【ch08】相對(duì)論量子力學(xué)

高等量子力學(xué)相對(duì)論量子力學(xué)第八章普通高等教育“十三五”規(guī)劃教材天津工業(yè)大學(xué)學(xué)位與研究生教育改革項(xiàng)目資助01克萊因-高登方程克萊因-高登方程01對(duì)于高速運(yùn)動(dòng)的粒子，必須考慮相對(duì)論效應(yīng)，要求方程具有洛倫茲變換下的不變性。也就是說，當(dāng)我們將時(shí)空坐標(biāo)系(x,y,z,t)變換到另一時(shí)空坐標(biāo)系(x′,y',z,t)時(shí)，保持等式克萊因-高登方程成立，方程在不同坐標(biāo)系中具有相同的形式，式中c是光速。式(8.1)是關(guān)于時(shí)間坐標(biāo)和空間坐標(biāo)的二次齊次方程，時(shí)空是平權(quán)的。但薛定諤方程由能量公式做算符代換得到。它對(duì)時(shí)間的微商是一次的，對(duì)空間的微商是二次的，時(shí)空并不平權(quán)。因此，薛定諤方程不具有洛倫茲協(xié)變性。從此處看出，關(guān)鍵在于式(8.2),這個(gè)能量表示本來就是非相對(duì)論的。它對(duì)能量是一次式，而對(duì)動(dòng)量是二次式。要使方程具有洛倫茲不變性，必須改用相對(duì)論的能量動(dòng)量關(guān)系式。相對(duì)論的能量動(dòng)量關(guān)系式為式中，m是粒子的靜止質(zhì)量。將式(8.4)兩邊平方，有并將上式兩端的E和p都用算符關(guān)系式(8.3)代替，得式(8.5)即為克萊因-高登方程。

式(8.5)的解顯然是平面波，有直接將式(8.6)代入式(8.5)后即可證明

和k滿足如下關(guān)系：克萊因-高登方程這其實(shí)正是式(8.4)。但這里的問題是式(8.7)開方后可取正、負(fù)號(hào)，即于是出現(xiàn)了“負(fù)能量”的問題。在相對(duì)論力學(xué)中，負(fù)能量的出現(xiàn)幾乎是不可避免的。在經(jīng)典力學(xué)中，由于粒子的初始能量為正，運(yùn)動(dòng)過程又必須保持能量守恒，因此以后任何時(shí)刻，能量也必然為正，不會(huì)引起麻煩。在量子力學(xué)中，負(fù)能量問題必須另外考慮。因?yàn)槿粲胸?fù)能級(jí)存在，而且按式(8.8),k越大，E負(fù)得越大。粒子從負(fù)的數(shù)值小的較高能級(jí)向負(fù)的數(shù)值大的較低能級(jí)躍遷，將不斷放出能量。于是體系將不會(huì)出現(xiàn)穩(wěn)定態(tài)。這個(gè)結(jié)果當(dāng)然是不合理的。除了負(fù)能量問題外，克萊因-高登方程還存在“負(fù)概率”問題。以

乘式(8.5)的共軛復(fù)式，然后兩式相減，得概率流密度J和概率密度p為克萊因-高登方程式(8.9)變?yōu)槭?8.12)是概率流守恒定律。上面的推導(dǎo)說明克萊因-高登方程也滿足概率流連續(xù)性方程。但是，當(dāng)我們將p解釋為概率密度時(shí)，卻不可避免地會(huì)出現(xiàn)負(fù)概率問題。因?yàn)槭?8.11)定義的概率密度并不一定是正定的，它可以取負(fù)值。原因在于，在t=0時(shí)，由于克萊因-高登方程是二階微分方程，在求解時(shí)，它的初始條件包括又是任意給定的，所以原則上總可以令p(x,t)在某些空間區(qū)域?yàn)檎?，在另一些空間區(qū)域?yàn)樨?fù)，或者根本全是負(fù)值。但概率密度不可能取負(fù)值，因此將p解釋為概率密度存在問題。為了解釋負(fù)概率問題，需要把克萊因-高登方程解釋為場(chǎng)方程，將解釋為電流密度和電荷密度，因?yàn)殡姾擅芏萫p是可正可負(fù)的?，F(xiàn)在來證明，在非相對(duì)論極限下，克萊因-高登方程可以過渡到薛定諤方程，因而，它確實(shí)是薛定諤方程的相對(duì)論推廣。當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)的速度v<c時(shí)，式(8.8)簡(jiǎn)化為克萊因-高登方程令以便在方程式(8.5)中消去靜質(zhì)量部分，直接微商后得將式(8.16)及式(8.17)代入式(8.5),得出這正是薛定諤方程。同時(shí)，p近似為克萊因-高登方程也正是薛定諤方程所定義的概率密度。最后討論有電磁場(chǎng)的情況。設(shè)粒子的電荷為e,電磁場(chǎng)的矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)分別為

