數學蘇教版必修3知識導引3.1.2隨機事件的概率

3隨機事件的概率案例探究一個地區(qū)從某年起幾年之內的新生嬰兒數及其中的男嬰數如下：時間范圍1年內2年內3年內4年內新生嬰兒數n554496071352017190男嬰數nA2883497069948892（1）計算男嬰出生頻率（保留4位小數）；（2）這一地區(qū)男嬰出生的概率約是多少？解析：（1）計算即得到男嬰出生頻率依次是：73,0.5173.（2）由于這些頻率非常接近0.5173，因而這一地區(qū)男嬰出生的概率約為0.5173.自學導引1．在相同的條件下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現，稱n次試驗中事件A出現的次數na為事件A出現的頻數，比值稱為事件A出現的頻率，記作fn(A).2．對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數的增加，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某個常數上，我們可以用這個常數來刻畫該隨機事件發(fā)生的可能性大小，把這個常數稱為事件A的概率，記作P（A）.3．一般地，如果隨機事件A在n次試驗中發(fā)生了m次，當試驗的次數n很大時，我們可以將事件A發(fā)生的頻率作為事件A發(fā)生的概率的近似值，即P（A）≈.4．從定義中，可以看出隨機事件A的概率滿足0≤P(A)≤1.這是因為在n次試驗中，事件A發(fā)生的頻數m滿足0≤m≤n，所以0≤m[]n≤1；當A是必然事件時P（A）=1，當A是不可能事件時，P（A）=0.5．如何正確理解“頻率”與概率之間的關系？答：隨機事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數與試驗總次數的比值，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個常數附近擺動，且隨著試驗次數的不斷增多，這種擺動幅度越來越小.我們給這個常數取一個名字，叫做這個隨機事件的概率.概率可看做頻率在理論上的期望值，它從數量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小.頻率在大量重復試驗的前提下可近似地作為這個事件的概率.疑難剖析對概念的理解是學好本節(jié)的關鍵.概率可以看作頻率在理論上的期望值，而隨機事件的頻率可以看作是其概率的隨機表現；隨機事件的概率是事件固有的，客觀存在的，可以在相同條件下通過大量重復試驗予以識別和檢驗，而不能以一次或少數次的試驗結果下判斷.【例1】某射擊運動員進行雙向飛碟射擊訓練，各次訓練的成績記錄如下：射擊次數100120150100150160150擊中飛碟數819512382119127121擊中飛碟的頻率（1）將各次記錄擊中飛碟的頻率填入表中；（2）這個運動員擊中飛碟的概率約為多少？思路分析：利用頻率公式依次計算出擊中飛碟的頻率，然后根據頻率估計出運動員擊中飛碟概率的近似值.解：（1）射中次數100，擊中飛碟數是81，故擊中飛碟的頻率是，同理可求得下面的頻率依次是；（2）擊中飛碟的頻率穩(wěn)定在的附近.故這個運動員擊中飛碟的概率約為0.81.思維啟示：事件A發(fā)生的頻率記錄的是重復試驗中事件A發(fā)生后的統(tǒng)計結果.事件A發(fā)生的概率描述的是事件A發(fā)生的可能性的大小，兩者是不同的概念，但在大量的試驗結果面前，可用頻率近似表示概率.事件A的頻率可有小幅變化和波動，但其概率是一個常數.【例2】用一臺自動機床加工一批螺母，從中抽出100個逐個進行直徑檢驗，結果如下：直徑個數121017172615822從這100個螺母中，任意抽取一個，求事件A（6．92<d≤6．94）、事件B（6．90<d≤6．96)、事件C（6．96<d≤6．98)、事件D（6．88<d≤6．89)的頻率.解：事件A的頻率為：事件B的頻率為：事件C的頻率為：事件D的頻率為：思維陷阱：下表是計算機模擬擲硬幣的試驗結果，試對其頻率進行分析.試驗次數正面朝上的頻數正面朝上的頻率541061562014251130160.53333335180.514286402045200.444444502055260.47272760310.51666765300.461538703575340.453333803885430.50588290460.51111195560.58947410053錯解1：當試驗次數為5時，“正面朝上”的頻率是，故可作出結論：當試驗次數為5時，正面朝上的概率是．