【ch05】開放量子系統(tǒng)動力學(xué)

高等量子力學(xué)開放量子系統(tǒng)動力學(xué)第五章普通高等教育“十三五”規(guī)劃教材天津工業(yè)大學(xué)學(xué)位與研究生教育改革項目資助01開放量子系統(tǒng)由第1章知道，對于封閉或孤立的物理系統(tǒng)，若H是不依賴于時間的純態(tài)系統(tǒng)哈密頓算符，則系統(tǒng)的演化算符由式(1.27)給出。然而，對于哈密頓量依賴時間的系統(tǒng)，利用式(1.21),方程式(1.25)的解可以表示為時間序的指數(shù)，有式中，T表示時間序算符，“←”表示時間從右向左增加順序。如果系統(tǒng)初始處于混合態(tài)，即利用薛定諤方程，在任意時刻t,系統(tǒng)態(tài)為對上述方程進(jìn)行微分，立即可得密度矩陣的運(yùn)動方程式(1.112)及劉維方程式(1.113)。劉維方程式(1.113)可以得到一個類似式(5.1)的形式解(已令h=1):01封閉系統(tǒng)及劉維-馮·諾依曼方程02開放系統(tǒng)動力學(xué)對于不依賴于時間的哈密頓量，劉維超算符也是不依賴于時間的，顯然有2.開放系統(tǒng)動力學(xué)一般來說，開放系統(tǒng)是指一個量子系統(tǒng)S耦合到另一個稱作環(huán)境的量子系統(tǒng)B的系統(tǒng)。因此，它是復(fù)合系統(tǒng)S+B的子系統(tǒng)。多數(shù)情況下假設(shè)復(fù)合系統(tǒng)是封閉的，遵循哈密頓動力學(xué)，然而，子系統(tǒng)S的狀態(tài)將隨其內(nèi)部動力學(xué)和與環(huán)境的相互作用而改變。相互作用導(dǎo)致某種系統(tǒng)-環(huán)境關(guān)聯(lián)，以致一般情況下，S態(tài)的變化下不再是幺正的、哈密頓動力學(xué)的變化，子系統(tǒng)S的動力學(xué)由總系統(tǒng)哈密頓演化驅(qū)動常稱作約化系統(tǒng)動力學(xué)，并且S也被稱作約化系統(tǒng)。設(shè)Hs是系統(tǒng)的希爾伯特空間，Hb是環(huán)境的希爾伯特空間。總系統(tǒng)S+B的希爾伯特空間由張量積

表示?？偣茴D量H(4)為其中，Hs是開放系統(tǒng)S的哈密頓量，HB是環(huán)境B的自由哈密頓量，HI(t)是系統(tǒng)和環(huán)境相互作用的哈密頓量。02開放系統(tǒng)動力學(xué)談到開放系統(tǒng)S,一般是指環(huán)境B與它耦合。“庫”是指由無限自由度構(gòu)成的環(huán)境，以至于庫模的頻率是連續(xù)的。這個性質(zhì)將導(dǎo)致開放的、量子系統(tǒng)的不可逆行為。后面我們將把熱平衡狀態(tài)下的庫稱為“浴”或“熱浴”。人們通常遇到的環(huán)境模式既不可精確獲知也不可控制，因此開放系統(tǒng)一般要用近似方法求解。我們知道，開放系統(tǒng)S的可觀測量的形式為

,其中A是作用在希爾伯特空間Hs上的算符，

上的單位算符。如果總系統(tǒng)的狀態(tài)為p,那么作用在開放系統(tǒng)希爾伯特空間上的可觀測量的期望值為其中約化密度矩陣Ps(t)在t時刻可表示為其運(yùn)動方程為02量子馬爾科夫過程設(shè)初始時刻t=0時，總系統(tǒng)S+B處于不關(guān)聯(lián)的乘積態(tài)

,其中ps(0)是約化系統(tǒng)S的初態(tài)，Ps代表環(huán)境的狀態(tài)，描述約化系統(tǒng)狀態(tài)從t=0到t>0的變化可以寫為如果參考態(tài)PB及時間t固定，上述關(guān)系就確定了一個約化密度矩陣自身的映射，即這個映射描述了開放系統(tǒng)在時間t的狀態(tài)變化，叫作動力學(xué)映射(見表5.1)。動力學(xué)映射可以利用開放系統(tǒng)的希爾伯特空間Hs內(nèi)的算符完全表征。利用環(huán)境的密度矩陣PB的譜分解：

，其中

構(gòu)成一個HB的正交基，

為非負(fù)實數(shù)且滿足

,則得到式(5.11)的下列表示；01開放量子系統(tǒng)動力學(xué)概述其中，

中的算符，定義為由式(5.13)容易看出，V(4)具有描述一般量子測量操作

(見式(2.28))的形式。再者，算符

滿足條件由此，可推導(dǎo)出因此，我們說，一個動力學(xué)映射V(t)是凸線性的、完全正和保跡的量子操作。01開放量子系統(tǒng)動力學(xué)概述上面給出了t固定時的動力學(xué)映射V(1)。如果讓t變化，即可得到動力學(xué)映射的一個參數(shù)簇{V(t)}t≥0},其中V(0)為單位映射。這個簇描述了開放系統(tǒng)全部的時間演化。然而，如果庫關(guān)聯(lián)函數(shù)衰減的特征時間遠(yuǎn)小于系統(tǒng)演化的特征時間，則約化系統(tǒng)的記憶效應(yīng)可以忽略。因此，像經(jīng)典理論那樣可以獲得馬爾科夫型的行為。對于均勻情況這一理論將借助如下半群特征構(gòu)建。馬爾科夫量子主方程如果量子動力學(xué)半群存在，在某種數(shù)學(xué)條件下(見下面),一個線性映射L,即半群的生成元，可以表示成如下指數(shù)形式：由此，立刻可以得到開放系統(tǒng)約化密度矩陣的一階微分方程02馬爾科夫量子主方程方程式(5.19)叫作馬爾科夫量子主方程。半群生成元L為超算符，它可以看成方程式(1.113)中劉維超算符的一般化。在有限維希爾伯特空間

,下形式(數(shù)學(xué)推導(dǎo)從略):可以構(gòu)造出一個量子動力學(xué)半群的生成元L的如這是量子動力學(xué)半群生成元的最一般形式。生成元的第一項表示由哈密頓量H產(chǎn)生的動力學(xué)的幺正部分，算符A,通常稱作Lindblad算符，并且對應(yīng)的密度矩陣方程式(5.19)叫作Lindblad方程。我們注意到，如果A.取為無量綱的量，則非負(fù)的量x有反比于時間的量綱。后面將會看到，n由環(huán)境的關(guān)聯(lián)函數(shù)給出，并且對于開放系統(tǒng)的不同衰減模式起著弛豫率的作用。很多情況下為了方便，常引入耗散子因此，量子主方程式(5.19)可以寫為如下形式：02馬爾科夫量子主方程需要說明的是，由于系統(tǒng)和環(huán)境的耦合，哈密頓量H可能含有約化系統(tǒng)S的自由哈密頓量Hs之外的項。另外，值得注意的是，生成元L并不是由唯一確定的哈密頓量H和Lindblad算符