和φ,將取如下代換：克萊因-高登方程變?yōu)槭?8.21)為有電磁場(chǎng)存在時(shí)的克萊因-高登方程。在非相對(duì)論極限下，將式(8.4)代入式(8.21),利用公式得克萊因-高登方程這正是帶電為e的粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的薛定諤方程。應(yīng)該特別強(qiáng)調(diào)指出，無論是式(8.21)還是式(8.23),都不含泡利自旋矩陣，因而它不能描寫自旋為1/2的粒子的運(yùn)動(dòng)?？巳R因-高登方程只適用于自旋為整數(shù)或零的玻色子?？巳R因-高登方程可以寫成四維協(xié)變形式。引入式(8.5)可寫成在近代文獻(xiàn)及量子場(chǎng)論書籍中，常引入記號(hào)克萊因-高登方程則式(8.25)可改成式(8.12)及式(8.21)可寫成或者，選用

的單位，將式(8.27)和式(8.29)寫成更常見的形式：克萊因-高登方程02狄拉克方程為了克服克萊因-高登方程的負(fù)概率問題，狄拉克提出了另一個(gè)具有相對(duì)論不變性的波動(dòng)方程。先分析一下克萊因-高登方程出現(xiàn)負(fù)概率問題的原因。由于克萊因-高登方程是對(duì)時(shí)間的二階微分方程，初始條件必須同時(shí)由定。而概率流守恒定律或連續(xù)性方程是p對(duì)時(shí)間的一階微分方程，為使它和克萊因-高登方程一致，p必然依賴于時(shí)間的一階微商。而又是任意的，于是就不可避免地出現(xiàn)負(fù)概率問題。要解決這個(gè)問題，必須把方程中對(duì)時(shí)間的微商從二階改為一階。但是，另一方面，由于方程必須具有洛倫茲不變性，時(shí)、空必須平權(quán)，因此，方程對(duì)空間的微商也只能是一階的。按照這種思路，狄拉克認(rèn)為，相對(duì)論波動(dòng)方程仍然應(yīng)當(dāng)具有狄拉克方程的形式。但算符H只含對(duì)空間坐標(biāo)的一級(jí)微商項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)。換句話說，從相對(duì)論的質(zhì)能關(guān)系式(8.4)出發(fā)，但在把相應(yīng)的量改成算符時(shí)，式(8.4)的右端雖然是非線性的，但形式上仍然把它寫成

,式中a、β均與坐標(biāo)、動(dòng)量無關(guān)，于是有代入式(8.32)后，得這里，

是兩個(gè)算符，它們不可能是常數(shù)，否則式(8.34)不可能滿足洛倫茲不變性。a和β既然是算符，總可以用矩陣來表示。

既然是矩陣，則式(8.34)中的

也不可能是個(gè)標(biāo)量函數(shù)，而只能是個(gè)列矩陣，即

稱為旋量波函數(shù)。另一方面，為保證概率密度正定，概率密度的形式必然是狄拉克方程當(dāng)然，p(x,)還必須滿足連續(xù)性方程，而且本身必須是四維概率流矢量的時(shí)間分量。因?yàn)?/p>

是N個(gè)分量，因此

必然是N×N的方矩陣。式(8.34)實(shí)際上是旋量波函數(shù)

