重難點專題12導(dǎo)數(shù)解答題之指對函數(shù)五大題型匯總（原卷版）

重難點專題12導(dǎo)數(shù)解答題之指對函數(shù)五大題型匯總TOC\o"13"\h\z\u題型1指數(shù)找基友 1題型2對數(shù)單身狗 2題型3指對互化 4題型4指對分離與不分離 6題型5凹凸翻轉(zhuǎn) 7在指數(shù)加減x整式或者對數(shù)乘除x整式或者在指數(shù)和對數(shù)同時出現(xiàn)的情形下，我們處理時往往本著對數(shù)單身狗，指數(shù)找基友的思想方法，本質(zhì)就是通過這樣的轉(zhuǎn)換可以讓求導(dǎo)變少，避開長篇分類討論題型1指數(shù)找基友指數(shù)找基友：在處理不等式和零點問題時，如果指數(shù)部分+x整式有可能連續(xù)求導(dǎo)，甚至要用到隱零點，比較復(fù)雜，此時，我們只需把所有x的式子和ex變換到一起，一般可以同除整式，或者同除ex部分，構(gòu)造一個新函數(shù)，例如exax>0我們可以化成ex>ax,進一步化成a=ex/x，構(gòu)造函數(shù)f（x）=ex/x;再例如當x>0時求證：(2x)ex≤x+2，我們可以化作ex(2x)/(x+2)≤1,然后構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex(2x)/(2+x),證明其≤1即可，通過觀察，不難發(fā)現(xiàn)，ex和所有含有x的式子變換到一起了，我們形象地稱之為，指數(shù)找基友【例題1】（2022秋·山東濱州·高三校聯(lián)考期中）已知f(x)=asinx(a∈R)，（1）求g(x)在x=0處的切線方程；（2）若a=1，證明G(x)=f(x)+lnx在（3）設(shè)F(x)=f(x)?g(x)a(a≠0)對任意x∈【變式11】1.（2023春·安徽·高三合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)f(x)=ax（1）當a=12時，證明：f(x)在（2）當x∈[0,π2]時，f(x)≤a【變式11】2.（2021·黑龍江哈爾濱·哈九中?？既＃┮阎瘮?shù)fx（1）證明：函數(shù)fx（2）若對?x∈0,π2【變式11】3.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，f(x)=lnx+kex，曲線y=f(x)在點1,f1的切線與x(1)求k的值及當x<0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)gx=x2+x【變式11】4.（2021秋·吉林四平·高三四平市第一高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=aex+bcosx+（1）求實數(shù)a,b的值；（2）求函數(shù)gx（3）若對任意的x∈R，不等式xfx≥32題型2對數(shù)單身狗對數(shù)單身狗：如果對數(shù)式乘以或者除以一個關(guān)于x的整式，把整式提出，然后分別對局部分析即可，例如y=(2+x)ln(x+1)2x,如果要證明x>0時y>0,我們便可把2+x提出來，使之變成y=(2+x)(ln(x+1)2x2+x,分別分析2+x和ln(x+1)【例題2】（2022秋·寧夏銀川·高三?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)fx（1）討論fx（2）對任意x>0，求證：f【變式21】1.（2022秋·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中?？计谀┮阎瘮?shù)fx（1）當a=2時，求函數(shù)fx（2）當x>1時，fx【變式21】2.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx（1）當m=1時，求fx（2）討論關(guān)于x的方程fx【變式21】3.（2022·四川瀘州·四川省敘永第一中學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=ln（1）討論f(x)的單調(diào)性；（2）設(shè)a∈N*，若關(guān)于x的不等式f(x)≤-1在【變式21】4.（2021秋·浙江杭州·高三校聯(lián)考期中）已知fx=lnxx，直線l為曲線y=fx在t,ft處的切線，直線l(1)求t的取值范圍；(2)（i）證明：lnx≤1+（ii）證明：s>11題型3指對互化指對互化與同構(gòu)：所謂指對互化，如下：x=elnx指對互化是指對同構(gòu)的基礎(chǔ)，2.常見類型：=1\*GB3①乘積，如aea<blnb,構(gòu)造方法如下：構(gòu)造方法構(gòu)造的函數(shù)與左側(cè)一致：af與右側(cè)一致：ef對數(shù)化：a+lna<lnb+f=2\*GB3②商，如eaa<b構(gòu)造方法構(gòu)造的函數(shù)與左側(cè)一致：ef與右側(cè)一致：eaf對數(shù)化：a-lna<lnb-f=3\*GB3③和差，如ea±a<b構(gòu)造方法構(gòu)造的函數(shù)與左側(cè)一致：ef與右側(cè)一致：eaf【例題3】（2022秋·黑龍江·高三開學(xué)考試）已知函數(shù)fx（1）若是函數(shù)fx的一個極值點，求的值；（2）若fx≥0在上恒成立，求的取值范圍；（3）證明：201920202020<【變式31】1.（2021秋·廣東深圳·高三深圳市龍崗區(qū)龍城高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x1+ax，其中a∈(0，（1）討論函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，1]上的單調(diào)性；（2）求證：(2021【變式31】2.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=ln(1)若函數(shù)在x=1處的切線與x軸平行，求a的值；(2)若f(x)?0在[0,+∞)(3)證明：(2016【變式31】3.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-(1)若x=1是函數(shù)f(x)的一個極值點，求a的值；(2)若f(x)≥0在[0,+∞)上恒成立，求(3)證明：(2014【變式31】4.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=eg(x)，(1)若函數(shù)g(x)是(1,+∞)上的增函數(shù)，求(2)若對任意的x>0，都有f(x)<x+1，求滿足條件的最大整數(shù)k的值．題型4指對分離與不分離既含有指數(shù)函數(shù)同時又含有對數(shù)函數(shù)題目，也就是所謂的"指對混合型”。我們一般通過適當變形，一分為二，指對分離，以其轉(zhuǎn)化為兩個可掌控的特殊函數(shù)進處理。適當變形，化歸轉(zhuǎn)化，可以掌控，是解決問題的關(guān)鍵?！纠}4】（2022春·四川遂寧·高三射洪中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=（1）討論函數(shù)g(x)=f(ax)-x-a的單調(diào)性；（2）證明：f(x)+ln【變式41】1.（2021秋·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知fx（1）a=1時，求fx（2）①若對于任意的x∈0,+∞，不等式fx≥x-122【變式41】2.（2022年高三壓軸解）已知函數(shù)f(x)=lnx+kex(k為常數(shù)，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線y=f(x)在點(1,(1)求k的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)設(shè)g(x)=(x2+x)f'(x)，其中f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)．證明：對任意x>0【變式41】3.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=a2x2(1)若a=1，其函數(shù)g(x)在[1,3]的值域；(2)若對任意的x∈(0,+∞)，g(x)≥f【變式41】4.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=(1)令g(x)=f(x)-ax+12(x2-a(2)當x>0時．證明：f(x)-題型5凹凸翻轉(zhuǎn)證明不等式問題中有一類不等式形式復(fù)雜，由即首先知道兩個函數(shù)(其中一個常常是對數(shù)函數(shù)與多項式函數(shù)的組合，另一個則是指數(shù)函數(shù)與多項式函數(shù)的組合)組合而成，我們往往指對分離，然后研究函數(shù)的圖像，兩個函數(shù)圖像凹凸性剛好相反，稱凹凸反轉(zhuǎn)，這個名詞非常形象的闡述了這類題目的解題思想。問題1：若F（x）>0