錯解2：根據對試驗次數是5，10，15，20，25的頻率分析，正面朝上的頻率是．即使當試驗次數為50時，正面朝上的頻率仍為．故正面朝上的頻率不具有一種統(tǒng)計規(guī)律性.錯因分析：上述兩種解法錯誤的原因是把頻率等同于概率.隨機事件的概率是事件固有的，不隨試驗次數的改變而改變.而頻率是隨著試驗次數的改變而改變，在相同條件下可以通過大量重復試驗，利用頻率的穩(wěn)定值來估計概率，但是不能以一次或少數次的試驗結果下判斷.正解：在拋擲硬幣的試驗中，“正面朝上”的頻率仍是一個隨機變量，當試驗次數很小時，頻率不具有規(guī)律性，但是在大量重復試驗后，隨著次數的增加，頻率逐步地穩(wěn)定在上，在其附近擺動.因此可以估計“正面朝上”的頻率是．【例3】已知如下兩表：表1拋擲硬幣試驗結果表拋擲次數（n）正面向上次數（m）正面向上頻率（）204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.500530000149840.499672088361240.5011表2某批兵兵球產品質量檢查結果表抽取球數n5010020050010002000優(yōu)等品數m45921944709541902優(yōu)等品頻率試根據表1、表2結果比較兩個不同事件發(fā)生的可能性的大小.解：從表1可以看出，當拋擲硬幣的次數很多時，出現正面向上的頻率值是穩(wěn)定的，接近于常數，在它附近擺動.所以擲一枚硬幣擲出“正面向上”的概率為，即出現“正面向上”的可能性是50%．從表2可以看出，當抽查的球數很多時，抽到優(yōu)等品的頻率接近于0.95,在它附近擺動.所以任取一個乒乓球得到優(yōu)等品的概率是，即得到優(yōu)等品的可能性是95%．于是拋擲硬幣時正面向上的可能性比抽查乒乓球時抽到優(yōu)等品的可能性要小得多.思維啟示：利用隨機事件概率的統(tǒng)計定義，可以比較不同事件發(fā)生的可能性大小.【例4】孟德爾的豌豆試驗數據，孟德爾用黃色和綠色的豌豆雜交，第一年收獲的豌豆都是黃色的.第二年，當他把第一年收獲的黃色豌豆再種下時，收獲的豌豆既有黃色的，又有綠色的.具體數據如下表：性狀顯性隱性顯性∶隱性子葉的顏色黃色6022綠色2001∶1請你用概率的知識解釋一下這個遺傳規(guī)律.解析：純黃色和純綠色的豌豆均有兩個特征（用符號YY代表純黃色豌豆的兩個特征，符號yy代表純綠色豌豆的兩個特征）.如右圖所示，當純黃色和純綠色這兩種豌豆雜交時，下一代是從父母輩中各隨機地選取一個特征，于是第一年收獲的豌豆特征為Yy．當把第一代雜交豌豆再種下時，下一代同樣是從父母輩中各隨機地選取一個特征，所以第二代的豌豆特征為：YY，Yy，yy．這里對于豌豆來說Y是顯性因子，y是隱性因子，當顯性因子與隱性因子組合時，表現出顯性因子的特征，即YY，Yy皆呈黃色，yy呈綠色，因此在第二代中YY與yy出現的概率都是，Yy出現的概率為，所以黃色豌豆（YY，Yy）∶綠色豌豆（yy）=3∶1.拓展遷移【拓展點1】某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為10%，那么，前9個病人都沒有治愈，第10個人就一定能治愈嗎？解析：如果把治療一個病人作為一次試驗，治愈率是10%，指隨著試驗次數的增加，即治療的病人數的增加，大約有10%的人能夠治愈，對于一次試驗來說，其結果是隨機的，因此前9個病人沒有治愈是可能的.對第10個人來說，其結果仍然是隨機的，即有可能治愈，也可能沒有治愈.【拓展點2】在42位美國總統(tǒng)中，有兩人的生日相同，三人卒日相同.什爾克生于1795年11月2日，哈定則生于1865年11月2日；門羅卒于1831記n為相關的人數，n個人中至少有兩人的生日在同一天的概率為P（A），則有下表：n102023304050P(A)試用上表解釋上述現象.解析：上表所列的答案足以引起多數人的驚奇，因為“至少兩個人的生日相同”這件事情發(fā)生的概率，并不如大多數人直覺想象中的那樣小，而是相當大，由表中可以看出，當人數是40時，“至少有兩人相同生日”的概率為，因此，在42位美國總統(tǒng)中，有兩人生日相同，三人卒日相同，根本不是什么巧合，而是很正