第03講直線(xiàn)平面平行的判定與性質(zhì)（八大題型）（講義）（原卷版）

第03講直線(xiàn)、平面平行的判定與性質(zhì)目錄考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析（1）理解空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面的平行關(guān)系，并加以證明．（2）掌握直線(xiàn)與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用．2022年甲卷（文）第19題，12分2022年乙卷（文）第9題，5分2021年浙江卷第6題，4分本節(jié)內(nèi)容是高考中的熱點(diǎn)，線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面平行與證明通常出現(xiàn)在解答題的第一問(wèn)．本節(jié)內(nèi)容將空間中平行的判定與性質(zhì)綜合在一起復(fù)習(xí)，通常在高考題目中，雖然證明的結(jié)論是平行，但是過(guò)程中經(jīng)常交叉使用空間直線(xiàn)、平面平行的判定定理或性質(zhì)，因此題目的綜合性增強(qiáng)．知識(shí)點(diǎn)一：直線(xiàn)和平面平行1、定義直線(xiàn)與平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則稱(chēng)此直線(xiàn)與平面平行，記作∥2、判定方法（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言線(xiàn)∥線(xiàn)線(xiàn)∥面如果平面外的一條直線(xiàn)和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，那么這條直線(xiàn)和這個(gè)平面平行（簡(jiǎn)記為“線(xiàn)線(xiàn)平行線(xiàn)面平行面∥面線(xiàn)∥面如果兩個(gè)平面平行，那么在一個(gè)平面內(nèi)的所有直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面3、性質(zhì)定理（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言線(xiàn)∥面線(xiàn)∥線(xiàn)如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線(xiàn)的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線(xiàn)就和交線(xiàn)平行知識(shí)點(diǎn)二：兩個(gè)平面平行1、定義沒(méi)有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫作平行平面，用符號(hào)表示為：對(duì)于平面和，若，則∥2、判定方法（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理線(xiàn)∥面面∥面如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交的直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行（簡(jiǎn)記為“線(xiàn)面平行面面平行線(xiàn)面面∥面如果兩個(gè)平面同垂直于一條直線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面平行∥3、性質(zhì)定理（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言面//面線(xiàn)//面如果兩個(gè)平面平行，那么在一個(gè)平面中的所有直線(xiàn)都平行于另外一個(gè)平面性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么他們的交線(xiàn)平行（簡(jiǎn)記為“面面平行線(xiàn)面平行”）面//面線(xiàn)面如果兩個(gè)平面中有一個(gè)垂直于一條直線(xiàn)，那么另一個(gè)平面也垂直于這條直線(xiàn)【解題方法總結(jié)】線(xiàn)線(xiàn)平行、線(xiàn)面平行、面面平行的轉(zhuǎn)換如圖所示．性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)判定判定判定線(xiàn)∥面線(xiàn)∥線(xiàn)面∥面（1）證明直線(xiàn)與平面平行的常用方法：①利用定義，證明直線(xiàn)與平面沒(méi)有公共點(diǎn)，一般結(jié)合反證法證明；②利用線(xiàn)面平行的判定定理，即線(xiàn)線(xiàn)平行線(xiàn)面平行．輔助線(xiàn)的作法為：平面外直線(xiàn)的端點(diǎn)進(jìn)平面，同向進(jìn)面，得平行四邊形的對(duì)邊，不同向進(jìn)面，延長(zhǎng)交于一點(diǎn)得平行于第三邊的線(xiàn)段；③利用面面平行的性質(zhì)定理，把面面平行轉(zhuǎn)化成線(xiàn)面平行；（2）證明面面平行的常用方法：①利用面面平行的定義，此法一般與反證法結(jié)合；②利用面面平行的判定定理；③利用兩個(gè)平面垂直于同一條直線(xiàn)；④證明兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面．（3）證明線(xiàn)線(xiàn)平行的常用方法：①利用直線(xiàn)和平面平行的判定定理；②利用平行公理；題型一：平行的判定例1．（2023·湖南岳陽(yáng)·高三湖南省岳陽(yáng)縣第一中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）若、是兩個(gè)不重合的平面，①若內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)分別平行于內(nèi)的兩條直線(xiàn)，則；②設(shè)、相交于直線(xiàn)，若內(nèi)有一條直線(xiàn)垂直于，則；③若外一條直線(xiàn)與內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則；以上說(shuō)法中成立的有（）個(gè)．A．0 B．1 C．2 D．3例2．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）過(guò)直線(xiàn)l外兩點(diǎn)作與l平行的平面，那么這樣的平面（

）A．不存在 B．只有一個(gè) C．有無(wú)數(shù)個(gè) D．不能確定例3．（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)A，B，C，M，N為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則下列各圖中，不滿(mǎn)足直線(xiàn)平面ABC的是（

）A． B．C． D．變式1．（2023·湖南岳陽(yáng)·高三湖南省岳陽(yáng)縣第一中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）a，b，c為三條不重合的直線(xiàn)，，，為三個(gè)不重合的平面，現(xiàn)給出下面六個(gè)命題：①，，則；②若，，則；③，，則；④若，，則；⑤若，，則；⑥若，，則．其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1變式2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)，為兩個(gè)不同的平面，則∥的一個(gè)充分條件是（