的分量

的N個(gè)耦合的線性微分方程。為以后將狄拉克方程寫成更方便的協(xié)變形式，引入四維坐標(biāo)的協(xié)變和抗變矢量，令相對(duì)論的四維不變線元是式(8.4)的第σ分量的方程式是狄拉克方程現(xiàn)在來確定算符

。為此，先來看看a和β必須滿足的條件。這些條件有：(1)給出正確的質(zhì)能關(guān)系E2=c2p2+m2c?;(2)算符H是厄密算符；(3)式(8.34)或式(8.41)具有洛倫茲不變性。為滿足條件(1),旋量波函數(shù)

的分量

。必須滿足克萊因-高登方程，即因?yàn)橹挥袧M足式(8.42),才能給出正確的質(zhì)能關(guān)系。以算符流分別作用在式(8.34)的左端和右端，得比較式(8.43)和式(8.42)可見，要將式(8.43)約化成式(8.42),必須有狄拉克方程式(8.45)表示，

和β滿足反對(duì)易關(guān)系。為滿足條件(2),必須即

和β都必須是厄密矩陣，這樣才能保證H厄密，因?yàn)榫仃?/p>

和β的本征值必然是實(shí)數(shù)。又因式(8.46),可見

和β的本征值只能是±1。另外，由式(8.5),得這暗示著

和β的陣跡必然為零，因?yàn)榈依朔匠逃捎赥rα?=0,同樣也可以證明Trβ=0。由于矩陣的跡等于對(duì)角線上元素的和，因而矩陣α?和β對(duì)角線上的元素中(+1)的個(gè)數(shù)必然等于(-1)的個(gè)數(shù)。這表明α?和β的矩陣必然是偶數(shù)行和偶數(shù)列的，N必須是偶數(shù)。但N≠2,這是因?yàn)槿绻鸑=2,相互反對(duì)易的矩陣最多只能有三個(gè)，即三個(gè)泡利矩陣。但現(xiàn)在有四個(gè)相互反對(duì)易的矩陣

,因此最低限度必須選N=4。在β為對(duì)角的表象中，容易證明，滿足式(8.44)～式(8.46)的矩陣是式中，是泡利矩陣，I是單位矩陣，滿足狄拉克方程我們將N=4情況下的方程式(8.34)稱為狄拉克方程?，F(xiàn)在來求狄拉克方程的概率密度和概率流密度。以

乘式(8.34),得式(8.34)的共軛復(fù)式是以

右乘式(8.56),注意到

和β是厄密算符，得將式(8.55)和式(8.57)相減后得狄拉克方程引入概率密度p和概率流密度

，令式(8.58)可寫成這正是概率流守恒定律。式(8.60)中，

是三維矢量。當(dāng)然，它可以和概率密度一起，寫成四維的形式，有實(shí)際上，滿足反對(duì)易關(guān)系的泡利矩陣并不是唯一的。同樣，滿足式(8.44)～式(8.46)的矩陣α?和β的選擇也不是唯一的。式(8.53)只是一種可能的選擇。如果我們做一個(gè)幺正變換S,表象中的矩陣由于狄拉克方程因此它仍然滿足式(8.44)。類似地，也可以證明在新表象中也同樣滿足式(8.45)、式(8.46)。因而

也是適當(dāng)?shù)木仃嚤硎?。通常，用?8.51)和式(8.52)表示的a和β稱為泡利-狄拉克表象。另外，從式(8.59)中還可以證明，若選c=1,

的物理意義實(shí)際上表示粒子的速度算符。由狄拉克方程03狄拉克方程的自由粒子解狄拉克方程的自由粒子解為了解狄拉克方程的物理性質(zhì)，本節(jié)來求自由粒子所滿足的狄拉克方程的解。對(duì)于自由粒子，哈密頓算符是按本章的記號(hào)，動(dòng)量算符

。首先，我們看到，算符和H對(duì)易，有

動(dòng)量是守恒量，即自由狄拉克粒子動(dòng)量守恒。為求解自由粒子的狄拉克方程式(8.34),令使式(8.34)分離變量，得出定態(tài)的狄拉克方程是進(jìn)一步，由于矩陣

和β可寫成以泡利矩陣

和單位矩陣為元素的2×2矩陣，因此，可以將四分量旋量波函數(shù)

