應(yīng)用系統(tǒng)，根據(jù)物理可實(shí)現(xiàn)條件，應(yīng)有k≥0。當(dāng)k＜0時(shí)，y(k)=u(k)=0。用Z變換解常系數(shù)線性差分方程和用拉氏變換解微分方程是類似的。先將差分方程變換為以z為變量的代數(shù)方程，最后用查表法或其它方法，求出Z反變換。

第二十九頁(yè)第三十頁(yè)，共54頁(yè)。若當(dāng)k＜0時(shí)，f(k)=0，設(shè)f(k)的Z變換為F(z)，則根據(jù)滯后定理關(guān)系可推導(dǎo)出

第三十頁(yè)第三十一頁(yè)，共54頁(yè)。例2.8若某二階離散系統(tǒng)的差分方程為：設(shè)輸入為單位階躍序列。

解：對(duì)差分方程求Z變換得

第三十一頁(yè)第三十二頁(yè)，共54頁(yè)。取Z反變換得

第三十二頁(yè)第三十三頁(yè)，共54頁(yè)。2.6Z傳遞函數(shù)

2.6.1Z傳遞函數(shù)的定義

設(shè)n階定常離散系統(tǒng)的差分方程為：在零初始條件下，取Z變換

則G(z)就稱為線性定常離散系統(tǒng)的Z傳遞函數(shù)。即：在零初始條件下離散系統(tǒng)的輸出與輸入序列的Z變換之比。

第三十三頁(yè)第三十四頁(yè)，共54頁(yè)。2.6.3Z傳遞函數(shù)的求法

1．用拉氏反變換求脈沖過渡函數(shù)2．將g(t)按采樣周期T離散化，得g(kT)3．應(yīng)用定義求出Z傳遞函數(shù)，即

G(z)不能由G(s)簡(jiǎn)單地令s=z代換得到。G(s)是g(t)的拉氏變換，G(z)是g(t)的Z變換。G(s)只與連續(xù)環(huán)節(jié)本身有關(guān)，G(z)除與連續(xù)環(huán)節(jié)本身有關(guān)外，還要包括采樣開關(guān)的作用。為了討論方便，將上述過程簡(jiǎn)記為

第三十四頁(yè)第三十五頁(yè)，共54頁(yè)。例2.9已知

解式中e-Ts相當(dāng)于將采樣延遲了T時(shí)間。根據(jù)Z變換的線性定理和滯后定理，再通過查表，可得上式對(duì)應(yīng)的脈沖傳遞函數(shù)為

第三十五頁(yè)第三十六頁(yè)，共54頁(yè)。2.6.4開環(huán)Z傳遞函數(shù)

1．串聯(lián)環(huán)節(jié)的Z傳遞函數(shù)串聯(lián)環(huán)節(jié)的Z傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)有兩種情況：—種是兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間沒有采樣開關(guān)存在，即串聯(lián)環(huán)節(jié)之間的信號(hào)是連續(xù)時(shí)間信號(hào)，如圖2.3所示。

G1(s)Y(s)T

U(z)U(s)Y1(s)Y(z)圖2.3串聯(lián)環(huán)節(jié)間無(wú)采樣開關(guān)G2(s)G(z)第三十六頁(yè)第三十七頁(yè)，共54頁(yè)。輸出Y(z)與輸入U(xiǎn)(z)之間總的Z傳遞函數(shù)并不等于兩個(gè)環(huán)節(jié)Z傳遞函數(shù)之積。因?yàn)閮蓚€(gè)環(huán)節(jié)之間的信號(hào)傳遞是一個(gè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)，即上式對(duì)應(yīng)的Z傳遞函數(shù)為

上式中符號(hào)是的縮寫，它表示先將串聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)G1(s)與G2(s)相乘后，再求Z變換的過程。

第三十七頁(yè)第三十八頁(yè)，共54頁(yè)。另一種是兩個(gè)環(huán)節(jié)之間有同步采樣開關(guān)存在，如圖2.4所示。

G1(s)T

U(z)U(s)T

Y1(z)G2(s)Y(z)圖2.4串聯(lián)環(huán)節(jié)間有采樣開關(guān)G(z)第三十八頁(yè)第三十九頁(yè)，共54頁(yè)。兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)，可由Z傳遞函數(shù)約定義直接求出。串聯(lián)環(huán)節(jié)總的Z傳遞函數(shù)為

第三十九頁(yè)第四十頁(yè)，共54頁(yè)。由上式可知，兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有同步采樣開關(guān)隔開的Z傳遞函數(shù)，等于每個(gè)環(huán)節(jié)Z傳遞函數(shù)的乘積。在一般情況下，很容易證明：

