多項(xiàng)式響應(yīng)面模型VIP

多項(xiàng)式響應(yīng)面模型以福特汽車公司為例，該公司的一次汽車碰撞如果采用普通仿真的方法進(jìn)行計(jì)算，需要36160個(gè)小時(shí)。對(duì)于一個(gè)雙變量的優(yōu)化問(wèn)題，假設(shè)需要50次迭代，而每次迭代需要一次碰撞仿真，那么總共要花費(fèi)75天一11個(gè)月。顯然，如此長(zhǎng)的仿真時(shí)間，在實(shí)際應(yīng)用中不可能被接受。隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的快速發(fā)展，雖然計(jì)算機(jī)的計(jì)算性能己得到了極大的提升，但是工程中的分析計(jì)算模型的復(fù)雜度也在不斷增加。研究背景和意義

在一些結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)開(kāi)發(fā)階段中，通過(guò)有限元仿真技術(shù)對(duì)產(chǎn)品的工程結(jié)構(gòu)進(jìn)行性能分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)，在一定程度上縮短了分析和設(shè)計(jì)的循環(huán)周期。然而，在計(jì)算機(jī)運(yùn)算速度不斷提高的同時(shí)，工程師對(duì)有限元仿真分析的精度要求也會(huì)相應(yīng)提高，尤其對(duì)于大量復(fù)雜且精細(xì)的工程結(jié)構(gòu)而言，完成一次具有高保真度的工程有限元仿真分析的計(jì)算代價(jià)就會(huì)大大提高。同時(shí)，伴隨著多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計(jì)的提出和研究，工程結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)往往需要大量的仿真分析來(lái)得到不同設(shè)計(jì)變量組合的系統(tǒng)響應(yīng)值，可見(jiàn)僅僅依靠有限元仿真技術(shù)來(lái)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)會(huì)顯得不切實(shí)際，也就是說(shuō)，計(jì)算機(jī)能力的發(fā)展進(jìn)步并沒(méi)有明顯縮短實(shí)際復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)周期，反而增加了有限元建模的復(fù)雜程度。

為了在一定程度上科學(xué)減少?gòu)?fù)雜耗時(shí)的仿真計(jì)算數(shù)量，代理模型技術(shù)得到發(fā)展和完善，并作為研究熱點(diǎn)逐漸應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域?qū)嶋H的復(fù)雜工程優(yōu)化設(shè)計(jì)中。

代理模型，也稱為近似模型，是主要根據(jù)試驗(yàn)設(shè)計(jì)所選擇的有限少量樣本點(diǎn)和基于有限元仿真或物理實(shí)驗(yàn)所得到的相應(yīng)響應(yīng)值，所構(gòu)造的計(jì)算復(fù)雜度低、計(jì)算速度快，但計(jì)算結(jié)果接近于實(shí)際結(jié)果的數(shù)學(xué)模型。因此在滿足一定精度的情況下可用來(lái)替代表征實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)值模型，進(jìn)而減少耗時(shí)的有限元計(jì)算數(shù)量，滿足在復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中有效縮短設(shè)計(jì)周期和計(jì)算機(jī)成本的要求。代理模型法的主要步驟1.選取抽樣方法，根據(jù)所選取的抽樣方法，選取抽樣點(diǎn)和響應(yīng)值，遵循的原則是樣本點(diǎn)的隨機(jī)性和代表性，能夠反映整個(gè)樣本的發(fā)展情況。2.根據(jù)樣本點(diǎn)的線性和非線性，是否采用高階和非高階，具體實(shí)現(xiàn)什么功能，比如需要有些預(yù)測(cè)性，需要高精度擬合等。選擇合適的模型，也可以選取多種模型進(jìn)行對(duì)比，同時(shí)也可以用多個(gè)模型來(lái)處理同一個(gè)問(wèn)題（時(shí)間允許的范圍內(nèi)）。3.在選取模型之后，對(duì)模型的精度和準(zhǔn)確度進(jìn)行判斷，看看是否符合精度要求，通過(guò)方差或者相對(duì)均方根誤差來(lái)判斷模型的準(zhǔn)確性，和選取合適的模型抽樣方法全因子采樣正交采樣均勻采樣隨機(jī)采樣拉丁超立方（LHS）拉丁超立方（LHS）由于LHS可兼顧樣本點(diǎn)在參數(shù)空間的均勻性和隨機(jī)性，一般在相同樣本數(shù)量下基于LHS方法抽取樣本更具空間代表性，基于LHS獲取樣本點(diǎn)建立的代理模型預(yù)測(cè)精度往往精度更高;此外LHS采樣對(duì)參數(shù)維度和樣本數(shù)量沒(méi)有直接要求，操作更為簡(jiǎn)單可控，故而系目前最為常用的高維空間采樣方案。全因子采樣隨機(jī)抽樣拉丁超立方代理模型的分類多項(xiàng)式響應(yīng)面模型（PRS）徑向基函數(shù)模型（RBF）Kriging模型（KRG）多元自適應(yīng)樣條回歸模型（MARS）支持向量回歸模型（SVR）加權(quán)平均模型（WAM）人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（ANN）多項(xiàng)式響應(yīng)面模型的數(shù)學(xué)模型

通常在進(jìn)行計(jì)算的過(guò)程中，通常先采用一階模型，其目的是引導(dǎo)實(shí)驗(yàn)者沿著改善系統(tǒng)的路徑快速而有效地最優(yōu)的附近區(qū)域前進(jìn)，一旦找到最優(yōu)區(qū)域，就可以用更精細(xì)的模型（例如二階模型）進(jìn)行分析以遍確定最優(yōu)點(diǎn)的位置。通過(guò)利用最小二乘法估算回歸方程的回歸系數(shù)。構(gòu)建多項(xiàng)式響應(yīng)面模型。

多項(xiàng)式響應(yīng)面模型的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：能夠有效過(guò)濾計(jì)算中的數(shù)值噪聲，剔除由于模型迭代殘差和收斂不穩(wěn)定帶來(lái)的計(jì)算結(jié)果數(shù)值抖動(dòng)，保證代理模型擬合結(jié)果的光順平滑，從而提高整個(gè)代理模型擬合過(guò)程的自動(dòng)化程度、可靠性和適用性，有利于后續(xù)的性能計(jì)算和優(yōu)化。缺點(diǎn)：由于多項(xiàng)式函數(shù)擬合高度非線性函數(shù)的能力不足，對(duì)于高度非線性的系統(tǒng)響應(yīng)，雖然通過(guò)增加多項(xiàng)式階次降低擬合誤差，但過(guò)擬合現(xiàn)象導(dǎo)致模型的預(yù)測(cè)不穩(wěn)定性也隨之增加，且待定系數(shù)的增加使得模型對(duì)樣本數(shù)量的需求也大幅增加，導(dǎo)致建模效率降低。模型對(duì)比在模型擬合精度上，二次多項(xiàng)式適用于低階非線性問(wèn)題，而人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、Kriging函數(shù)和徑向基函數(shù)則適用廣泛這是由于二次多項(xiàng)式限于函數(shù)形式，只能對(duì)一階或二階函數(shù)進(jìn)行擬合，而對(duì)高階函數(shù)的擬合則會(huì)產(chǎn)生較大的誤差；在模型擬合效率上，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和Kriging函