分解為兩個(gè)雙旋量波函數(shù)φ和x,有并將它代入式(8.69),得由于自由狄拉克粒子動(dòng)量守恒，具有確定動(dòng)量的態(tài)是將式(8.73)代入式(8.72),得方程式(8.74)具有非零解的條件是其系數(shù)行列式為零，即狄拉克方程的自由粒子解利用泡利矩陣的公式可求出式(8.75)的解是式中，

的正、負(fù)號(hào)分別對(duì)應(yīng)于狄拉克方程的正能和負(fù)能解。將

,代入式(8.74),得式(8.78)表明，一旦

給定，Xo就可求出。

可由歸一化條件確定。令歸一化條件是式中，u1u?是常數(shù)。因此，自由粒子狄拉克方程的解是狄拉克方程的自由粒子解式中，

是歸一化常數(shù)，它可由確定，結(jié)果是相應(yīng)于

的能譜是E=AE,=E?a?？偨Y(jié)以上結(jié)果，自由狄拉克粒子的能譜是正的連續(xù)譜

、負(fù)的連續(xù)譜

,在正、負(fù)連續(xù)譜

之間存在一個(gè)2mc2的能隙?，F(xiàn)在對(duì)波函數(shù)

再做一些討論。由于

可以在滿足式(8.79)條件下取值，因此，式(8.80)實(shí)際上是四種不同的波函數(shù)。在對(duì)這些波函數(shù)進(jìn)行分類之前，先注意

也是動(dòng)量算符

的本征態(tài)，有對(duì)每一個(gè)確定的

,有兩種態(tài)存在，一個(gè)對(duì)應(yīng)正能量，=+1;另一個(gè)對(duì)應(yīng)負(fù)能量，

=-1。動(dòng)量是好量子數(shù)。但是，軌道角動(dòng)量

并非好量子數(shù)。因?yàn)?/p>

和H不對(duì)易，可以證明狄拉克方程的自由粒子解直接利用泡利算符的對(duì)易關(guān)系可以證明軌道角動(dòng)量不守恒。這意味著，狄拉克粒子必然存在內(nèi)稟角動(dòng)量。它和軌道角動(dòng)量一起構(gòu)成的總角動(dòng)量才是守恒量。為找出這個(gè)內(nèi)稟角動(dòng)量，定義矩陣狄拉克方程的自由粒子解算符∑和H的對(duì)易關(guān)系為因此有利用式(8.85)和式(8.90),定義總角動(dòng)量

為由此得出結(jié)論，狄拉克粒子存在內(nèi)稟角動(dòng)量

,有狄拉克方程的自由粒子解它和軌道角動(dòng)量一起，合成的總角動(dòng)量

稱為自旋角動(dòng)量。因此，自旋量子數(shù)自動(dòng)包含在狄拉克方程中。狄拉克方程描述的粒子具有自旋，其值為

。它可以用來描述自旋為1/2的粒子，如電子的運(yùn)動(dòng)。對(duì)于狄拉克粒子，軌道角動(dòng)量與自旋角動(dòng)量都不是守恒量，但由它們合成的總角動(dòng)量守恒。為了對(duì)自由狄拉克粒子的波函數(shù)式(8.80)進(jìn)行分類，除守恒量

節(jié)外，再構(gòu)造算符

。它代表

算符在動(dòng)量方向上的投影。直接的計(jì)算可以證明也就是說，

也是個(gè)守恒量。因此，除能量、動(dòng)量外，還存在另外一個(gè)新的好量子數(shù)。它所對(duì)應(yīng)的算符

是自旋算符

在動(dòng)量方向上的投影，有

稱為渦度(helicity)算符，滿足狄拉克方程的自由粒子解下面來求它的矩陣表示。不是普遍性，選

的方向就是z的方向，即

,于是由式(8.96)得狄拉克方程的自由粒子解是σz的本征矢。因此，自由狄拉克粒子的波函數(shù)式(8.80)可按正、負(fù)能量，正、負(fù)渦度來進(jìn)行分類。將式(8.80)寫成

的正、負(fù)表示正、負(fù)量，σ的正、負(fù)表示正、負(fù)渦度。波函數(shù)