在進(jìn)行計(jì)算時(shí)，應(yīng)引起注意。

第四十頁(yè)第四十一頁(yè)，共54頁(yè)。結(jié)論：n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)構(gòu)成的系統(tǒng)，若各串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有同步采樣開關(guān)，總的Z傳遞函數(shù)等于各個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)Z傳遞函數(shù)之積，即如果在串聯(lián)環(huán)節(jié)之間沒有采樣開關(guān)，需要將這些串聯(lián)環(huán)節(jié)看成一個(gè)整體，求出其傳遞函數(shù)然后再根據(jù)G(s)求G(z)。一般表示成

第四十一頁(yè)第四十二頁(yè)，共54頁(yè)。2．并聯(lián)環(huán)節(jié)的Z傳遞函數(shù)對(duì)于兩個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)的離散系統(tǒng)，輸入采樣開關(guān)設(shè)在總的輸入端，其效果相當(dāng)于在每一個(gè)環(huán)節(jié)的輸入端分別設(shè)置一個(gè)采樣開關(guān)，如圖2.5所示。

G1(s)Y(s)TU(s)Y1(s)Y(z)(b)采樣開關(guān)在總輸入端G2(s)TY2(s)G1(s)TU(s)Y1(s)(a)采樣開關(guān)在各個(gè)環(huán)節(jié)輸入端G2(s)Y2(s)圖2.5并聯(lián)環(huán)節(jié)Y(s)Y(z)第四十二頁(yè)第四十三頁(yè)，共54頁(yè)。根據(jù)圖2.5可知，總的Z傳遞函數(shù)等于兩個(gè)環(huán)節(jié)Z傳遞函數(shù)之和，即

上述關(guān)系可以推廣到n個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)時(shí)、在總的輸出端與輸入端分別設(shè)有采樣開關(guān)時(shí)的情況?？偟腪傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)Z傳遞函數(shù)之和，即

第四十三頁(yè)第四十四頁(yè)，共54頁(yè)。2.6.5閉環(huán)Z傳遞函數(shù)

設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)輸出信號(hào)的Z變換為Y(z)，輸入信號(hào)的Z變換為R(z)，誤差信號(hào)的Z變換為E(z)，則有如下定義：

閉環(huán)Z傳遞函數(shù)：

閉環(huán)誤差Z傳遞函數(shù)：

第四十四頁(yè)第四十五頁(yè)，共54頁(yè)。例2.11設(shè)離散系統(tǒng)如圖2.6所示，求該系統(tǒng)的閉環(huán)誤差Z傳遞函數(shù)及閉環(huán)Z傳遞函數(shù)。

Y(z)E(z)R(z)y(t)e*(t)r(t)e(t)TH(s)G(s)圖2.6例2.11線性離散系統(tǒng)第四十五頁(yè)第四十六頁(yè)，共54頁(yè)。解：G(s)與H(s)為串聯(lián)環(huán)節(jié)且之間沒有采樣開關(guān)，則有

閉環(huán)誤差Z傳遞函數(shù)：又：閉環(huán)Z傳遞函數(shù)：

第四十六頁(yè)第四十七頁(yè)，共54頁(yè)。2.6.6Z傳遞函數(shù)的物理可實(shí)現(xiàn)性

從物理概念上說就是系統(tǒng)的輸出只能產(chǎn)生于輸入信號(hào)作用于系統(tǒng)之后。這就是通常所說的“因果”關(guān)系。設(shè)G(z)的一般表達(dá)式為：不失一般性，假定其中的系統(tǒng)m≥0，n≥0，其余系數(shù)為任意給定值，則其對(duì)應(yīng)的差分方程為由上式知，k時(shí)刻的輸出y(k)不依賴于k時(shí)刻之后的輸入，只取決于k時(shí)刻及k時(shí)刻之前的輸入和k時(shí)刻之前的輸出。故G(z)是物理可實(shí)現(xiàn)的。第四十七頁(yè)第四十八頁(yè)，共54頁(yè)。若設(shè)G(z)的一般表達(dá)式為

不失一般性，假定其中的系統(tǒng)m≥0，n≥0，其余系數(shù)為任意給定值，則

如果G(z)是物理可實(shí)現(xiàn)的，則要求n≥m。否則，k時(shí)刻的輸出y(k)就要依賴于k時(shí)刻之后的輸入，這是物理不可實(shí)現(xiàn)的。

第四十八頁(yè)