高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)核心專(zhuān)題講練：三角函數(shù)與解三角形第3講 三角函數(shù)與解三角形解答題 解析版

第3講三角函數(shù)與解三角形解答題目錄第一部分：知識(shí)強(qiáng)化第二部分：重難點(diǎn)題型突破突破一：三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間突破二：三角函數(shù)最值（值域）問(wèn)題突破三：與三角函數(shù)有關(guān)的零點(diǎn)問(wèn)題角度1：零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題角度2：零點(diǎn)代數(shù)和問(wèn)題突破四：三角函數(shù)中的恒（能）成立問(wèn)題突破五：三角形中線(xiàn)問(wèn)題突破六：三角形角平分線(xiàn)問(wèn)題突破七：三角形中面積（定值，最值，取值范圍）問(wèn)題突破八：三角形中周長(zhǎng)（定值，最值，取值范圍）突破九：三角形中邊長(zhǎng)的代數(shù)關(guān)系突破十：四邊形（多邊形）問(wèn)題突破十一：三角函數(shù)與解三角形實(shí)際應(yīng)用

第三部分：沖刺重難點(diǎn)特訓(xùn)第一部分：知識(shí)強(qiáng)化1、中線(xiàn)：在中，設(shè)是的中點(diǎn)角,,所對(duì)的邊分別為，，1.1向量形式：（記憶核心技巧，結(jié)論不用記憶）核心技巧：結(jié)論：1.2角形式：核心技巧：在中有：;在中有：;2、角平分線(xiàn)如圖，在中，平分，角,,所對(duì)的邊分別為，，2.1內(nèi)角平分線(xiàn)定理：核心技巧：或2.2等面積法核心技巧2.3角形式：核心技巧：在中有：;在中有：;3、三角形面積的計(jì)算公式：①；②；③（其中，是三角形的各邊長(zhǎng)，是三角形的內(nèi)切圓半徑）；④(其中，是三角形的各邊長(zhǎng)，是三角形的外接圓半徑).4、三角形面積最值：核心技巧：利用基本不等式，再代入面積公式.5、三角形面積取值范圍：核心技巧：利用正弦定理，，代入面積公式，再結(jié)合輔助角公式，根據(jù)角的取值范圍，求面積的取值范圍.6、基本不等式核心技巧：利用基本不等式，在結(jié)合余弦定理求周長(zhǎng)取值范圍；7、利用正弦定理化角核心技巧：利用正弦定理，，代入周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）公式，再結(jié)合輔助角公式，根據(jù)角的取值范圍，求周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）的取值范圍.第二部分：重難點(diǎn)題型突破突破一：三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間1．（2022·吉林·東北師大附中模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中向量，．(1)求的解析式及對(duì)稱(chēng)中心和單調(diào)減區(qū)間；【答案】(1)，對(duì)稱(chēng)中心為，單調(diào)減區(qū)間是【詳解】（1）