。的正交歸一化條件是上面的結(jié)果表明，電子存在負(fù)能態(tài)。為了克服躍遷到負(fù)能態(tài)的困難，狄拉克提出“空穴”理論。假定在真空狀態(tài)下，所有負(fù)能態(tài)都已被電子填滿。因此根據(jù)泡利不相容原理，在真空中運(yùn)動(dòng)的能量為正的電子不可能躍遷到負(fù)能態(tài)中去。這種被填滿的負(fù)能態(tài)稱為費(fèi)米海，它只起一個(gè)背景的作用。在負(fù)能態(tài)中的電子，它的能量和動(dòng)量是不能觀測(cè)的。只有從費(fèi)米海中移去一個(gè)或多個(gè)電子時(shí)，才會(huì)產(chǎn)生可觀測(cè)的效應(yīng)。例如，由于某種外來作用，把負(fù)能態(tài)中的一個(gè)電子激發(fā)到正能態(tài)，從而使得負(fù)能態(tài)中出現(xiàn)一個(gè)空穴，于是這個(gè)空穴就類似于某種具有正能量的東西。這是因?yàn)?，原來在?fù)能態(tài)中的電子，能量為-Ep<0,質(zhì)量為-m<0,電荷為-e<0。當(dāng)它激發(fā)到正能態(tài)后，負(fù)能態(tài)中減少了上述能量、質(zhì)量和電荷，出現(xiàn)了一個(gè)空穴，空穴的能量為+Ep>0,質(zhì)量為+m>0,電荷為+e>0,狄拉克稱這種空穴為正電子(positron)。它是電子的反粒子。正電子在1932年被安德遜(Andersion)在宇宙線中發(fā)現(xiàn)。正電子的預(yù)言及實(shí)驗(yàn)證明是相對(duì)論量子力學(xué)的一個(gè)重要功績(jī)。當(dāng)然，對(duì)正、負(fù)電子的嚴(yán)格的了解應(yīng)該通過將狄拉克場(chǎng)y量子化后給出，有興趣的讀者可參閱量子場(chǎng)論方面的有關(guān)書籍。狄拉克方程的自由粒子解04電磁場(chǎng)中的狄拉克方程電磁場(chǎng)中的狄拉克方程為方便起見，我們將電磁場(chǎng)寫成四維協(xié)變的形式。電磁場(chǎng)由四維矢量

描述。設(shè)狄拉克粒子的電荷為e,為滿足規(guī)范不變性，它的四維動(dòng)量是在電磁場(chǎng)中的狄拉克方程是式中，

是速度算符?，F(xiàn)在討論式(8.106)的非相對(duì)論極限。將

寫成雙旋量形式，有方程式(8.106)變成代入式(8.110)以去掉自能項(xiàng)，得先討論方程式(8.112)的下面一個(gè)分量。在非相對(duì)論近似下，動(dòng)能遠(yuǎn)小于靜能，

同樣，庫(kù)侖能量也遠(yuǎn)小于靜能，即

,于是有式(8.113)表明，在非相對(duì)論近似下，四旋量

中的x分量遠(yuǎn)小于φ分量，它們之間的數(shù)量級(jí)近似是電磁場(chǎng)中的狄拉克方程將式(8.113)代入式(8.112)的上面一個(gè)分量的方程式中，得出利用式(8.76)將式(8.115)右端的第一項(xiàng)化簡(jiǎn)，有將式(8.116)代入式(8.105)后，得電磁場(chǎng)中的狄拉克方程式(8.117)正是泡利方程。φ的兩個(gè)分量描寫自旋的兩個(gè)自由度。由此可見，狄拉克方程確實(shí)是非

相對(duì)論量子力學(xué)中泡利方程的推廣，因此，它和泡利方程一樣，都描述自旋為1/2的粒子的運(yùn)動(dòng)。

而且自旋這個(gè)自由度，無論在相對(duì)論量子力學(xué)還是在非相對(duì)論量子力學(xué)中，它都同樣存在。電磁場(chǎng)中的狄拉克方程05狄拉克方程的協(xié)變形式狄拉克方程的協(xié)變形式狄拉克方程具有洛倫茲協(xié)變性。在洛倫茲變換下，狄拉克方程的形式不變。因此，把狄拉克方程寫成四維協(xié)變形式，會(huì)給理論計(jì)算帶來方便。從狄拉克方程式(8.34)出發(fā)，以β/c乘每一項(xiàng)后，得式中，