決定的。事實上，生成元在下列變換下是不變的。(1)Lindblad算符集的幺正變換。式中，Uy為幺正矩陣元。(2)非均勻變換。其中，

是復(fù)數(shù)，b是實數(shù)。由于第(2)個不變式性質(zhì)，所以總是可以去選取無跡的Lindblad算符。02馬爾科夫量子主方程對于受到與時間有關(guān)外場作用的開放系統(tǒng)，需要借助依賴于時間的生成元描述。將式(5.19)推廣到與時間相關(guān)的情形，其表達(dá)形式為對于固定的時間t≥0,式中L(t)是量子動力學(xué)半群。下面引入相應(yīng)的傳播子式(5.26)滿足關(guān)系代入半群特性式(5.17),則有02馬爾科夫量子主方程類似于封閉量子系統(tǒng)，開放量子系統(tǒng)在薛定諤繪景中的每個系統(tǒng)算符A都可以在海森伯繪景中定義相應(yīng)的算符

。這可以借助下面的關(guān)系式做到：類似式(5.26),引入伴隨傳播子符號T→,定義了反時序算符，而伴隨生成元L

定義為＋伴隨傳播子V

(t,to)滿足如下微分方程：＋并且伴隨傳播子描述了海森伯繪景中算符的時間演化03伴隨量子主方程由此得到下列海森伯算符AH(t)的運(yùn)動方程：式(5.34)稱為伴隨主方程，如同方程式(5.20)的情況，如果Lindblad生成元不解析地依賴于時間，則可以給出一個重要的特殊情況，此種情況下，伴隨Lindblad生成元與V(t,0)對易，并且伴隨主方程取如下簡單形式：可以看到此時的伴隨主方程的右邊僅與在時間t的海森伯算符An(t)有關(guān)。03伴隨量子主方程03主方程的微觀推導(dǎo)設(shè)量子力學(xué)系統(tǒng)S弱耦合于庫B,則總系統(tǒng)哈密頓量為為了使推導(dǎo)量子馬爾科夫主方程更容易，我們將在相互作用繪景下進(jìn)行。相互作用繪景下的劉維-馮·諾依曼方程為由方程式(5.37)可得總密度矩陣的積分形式為將式(5.38)代入方程式(5.37)并對庫取跡，得到其中，我們已經(jīng)假設(shè)容易看到，方程式(5.39)仍然包含總系統(tǒng)的密度矩陣p(t)。為了從運(yùn)動方程中消除p(t),我們進(jìn)行第一次近似處理，叫作玻恩近似。這個近似假設(shè)：系統(tǒng)和庫之間的耦合是弱的，以至于系統(tǒng)對庫的影響是小的(稱作弱耦合近似)。因此，庫的密度矩陣pg受相互作用的影響可忽路，并且總系統(tǒng)的態(tài)在t時刻可以近似表示為張量積形式：01弱耦合限需要強(qiáng)調(diào)的是，這并不意味約化系統(tǒng)下不引起庫的任何激發(fā)。將張量積式(5.41)代入精確的運(yùn)動方程式(5.39),我們得到一個約化密度矩陣ps(4)的閉合的積分-微分方程：為了簡化上述方程，進(jìn)一步進(jìn)行馬爾科夫近似，即用ps(t)代替被積函數(shù)ps(s),這樣，我們得到了關(guān)于ps(f)的運(yùn)動方程：此方程叫作Redfield方程。進(jìn)一步以t-s代替積分函數(shù)中的s,并令積分上限為無窮大，則可得到如下馬爾科夫量子主方程：式(5.44)近似處理通常稱作玻恩-馬爾科夫近似，然而，一般情況下它并不能保證方程式(5.44)定義了動力學(xué)半群的生成元。因此，下面做進(jìn)一步近似處理，即對主方程的快速振蕩項做平均，稱為旋波近似。為了解釋這個過程，現(xiàn)將薛定諤繪景下的相互作用哈密頓量H,寫為如下形式：01弱耦合限其中，

。是相互作用的最一般形式。如果把相互作用哈密頓量H,分解為系統(tǒng)哈密頓量H?的本征算符，則近似處理很容易進(jìn)行。下面假設(shè)Hs具有分立的本征值譜ε,并且被Ⅱ(s)投影在屬于本征值s的本征空間。那么，我們可以定義算符求和表示對所有H?的本征值ε'和ε并且具有固定能量差。進(jìn)行。這個定義的一個立刻的后果是下列關(guān)系式得到滿足(請讀者自行驗證):因此，

分別被視為Hs的屬于頻率

的本征算符。關(guān)系式(5.47)和式(5.48)在相互作用繪景下對應(yīng)的算符取如下形式：最后，我們注意到01弱耦合限其中，

。將式(5.46)對所有能量差求和，并利用完備關(guān)系得到由此相互作用哈密頓量可以寫為如下形式：這正是所期望的，將相互作用分解為系統(tǒng)哈密頓量的本征算符形式。注意，一般來說頻譜

是簡并的，即對某一固定的φ,指標(biāo)α標(biāo)明了不同的算符

屬于相同的頻率。由于引入了本征算符分解式(5.53),因此在相互作用繪景下相互作用哈密頓量可以寫為特別簡單的形式：其中式(5.55)是環(huán)境的相互作用繪景算符，我們也注意到條件式(5.40)成為01弱耦合限即

的庫平均消失。將式(5.54)代入主方程式(5.44),經(jīng)過運(yùn)算得到其中，式(5.57)已經(jīng)引入了單邊傅里葉變換式(5.58)是如下庫關(guān)聯(lián)函數(shù)的傅里葉變換：現(xiàn)在假設(shè)

是庫的定態(tài)，即

,那么，庫關(guān)聯(lián)函數(shù)對時間來說是均勻的，則可得到這表明了

不依賴于時間。值得說明的是，如果庫函數(shù)依賴于時間t,則會有有意義的情況發(fā)生。例如，如果庫是壓縮真空態(tài)的時候。對于很大的庫，相應(yīng)的頻率間隔很小時，式(5.57)中的

項可以忽略，這是典型的量子光學(xué)系統(tǒng)滿足的條件，稱作旋波近似。因此，我們有01弱耦合限將庫關(guān)聯(lián)函數(shù)的傅里葉變換分解為對固定的