令，對(duì)稱(chēng)中心又令，所以單調(diào)減區(qū)間是2．（2022·寧夏·平羅中學(xué)高三期中（文））已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中的圖像與軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.(1)求這個(gè)函數(shù)的解析式，并寫(xiě)出它的遞增區(qū)間；【答案】(1)，【詳解】（1）由圖知，，，，，由得，故的遞增區(qū)間是3．（2022·陜西·渭南市瑞泉中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；【答案】(1)見(jiàn)詳解【詳解】（1），所以的最小正周期．令，，解得，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，．4．（2022·河南·汝陽(yáng)縣一高高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)．(1)求的最小值，并寫(xiě)出此時(shí)x的取值集合；(2)若，求的單調(diào)遞減區(qū)間．【答案】(1)，此時(shí)x的取值集合為；(2)的單調(diào)遞減區(qū)間為和【詳解】（1）.當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，且，所以，此時(shí)x的取值集合為；（2）由，得，所以，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，又因?yàn)?，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為和5．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求的最小正周期以及在上的單調(diào)遞增區(qū)間；【答案】(1)，解：∵，∴的最小正周期為．∵，∴，∴，解得，所以的最小正周期為，在上的單調(diào)遞增區(qū)間為．6．（2022·山東濟(jì)寧·高一期中）已知函數(shù)(1)求的定義域和最小正周期；(2)求的單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)定義域?yàn)?；最小正周期?2)單調(diào)遞減區(qū)間為(1)要使函數(shù)有意義，只需，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的最小正周期為．(2)由于正切函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，對(duì)于函數(shù)令，解得，即在上單調(diào)遞增而函數(shù)與單調(diào)性相反故函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為突破二：三角函數(shù)最值（值域）問(wèn)題1．（2022·全國(guó)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知，．(1)若，且，時(shí)，與的夾角為鈍角，求的取值范圍；(2)若，函數(shù)，求的最小值．【答案】(1)(2)的最小值為.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，若與的夾角為鈍角，則且與不能共線(xiàn)，，所以，又，所以，所以，當(dāng)與共線(xiàn)時(shí)，，故，所以與不共線(xiàn)時(shí)，.綜上：.（2）令，則而函數(shù)在上為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)有最小值.故的最小值為.2．（2022·湖南·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的初相為，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立．(1)求的最小值；(2)在（1）的條件下，函數(shù)左平移個(gè)單位后，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原米的4倍，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間以及最小值．【答案】(1)2(2)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，最小值為【詳解】（1）∵函數(shù)的初相為，∴，∴，．又對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，則有恒成立，，，即，又，∴當(dāng)時(shí)，有最小值為2．（2）由（1）可知，函數(shù)左平移個(gè)單位后，得到的函數(shù)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的4倍，得到．，整理可得，∴在上的單調(diào)遞增區(qū)間為．由，可得，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值．3．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，函數(shù)．(1)若，求的面積；(2)當(dāng)時(shí)，取最大值，求在上的值域.【答案】(1)若，的面積為，若，的面積為；(2)(1)因?yàn)椋裕?，或，由正弦定理可?又，所以，若則所以，，當(dāng)則所以，，(2)．因?yàn)樵谔幦〉米畲笾担?，即．因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)椋?，所以，在上的值域?yàn)?4．（2022·浙江·杭州高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè).(1)若，求使函數(shù)為偶函數(shù)；(2)在（1）成立的條件下，當(dāng)，求的取值范圍.【答案】(1)(2)(1)因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，即，因?yàn)?，所?2)在（1）成立的條件下，，因?yàn)?，所以，所以所?．（2022·上?！とA師大二附中模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)解不等式；(2)若，且的最小值是，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)，；(2).【詳解】(1)∵由，得，解集為，(2)∵，∴，，①當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，這與已知不相符；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值，由已知得，解得；③當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，由已知得，解得，這與相矛盾.綜上所述，.突破三：與三角函數(shù)有關(guān)的零點(diǎn)問(wèn)題角度1：零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題1．（2022·廣東·肇慶市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）已知向量，函數(shù)．(1)求函數(shù)的值域;(2)函數(shù)在上有10個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：，所以，的值域?yàn)?（2）解：令，即，因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上有10個(gè)零點(diǎn)，所以方程在上有10個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，解得．所以，的取值范圍為.2．（2022·北京海淀·一模）設(shè)函數(shù).已知存在使得同時(shí)滿(mǎn)足下列三個(gè)條件中的兩個(gè)：條件①：；條件②：的最大值為；條件③：是圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸.(1)請(qǐng)寫(xiě)出滿(mǎn)足的兩個(gè)條件，并說(shuō)明理由；(2)若在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)②③，理由見(jiàn)解析(2)（1）函數(shù)，其中，對(duì)于條件①：若，則，對(duì)于條件②：的最大值為，則，得，①②不能同時(shí)成立，當(dāng)時(shí)，，即不滿(mǎn)足條件③；當(dāng)時(shí)，，，即滿(mǎn)足條件③；當(dāng)時(shí)，，，即不滿(mǎn)足條件③；綜上可得，存在滿(mǎn)足條件②③.（2）由（1）得，當(dāng)時(shí)，，由于在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則，解得，即的取值范圍是.3．（2022·陜西·寶雞中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知向量，函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】(1)(2)或【詳解】（1），令，解得.所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.（2）由函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).即在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，直線(xiàn)與的圖像上有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)，，設(shè)函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，所以或，即或.4．（2022·江西·崇仁縣第二中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知是函數(shù)的兩個(gè)相鄰的對(duì)稱(chēng)中心的點(diǎn)的橫坐標(biāo).(1)若對(duì)任意，都有，求的取值范圍；(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的根，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1），因?yàn)槭呛瘮?shù)相鄰兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)，所以，解得，，若對(duì)任意，都有，只需，由可得，故，所以，因此，即，解得或，因此；（2）關(guān)于的方程，化簡(jiǎn)后得，，，作出圖象，如圖，由圖可知，當(dāng)，即時(shí)，有兩根.5．（2022·北京市第十一中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)在區(qū)間[，m]上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）令，得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）令，即，則，即，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間[，m]上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，所以，故m的取值范圍是.角度2：零點(diǎn)代數(shù)和問(wèn)題1．（2022·遼寧·大連二十四中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，其圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸與相鄰對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)相差，_________，從以下兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在空白橫線(xiàn)中．