滿足式(8.37)。定義式(8.118)化為按照式(8.119),

(μ=0,1,2,3)是個(gè)4×4的矩陣，它的對(duì)易關(guān)系可以由矩陣β、a?的對(duì)易關(guān)系式(8.34)～式(8.36)給出。結(jié)果是而且

是幺正矩陣，有并且它是反厄密的，有因?yàn)?/p>

矩陣滿足但

矩陣是厄密矩陣而且滿足由式(8.119),

矩陣的形式是狄拉克方程的協(xié)變形式通常，式(8.120)可以簡(jiǎn)寫為式中引入相同指標(biāo)求和的愛因斯坦記號(hào)，即在文獻(xiàn)里，習(xí)慣上還常使用納貝拉劍號(hào)(Nabladagger)或費(fèi)曼劍號(hào)(Feymandagger)式中，

是任意四維向量。于是。式(8.120)變成狄拉克方程的協(xié)變形式或者，引入四維動(dòng)量算符

，將式(8.132)寫成而由電磁場(chǎng)存在的狄拉克方程式(8.105),有下面討論狄拉克方程的洛倫茲不變性。四維時(shí)空中的線元是洛倫茲變換是保持四維線元不變的變換。令時(shí)空變換為則洛倫茲變換要求狄拉克方程的協(xié)變形式即于是得式(8.140)是洛倫茲變換必須滿足的條件。由式(8.140)兩邊取行列式后得這有兩種可能，即

,前者稱為正洛倫茲變換，后者稱為非正洛倫茲變換。狄拉克方程的洛倫茲協(xié)變性要求，做洛倫茲變換后，在

參考系中，狄拉克方程仍然具有下面形式：由于相對(duì)性原理，在

參考系中的

矩陣也應(yīng)該滿足對(duì)易關(guān)系狄拉克方程的協(xié)變形式而坐標(biāo)系之間的變換相當(dāng)于一個(gè)幺正變換，因此

之間也必然可以通過一個(gè)幺正變換相互聯(lián)系，即因幺正變換不改變體系的物理性質(zhì)，因此不失普遍性，可以取兩個(gè)參考系之間的矩陣相同，即方程式(8.142)變?yōu)樵倏紤]波函數(shù)的變換。由于狄拉克方程是線性方程，

之間的變換也必然是線性的，有式中，

,是洛倫茲變換所對(duì)應(yīng)的矩陣，S(a)是4×4矩陣，是a的函數(shù)。注意，洛倫茲矩陣

只依賴于兩坐標(biāo)系之間的相對(duì)速度及兩坐標(biāo)系取向之聞的相互夾角。因此，S必有逆變換，既可以從參考系A(chǔ)出發(fā)討論參考系B,也可以反過來從B出發(fā)討論A,即有狄拉克方程的協(xié)變形式式(8.147)可改寫為比較式(8.148)和式(8.149),得為了進(jìn)一步確定變換矩陣S,我們先來求S必須滿足的條件。將式(8.148)代入狄拉克方程式(8.128),得以S(a)左乘式(8.151)得利用兩個(gè)坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系式(8.137),有狄拉克方程的協(xié)變形式可將式(8.152)寫為比較式(8.154)和式(8.142),得或者，利用式(8.140),得出式(8.155)的另一種表述形式是式(8.156)是決定S(a)的方程式?？梢宰C明，滿足式(8.156)的解S(a)確實(shí)可以找到。例如，對(duì)于無窮小的洛倫茲變換：

是小量，矩陣S是式中狄拉克方程的協(xié)變形式是一個(gè)由γ矩陣構(gòu)成的張量。直接將式(8.158)代入式(8.156)后可以證明它確實(shí)滿足式(8.156)。至于一般的洛倫茲變換的S,也可以由無窮個(gè)無窮小的變換給出。另外，γ矩陣還有一些很重要的性質(zhì)。可以證明，任何4×4的厄密矩陣，彼此線性獨(dú)立的一共只有16個(gè)，而且它們都可以通過y矩陣表示。將這16個(gè)線性無關(guān)的矩陣記為