,系數(shù)稱為厄密矩陣，并且矩陣是正的。利用這些矩陣，最后我們給出了相互作用繪景下的主方程厄密算符給出了動力學(xué)的哈密頓量。這項常稱作蘭姆移動哈密頓量。注意，借助式(5.51)可以得到01弱耦合限最后，主方程的耗散項取如下形式：需要說明，通過加自由系統(tǒng)哈密頓量Hs到Hus即可得到薛定諤繪景主方程。借助本征算符的性質(zhì)(見式(5.47)、式(5.48)和式(5.51)),容易證明這一點。總結(jié)上面用到的近似。第一個近似是弱耦合假設(shè)，這個假設(shè)允許將精確的運(yùn)動方程展開到密度矩陣二階項，結(jié)合條件

,導(dǎo)致對主方程的玻恩近似。第二個近似是馬爾科夫近似，將密度矩陣Ps(s)用當(dāng)前時刻的密度矩陣Ps(t)代替。再者，將積分限推至無窮大得到主方程的玻恩-馬爾科夫近似。玻恩-馬爾科夫近似相關(guān)的物理條件是，系統(tǒng)和庫的關(guān)聯(lián)時間m比系統(tǒng)的弛豫時間

小很多，即

。最后，在旋波近似中，對于比例于exp[i(w'-)(]的快速振蕩項中的

部分可忽略，這使得量子主方程為Lindblad形式。相應(yīng)的物理條件是，問題中涉及頻率差的倒數(shù)

。01弱耦合限在前面一般性討論的基礎(chǔ)上，下面具體考慮一個奇異耦合情況。從前面的討論了解到，在弱耦合限條件下，由系統(tǒng)和環(huán)境相互作用引起的擾動假設(shè)是小的。結(jié)果，環(huán)境的自由度快速變化并且可以被有效地消除。對于某些合適的時間范圍，一定條件下對強(qiáng)耦合情況可以推導(dǎo)線性量子主方程。在這個所謂奇異限下，考慮如下形式的總哈密頓量：其中，相互作用哈密頓量再次被寫作其中，

。我們的目的是在ε→0的條件下推導(dǎo)約化密度矩陣的運(yùn)動方程。為了得到哈密頓量式(5.69)的形式，首先注意到式(5.59)中的庫關(guān)聯(lián)函數(shù)的衰減時間通過標(biāo)度關(guān)系

因子關(guān)系減小。相互作用哈密頓的標(biāo)度關(guān)系

，確保庫關(guān)聯(lián)函數(shù)的傅里葉變換在ε→0極限下保持有限。在這個模型下推導(dǎo)量子主方程與弱耦合情況類似，差別僅在于此時不需要進(jìn)行旋波近似，結(jié)果得到下列薛定諤繪景下的主方程：02奇異耦合限其中，蘭姆移動哈密頓量為這里

的定義類似于式(5.63),并且同樣，

是厄密的并且是正的。實際上，主方程式(5.71)是討論量子Zeno效應(yīng)時遇到過的。02奇異耦合限04量子光學(xué)主方程考慮一個束縛的量子系統(tǒng)，如一個原子或分子，與一個量子化輻射場相互作用，輻射場代表一個無窮自由度的庫，束縛系統(tǒng)是我們感興趣的約化系統(tǒng)，Hs表示自由原子或分子的哈密頓量，而自由量子化輻射場的哈密頓量為01處于量子化輻射場中的物質(zhì)為簡單起見，我們將輻射場分解為在體積為V的盒子中的傅里葉模式，并施加周期性邊界條件。這些模式用波矢

來標(biāo)記，并且用極化矢量

表示兩個橫向、單位極化矢量，因此有色散關(guān)系是

場算符

分別表示具有波矢

和極化矢量

所謂光子的湮滅和產(chǎn)生算符。它們服從如下對易關(guān)系：01處于量子化輻射場中的物質(zhì)最后，我們假設(shè)相互作用哈密頓量由偶極近似給出：其中，

是系統(tǒng)的偶極算符，

是電場算符，其在薛定諤繪景下可以表示為式中的系數(shù)不同于第4章的式(4.26)是由于本章采用了不同于第4章的高斯單位制的緣故。利用上述定義，給出總系統(tǒng)哈密頓量下面我們進(jìn)行玻恩-馬爾科夫近似處理。為了將偶極算符

分解為Hs的本征算符形式，取如下算符(見方程式(5.46)):注意，偶極算符分量表示為Di(=1,2,3),這里i對應(yīng)前面的指標(biāo)α。按照方程式(5.47)、式(5.48)及

,有01處于量子化輻射場中的物質(zhì)和因此，相互作用繪景下，偶極算符

分解為本征算符，有并且相互作用繪景下，相互作用哈密頓量可以寫為類似于方程式(5.54)的形式：其中，

定義了相互作用繪景下的電場算符如方程式(5.56)的形式：由此可以寫出類似于式(5.57)的運(yùn)動方程：01處于量子化輻射場中的物質(zhì)電場算符的關(guān)聯(lián)函數(shù)定義為并且其單邊傅里葉變換由下式給出：矩陣

稱作譜關(guān)聯(lián)張量。一般地，它依賴于時間t。事實上，它有如下形式：根據(jù)庫所處的具體狀態(tài)，式(5.92)可以進(jìn)一步化簡。下面首先來看熱庫狀態(tài)的情況。假設(shè)輻射庫的模式處于溫度為T的平衡狀態(tài)，即01處于量子化輻射場中的物質(zhì)注意，容易知道

,并且譜關(guān)聯(lián)張量

與時間t無關(guān)。隨后在旋波近似下，方程式(5.89)化為式(5.94)中的譜關(guān)聯(lián)張量待定。為了給出譜關(guān)聯(lián)張量，我們利用下列關(guān)系：其中定義了普朗克分布，它是頻率為

的模上的光子的平均數(shù)，為計算簡單起見，取連續(xù)限對波矢

的立體角dΩ積分，利用如下關(guān)系：01處于量子化輻射場中的物質(zhì)式(5.92)化為利用公式其中，P定義了哥西主值。最后，我們得到式中我們引入了如下量值：注意，普朗克分布滿足

有01處于量子化輻射場中的物質(zhì)總結(jié)以上結(jié)果，得到可以寫為所謂Lindblad形式的量子光學(xué)主方程：式中，哈密頓量在輻射場的真空漲落(蘭姆移動)和熱驅(qū)動(斯塔克移動)下，導(dǎo)致系統(tǒng)哈密頓量Hs重新歸一化。量子主方程的耗散子取如下形式：注意，式(5.110)在求和中我們已經(jīng)利用式(5.85)將負(fù)的頻率變?yōu)榱苏l率。可以看到，主方程的耗散子描述自發(fā)和熱驅(qū)動過程。利用方程式(5.41)可知，Lindblad算符

使原子能級下降

能量，即如果

具有能量ε的本征態(tài)，則

是Hs的屬于本征值

的本征態(tài)。01處于量子化輻射場中的物質(zhì)相應(yīng)地，算符

使原子能級上升

的量值。因此，

描述自發(fā)和熱驅(qū)動發(fā)射過程，發(fā)射率為

;而4(o)描述熱驅(qū)動吸收過程，吸收率為

。最后，我們來看量子光學(xué)主方程的有效范圍。弛豫時間

由典型的弛豫率的倒數(shù)

