初三相似三角形知識(shí)點(diǎn)以和經(jīng)典例題

./相似三角形知識(shí)點(diǎn)以及典例知識(shí)點(diǎn)1有關(guān)相似形的概念<1>形狀相同的圖形叫相似圖形,在相似多邊形中,最簡(jiǎn)單的是相似三角形.<2>如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例,這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形．相似多邊形對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度的比叫做相似比<相似系數(shù)>．知識(shí)點(diǎn)2比例線段的相關(guān)概念〔1在四條線段中,如果a和b的比等于c和d的比,那么這四條線段叫做成比例線段,簡(jiǎn)稱比例線段．注：=1\*GB3①比例線段是有順序的,如果說(shuō)是的第四比例項(xiàng),那么應(yīng)得比例式為：=2\*GB3②在比例式中,a、d叫比例外項(xiàng),b、c叫比例內(nèi)項(xiàng),a、c叫比例前項(xiàng),b、d叫比例后項(xiàng),如果b=c,即那么b叫做a、d的比例中項(xiàng),此時(shí)有。知識(shí)點(diǎn)3比例的性質(zhì)〔注意性質(zhì)立的條件：分母不能為0〔1基本性質(zhì)：①；②．注：由一個(gè)比例式只可化成一個(gè)等積式,而一個(gè)等積式共可化成八個(gè)比例式,如,除了可化為等?！?更比性質(zhì)<交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng)>：〔3反比性質(zhì)<把比的前項(xiàng)、后項(xiàng)交換>：．〔4合、分比性質(zhì)：．典型例題：例題1：已知線段a＝6cm,b＝2cm,則a、b、a＋b的第四比例項(xiàng)是________cm,a＋b與a－b的比例中項(xiàng)是_________cm．例題2：若＝＝＝－m2,則m＝______．知識(shí)點(diǎn)4比例線段的有關(guān)定理1.三角形中平行線分線段成比例定理:平行于三角形一邊的直線截其它兩邊<或兩邊的延長(zhǎng)線>所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.重要結(jié)論：平行于三角形的一邊,并且和其它兩邊相交的直線,所截的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例.<相似>2.平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.知識(shí)點(diǎn)5相似三角形的概念對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形,叫做相似三角形．相似用符號(hào)"∽"表示,讀作"相似于"．相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比<或相似系數(shù)>．相似三角形對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例．注：①對(duì)應(yīng)性：即兩個(gè)三角形相似時(shí),一定要把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)位置上,這樣寫比較容易找到相似三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊．②順序性：相似三角形的相似比是有順序的．知識(shí)點(diǎn)6三角形相似的等價(jià)關(guān)系與三角形相似的判定定理的預(yù)備定理<1>相似三角形的等價(jià)關(guān)系：①反身性：對(duì)于任一有∽．②對(duì)稱性：若∽,則∽．③傳遞性：若∽,且∽,則∽<2>三角形相似的判定定理的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊<或兩邊延長(zhǎng)線>相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．定理的基本圖形：用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述是：,∴∽．知識(shí)點(diǎn)7三角形相似的判定方法1、定義法：三個(gè)對(duì)應(yīng)角相等,三條對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似．2、平行法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊<或兩邊的延長(zhǎng)線>相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．3、判定定理1：兩角對(duì)應(yīng)相等,兩三角形相似．4、判定定理2：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等,兩三角形相似．5、判定定理3：：三邊對(duì)應(yīng)成比例,兩三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法：<1>以上各種判定均適用．<2>如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)直角三角形相似．〔射影定理：在直角三角形中,斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。如圖,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜邊BC上的高,則AD2=BD·DC,AB2=BD·BC,AC2=CD·BC。經(jīng)典例題：例題1：判斷對(duì)錯(cuò)：