對x∈D

恒成立（其中F（x）=f(x)g(x)

）

情況①：轉(zhuǎn)化為

f(x)>g(x)

，通過分別求出兩個函數(shù)的最值，若f(x)min>g(x)

max

，則問題得證。情況②：

轉(zhuǎn)化為f(x)>g(x)

，通過分別求出兩個函數(shù)的最值，若f(x)min=f(x1)>g(x)

max=

g(x2)

，則問題得證。問題2：若F（x）≥0

對x∈D

恒成立（其中F（x）=f(x)g(x)

）轉(zhuǎn)化為

f(x)≥g(x)

，通過分別求出兩個函數(shù)的最值，若f(x)min≥g(x)

max

，且f(x)min=f(x0)=g(x)

max

=g(x0)則問題得證。凹凸反轉(zhuǎn)的局限性：解法局限性一:不涉及“單調(diào)構(gòu)造”

通過下文介紹的方法步驟,一定可以排除整體單調(diào)的函數(shù)組合。但是單調(diào)函數(shù)的組合有時也可以通過“最大值小于最小值”的方式說明問題，而且單調(diào)函數(shù)的組合，如果真構(gòu)造成功了(如下圖)，嚴格來說也屬于“凹凸反轉(zhuǎn)”，解法局限性二:構(gòu)造后可能出現(xiàn)h（x）min<g(x)max如下圖，導(dǎo)致問題得不到解決，【例題5】（2021秋·河南南陽·高三期中）已知函數(shù)f(x)=lnx，(1)若f(x)≤g(x)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；(2)求證：當x>0時，ex【變式51】1.（2019·天津紅橋·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)fx（1）求k的值；（2）討論關(guān)于x的方程如lnx【變式51】2.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=xex-(1)當x≥1時，判斷函數(shù)fx(2)證明：當x>0時，不等式fx【變式51】3.（2022·河北衡水·河北衡水中學(xué)?？家荒＃┰O(shè)函數(shù)fx=ln(1)判斷函數(shù)y=fx(2)記hx=gx(3)若fx<gx在1,+【變式51】4.（2022春·高三課時練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=e(1)當a=12時，求(2)當a?1時，證明：f(x)>0.1.（2022·四川·四川師范大學(xué)附屬中學(xué)?？级＃┮阎瘮?shù)f(x)=ex-ax，其中e(1)若對函數(shù)f(x)存在極小值，且極小值為0，求a的值；(2)若對任意x∈[0,π2]，不等式f(x)≥2.（2021·廣東湛江·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)fx=ex+a（1）討論f'x在區(qū)間（2）若x∈-π2,0時，3.（2020·海南·校聯(lián)考一模）設(shè)函數(shù)fx=e（1）當x∈0,π3（2）當x∈0,+∞時，不等式gx≥f'xe