①函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)且；②函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)且．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若，函數(shù)存在兩個(gè)不同零點(diǎn)，求的值．【答案】(1)(2)（1）又函數(shù)的最小正周期為，，選①，將函數(shù)向左平移個(gè)單位得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所得函數(shù)為，由于函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，可得，解得，，所以，的可能取值為、，若，則，，符合題意，若，則，，不符合題意，所以，；選②，因?yàn)楹瘮?shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸，則，解得，，所以，的可能取值為、，若，則，則，符合題意，若，則，則，不符合題意，所以，；（2）令，此時(shí)函數(shù)存在兩個(gè)不同零點(diǎn)等價(jià)于直線(xiàn)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到最大值.∴，即，∴.2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位，再將所得圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，若方程在上有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍及的值．【答案】(1)(2)，（1）由圖示得：，又，所以，所以，所以，又因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以，即，所以，解得，又，所以，所以；（2）由已知得，當(dāng)時(shí)，，令，則，令，則函數(shù)的圖象如下圖所示，且，，，由圖象得有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則，所以，即，所以，所以，故．3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)所在勻上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并計(jì)算的值．【答案】（1）最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為：[，]，k∈Z；（2）m∈[，2），tan（x1′+x2′）＝．【詳解】函數(shù)f（x）＝4sin（x）cosx．化簡(jiǎn)可得：f（x）＝2sinxcosx﹣2cos2x＝sin2x（cos2x）＝sin2xcos2x＝2sin（2x）（1）函數(shù)的最小正周期T，由2x時(shí)單調(diào)遞增，解得：∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[，]，k∈Z．（2）函數(shù)g（x）＝f（x）﹣m所在[0，]勻上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1′，x2′，轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）與函數(shù)y＝m有兩個(gè)交點(diǎn)令u＝2x，∵x∈[0，]，∴u∈[，]可得f（x）＝sinu的圖象（如圖）．從圖可知：m在[，2），函數(shù)f（x）與函數(shù)y＝m有兩個(gè)交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為x1′，x2′．故得實(shí)數(shù)m的取值范圍是m∈[，2），由題意可知x1′，x2′是關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸是對(duì)稱(chēng)的：那么函數(shù)在[0，]的對(duì)稱(chēng)軸x∴x1′+x2′2那么：tan（x1′+x2′）＝tan4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））已知函數(shù)f(x)＝sinsinx－cos2x＋（1）求f(x)的最大值及取得最大值時(shí)x的值；（2）若方程f(x)＝在(0，π)上的解為x1，x2，求cos(x1－x2)的值．【答案】（1）x＝π＋kπ(k∈Z)，最大值為1；（2）.【詳解】（1）f(x)＝cosxsinx－(2cos2x－1)＝sin2x－cos2x＝sin.當(dāng)2x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝π＋kπ(k∈Z)時(shí)，函數(shù)f(x)取最大值，且最大值為1.（2）由（1）知，當(dāng)x∈(0，π)時(shí)，函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x＝π.又方程f(x)＝在(0，π)上的解為x1，x2.所以x1＋x2＝π，則x1＝π－x2，所以cos(x1－x2)＝cos＝sin，又f(x2)＝sin＝，故cos(x1－x2)＝.5．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)的相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸間的距離為.（1）求的解析式；（2）將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖像，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.（3）對(duì)于第（2）問(wèn)中的函數(shù)，記方程在，上的根從小到依次為，試確定n的值，并求的值.【答案】（1）；（2）；（3），.【詳解】（1）由題意，函數(shù)因?yàn)楹瘮?shù)圖像的相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸間的距離為，所以，可得.故（2）將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得的圖像.再把橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，得到函數(shù)的圖像.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，故函數(shù)的值域.（3）由方程，即，即，因?yàn)椋傻?，設(shè)，其中，即，結(jié)合正弦函數(shù)的圖像，可得方程在區(qū)間有5個(gè)解，即，其中，即解得所以.突破四：三角函數(shù)中的恒（能）成立問(wèn)題1．（2022·北京市昌平區(qū)第二中學(xué)高三期中）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)樗缘淖钚≌芷跒椋?）“對(duì)恒成立”等價(jià)于“”因?yàn)樗援?dāng)，即時(shí)的最大值為.所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.2．（2022·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三期中）已知函數(shù).(1)求的值并求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求證：當(dāng)時(shí)，恒有.【答案】(1)，最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為，；(2)證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）因?yàn)?，化?jiǎn)可得所以，所以，的最小正周期.令，，解得，，∴單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）由，知：，則有的值域?yàn)?，∴，即?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，恒有.3．（2022·北京·清華附中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，且．(1)求a的值；(2)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(3)若對(duì)于任意的，總有，直接寫(xiě)出m的最大值．【答案】(1)；(2)函數(shù)的最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為，；(3)m的最大值為.（1）因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以，?）由(1)，化簡(jiǎn)得，所以，所以函數(shù)的最小正周期，由，，得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；（3）由，可得，所以，所以，，化簡(jiǎn)可得由對(duì)于任意的，總有可得的最大值為.4．（2022·山西·平遙縣第二中學(xué)校高三階段練習(xí)）已知點(diǎn)，是函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=對(duì)稱(chēng)，且函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的最小值為．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)當(dāng)x∈時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)；(2)；(3).【詳解】（1）由知，函數(shù)在處的函數(shù)值一個(gè)是最大值，另一個(gè)是最小值，又的最小值為，于是得函數(shù)的周期T=，即=，則，有，又函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，因此，而，于是有，所以函數(shù)f(x)的解析式是．（2）由（1）知，，由，得，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為．（3）當(dāng)時(shí)，，有，則，即有，因此，顯然，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，從而得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.5．（2022·河南省駐馬店高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)，對(duì)任意都有．(1)求的解析式；(2)對(duì)于任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)（1）因?yàn)閷?duì)任意都有，所以是函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸，，解得，又，所以，.（2）因?yàn)閷?duì)任意，不等式，所以，因?yàn)?，，所以，所?突破五：三角形中線(xiàn)問(wèn)題1．（2022·廣東·深圳中學(xué)高二期中）如圖，在中，已知，，，BC邊上的中線(xiàn)為AM．(1)求的值；(2)求．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）由余弦定理，得，即，．在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，由與互補(bǔ)，則，解得．（2）在中，由余弦定理，得，因?yàn)?，所以?/p>

