第八章微專題七市賽一等獎

微專題七圓錐曲線中性質的推廣大一輪復習講義一道解析幾何試題的命題背景可能就是圓錐曲線的一個性質定理的特殊情況如果掌握了定理的原理，也就把握了試題的本質對一些典型的試題，不應滿足于會解，可以引導學生深入探究試題背后的知識背景，挖掘問題的本質這樣才能真正找到解決問題的方法，學會用更高觀點去看待數(shù)學問題，把握問題的本質真題研究一、試題展示題12018·全國Ⅰ如圖1所示，設拋物線C：y2＝2，點A2,0，B－2，0，過點A的直線l與C交于M，N兩點1當l與軸垂直時，求直線BM的方程；解當l與軸垂直時，l的方程為＝2，可得點M的坐標為2,2或2，－2即－2y＋2＝0或＋2y＋2＝02證明：∠ABM＝∠ABN證明當l與軸垂直時，AB為MN的垂直平分線，所以∠ABM＝∠ABN當l與軸不垂直時，設l的方程為y＝－2≠0，M1，y1，N2，y2，則1>0，2>0所以BM＋BN＝0，可知BM，BN的傾斜角互補，所以∠ABM＝∠ABN綜上，∠ABM＝∠ABN題22018·全國Ⅰ設橢圓C：＋y2＝1的右焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標為2,01當l與軸垂直時，求直線AM的方程；解由已知得F1,0，l的方程為＝12設O為坐標原點，證明：∠OMA＝∠OMB證明當l與軸重合時，∠OMA＝∠OMB＝0°當l與軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，所以∠OMA＝∠OMB當l與軸不重合也不垂直時，設l的方程為y＝－1≠0，A1，y1，B2，y2，由題意知Δ>0恒成立，從而MA＋MB＝0，故MA，MB的傾斜角互補所以∠OMA＝∠OMB綜上，∠OMA＝∠OMB點評以上兩題是2018年高考全國Ⅰ卷解析幾何題的倒數(shù)第二題，是選拔題第1問根據(jù)直線方程的求法，多數(shù)學生都能完成，第2問是個探索性問題，重點考查用坐標法研究圓錐曲線中的定點定值問題，考查數(shù)形結合、函數(shù)方程、分類討論等基本數(shù)學思想，同時考查綜合運用所學數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力，綜合考查學生的運算能力和數(shù)學素養(yǎng)本題的呈現(xiàn)形式“平易近人”，是平面幾何中的角平分線問題，但本題的解決過程卻充分體現(xiàn)了坐標法的思想，可以將等角的幾何關系式轉化為坐標代數(shù)關系式，然后再用坐標法來處理本題看起來很平常，實際上卻背景豐富，有一定難度和區(qū)分度，也有很大的數(shù)學價值和研究空間，我們重點研究第二小問的相關性質二、性質研究性質1如圖3所示，已知拋物線y2＝2,0m>0，設不與軸垂直的直線l與拋物線相交于M，N兩點，則直線l過定點Am,0的充要條件是軸是∠MBN的角平分線圖3證明先證明必要性：設不與軸垂直的直線l的方程為y＝－m≠0，代入y2＝2＋22＝0所以∠ABM＝∠ABN，所以軸是∠MBN的角平分線再證明充分性：設不與軸垂直的直線l的方程為y＝＋b≠0，代入y2＝21，y1，N2，y2，因為∠ABM＝∠ABN，即y12＋m＋y21＋m＝0再將y1＝1＋b，y2＝2＋b代入上式，得1＋b2＋m＋2＋b1＋m＝0，即212＋b＋m1＋2＋2mb＝0， ②將①式代入②式，得2b2＋2b＋mb2＝0，整理得b＝－m，此時Δ>0，直線l的方程為y＝－m，所以直線l過定點Am,0圖4證明先證明必要性：設不與軸垂直的直線l的方程為y＝－m≠0，整理得a22＋b22－2ma22＋a22m2－b2＝0設A1，y1，B2，y2，所以∠OMA＝∠OMB，所以軸是∠AMB的角平分線再證明充分性：設不與軸垂直的直線l的方程為y＝＋t≠0，設A1，y1，B2，y2，整理得t＝－m此時Δ>0，所以直線l的方程為y＝－m，所以直線l過定點,0圖5圖6證明當直線l垂直于軸時，易得，整理得a22＋b22－2ma22＋a22m2－b2＝0設P1，y1，Q2，y2，則由根與系數(shù)的關系得性質6已知拋物線y2＝2,0，B－m