給出。后者由電偶極轉(zhuǎn)換的轉(zhuǎn)換率

的典型值定義，其中

是偶極算符對應(yīng)的矩陣元。另一方面，庫自由度的真空關(guān)聯(lián)時間

由典型轉(zhuǎn)換頻率

的倒數(shù)給出。因此，由玻恩-馬爾科夫近似的條件

,這明顯為弱耦合條件。這個條件在量子光學(xué)范圍內(nèi)一般能夠得到很好的滿足。例如，典型的輻射反比于原子壽命，其數(shù)量級為

,而光學(xué)頻率在

數(shù)量級。再者，必須注意，如果主方程含有大量不同轉(zhuǎn)換頻率，需要條件

成立。這個條件使人們能夠進(jìn)行旋波近似，并且屬于不同頻率的轉(zhuǎn)換可以被描述為分離的衰減通道，用不同Lindblad算符。02一個兩能級系統(tǒng)的衰減兩能級系統(tǒng)的希爾伯特空間等價于一個自旋一1/2系統(tǒng)的希爾伯特空間?，F(xiàn)在設(shè)這個系統(tǒng)的兩個態(tài)分別為激發(fā)態(tài)

,則對應(yīng)的泡利算符可表示為01處于量子化輻射場中的物質(zhì)為了計算方便，常定義算符我們?nèi)∠到y(tǒng)的自由哈密頓量在基矢

上為對角的，對于合適的基態(tài)能級，則有其中，

為轉(zhuǎn)換頻率，并已取

。下面我們將在相互作用繪景下討論問題。為了具體起見，考慮一個在光學(xué)范圍內(nèi)轉(zhuǎn)變頻率為a,的兩能級原子。我們注意到，算符代表原子哈密頓量的本征算符，有因此，

使原子的能量改變

,分別對應(yīng)于吸收和發(fā)射過程。所以，有如下兩個Lindblad算符：其中，

是偶極算符的轉(zhuǎn)換矩陣元(這里假設(shè)偶極算符的對角項消失)。在兩能級近似下，原子耦合算符在相互作用繪景中可以寫為02一個兩能級系統(tǒng)的衰減忽略蘭姆和斯塔克移動的貢獻(xiàn)，可以給出量子光學(xué)主方程為(為簡單起見，用p代替ps)式中，自發(fā)發(fā)射率為主方程的耗散項描述了自發(fā)發(fā)射(發(fā)射率為γo)、熱發(fā)射和吸收(發(fā)射和吸收率為γoN)過程?？傓D(zhuǎn)換率由下式定義：其中，

定義了轉(zhuǎn)換頻率處的普朗克分布。為了求解主方程式(5.117),將密度矩陣寫為如下形式：02一個兩能級系統(tǒng)的衰減式中，矢量即為著名的布洛赫(Bloch)矢量。它滿足條件

,其等價于要求p(t)必須為正。

對應(yīng)于密度矩陣描述一個真正的統(tǒng)計混合，而布洛赫矢量滿足

代表一個純態(tài)。由此可見，兩能級系統(tǒng)的密度矩陣的集合與被稱為布洛赫單位球的幾何體同構(gòu)，它的表面等價于純態(tài)的集合。矩陣元

分別是激發(fā)態(tài)和基態(tài)能級的布居。非對角元

表示相干，由原子上升和下降算符

的期望值給出。利用泡利矩陣的代數(shù)關(guān)系，容易得到下列微分方程：容易看到，布洛赫矢量的z分量以指數(shù)率γ衰減，而

衰減。上述方程的定態(tài)解為02一個兩能級系統(tǒng)的衰減并且上能級的定態(tài)布居為實際上，主方程的定態(tài)解等于熱平衡態(tài)的解。例如，如果取初態(tài)

,賴時間的解為解析地表明了以指數(shù)規(guī)律趨于熱平衡的值。03系統(tǒng)在壓縮真空場中的衰減前面考慮的庫對于浴動力學(xué)來說是定態(tài)。為了給出非定態(tài)環(huán)境的例子，下面我們考慮一個兩能級系統(tǒng)相互作用于庫的狀態(tài)

,這里

是壓縮真空態(tài)。02一個兩能級系統(tǒng)的衰減其中，壓縮算符

由下式給出：式中，取

。利用壓縮算符關(guān)系式(3.59)和式(3.60)可得到如下期望值(與方程式(5.95)~式(5.97)比較):式中已經(jīng)定義了我們注意到，這些關(guān)系式與場算符的對易關(guān)系，即式(5.78)和式(5.79)相互兼容，并有對于熱庫，有

。然而，因為PB不是不變的態(tài)，電場算符的關(guān)聯(lián)函數(shù)式(5.90)在時間上不再是均勻的。結(jié)果，譜關(guān)聯(lián)張量明確地依賴于時間t。對于壓縮真空態(tài)，譜關(guān)聯(lián)張量利用式(5.92)可以寫為03系統(tǒng)在壓縮真空場中的衰減式(5.237)已經(jīng)假設(shè)壓縮均勻覆蓋總的4π立體角。我們看到，譜關(guān)聯(lián)張量由兩部分組成：第一部分

與時間t無關(guān)，而第二部分

涉及快速振蕩指數(shù)

。相應(yīng)地，主方程的耗散子由兩部分組成，有其中，

決定。因此，形式上它有與方程式(5.117)右邊熱耗散子相同的結(jié)構(gòu)，其中N是Nk在共振頻率

時的值。它由共振壓縮參數(shù)r給出，有如果忽略蘭姆和斯塔克移動的貢獻(xiàn)，我們發(fā)現(xiàn)，對于譜關(guān)聯(lián)張量與時間有關(guān)的部分為03系統(tǒng)在壓縮真空場中的衰減和再者，式中M和Mk取共振頻率時的值，即具有共振壓縮參數(shù)r和共振相角θ。為了決定主方程的耗散子D(2),將

代入方程式(5.89)的右邊并進(jìn)行旋波近似。因為

振蕩，旋波近似從雙頻率求和中精確地選取兩個共振項，即對應(yīng)于

情況的項，第一種情況被看到導(dǎo)致如下貢獻(xiàn)：而第二種情況導(dǎo)致將偶極矩陣元吸收到壓縮相位θ中，則得到03系統(tǒng)在壓縮真空場中的衰減最后，我們得到密度矩陣方程為這正是描述兩能級系統(tǒng)在壓縮真空中的主方程，值得注意，它可以被寫為Lindblad形式。引入Lindblad算符：

,容易發(fā)現(xiàn)引入泡利矩陣代數(shù)，得到如下運(yùn)動方程：這些方程描述了相干弛豫的相應(yīng)依賴關(guān)系和布洛赫矢量的三個分量的弛豫。設(shè)θ=0,則布洛赫矢量的運(yùn)動方程取如下形式：03系統(tǒng)在壓縮真空場中的衰減最后，我們得到密度矩陣方程為在極限r(nóng)→0下，上述方程轉(zhuǎn)化為真空布洛赫方程(方程式(5.222)～式(5.224),