所以．2．（湖北省鄂東南省級(jí)示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）在中，角所對(duì)的邊分別為，且，的中線(xiàn)長(zhǎng)為．(1)證明：；(2)求的面積最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）證明：左邊，∴，又，∴（2）解：法一：（角化邊）如圖，設(shè)為中點(diǎn)，設(shè)，，因?yàn)?，所以，所以，在中，由余弦定理得：，所以，所以，，所以，?dāng)，即時(shí)，有最大值，所以，的面積最大值為.法二：（邊化角）由，，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，所以，所以，，即，又因?yàn)椋?，所以，所以所以的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，的面積最大值為.3．（2022·廣東·韶關(guān)市張九齡紀(jì)念中學(xué)高二期中）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，．(1)求角B；(2)若的面積為，求BC邊上中線(xiàn)的長(zhǎng)．【答案】(1);(2).【詳解】（1），，或或（舍）（2），即，得由正弦定理得，設(shè)邊的中點(diǎn)為，連接，如下圖,即，得.4．（2022·安徽·合肥一六八中學(xué)高三階段練習(xí)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且向量與向量共線(xiàn)．(1)求角；(2)請(qǐng)從條件①、條件②條件③這三個(gè)條件選擇一個(gè)作為已知，使得存在且唯一確定，并求AC邊上中線(xiàn)的長(zhǎng)．條件①：，；條件②：，；條件③，．【答案】(1)(2)選③；【詳解】（1）由向量與向量共線(xiàn)得：∴又因?yàn)?，∴，∴，又，∴；?）由①可知：所以，或，不唯一確定（舍去）由②可知：又，所以，即或，不唯一確定（舍去）由③可知：，，，∴5．（2022·山西太原·高三期中）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)記分別為內(nèi)角的對(duì)邊，且，的中線(xiàn)，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，解得，的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）因?yàn)?，可得，因?yàn)椋约?，由及可得，，所以所以即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，所以，故面積的最大值為.6．（2022·新疆·兵團(tuán)第一師高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且(1)求；(2)若邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)為，，求的面積．【答案】(1)(2)（1）由已知得：，由正弦定理可化為：，即，由余弦定理知，又，故．（2）設(shè)邊上的中線(xiàn)為，則所以，即，所以，即①又，由余弦定理得，即②由①②得，所以．7．（2022·福建泉州·高一期末）在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線(xiàn)上，并加以解答．三個(gè)內(nèi)角的對(duì)應(yīng)邊分別為，且滿(mǎn)足．(1)求角B的大?。?2)若D為邊AC的中點(diǎn)，且，求中線(xiàn)BD長(zhǎng)．注：如果選擇多個(gè)方案分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)(2)(1)若選①：可化為．由正弦定理，可得，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以．若選②：由正弦定理，可得移項(xiàng)得即，又因?yàn)?，所以，故．若選③：由正弦定理，可得，由余弦定理，可得．因?yàn)?，所?2)由余弦定理，可得，即因?yàn)镈為邊AC的中點(diǎn)，所以，在中，由余弦定理，可得．在中，由余弦定理，可得，因?yàn)?，所以，即，解得突破六：三角形角平分線(xiàn)問(wèn)題1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）1.已知，，分別是的內(nèi)角，，所對(duì)的邊，，再?gòu)南旅鏃l件①與②中任選個(gè)作為已知條件，完成以下問(wèn)題．(1)證明：為銳角三角形；(2)若，為的內(nèi)角平分線(xiàn)，且與邊交于，求的長(zhǎng)．①；②．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)選擇①②結(jié)果相同，(1)方案一：選條件①由正弦定理，又，，，令，（），從而，由，解得：或（舍去）從而最大，又為銳角三角形方案二：選條件②由正弦定理，又，，，令，（），從而，解得：或（舍去）從而最大，又為銳角三角形(2)方案一：選條件①由，∴又由第一問(wèn)可知：，∴，法一：由，∴，由面積公式得：由，從而，解得：．法二：，解得：由角平分線(xiàn)定理，，從而在中，由余弦定理，，解得：方案二：選條件②由，又由第一問(wèn)可知：，，，由，解得：或（舍去）法一：故，由，∴，由面積公式得：由，從而，解得：．法二：由角平分線(xiàn)定理，，從而在中，由余弦定理，，解得：2．（2021·遼寧朝陽(yáng)·高三開(kāi)學(xué)考試）已知三角形的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求角；（2）若，角的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)，，求的長(zhǎng).【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，即，即，因?yàn)椋?，故，因?yàn)?，所?（2）由（1）可知又；所以，，可得，所以，在中，由余弦定理可得，即，解得.3．（2019·安徽·二模（理））在銳角三角形中，角，，的對(duì)邊分別為，，；.（1）求角的大小；（2）在銳角三角形中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，，求三角形的內(nèi)角平分線(xiàn)的長(zhǎng).【答案】（1）（2）【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，所以，在銳角三角形中，，即，，所以，所以，因?yàn)闉殇J角，所以；（2）因?yàn)?，所?在三角形中，由余弦定理得，，，即，解得，或.當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)角為鈍角，不符合三角形為銳角三角形，所以.由正弦定理得，，所以，所以，，因?yàn)闉閮?nèi)角平分線(xiàn)，所以，所以，所以.4．（2022·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）在△中，角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且，．(1)證明：；(2)從條件①、條件②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知，求△的面積．條件①：△的中線(xiàn)；條件②：△的角平分線(xiàn)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)條件①，條件②(1)因?yàn)?，由余弦定理可得：，又，設(shè)，則，解得或（舍），故；(2)由，可得，又，故，選①：△的中線(xiàn)，在△中解得或（舍），故．又，