）A．內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與平行 B．，垂直于同一個(gè)平面C．，平行于同一條直線(xiàn) D．，垂直于同一條直線(xiàn)【解題方法總結(jié)】排除法：畫(huà)一個(gè)正方體，在正方體內(nèi)部或表面找線(xiàn)或面進(jìn)行排除．題型二：線(xiàn)面平行構(gòu)造之三角形中位線(xiàn)法例4．（2023·廣東河源·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，分別為的中點(diǎn)，連接．

（1）當(dāng)為上不與點(diǎn)重合的一點(diǎn)時(shí)，證明：平面；例5．（2023·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，側(cè)面是矩形，，，分別為棱的中點(diǎn)，為線(xiàn)段的中點(diǎn)．

（1）證明：平面．（2）若三棱錐的體積為1，求．例6．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考二模）如圖所示，在正四棱錐中，底面ABCD的中心為O，PD邊上的垂線(xiàn)BE交線(xiàn)段PO于點(diǎn)F，．

（1）證明：//平面PBC；變式3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，四棱錐中，四邊形ABCD為梯形，，，，，，M，N分別是PD，PB的中點(diǎn)．（1）求證：直線(xiàn)平面ABCD；變式4．（2023·陜西漢中·高三統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱中，平面，且，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積．變式5．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，四邊形是正方形，，平面，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)，且．

（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離．變式6．（2023·新疆昌吉·高三?？紝W(xué)業(yè)考試）如圖，在正方體中，是棱的中點(diǎn)．

（1）證明：平面；（2）若正方體棱長(zhǎng)為2，求三棱錐的體積．【解題方法總結(jié)】（1）初學(xué)者可以拿一把直尺放在位置（與平齊），如圖一；（2）然后把直尺平行往平面方向移動(dòng)，直到直尺第一次落在平面內(nèi)停止，如圖二；（3）此時(shí)剛好經(jīng)過(guò)點(diǎn)（這里熟練后可以直接憑數(shù)感直接找到點(diǎn)），此時(shí)直尺所在的位置就是我們要找的平行線(xiàn)，直尺與相交于點(diǎn)，連接，如圖三；（4）此時(shí)長(zhǎng)度有長(zhǎng)有短，連接并延長(zhǎng)剛好交于一點(diǎn)，剛好構(gòu)成型模型（為中點(diǎn)，則也為中點(diǎn)，若為等分點(diǎn)，則也為對(duì)應(yīng)等分點(diǎn)），，如圖四．圖一 圖二 圖三 圖四題型三：線(xiàn)面平行構(gòu)造之平行四邊形法例7．（2023·天津?yàn)I海新·高三?？计谥校┤鐖D，四棱錐的底面是菱形，平面底面，，分別是，的中點(diǎn)，，，．（1）求證：平面；例8．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，四棱臺(tái)的底面是菱形，且，平面，，，．（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積．例9．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在正三棱柱中，分別是，，的中點(diǎn)，，的邊長(zhǎng)為2．（1）求證：：平面；變式7．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶南開(kāi)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，底面，，，，、分別為棱、的中點(diǎn)，，．（1）求證：平面；變式8．（2023·天津紅橋·高三天津市復(fù)興中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，平面，，E是PD的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求證：平面；（3）若M是線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，則線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)N，使平面？說(shuō)明理由．【解題方法總結(jié)】（1）初學(xué)者可以拿一把直尺放在位置，如圖一；（2）然后把直尺平行往平面方向移動(dòng)，直到直尺第一次落在平面內(nèi)停止，如圖二；（3）此時(shí)剛好經(jīng)過(guò)點(diǎn)（這里熟練后可以直接憑數(shù)感直接找到點(diǎn)），此時(shí)直尺所在的位置就是我們要找的平行線(xiàn)，直尺與相交于點(diǎn)O，連接，如圖三；（4）此時(shí)長(zhǎng)度相等（感官上相等即可，若感覺(jué)有長(zhǎng)有短則考慮法一A型的平行），連接，剛好構(gòu)成平行四邊形型模型（為中點(diǎn)，O也為中點(diǎn)，為三角形中位線(xiàn)），，如圖四．圖一圖二圖三圖四題型四：線(xiàn)面平行轉(zhuǎn)化為面面平行例10．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，且四邊形是正方形，，，分別是棱，，的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若，求點(diǎn)到平面的距離．例11．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在多面體中，四邊形是菱形，且有，，，平面，．（1）求證：平面；例12．（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，側(cè)面是矩形，側(cè)面是菱形，，、分別為棱、的中點(diǎn)，為線(xiàn)段的中點(diǎn)．（1）證明：平面；變式9．（2023·上?！つM預(yù)測(cè)）直四棱柱，，AB⊥AD，AB＝2，AD＝3，DC＝4（1）求證：；變式10．（2023·廣東深圳·高三深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，多面體中，四邊形為矩形，二面角的大小為，，，，．（1）求證：平面；變式11．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知正方形和正方形，如圖所示，、分別是對(duì)角線(xiàn)、上的點(diǎn)，且．求證：平面．

