第三節(jié)-矩陣的對角化

第三節(jié)矩陣的對角化一．矩陣的對角化的概念二．矩陣的對角化判別與計(jì)算1一．矩陣的對角化的概念若n

階方陣A

與對角陣相似，則稱A

可對角化．若A

可對角化，則Am就比較容易計(jì)算了．問題：如何判別一個(gè)方陣是否可對角化？若能夠?qū)腔绾握铱赡婢仃嘝？定義：2二.矩陣可對角化的判別與計(jì)算A可對角化

?A~Λ

?存在可逆矩陣

使得?A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量3由上面的討論可得矩陣A可對角化的充要條件

.定理1：n階方陣A可對角化?A

有n

個(gè)線性無關(guān)的特征向量．上述定理告訴我們，找可逆矩陣P，使得為對角陣，關(guān)鍵是找出A的n個(gè)線性無關(guān)的特征向量滿足此時(shí)令則4是數(shù)域P上n

階矩陣A

的所有設(shè)是齊次線性方程組不同的特征值，是否仍線性無關(guān)？的一個(gè)基礎(chǔ)解系，它們是A的線性無關(guān)的特征向量，我們自然會想：把這m組向量合在一起，即問題：如何判斷數(shù)域P上的n階矩陣A有沒有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量？5定理2：證：線性無關(guān)．是數(shù)域P上n

階矩陣A

的不同的設(shè)于線性無關(guān)的特征向量，則分別是A的屬特征值，設(shè)兩邊左乘A得①6①式兩邊乘以得以上兩式相減得

從而有7由于

線性無關(guān)，則代入①式得由于

線性無關(guān)，則線性無關(guān)．從而8數(shù)域P上n

階矩陣A的屬于不同特征值對于A的不同的特征值的個(gè)數(shù)作歸納，可得到定理3：是數(shù)域P上n

階矩陣A

的設(shè)是A的屬于的不同的特征值，線性無關(guān)．線性無關(guān)的特征向量，則向量組推論1：的特征向量線性無關(guān)。9從定理3可得出如下結(jié)論：是數(shù)域P上n

階矩陣A

的所有設(shè)是齊次線性方程組不同的特征值，一定線性無關(guān)．的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則A的特征向量組10①若的特征向量，從而A不可以對角化；則A沒有n個(gè)線性無關(guān)②若特征向量，從而A可以對角化；此時(shí)令則A有n個(gè)線性無關(guān)的則P為n

階可逆矩陣，且11稱為的相似標(biāo)準(zhǔn)型．注：除了主對角線元素排列次序外，A

的相似標(biāo)準(zhǔn)型是被A唯一確定的。

特別地，推論2：數(shù)域P上n

階矩陣A若有n個(gè)互異的特征值，則A可對角化。12例1已知問A

是否可對角化，若可以，求可逆矩陣P

，使得為對角陣．解：A

有兩個(gè)互異的特征值，故可對角化⑴求矩陣A的特征值.13⑵求A

的特征向量,的一個(gè)基礎(chǔ)解系是對于求得齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系是對于求得齊次線性方程組14線性無關(guān)，令∴

P可逆，且15例2設(shè)(書P168—例5.3.1)判斷A是否可對角化，若可對角化，求可逆矩陣P

，使得為對角陣．解：⑴求A

的特征值16一個(gè)基礎(chǔ)解系為⑵求A

的特征向量,對于求得齊次線性方程組一個(gè)基礎(chǔ)解系為對于求得齊次線性方程組17因?yàn)?階矩陣A

有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量，故A可對角化.⑶構(gòu)造可逆矩陣P令18則或者①令則19②令③令則則20例3判斷(書P169—例5.3.2)對解：為A

的特征值對于求的一個(gè)基礎(chǔ)解系:因?yàn)锳

只有一個(gè)線性無關(guān)的特征向量,故A不能對角化.21例4設(shè)二階方陣A滿