則；選②：在△中，由正弦定理得，在△中，由正弦定理得．又，，得，由，得，

在△中，解得，又，

所以；綜上，條件①，條件②.5．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，，．(1)求的大小；(2)在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，并求出的長(zhǎng)．①；②截得角的角平分線(xiàn)的線(xiàn)段長(zhǎng)為1；③面積為．【答案】(1)；(2)若選②，；若選③，(1)由正弦定理得，又，可得，即，又，故，又，故由可得，即，故，.(2)若選①，由（1）知，和矛盾，不存在；若選②，由為角的角平分線(xiàn)可知：，又，故，即，又，故；此時(shí)存在且唯一確定；若選③，，又，，解得；此時(shí)存在且唯一確定.突破七：三角形中面積（定值，最值，取值范圍）問(wèn)題1．（2022·云南師大附中高三階段練習(xí)）的內(nèi)角分別為A，B，C，其對(duì)邊分別為a，b，c，點(diǎn)O為的內(nèi)心，記，，的面積為，，，已知，．(1)求角B；(2)在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，判斷三角形是否存在？若存在，求出三角形面積，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【詳解】（1）設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得：，所以，因?yàn)?，所以．?）若選擇①，因?yàn)椋?，由?）知，，所以，所以，解得，所以存在且唯一，面積．若選擇②，，所以，由（1）知，，所以，整理得，b無(wú)解，故不存在．若選擇③，因?yàn)?，所以．由?）知，，所以，整理得，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，或，滿(mǎn)足題意，所以存在兩個(gè)．當(dāng)時(shí)，的面積，當(dāng)時(shí)，的面積．2．（2022·海南·高三階段練習(xí)）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，.(1)求A；(2)若，且，求的面積.【答案】(1).(2).【詳解】（1）根據(jù)三角形面積公式有,因?yàn)?，所以，得，，不適合該式，所以，由，得.（2）由題意，由余弦定理可得，可得，所以由可得得，于是，所以的面積.3．（2022·寧夏·銀川一中高三階段練習(xí)（理））已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)求A；(2)若的外接圓半徑為，求面積的最大值.【答案】(1)(2).【詳解】（1）因?yàn)?，∴，∴，得，因?yàn)?，所以，∴，又，故，?）由正弦定理得，即，解得，又由余弦定理得：，即，又因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，即的面積的最大值為4．（2022·河南·汝陽(yáng)縣一高高三階段練習(xí)（理））已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，且．(1)求角C的大??；(2)若△ABC為銳角三角形，且，求△ABC面積的取值范圍．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）由以及，可得，即，即，即，即，由于，故，又，故，故或，解得或（舍去），故.（2）由正弦定理得，即，．所以的面積，．因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，所以，故面積的取值范圍是．5．（2022·浙江杭州·高三期中）銳角中，已知．(1)求角B；(2)若，求的面積S的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）∵∴