)。可以看到，在壓縮真空條件下，布洛赫矢量的分量

以不同的弛豫率衰減。特別注意到，與真空情況比弛豫率在一個方向被增強(qiáng)，同時在另一個方向被減弱，布洛赫矢量的z分量接近于定態(tài)，有它與方程式(5.225)有相同的形式，其中這里N=sinh2r起著普朗克分布的作用。04阻尼諧振子03系統(tǒng)在壓縮真空場中的衰減下面我們研究主方程的另一個有代表性的例子——阻尼諧振子。該系統(tǒng)自由演化的哈密頓量為

,描述了頻率為

的諸振子。其薛定諤繪景下的方程為此方程可以用于描述電磁場模在一個腔中的阻尼，此時a+和a定義了腔模的產(chǎn)生和湮滅算符。環(huán)境由腔外的模式給出，并且導(dǎo)致腔模具有γo的阻尼，其中熱庫中頻率為

模的量子平均數(shù)為1.泡利主方程和定態(tài)解設(shè)

(n=0,1,2…)為第n個振子的本征態(tài)，即

。主方程式(5.254)導(dǎo)致第n個能級布居，

,形成一個閉合方程，稱為泡利主方程，有04阻尼諧振子這個方程的定態(tài)解為利用方程式(5.255),式(5.257)可重新寫為由上式看出，式(5.258)是振子本征態(tài)的玻爾茲曼分布。在這個模上量子的平均數(shù)的定態(tài)值等于熱平均數(shù)，有2.伴隨主方程為了研究上述問題的動力學(xué)，可以直接從主方程推出系統(tǒng)算符期望值的運(yùn)動方程。另外，也可以利用伴隨主方程式(5.35),即04阻尼諧振子決定海森伯算符

的動力學(xué)。用海森伯算符在t=0時和薛定諤算符一致作為初態(tài)條件，則有從這些方程立刻可以推出振子的平均振幅為和平均量子數(shù)因此，振子平均振幅在復(fù)平面按指數(shù)變化，當(dāng)rot>1時趨近于初始值。量子的平均數(shù)從初值

開始，趨近于與初始值無關(guān)的熱平均值N。3.相干態(tài)表象在量子光學(xué)的應(yīng)用中，人們經(jīng)常借助相空間方法研究主方程。下面以相干態(tài)或P表象為例來研究主方程。系統(tǒng)密度矩陣的相干態(tài)表象的定義可以追溯到Glauber(1963)和Sudarshan(1963)給出的定義：04阻尼諧振子因此，Ps(t)代表具有相應(yīng)權(quán)重函數(shù)

的相干態(tài)

的混合。然而，應(yīng)該注意到，P只是某種準(zhǔn)概率，一般它不是正的分布函數(shù)。由密度矩陣的歸一化導(dǎo)致如下歸一化條件：在產(chǎn)生和湮滅算符

的乘積中，如果所有產(chǎn)生算符置于湮滅算符的左邊，則這個乘積被稱作正規(guī)序積。對于這樣一個正規(guī)序積，有這是P表象的一個重要性質(zhì)。由此可以將任何產(chǎn)生和湮滅算符正規(guī)序積的期望值轉(zhuǎn)變?yōu)橥瑫r刻的

分布。為了推導(dǎo)關(guān)于

的方程，將量子主方程式(5.254)用下列特性替換到P表象：04阻尼諧振子上述關(guān)系很容易由相干態(tài)的定義推導(dǎo)出來。經(jīng)過整理，上面的特性顯示出下列對應(yīng)關(guān)系：利用這些關(guān)系，容易導(dǎo)出P表象的?？?普朗克型運(yùn)動方程：04阻尼諧振子這個方程與經(jīng)典福克-普朗克方程類似。下面就來求解方程式(5.277)。設(shè)初始值為這意味著初始為相干態(tài)

。相應(yīng)的解可以通過將式(5.279)代入方程式(5.277)并且推導(dǎo)時間相關(guān)函數(shù)

的微分方程來獲得。然而，通過一個簡單的方法將會看到，β(t)等于平均振幅，有相應(yīng)地，可以得到因此，當(dāng)振子和周圍的庫達(dá)到平衡時，寬度σ2(t)從零增加到熱平均值N。我們注意到，在零溫(N=0)時，隨著時間的演化初始相干態(tài)保持相干態(tài)。04阻尼諧振子05量子布朗運(yùn)動這個模型描述了一個質(zhì)量為m,位于坐標(biāo)x處，在勢能為V(x)的場中運(yùn)動的布朗粒子。因此，粒子的自由哈密頓量取如下形式：式中，p為粒子動量。假設(shè)粒子被耦合到一個由大量質(zhì)量為Mn和頻率為

的諧振子浴中，其哈密頓量為式中，

分別是浴模的湮滅、產(chǎn)生算符；而Xn和Pn是對應(yīng)的坐標(biāo)和正則共軛動量。模型中，假設(shè)布朗粒子的坐標(biāo)x線性耦合于浴振子的坐標(biāo)Xn。相應(yīng)地，相互作用哈密頓量Hi

取如下形式：式中，浴算符為后面會看到，這種類型的相互作用給出了布朗粒子勢場V(x)的重整化。為了補(bǔ)償這種重整化，在相互作用哈密頓量中加入如下項是方便的：01Caldeira-Leggett模型該項稱作抵消項(counter-term),僅作用在布朗粒子的希爾伯特空間Hs上。它確保勢場V(x)包含布朗粒子運(yùn)動的物理頻率。因此，總系統(tǒng)S+B的哈密頓量為02高溫主方程下面我們討論一個最簡單的情況，即布朗粒子在弱耦合和高溫度限下的運(yùn)動，在這種情況下推導(dǎo)出的粒子的約化密度矩陣馬爾科夫主方程，稱作Caldeira-Leggett主方程。01Caldeira-Leggett模型1.主方程的推導(dǎo)以玻恩-馬爾科夫近似為出發(fā)點，布朗粒子的約化密度矩陣在薛定諤繪景下給出：其中，我們已經(jīng)引入了超算符這個方程很容易通過式(5.44)變換回薛定諤繪景而得出。注意，抵消項Hc在耦合中必須被作為二階項，而HI是一階項，由此式(5.289)給出了運(yùn)動方程在耦合中的二階展開。這里我們假設(shè)因子化初始條件和浴處于溫度為

的熱平衡狀態(tài)ps,即為了討論方便，我們引入如下關(guān)聯(lián)函數(shù)：02高溫主方程下面我們會清楚地看到，函數(shù)

經(jīng)常分別被稱作耗散和噪聲核。利用譜密度定義可以將浴關(guān)聯(lián)函數(shù)表示為由此，超算符x可以寫為生成元x的性質(zhì)強(qiáng)烈地依賴于由密度J(