<1>兩個(gè)直角三角形一定相似嗎？為什么？<2>兩個(gè)等腰三角形一定相似嗎？為什么？

<3>兩個(gè)等腰直角三角形一定相似嗎？為什么？<4>兩個(gè)等邊三角形一定相似嗎？為什么？

<5>兩個(gè)全等三角形一定相似嗎？為什么？例題2：下列能夠相似的一組三角形為<>

A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形

C.所有的等腰直角三角形D.所有的一邊和這邊上的高相等的三角形例題3：如圖所示,已知中,E為AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),AB=3BE,DE與BC相交于F,請(qǐng)找出圖中各對(duì)相似三角形,并求出相應(yīng)的相似比.例題4：已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6.在Rt△EDF中,∠F=90°,DF=3,EF=4,則△ABC和△EDF相似嗎？為什么？例題5：如圖所示,點(diǎn)D在△ABC的邊AB上,滿足怎樣的條件時(shí),△ACD與△ABC相似？試分別加以列舉.例題6：已知：如圖正方形ABCD中,P是BC上的點(diǎn),且BP=3PC,Q是CD的中點(diǎn)．求證：△ADQ∽△QCP．例題7：已知：如圖,AD是△ABC的高,E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)．求證：△DFE∽△ABC．例題8：如圖,△ABC中,CD⊥AB于D,E為BC中點(diǎn),延長(zhǎng)AC、DE相交于點(diǎn)F,求證＝．例題9：如圖,在△ABC中,AB＝AC,延長(zhǎng)BC至D,使得CD＝BC,CE⊥BD交AD于E,連結(jié)BE交AC于F,求證AF＝FC．例題10：如圖,BD、CE分別是△ABC的兩邊上的高,過(guò)D作DG⊥BC于G,分別交CE及BA的延長(zhǎng)線于F、H,求證：〔1DG2＝BG·CG；〔2BG·CG＝GF·GH．例題11：如圖,∠ABC＝∠CDB＝90°,AC＝a,BC＝b．〔1當(dāng)BD與a、b之間滿足怎樣的關(guān)系時(shí),△ABC∽△CDB？〔2過(guò)點(diǎn)A作BD的垂線,與DB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,若△ABC∽△CDB．求證四邊形AEDC為矩形〔自己完成圖形．知識(shí)點(diǎn)8相似三角形的性質(zhì)<1>相似三角形對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例．<2>相似三角形對(duì)應(yīng)高的比,對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比．<3>相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比．<4>相似三角形面積的比等于相似比的平方．注：相似三角形性質(zhì)可用來(lái)證明線段成比例、角相等,也可用來(lái)計(jì)算周長(zhǎng)、邊長(zhǎng)等．知識(shí)點(diǎn)9相似三角形中有關(guān)證〔解題規(guī)律與輔助線作法1、證明四條線段成比例的常用方法：

<1>線段成比例的定義<2>三角形相似的預(yù)備定理<3>利用相似三角形的性質(zhì)<4>利用中間比等量代換<5>利用面積關(guān)系

2、證明題常用方法歸納：〔1總體思路:"等積"變"比例","比例"找"相似"

<2>找相似：通過(guò)"橫找""豎看"尋找三角形,即橫向看或縱向?qū)ふ业臅r(shí)候一共各有三個(gè)不同的字母,并且這幾個(gè)字母不在同一條直線上,能夠組成三角形,并且有可能是相似的,則可證明這兩個(gè)三角形相似,然后由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可證的所需的結(jié)論.

<3>找中間比：若沒(méi)有三角形<即橫向看或縱向?qū)ふ业臅r(shí)候一共有四個(gè)字母或者三個(gè)字母,但這幾個(gè)字母在同一條直線上>,則需要進(jìn)行"轉(zhuǎn)移"<或"替換">,常用的"替換"方法有這樣的三種：等線段代換、等比代換、等積代換.即：找相似找不到,找中間比。方法：將等式左右兩邊的比表示出來(lái)。①②③<4>添加輔助線：若上述方法還不能奏效的話,可以考慮添加輔助線<通常是添加平行線>構(gòu)成比例.以上步驟可以不斷的重復(fù)使用,直到被證結(jié)論證出為止.注：添加輔助平行線是獲得成比例線段和相似三角形的重要途徑。平面直角坐標(biāo)系中通常是作垂線〔即得平行線構(gòu)造相似三角形或比例線段?！?比例問(wèn)題：常用處理方法是將"一份"看著k;對(duì)于等比問(wèn)題,常用處理辦法是設(shè)"公比"為k。〔6．對(duì)于復(fù)雜的幾何圖形,通常采用將部分需要的圖形〔或基本圖形"分離"出來(lái)的辦法處理。典型例題：例題1：△ABC∽△DEF,若△ABC的邊長(zhǎng)分別為5cm、6cm、7cm,而4cm是△DEF中一邊的長(zhǎng)度,你能求出△DEF的另外兩邊的長(zhǎng)度嗎？試說(shuō)明理由.例題2：如圖所示,已知△ABC中,AD是高,矩形EFGH內(nèi)接于△ABC中,且長(zhǎng)邊FG在BC上,矩形相鄰兩邊的比為1：2,若BC=30cm,AD=10cm.求矩形EFGH的面積.例題3：△ABC中,DE∥BC,M為DE中點(diǎn),CM交AB于N,若,求例題4：已知：如圖,在△ABC與△CAD中,DA∥BC,CD與AB相交于E點(diǎn),且AE︰EB=1︰2,EF∥BC交AC于F點(diǎn),△ADE的面積為1,求△BCE和△AEF的面積．例題5：如圖,已知：△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQ//AB,P點(diǎn)在AC上<與點(diǎn)A、C不重合>,Q點(diǎn)在BC上．