由銳角，可知．（2）由（1）知，，，則又，，則由正弦定理知，，則，則∵，∴又，則，∴突破八：三角形中周長(zhǎng)（定值，最值，取值范圍）1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，已知．(1)若，求．(2)若，求．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）由余弦定理得，所以.（2）依題意，由正弦定理得，由于，解得，，所以為銳角，所以，由余弦定理得，而，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，.當(dāng)時(shí)，，.2．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高三期中）在中，角的對(duì)邊分別為已知.(1)求角的大??；(2)邊上有一點(diǎn)，滿(mǎn)足，且，求周長(zhǎng)的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1），由正弦定理得：...（2），化簡(jiǎn)得：周長(zhǎng)令，即又由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知在時(shí)單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，.即的周長(zhǎng)最小值為.3．（2022·山東煙臺(tái)·高三期中）在①；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，補(bǔ)充到下面的橫線(xiàn)上，并給出解答．問(wèn)題：已知中，角、、的對(duì)邊分別為、、，是邊的中點(diǎn)，，且______．(1)求的值；(2)若的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，求的周長(zhǎng)．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：選擇①：設(shè)，則，在中，，在中，，∵，∴，即，所以，故．選擇②：由正弦定理得，，∵，∴，∴，即，于是，∴，設(shè)，，在中，，即（i），在中，，即（ii），聯(lián)立（i）（ii）解得，，，即，．（2）解：由題意得，，∴，∴，又∵，∴，∴故的周長(zhǎng)為．4．（2022·廣東江門(mén)·高三階段練習(xí)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊長(zhǎng)分別為，設(shè)為的面積，滿(mǎn)足.(1)求角的大小；(2)若為銳角三角形，其外接圓半徑為，求周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）因?yàn)橹?，面積為，又，，則，所以，又，所以.（2）若為銳角三角形，由（1）知，且外接圓的半徑為，由正弦定理得，可得，由正弦定理得，所以；因?yàn)?，所以，又為銳角三角形，所以，且，又，則，所以，故；所以，則，所以周長(zhǎng)的取值范圍是.5．（2022·浙江浙江·高三期中）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,已知．(1)求的值；(2)若的面積為，求周長(zhǎng)的最小值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由得，，因?yàn)?，解得．所以．?）由可知，．由的面積為，得，故．所以，即．（等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)）又（等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)）所以．故周長(zhǎng)（等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)）．因此周長(zhǎng)的最小值為．6．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高三階段練習(xí)）在①；②；③；在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并作答．在銳角中，內(nèi)角、、，的對(duì)邊分別是、、，且______(1)求角的大??；(2)若，求周長(zhǎng)的范圍．【答案】(1)條件選擇見(jiàn)解析，(2)（1）解：選①，由可得，，則，可得，；選②，由可得，即，即，，則，故，；選③，由及正弦定理可得，、，則，所以，，故，，，因此，.（2）解：由正弦定理可得，則，，，因?yàn)闉殇J角三角形，則，可得，所以，，則，故.突破九：三角形中邊長(zhǎng)的代數(shù)關(guān)系1．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高三階段練習(xí)）在中，，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，的面積．(1)若，求的值；(2)求的最大值．【答案】(1)；(2).（1）的面積，有，由余弦定理，，得，即，已知，由正弦定理，有，由，∴即，中，∴，，則，∴，令，則有，解得，由正弦定理，.（2）由（1）有：，為的內(nèi)角，當(dāng)時(shí)，有最大值.2．（2022·江蘇·南京市第十三中學(xué)高三階段練習(xí)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)求B；(2)記的面積為，且的外接圓面積為，求的取值范圍.【答案】(1)(2)（1）由正弦定理，，故，因?yàn)椋?，同理可得，，故，，即，因?yàn)?，故，解得；?）因?yàn)榈耐饨訄A面積為，故的外接圓半徑為，由正弦定理，；由余弦定理，，所以.（*），所以將（*）式代入，可得因?yàn)?，所以由?）式可得，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），故，所以取值范圍為3．（2022·重慶·西南大學(xué)附中高三階段練習(xí)）記的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知．(1)求；(2)記的面積為，求的最大值．【答案】(1)(2)的最大值為【詳解】（1）解：因?yàn)?，由平面向量?shù)量積的定義可得，即，整理可得，由正弦定理可得.（2）解：，由余弦定理可得，所以，，令，即，可得，為銳角，且，所以，，解得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最大值.故的最大值為.4．（2022·江蘇·南京師大蘇州實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三階段練習(xí)）在中，角A，B，C成等差數(shù)列，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．(1)若，判斷的形狀；(2)若不是鈍角三角形，求的取值范圍．【答案】(1)為直角三角形.(2)（1）因?yàn)榻茿，B，C成等差數(shù)列，又，，即，，由余弦定理得：，由正弦定理得：，即，，即又，所以為直角三角形.（2），則由不是鈍角三角形，知，由正弦定理知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，，，綜上可知，的取值范圍時(shí)5．（2022·遼寧·鞍山一中二模）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知(1)求角A；(2)若為銳角三角形，且的面積為S，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1），所以，所以，又，所以，因?yàn)?，所以．?）由（1）可知，．則．因?yàn)殇J角三角形，所以，整理得．因?yàn)?，所以．令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，故的取值范圍為.6．（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））在銳角中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且(1)求；(2)若的外接圓的半徑為1，求的取值范圍.【答案】(1)(2)（1）解：因?yàn)?，所以，可得，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，可得．?）解：設(shè)外接圓的半徑為，依題意，由正弦定理，所以，，因?yàn)椋?，因?yàn)槭卿J角三角形，所以，，可得，所以，因?yàn)?，所以，所以，則，即.突破十：四邊形（多邊形）問(wèn)題1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，AD＝BC＝6，AB＝20，O為AB中點(diǎn)，曲線(xiàn)CMD上任一點(diǎn)到O距離相等，角∠DAB＝∠ABC＝120°，P，Q關(guān)于OM對(duì)稱(chēng)，MO⊥AB；(1)若點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，求∠POB的大??；(2)P在何位置，求五邊形面積S的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，由題意可得OB＝10，BC＝6，∠ABC＝120°，由余弦定理可得，所以O(shè)P＝14，在△OBP中，由正弦定理得，所以，解得，為銳角，所以∠POB的大小為.（2）如圖，連接QA，PB，OQ，OP，∵曲線(xiàn)CMD上任意一點(diǎn)到O距離相等，∴OP＝OQ＝OM＝OC＝14，P，Q關(guān)于OM對(duì)稱(chēng)，設(shè)，，則，則五邊形的面積，其中，當(dāng)時(shí)，五邊形的面積取得最大值.2．（2022·江西贛州·高三期中（理））“我將來(lái)要當(dāng)一名麥田里的守望者，有那么一群孩子在一大塊麥田里玩，幾千幾萬(wàn)的小孩子，附近沒(méi)有一個(gè)大人，我是說(shuō)，除了我．”《麥田里的守望者》中的主人公霍爾頓將自己的精神生活寄托于那廣闊無(wú)垠的麥田．假設(shè)霍爾頓在一塊平面四邊形的麥田里成為守望者．如圖所示，為了分割麥田，他將B，D連接，經(jīng)測(cè)量知，．(1)霍爾頓發(fā)現(xiàn)無(wú)論多長(zhǎng)，都為一個(gè)定值，請(qǐng)你證明霍爾頓的結(jié)論，并求出這個(gè)定值；(2)霍爾頓發(fā)現(xiàn)小麥的生長(zhǎng)和發(fā)育與分割土地面積的平方和呈正相關(guān)關(guān)系，記與的面積分別為和，為了更好地規(guī)劃麥田，請(qǐng)你幫助霍爾頓求出的最大值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析，；(2).【詳解】（1）在中，由余弦定理得：，即，在中，，即，因此，即，所以．（2）顯然，，于是得，由（1）知，因此，在中，，在中，，則，由，得，即有，從而當(dāng)時(shí)，，所以的最大值是．3．（2022·山西忻州·高三階段練習(xí)）在平面四邊形中，，，．(1)若，求的長(zhǎng)；(2)求四邊形周長(zhǎng)的最大值．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）解：連接，因?yàn)椋?，故為等邊三角形，，，則，由正弦定理得，所以，.（2）解：由余弦定理可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因此，四邊形周長(zhǎng)的最大值為.4．（2022·廣東·深圳中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，在平面四邊形中，，，．(1)若，求．(2)若，求．【答案】(1)(2)．（1）由已知，所以；（2）設(shè)，則，，，由正弦定理得，，，，，是銳角，，故解得，由正弦定理，所以．5．（2022·遼寧·朝陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，在平面凹四邊形中，，，.(1)若且，求凹四邊形的面積；(2)若，求凹四邊形的面積的最小值.【答案】(1)(2)（1）解：如圖，連接，在中，由正弦定理得，所以，同理可得，在中，有，因?yàn)椋?，即，又，都是銳角，所以.（也可由點(diǎn)向，作垂線(xiàn)，證明是角平分線(xiàn)）在中，由余弦定理得，即，解得，所以凹四邊形的面積.（2）解：如圖，連接，在中，由余弦定理得，故.在中，設(shè)，，因?yàn)樗?，由余弦定理得，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)顯然點(diǎn)在的內(nèi)部，所以.（不寫(xiě)取等條件扣1分）又，所以凹四邊形的面積的最小值.6．（2022·湖南省臨澧縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知在四邊形中，，，且.(1)證明：；(2)若，求四邊形的面積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【詳解】（1）在中，，在中，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，，所以，即，所以，所?（2）由（1）可設(shè)，則，在中，由余弦定理得，，在中，由余弦定理得，，因?yàn)?，所以，解得或（舍去），所以，所以，所以四邊形的面積.突破十一：三角函數(shù)與解三角形實(shí)際應(yīng)用