)所決定的耗散和噪聲核的行為。為了獲得真正的不可逆動力學(xué)，人們引入了浴模的連續(xù)分布，并且用浴模頻率

的光滑函數(shù)代替譜密度。在唯象模型中，人們經(jīng)常引入一個不依賴于頻率的阻尼常數(shù)

并且對于很小的

取譜密度正比于頻率02高溫主方程下面將會看到，這種稱作Ohmic的譜密度將引起具有比率為y的獨立于頻率的阻尼。另一方面，環(huán)境的高頻模導(dǎo)致粒子勢場中的物理參數(shù)的重整化。為了解釋粒子哈密度量的這種重整化，人們將高頻截斷

引入譜密度中。下面我們?nèi)в蠰orentz-Drude截斷函數(shù)的Ohmic譜密度：對這種類型的譜密度，浴關(guān)聯(lián)可以被解析地確定為這里，噪聲核

用下列公式計算：其中，

稱作Matsubara頻率。我們看到，當(dāng)n≠0時，關(guān)聯(lián)函數(shù)含有關(guān)聯(lián)時間

和

。因此，最大關(guān)聯(lián)時間為02高溫主方程并且玻恩-馬爾科夫近似應(yīng)用的條件為此條件對應(yīng)于推導(dǎo)弱耦合和量子光學(xué)主方程時的條件

然而，量子光學(xué)情況下，旋波近似要求約化系統(tǒng)的演化比典型弛豫時間快，即

。而這里我們研究的情況是系統(tǒng)的演化比浴關(guān)聯(lián)時間慢。如果我們定義

為系統(tǒng)演化的典型頻率，則有量子光學(xué)和量子布朗運(yùn)動情況的基本差別見表5.2。為了化簡生成元x的表達(dá)式，我們通過自由動力學(xué)給出

的近似結(jié)果：02高溫主方程將式(5.306)代入式(5.297),可以看到生成元由四項組成：此方程右邊的第一項可以由下式?jīng)Q定：因此，我們有另外，由于

,方程式(5.307)右邊第一項可以寫為如下形式：顯然，這項補(bǔ)償了方程式(5.289)中哈密頓量抵消項的貢獻(xiàn)。因此，和浴的相互作用使得自由粒子哈密頓量Hs重整化，這正好被抵消項Hc消除。02高溫主方程為了決定式(5.307)右邊的第二項，我們用如下關(guān)系式：得到并且允許第二項寫為相應(yīng)地，我們發(fā)現(xiàn)因此，方程式(5.307)的第三項計算得到02高溫主方程最后，式(5.307)中的第四項依賴于頻率截斷Ω,并且將由具有Lorentz-Drude截斷的Ohmic譜密度的解析表達(dá)式(5.301)決定。在高溫限，即

,我們得到因此，第四項化為為了估計這項的重要程度，我們把它與第三項(見式(5.315))做比較。因為動量的數(shù)量級為

,可以看到式(5.317)與式(5.315)的不同在于相差一個

因子，而從假設(shè)可知這個因子很小。因此，我們可以忽略主方程中的第四項?？偨Y(jié)以上結(jié)果，最后得到Caldeira-Leggett主方程為主方程右手邊第一項描述系統(tǒng)自由相干動力學(xué)；第二項正比于弛豫時間

,是耗散項，這項源于耗散核D(

)的貢獻(xiàn)；最后一項正比于溫度，描述熱漲落。后面將會看到，它對理論描述退相干現(xiàn)象起著重要的作用。02高溫主方程容易想到這樣的問題，布朗運(yùn)動主方程的生成元可以寫成Lindblad形式嗎?回答是否定的。2.近似定態(tài)解在坐標(biāo)表象，主方程式(5.318)將取如下形式：通過以下定義引入新的變量從而獲得關(guān)于函數(shù)

的如下方程：在如下近似條件下定態(tài)解為02高溫主方程因此，主方程式(5.318)的近似定態(tài)解為式中，歸一化因子為由以上結(jié)果看到，坐標(biāo)空間密度矩陣的對角項表示一個正比于

的平衡分布，與統(tǒng)計力學(xué)結(jié)果一致。非對角元以與對角元為|x-x|的距離指數(shù)衰減，其中關(guān)聯(lián)長度由熱波長

給出。將式(5.322)左邊展開到二階項，可以看到，只要熱波長小于

則式(5.322)即給出了一個很好的近似。我們注意到，對于勢場

,式(5.322)成為了等式。此時定態(tài)矩陣可以表示為高斯函數(shù)02高溫主方程式中，坐標(biāo)和動量的方差為因此，坐標(biāo)和動量不確定性的乘積為所以在高溫近似下，不確定性的積遠(yuǎn)大于不確定關(guān)系所允許的最小可能值。3.平均值和方差的運(yùn)動方程利用主方程式(5.318),我們?nèi)菀撰@得布朗粒子坐標(biāo)和動量的一階矩和二階矩的下列方程：02高溫主方程這些是阻尼粒子坐標(biāo)和動量的一階和二階矩的厄倫費(fèi)斯特(Ehrenfest)方程，它們包括摩擦力-2rp。下面針對自由布朗粒子(V=0)來求解上述運(yùn)動方程。對一階矩，其解為因此，初始動量在

時間范圍內(nèi)指數(shù)弛豫到零，而平均位置漸近地移動

距離，我們定義02高溫主方程則可表示二階矩的解如下：因此，在長時限下

可以得到漸近表達(dá)式顯然，長時限下不是定態(tài)，動量不確定值與熱平衡時的值相等(見方程式(5.327))。然而，位置不確定性隨著時間的平方根增加，與經(jīng)典布朗運(yùn)動一致。對于純高斯初始態(tài)(最小不確定性),可知

這導(dǎo)致如下結(jié)果：02高溫主方程其中，第二個等式在yt<1時成立。第二個等式的第二項描述了高斯波包按照自由薛定諤方程擴(kuò)散。對于短時限，可以看到環(huán)境的影響對擴(kuò)散產(chǎn)生了一個正比于時間t的三次方的貢獻(xiàn)。03精確的海森伯運(yùn)動方程在許多應(yīng)用中，并不總是需要尋求一個約化密度矩陣的近似主方程，而可以用系統(tǒng)運(yùn)動的海森伯方程討論問題。因為在Caldeira-Leggett模型中，浴是諧振子集合，并且和約化系統(tǒng)的耦合是線性的，所以可以完全從海森伯運(yùn)動方程中消除浴變量的動力學(xué)。1.海森伯方程的推導(dǎo)完全Caldeira-Leggett模型導(dǎo)致下列布朗粒子和環(huán)境振子的精確的海森伯運(yùn)動方程：02高溫主方程因此，相應(yīng)的布朗粒子坐標(biāo)的方程為浴振子的坐標(biāo)方程為方程式(5.349)表明，第n個浴振子被線性依賴于布朗粒子坐標(biāo)的力