<1>當(dāng)△PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時(shí),求CP的長(zhǎng)；

<2>當(dāng)△PQC的周長(zhǎng)與四邊形PABQ的周長(zhǎng)相等時(shí),求CP的長(zhǎng)；

例題6：如圖,AB∥CD,∠A=90°,AB=2,AD=5,P是AD上一動(dòng)點(diǎn)<不與A、D重合>,PE⊥BP,P為垂足,PE交DC于點(diǎn)E,

<1>設(shè)AP=x,DE=y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并指出x的取值范圍；

<2>請(qǐng)你探索在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,四邊形ABED能否構(gòu)成矩形？如果能,求出AP的長(zhǎng)；如果不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.知識(shí)點(diǎn)10位似圖形有關(guān)的概念與性質(zhì)及作法1.如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形,而且每組對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線都交于一點(diǎn),那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形.2.這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心,這時(shí)的相似比又稱為位似比.注：注：〔1位似圖形是相似圖形的特例,位似圖形不僅相似,而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn).〔2位似圖形一定是相似圖形,但相似圖形不一定是位似圖形.〔3位似圖形的對(duì)應(yīng)邊互相平行或共線.3.位似圖形的性質(zhì)：位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比.注：位似圖形具有相似圖形的所有性質(zhì).4.畫位似圖形的一般步驟：〔1確定位似中心〔位似中心可以是平面中任意一點(diǎn)〔2分別連接原圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)和位似中心,并延長(zhǎng)〔或截取.〔3根據(jù)已知的位似比,確定所畫位似圖形中關(guān)鍵點(diǎn)的位置.〔4順次連結(jié)上述得到的關(guān)鍵點(diǎn),即可得到一個(gè)放大或縮小的圖形.①②③④⑤注：①位似中心可以是平面內(nèi)任意一點(diǎn),該點(diǎn)可在圖形內(nèi),或在圖形外,或在圖形上〔圖形邊上或頂點(diǎn)上。②外位似：位似中心在連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段之外,稱為"外位似"〔即同向位似圖形③內(nèi)位似：位似中心在連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段上,稱為"內(nèi)位似"〔即反向位似圖形〔5在平面直角坐標(biāo)系中,如果位似變換是以原點(diǎn)O為位似中心,相似比為k〔k>0,原圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)為〔x,y,那么同向位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為<kx,ky>,反向位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為<-kx,-ky>,[解答題]1.如圖：是⊙O的直徑,是弦,,延長(zhǎng)到點(diǎn),使得．<1>求證：是⊙O的切線；<2>若,求的長(zhǎng)．2.已知：如圖,AB為⊙O的直徑,AD為弦,∠DBC=∠A.〔1求證：BC是⊙O的切線；〔2若OC∥AD,OC交BD于E,BD=6,CE=4,求AD的長(zhǎng).3.在△ABC中,點(diǎn)D在AC上,點(diǎn)E在BC上,且DE∥AB,將△CDE繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△〔使＜180°,連接、,設(shè)直線與AC交于點(diǎn)O.〔1如圖①,當(dāng)AC=BC時(shí),:的值為；〔2如圖②,當(dāng)AC=5,BC=4時(shí),求:的值；〔3在〔2的條件下,若∠ACB=60°,且E為BC的中點(diǎn),求△OAB面積的最小值.圖①圖②[填空題]1.在平面直角坐標(biāo)系中,頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,若以原點(diǎn)O為位似中心,畫的位似圖形,使與的相似比等于,則點(diǎn)的坐標(biāo)為．2.如圖,△ABC與△A′B′C′是位似圖形,點(diǎn)O是位似中心,若OA=2AA′,S△ABC=8,則S△A′B′C′=________．3.如圖,的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為〔4,0,把沿軸向右平移得到如果那么的長(zhǎng)為．4.如圖,與中,交于．給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論是〔填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)．5.如圖11,正方形OEFG和正方形ABCD是位似形,點(diǎn)F的坐標(biāo)為〔1,1,點(diǎn)C的坐標(biāo)為〔4,2,則這兩個(gè)正方形位似中心的坐標(biāo)是．〔2題圖〔3題圖〔4題圖〔5題圖6.已知與相似且面積比為4∶25,則與