1．（2022·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，一條巡邏船由南向北行駛，在A處測(cè)得山頂P在北偏東15°(∠BAC＝15°)方向上，勻速向北航行20分鐘到達(dá)B處，測(cè)得山頂P位于北偏東60°方向上，此時(shí)測(cè)得山頂P的仰角60°，若山高為2千米．(1)船的航行速度是每小時(shí)多少千米？(2)若該船繼續(xù)航行10分鐘到達(dá)D處，問(wèn)此時(shí)山頂位于D處的南偏東什么方向？【答案】（1）船的航行速度是每小時(shí)6(＋1)千米．（2）山頂位于D處南偏東.【詳解】(1)在△BCP中，tan∠PBC＝?BC＝2.在△ABC中，由正弦定理得：＝?＝，所以AB＝2(＋1)，船的航行速度是每小時(shí)6(＋1)千米．(2)在△BCD中，由余弦定理得：CD＝，在△BCD中，由正弦定理得：＝?sin∠CDB＝，∠CDB所以，∠CDB＝所以，山頂位于D處南偏東.2．（2022·上海市青浦高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）釣魚(yú)島及其附屬島嶼是中國(guó)固有領(lǐng)土，如圖：點(diǎn)A、B、C分別表示釣魚(yú)島、南小島、黃尾嶼，點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏東47°方向，點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏西36°方向，點(diǎn)B在點(diǎn)A的南偏東79°方向，且A、B兩點(diǎn)的距離約為3海里.（1）求A、C兩點(diǎn)間的距離；（精確到0.01）（2）某一時(shí)刻，我國(guó)一漁船在A點(diǎn)處因故障拋錨發(fā)出求救信號(hào).一艘R國(guó)艦艇正從點(diǎn)C正東10海里的點(diǎn)P處以18海里/小時(shí)的速度接近漁船，其航線(xiàn)為PCA（直線(xiàn)行進(jìn)），而我東海某漁政船正位于點(diǎn)A南偏西60°方向20海里的點(diǎn)Q處，收到信號(hào)后趕往救助，其航線(xiàn)為先向正北航行8海里至點(diǎn)M處，再折向點(diǎn)A直線(xiàn)航行，航速為22海里/小時(shí).漁政船能否先于R國(guó)艦艇趕到進(jìn)行救助？說(shuō)明理由．【答案】(1)14.25海里；（2）漁政船能先于R國(guó)艦艇趕到進(jìn)行救助．試題解析：（1）求得，由海里.（2）R國(guó)艦艇的到達(dá)時(shí)間為：小時(shí).在中，得海里，所以漁政船的到達(dá)時(shí)間為：小時(shí).因?yàn)?，所以漁政船先到.答：漁政船能先于R國(guó)艦艇趕到進(jìn)行救助.