所驅(qū)動。為了得到x(t)的閉合運(yùn)動方程，我們用x()和浴模的初始條件解方程式(5.349)并將結(jié)果代入方程式(5.348)中。為此目的，用產(chǎn)生和湮滅算符

來表示浴振子的坐標(biāo)，即03精確的海森伯運(yùn)動方程則方程式(5.349)的解可如下給出：將式(5.351)代入方程式(5.348)得到式中，B(t)是相互作用繪景算符，有式(5.353)對應(yīng)于薛定諤繪景算符

。借助耗散核，可以將布朗粒子坐標(biāo)的運(yùn)動方程寫為在量子布朗運(yùn)動的理論中，將耗散核用另一個被稱作阻尼核的量表示是很有用的，即03精確的海森伯運(yùn)動方程式(5.355)滿足并且用耗散核我們可以把方程式(5.354)中的耗散項寫為利用方程式(5.357)可以看到，式(5.358)最后一項

消除了勢場

中的抵消項的貢獻(xiàn)。因此，最后得到了如下精確的海森伯運(yùn)動方程：方程式(5.359)正是期望得到的布朗粒子坐標(biāo)的運(yùn)動方程。在環(huán)境處于Ohmic譜密度具有無限截斷Ω→o的情況下，我們得到阻尼核為(見方程式(5.299)和式(5.355))則海森伯運(yùn)動方程取如下形式：03精確的海森伯運(yùn)動方程方程式(5.359)中B(t)的統(tǒng)計由量子關(guān)聯(lián)函數(shù)

描述。需要強(qiáng)調(diào)的是，由于是在海森伯繪景，所以平均是對總系統(tǒng)的初始分布p(0)進(jìn)行的。如果我們用非關(guān)聯(lián)的初態(tài)

,則這個關(guān)聯(lián)函數(shù)等于方程式(5.293)引入的噪聲核

對Ohmic譜密度，結(jié)果為在高溫限下可以假設(shè)，當(dāng)

時，對所有相關(guān)頻率

給出式(5.364)表明，關(guān)聯(lián)函數(shù)消除了h。2.二次勢對于二次勢03精確的海森伯運(yùn)動方程海森伯方程式(5.359)化為為了求解上述方程，令式(5.366)的右邊為0,則得到兩個特解分別為G?(t)和G?(t)。這兩個特解的初始條件為引入拉普拉斯變換則兩個特解的拉普拉斯變換分別為式中，

為阻尼核的拉普拉斯變換。因此，海森伯方程式(5.366)的解為03精確的海森伯運(yùn)動方程利用此解，所有渴望得到的布朗粒子的平均值、方差和關(guān)聯(lián)函數(shù)都可以由總系統(tǒng)的初始值p(0)進(jìn)行平均得到。3.自由布朗運(yùn)動下面我們以自由布朗運(yùn)動(即V=0)為例來考察上述討論。取Ohmic譜密度，對于無限截斷，特解取如下形式：對于因子化初始態(tài)

,布朗粒子和浴振子的初始坐標(biāo)是非關(guān)聯(lián)的，并且平均值

消失。例如，利用式(5.375),布朗粒子的平均動能為03精確的海森伯運(yùn)動方程其中，我們用到了噪聲核式(5.363)。如果取極限,則平均動能的漸近值為其中，動能的熱分布為在高溫限

下，上述表達(dá)式將導(dǎo)致著名的經(jīng)典統(tǒng)計力學(xué)結(jié)果，

。另一方面，真空分布

為03精確的海森伯運(yùn)動方程因此，由布朗粒子與環(huán)境的高頻模的真空漲落的相互作用得到了它的平均動能的對數(shù)發(fā)散分布。進(jìn)一步，我們來決定粒子的平均平方位移：這是布朗運(yùn)動理論中的一個非常重要的量。利用方程式(5.374)和式(5.363)可以得到上述平方模內(nèi)第二項導(dǎo)致積分在無限截斷限下發(fā)散。事實上，平均平方位移為這表明

導(dǎo)致相應(yīng)的平均平方位移發(fā)散貢獻(xiàn)，意味著布朗粒子能夠從環(huán)境高頻模中吸收任意的能量，并且在有限時間內(nèi)移動任意距離。這種奇異行為被稱作初始搖擺(initialjolte),很清楚是因為假設(shè)非關(guān)聯(lián)初始態(tài)的結(jié)果。也就是說，如果我們讓時間t和t'趨向無窮大，而保持它們之差

固定，則所有的瞬時項消失并且平均平方位移成為r的函數(shù)，積分給出03精確的海森伯運(yùn)動方程因此，由布朗粒子與環(huán)境的高頻模的真空漲落的相互作用得到了它的平均動能的對數(shù)發(fā)散分布。進(jìn)一步，我們來決定粒子的平均平方位移：對任意有限溫度，可以用

代替上述積分中的第二個因子，則有如下漸近表達(dá)式：可知，對于經(jīng)典布朗粒子有同樣的結(jié)果。另一方面，對于零溫度，積分項中

代替，則可得如下漸近表達(dá)式：式(5.385)成立的條件是

。我們看到，平均平方位移僅微弱地隨時間的對數(shù)增加，量子彌散的關(guān)聯(lián)長度量級為

。4.響應(yīng)函數(shù)、平衡關(guān)聯(lián)函數(shù)和漲落-耗散定理為了確定總系統(tǒng)的平衡漲落，需要引入漲落-耗散定理(FDT)。漲落-耗散定理和海森伯運(yùn)動方程的精確解一起決定了布朗粒子的所有平衡關(guān)聯(lián)。為了構(gòu)造FDT,我們引入總系統(tǒng)海森伯繪景算符z(t)的對稱自相關(guān)函數(shù)：03精確的海森伯運(yùn)動方程為簡單起見，假設(shè)

。這里需要強(qiáng)調(diào)的是，平均是對總系統(tǒng)的如下平衡分布進(jìn)行的：式中，H是復(fù)合系統(tǒng)S+B的哈密頓量。由于時間的均勻性，自相關(guān)僅依賴于

,并且滿足。平衡漲落譜由自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換給出，有注意到，譜有如下特性：關(guān)于變量z(t)的響應(yīng)函數(shù)定義為它描述了系統(tǒng)對外力F()(t>0)的線性響應(yīng)，并且由總系統(tǒng)的哈密頓量中依賴于時間的擾動

表示。然后由一階微擾理論得到系統(tǒng)的線性響應(yīng)為03精確的海森伯運(yùn)動方程式中，

是對應(yīng)擾動哈密頓量H+V(t)的海森伯算符。式(5.391)中響應(yīng)函數(shù)的傅里葉變換可以寫為式中，我們已經(jīng)將元

分解成了實部和虛部。漲落-耗散定理提供了一個系統(tǒng)對外力的線性響應(yīng)和平衡漲落之間的關(guān)系。用頻率的語言給出這個關(guān)系：它用響應(yīng)函數(shù)傅里葉變換的虛部表示平衡漲落的譜。對于一般的熱平衡系統(tǒng)和任何海森伯繪景可觀測量z(t),漲落-耗散定理均成立?，F(xiàn)在我們把這個定理應(yīng)用到處于諧振子勢的布朗粒子的坐標(biāo)x(t)上。因為對易子