。β(n=1,2,…,16),則這些矩陣是上腳標(biāo)S、V、T、P、A分別表示標(biāo)量、矢量、張量、贗標(biāo)量和軸矢量。這些矩陣有許多重要性質(zhì)，例如：(1)對(duì)每一個(gè)

(n=S,V,T,P,A),均有狄拉克方程的協(xié)變形式(2)除

,使它滿足利用性質(zhì)(2)和(1),得兩邊取跡即除

外，所有其余的15個(gè)矩陣的陣跡均為零。(3)對(duì)給定的

,總可以找到另一個(gè)

,但這個(gè)

不是

,使得式中，

是一個(gè)常數(shù)，視a、b、n不同而可能取不同的值。例如式(8.164)中的f=-i,其余類推。利用性質(zhì)(1)、(2)和(3),容易證明式(8.160)的16個(gè)矩陣確實(shí)線性無關(guān)。因?yàn)槿缛舨蝗?，必有狄拉克方程的協(xié)變形式式(8.166)乘以

,并取跡后，有因此am=0(對(duì)所有m≠S)。若

,有因此as=0,以致滿足式(8.166)的所有系數(shù)an均為零，16個(gè)

線性無關(guān)。(4)

矩陣滿足由式(8.158)及式(8.170)得狄拉克方程的協(xié)變形式定義

,則在坐標(biāo)變換下，有因此

確實(shí)是標(biāo)量。同理，還可證明，

是贗標(biāo)量，

是贗矢量，

是二階張量。所謂“贗”,指在正洛倫茲變換

下和普通非贗的相應(yīng)的量變換相同，但在非正洛倫茲變換

下取反號(hào)。狄拉克方程的協(xié)變形式06較立場(chǎng)中的狄拉克方程考慮狄拉克粒子在接立場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)。電子在庫(kù)侖場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是這種情況的一個(gè)特例。揍立場(chǎng)V=V(r)的定態(tài)狄拉克方程是先討論非相對(duì)論近似下的漸進(jìn)解。令

,仿照8.3節(jié)中式(8.72)的討論，得將能量E寫成E'表示除靜能外的其他能量。由式(8.174)得在非相對(duì)論近似下，

,式(8.176)近似變?yōu)檩^立場(chǎng)中的狄拉克方程將式(8.177)代入式(8.173)后得利用式(8.76),得可將式(8.178)寫為在非相對(duì)論近似下，左端第二項(xiàng)中可以略去。右端較立場(chǎng)中的狄拉克方程其第二項(xiàng)也可略去。而式(8.181)化為較立場(chǎng)中的狄拉克方程式(8.186)中的

項(xiàng)正是討論譜線精細(xì)結(jié)構(gòu)時(shí)的相對(duì)論修正項(xiàng)(參見閆學(xué)群《量子力學(xué)》)?，F(xiàn)在證明了它可以由狄拉克方程給出。討論一般情況下接力場(chǎng)中的狄拉克方程式(8.172),先來考察一下這時(shí)的守恒量。如果只計(jì)及相對(duì)論修正項(xiàng)

,則

是完備集，

?，F(xiàn)在要指出，對(duì)于完整的狄拉克方程式(8.172),L2不再是守恒量，[不再是好量子數(shù)，因?yàn)橥瑯樱?/p>

也不是守恒量，因?yàn)镴2守恒，L2不守恒，

當(dāng)然也不守恒。我們必須另外尋找新的守恒量，現(xiàn)在證明較立場(chǎng)中的狄拉克方程是守恒的。由于

=0,因此[K,β]=0。而式中，用到反對(duì)易式[A,B]