【解題方法總結(jié)】本法原理：已知平面平面，則平面里的任意直線(xiàn)均與平面平行題型五：利用線(xiàn)面平行的性質(zhì)證明線(xiàn)線(xiàn)平行例13．（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知四棱錐，底面為菱形平面，為上一點(diǎn)．（1）平面平面，證明：；例14．（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知四棱錐，底面為菱形，平面，，，為上一點(diǎn)．（1）平面平面，證明：．（2）當(dāng)直線(xiàn)與平面的夾角為時(shí)，求三棱錐的體積．例15．（2023·重慶萬(wàn)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖1所示，在四邊形中，，為上一點(diǎn)，，，將四邊形沿折起，使得，得到如圖2所示的四棱錐．（1）若平面平面，證明：；變式12．（2023·北京東城·高三北京市第十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在直三棱柱中，，，點(diǎn)、分別為棱、的中點(diǎn)，點(diǎn)是線(xiàn)段上的點(diǎn)（不包括兩個(gè)端點(diǎn)）．（1）設(shè)平面與平面相交于直線(xiàn)，求證：；變式13．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，四棱錐的底面邊長(zhǎng)為8的正方形，四條側(cè)棱長(zhǎng)均為．點(diǎn)分別是棱上共面的四點(diǎn)，平面平面，平面．證明：．變式14．（2023·江蘇揚(yáng)州·江蘇省高郵中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，三棱臺(tái)中，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上，，平面平面．（1）證明：；【解題方法總結(jié)】如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線(xiàn)的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線(xiàn)就和交線(xiàn)平行題型六：面面平行的證明例16．（2023·河南鄭州·高三鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分別為AD，PA的中點(diǎn)．（1）證明：平面BMN∥平面PCD；例17．（2023·山東臨沂·高三校考階段練習(xí)）如圖，在多面體中，是正方形，，，，為棱的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（1）求證：平面平面；例18．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，，AC與BD交于點(diǎn)O，底面ABCD，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱PA，PB的中點(diǎn)，連接OE，OF，EF．（1）求證：平面平面PCD；（2）求三棱錐的體積．變式15．（2023·四川南充·統(tǒng)考三模）如圖所示，已知是圓錐底面的兩條直徑，為劣弧的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）若，為線(xiàn)段上的一點(diǎn)，且，求證：平面平面．【解題方法總結(jié)】常用證明面面平行的方法是在一個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面分別平行或找一條直線(xiàn)同時(shí)垂直于這兩個(gè)平面．證明面面平行關(guān)鍵是找到兩組相交直線(xiàn)分別平行．題型七：面面平行的性質(zhì)例19．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四棱柱中，底面為梯形，，平面與交于點(diǎn)．求證：．例20．（2023·遼寧·朝陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考三模）如圖，直四棱柱被平面所截，截面為CDEF，且，，，平面EFCD與平面ABCD所成角的正切值為．（1）證明：；例21．（2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)校考二模）如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長(zhǎng)為4的菱形．，點(diǎn)D為棱AC上動(dòng)點(diǎn)（不與A，C重合），平面B1BD與棱A1C1交于點(diǎn)E．（1）求證：；變式16．（2023·北京·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在多面體中，面是正方形，平面，平面平面，，，，四點(diǎn)共面，，．（1）求證：；變式17．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在如圖所示的圓柱中，AB，CD分別是下底面圓O，上底面圓的直徑，AD，BC是圓柱的母線(xiàn)，E為圓O上一點(diǎn)，P為DE上一點(diǎn)，且平面BCE．（1）求證：；【解題方法總結(jié)】如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么他們的交線(xiàn)平行（簡(jiǎn)記為“面面平行線(xiàn)面平行”）題型八：平行關(guān)系的綜合應(yīng)用例22．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正方體中，?分別為對(duì)角線(xiàn)?上的點(diǎn)，且．（1）求證：平面；（2）若是上的點(diǎn)，的值為多少時(shí)，能使平面平面？請(qǐng)給出證明．例23．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖、三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，點(diǎn)在線(xiàn)段上且，點(diǎn)是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)為多少時(shí)，直線(xiàn)平面？例24．（2023·福建福州·福州四中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直三棱柱中，，且，點(diǎn)在線(xiàn)段（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，設(shè)．（1）當(dāng)平面時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；變式18．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高一長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個(gè)截面，若截面為平行四邊形．（1）求證：AB∥平面EFGH；（2）若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長(zhǎng)的取值范圍．變式19．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，為邊的中點(diǎn)，異面直線(xiàn)與所成的角為．（1）在直線(xiàn)上找一點(diǎn)，使得直線(xiàn)平面，并求的值；變式20．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所求，四棱錐，底面為平行四邊形，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）已知點(diǎn)在上滿(mǎn)足平面，求的值．【解題方法總結(jié)】證明平行關(guān)系的常用方法熟練掌握線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、