是c數(shù)，我們立刻能夠用海森伯運(yùn)動方程式(5.366)的精確解(見式(5.372))決定響應(yīng)函數(shù)，有03精確的海森伯運(yùn)動方程上述關(guān)系式(5.394)也可以直接由式(5.372)推出。即在系統(tǒng)的總哈密頓量上加上擾動-xF(t),相當(dāng)于用B(t)+F(t)代替運(yùn)動方程式(5.366)中的B(t)。這樣的替代使得方程式(5.372)右手邊有了附加項

,事實上還表明了響應(yīng)函數(shù)通過式(5.394)與特解

相關(guān)聯(lián)。響應(yīng)函數(shù)的傅里葉變換為因此，響應(yīng)函數(shù)傅里葉變換的虛部為由式(5.396)和漲落-耗散定理式(5.393)立刻推導(dǎo)出布朗粒子坐標(biāo)的關(guān)聯(lián)函數(shù)為借助方程式(5.397)和式(5.396)可以決定精確的平衡關(guān)聯(lián)。例如，由自相關(guān)函數(shù)的定義有03精確的海森伯運(yùn)動方程因此作為一個例子，考慮帶有Lorentz-Drude截斷的Ohmic譜密度(見式(5.299))。按照定義式(5.355)可以求得阻尼核為其拉普拉斯變換為因此，我們有其中，在無限截斷條件下，Ω→

,阻尼核的拉普拉斯變換成為實的，并且漲落譜取如下形式：03精確的海森伯運(yùn)動方程對于

,譜成為與熱平衡條件下阻尼諧振子的經(jīng)典漲落譜一致。03精確的海森伯運(yùn)動方程06量子軌道我們用如下兩步計算波函數(shù)

的變化。第一步，由波函數(shù)

用下面的非厄密哈密頓量計算得到

01蒙特卡羅波函數(shù)方法對于很小的δt,有因為H是非厄密的，所以

不是歸一化的，因此式中01蒙特卡羅波函數(shù)方法且有我們總是可以通過調(diào)節(jié)δt,使得δp<1。第二步，考慮量子跳躍測量過程。為了決定量子跳躍是否已經(jīng)發(fā)生，我們定義一個均勻分布于0和1之間并且與δp可比較的隨機(jī)數(shù)ε。有兩種情況：(1)ε≥8p,這是大多數(shù)情況，因為δp<<1。這種情況沒有跳躍，并且2)ε<δp,狀態(tài)Cm|d())之一在各種可能的跳躍中按照相對概率Pm=δPm/δp(注意，

發(fā)生一次量子跳躍。所以02蒙特卡羅方法在平均上等價于主方程我們定義

,其中Av為在時刻t對多次蒙特卡羅結(jié)果的平均，所有都起始于

。下面我們將表明

一致?，F(xiàn)在來計算

。01蒙特卡羅波函數(shù)方法式(5.420)可以改寫為最后，如果對大量軌道取平均，即可得到主方程式(5.409)。類似于主方程方法，人們感興趣的是計算可觀測量的平均值。這里，對每條軌道可得

。因此02蒙特卡羅方法在平均上等價于主方程并且有03隨機(jī)薛定諤方程(SSE)和耗散系統(tǒng)可以證明蒙特卡羅方法和主方程在一定條件下等價。如果一個具有密度算符p的開放系統(tǒng)初始為純態(tài)，由于和庫的相互作用而演化為混合態(tài)，則不可能有對于

的決定方程，但是可以像期望的那樣，定義一個給出和環(huán)境相互作用概率性質(zhì)的隨機(jī)方程。我們已經(jīng)知道，一大類描述耗散量子系統(tǒng)的主方程可以被寫為Lindblad形式：02蒙特卡羅方法在平均上等價于主方程式中，Ps是系統(tǒng)的約化密度算符。上述方程的一個例子是場在溫度為T的有損腔中的主方程，在相互作用繪景下這個方程寫為式中，a和a+分別為光子的湮滅和產(chǎn)生算符，

是由普朗克分布給出的熱光子平均值，

這里

是阻尼時間。這里假設(shè)方程式(5.424)的形式解為定義則有03隨機(jī)薛定諤方程(SSE)和耗散系統(tǒng)注意到利用Dyson展開，則式(5.432)可表示為式中方程式(5.434)可以被重新寫為上面求和號中的每一項可以看作量子軌道，求和號中時刻t的約化密度算符包括了所有可能的量子軌道。對于這些軌道的每一條，式(5.436)表明，系統(tǒng)的演化可以被看成一系列與算符Jn相聯(lián)系的量子跳躍。算符J,隨時間演化與算符S(t)相聯(lián)系。每條軌道的概率通過對式(5.436)相應(yīng)的項求跡給出由式(5.433)和式(5.435),可以寫出03隨機(jī)薛定諤方程(SSE)和耗散系統(tǒng)式中因此，如果p是純態(tài)，則S(t)p也是純態(tài)。同樣，對于Jnp也是如此。這意味著，當(dāng)考慮單個量子軌道時，純態(tài)保持為純。也注意到，跳躍之間的演化由非幺正算符N(t)給出。由式(5.432)可知，跳躍算符可以有不同的選擇。這些不同的選擇對應(yīng)于利用密度算符Ps時間演化量子軌道的不同分解，并且對不同的實驗方法，最終導(dǎo)致對系統(tǒng)演化的連續(xù)監(jiān)測。由于這種連續(xù)監(jiān)測，初始純態(tài)保持為純，因為這種情況下沒有信息損失。例如，對于腔中的場，連續(xù)監(jiān)測意味著場由于與庫相互作用而導(dǎo)致獲得或失去光子。04一個蒙特卡羅SSE模擬03隨機(jī)薛定諤方程(SSE)和耗散系統(tǒng)下面來看一個蒙特卡羅方法量子跳躍軌道的物理實現(xiàn)。設(shè)一束兩能級原子穿過無損腔并與某個電磁場發(fā)生相互作用，設(shè)原子束起著庫R的作用，腔模起著系統(tǒng)S的作用。原子被制備在上態(tài)

,兩態(tài)的轉(zhuǎn)換頻率w與腔模共振。原子從腔出來時由檢測器測量其狀態(tài)。在原子進(jìn)入腔之前處于上態(tài)和下態(tài)原子的比率為式中，

的能級差，T是庫溫度。我們現(xiàn)在分析在原子離開腔后的連續(xù)測量下，S的態(tài)矢量

的時間演化。假設(shè)人們知道