=AB+BA。推導(dǎo)式(8.191)時(shí)曾利用

,再利用恒等式+式中，

,可得以及較立場(chǎng)中的狄拉克方程代入式(8.194)后，得于是，從式(8.191)和式(8.195)得[K,H]=0,K是守恒量。同樣，還可以證明

。因此在揍力場(chǎng)中，算符H、K、J2,J,構(gòu)成完備系，它們有共同的本征函數(shù)，相應(yīng)的本征值分別為

。而且，本征值x與j有關(guān)。因?yàn)檩^立場(chǎng)中的狄拉克方程因此得出它們的本征值之間滿足于是有對(duì)于給定的j,x有兩個(gè)值，相當(dāng)于兩種不同的宇稱態(tài)。在非相對(duì)論極限下，K>0對(duì)應(yīng)于自旋與總角動(dòng)量反平行，K<0對(duì)應(yīng)于自旋與總角動(dòng)量平行。算符K的矩陣是如果有一個(gè)四分量的旋量波函數(shù)y,它同時(shí)是H、K、J2、J?的本征函數(shù)，其兩個(gè)二分量旋量波函數(shù)

滿足較立場(chǎng)中的狄拉克方程由于,由式(8.202)和式(8.203)可見，分別也是L2的本征函數(shù)，它們的本征值分別記為。但注意，由組成的四旋量波函數(shù)不是L2的本征函數(shù)，因此H與L2不對(duì)易。利用式(8.202)和式(8.203)可以求出這些量子數(shù)之間滿足較立場(chǎng)中的狄拉克方程因此，若將狄拉克方程式(8.172)的解寫為其中，f，g依賴于x。

是一個(gè)歸一化的與r無關(guān)的自旋和角度的函數(shù)，并且是J2、J?、L2,當(dāng)然也是S2的本征函數(shù)，因此可將方程式(8.172)分離變量。

是L2的量子數(shù)為I的球諧函數(shù)的組合。當(dāng)

時(shí)，有式(8.207)和式(8.208)的系數(shù)是相應(yīng)的克來布希-高登系數(shù)。將式(8.206)代入式(8.172),得較立場(chǎng)中的狄拉克方程注意到直接計(jì)算可以證明因?yàn)樗惴?/p>

上后，它的結(jié)果也是J2、J?、L2的本征函數(shù)，而且j、m;不變，但軌道宇稱反號(hào)。于是有較立場(chǎng)中的狄拉克方程同理可得將式(8.213)代入式(8.209)后，角度部分就完全分離了，得出徑向的聯(lián)立方程為為簡(jiǎn)化式(8.214),令

,得較立場(chǎng)中的狄拉克方程07狄拉克方程的庫(kù)侖場(chǎng)解利用耦合方程式(8.215),可以討論氫原子精細(xì)結(jié)構(gòu)、反常塞曼效應(yīng)等許多問題。作為例子，本節(jié)將討論狄拉克方程的庫(kù)侖場(chǎng)的解。設(shè)勢(shì)場(chǎng)為庫(kù)侖場(chǎng)，有引入無量綱變數(shù)方程式(8.215)變?yōu)?/p>

狄拉克方程的庫(kù)侖場(chǎng)解與求解類氫原子的薛定諤方程相似，我們也“抓兩頭，帶中間”,找兩端的漸近行為，再求整個(gè)級(jí)數(shù)解。設(shè)代入式(8.218)后，令

項(xiàng)系數(shù)相等，得出對(duì)q=0,有ao、bo有非零解的條件是式(8.222)的系數(shù)行列式為零，得狄拉克方程的庫(kù)侖場(chǎng)解

要求出束縛態(tài)解，波函數(shù)

必須可以歸一化，即即u?和u?在原點(diǎn)p→0的行為必須比

慢，即s>-1/2。又因min(k)2表示k2可能取的最小值，由式(8.225)和式(8.223)得出，s不能取負(fù)根。另一方面，當(dāng)

時(shí)，由于發(fā)散的原因，必須將式(8.219)和式(8.220)的級(jí)數(shù)中斷為多項(xiàng)式。假定兩個(gè)級(jí)數(shù)都在n'項(xiàng)中斷，即在式(8.221)中令q=n'+1,得在式(8.221)中取q=n',以α?乘式(8.221)的第一式，

乘式(8.221)的第二式，然后兩式相減，得狄拉克方程的庫(kù)侖場(chǎng)解狄拉克方程的庫(kù)侖場(chǎng)解

聯(lián)立