3．（2022·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，是某海灣旅游區(qū)的一角，其中，為了營(yíng)造更加優(yōu)美的旅游環(huán)境，旅游區(qū)管委會(huì)決定在直線(xiàn)海岸和上分別修建觀(guān)光長(zhǎng)廊和AC，其中是寬長(zhǎng)廊，造價(jià)是元/米，是窄長(zhǎng)廊，造價(jià)是元/米，兩段長(zhǎng)廊的總造價(jià)為120萬(wàn)元，同時(shí)在線(xiàn)段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)處建一個(gè)觀(guān)光平臺(tái)，并建水上直線(xiàn)通道（平臺(tái)大小忽略不計(jì)），水上通道的造價(jià)是元/米．(1)若規(guī)劃在三角形區(qū)域內(nèi)開(kāi)發(fā)水上游樂(lè)項(xiàng)目，要求的面積最大，那么和的長(zhǎng)度分別為多少米？(2)在(1)的條件下，建直線(xiàn)通道還需要多少錢(qián)？【答案】（1）和AC的長(zhǎng)度分別為750米和1500米（2）萬(wàn)元試題解析：（1）設(shè)長(zhǎng)為米，長(zhǎng)為米，依題意得，即，

=當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，和AC的長(zhǎng)度分別為750米和1500米（2）在(1)的條件下，因?yàn)椋?/p>

得

，

元所以，建水上通道還需要萬(wàn)元．

解法二：在中，

在中，

在中，=

元所以，建水上通道還需要萬(wàn)元．

解法三：以A為原點(diǎn)，以AB為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，,即，設(shè)由，求得，所以

所以，元所以，建水上通道還需要萬(wàn)元．4．（2022·湖北孝感·高三階段練習(xí)）如圖，某地出土一塊三角形石器，其一角已破損．為了復(fù)原該三角形石器，現(xiàn)測(cè)得如下數(shù)據(jù)：，，，．（參考數(shù)據(jù)：取）(1)求三角形石器另外兩邊的長(zhǎng)；(2)求D，E兩點(diǎn)之問(wèn)的距離．【答案】(1);(2)（1）如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)C,因?yàn)?，所以，?即另外兩邊的長(zhǎng)皆為.（2）由題意得,，故，故D，E兩點(diǎn)之問(wèn)的距離為.5．（2022·四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)高三階段練習(xí)（理））如圖，為方便市民游覽市民中心附近的“網(wǎng)紅橋”，現(xiàn)準(zhǔn)備在河岸一側(cè)建造一個(gè)觀(guān)景臺(tái)，已知射線(xiàn)，為兩邊夾角為的公路（長(zhǎng)度均超過(guò)3千米），在兩條公路，上分別設(shè)立游客上下點(diǎn)，，從觀(guān)景臺(tái)到，建造兩條觀(guān)光線(xiàn)路，，測(cè)得千米，千米.(1)求線(xiàn)段的長(zhǎng)度；(2)若，求兩條觀(guān)光線(xiàn)路與所圍成的面積的最大值.【答案】(1)3千米(2)平方千米（1）在中，由余弦定理得，，所以，所以線(xiàn)段的長(zhǎng)度為3千米.（2）設(shè)，因?yàn)椋?，在中，由正弦定理得，，所以，，因此，因?yàn)?，所?所以當(dāng)，即時(shí)，所圍成的面積的最大值為.所以?xún)蓷l觀(guān)光線(xiàn)路與所圍成的面積的最大值為平方千米．6．（2022·安徽·肥東縣綜合高中高三階段練習(xí)）現(xiàn)代傳媒大廈是我市最高的標(biāo)志性建筑.某學(xué)習(xí)小組要完成兩個(gè)實(shí)習(xí)作業(yè)：驗(yàn)證百度地圖測(cè)距的正確性及測(cè)算傳媒大廈的高度.如圖（1）.龍城大道沿線(xiàn)的水平路面上有兩點(diǎn)A.B其中指向正西方向，首先利用百度地圖測(cè)距功能測(cè)出AB長(zhǎng)度為2km，接著在飛龍路沿線(xiàn)選定水平路面上可直接測(cè)距的C.D兩點(diǎn)，測(cè)得，學(xué)習(xí)小組根據(jù)上述條件計(jì)算出CD長(zhǎng)度，并將其與CD的實(shí)際長(zhǎng)度2.84km進(jìn)行比較，若誤差介于-20米~20米之間，則認(rèn)為百度地圖測(cè)距是正確的.(1)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明百度地圖測(cè)距是否正確？（）(2)如圖（2），小組在A處測(cè)得現(xiàn)代傳媒大廈樓頂M在西偏北方向上，且仰角，在B處測(cè)得樓頂M在西偏北方向上，通過(guò)計(jì)算得，，若百度地圖測(cè)出的AB=2km是準(zhǔn)確的，請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)測(cè)算出傳媒大廈的高度（精確到1米）【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)336米.【詳解】（1）設(shè)，等腰中，，在中，，，，可得.由正弦定理得，解得；在中，由余弦定理得，∵，∴，∵，∴百度地圖測(cè)距是準(zhǔn)確的.（2）△ABN中，由正弦定理可得,設(shè)，，△ABN中由余弦定理可得，，，由，所以，，中，，答：測(cè)算出傳媒大廈高度約為336米.第三部分：沖刺重難點(diǎn)特訓(xùn)一、解答題1．（2022·浙江紹興·一模）已知函數(shù).(1)若，求的值；(2)若在銳角中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，，求的周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，因?yàn)?，故；?），而，即，故或，由，得或（舍去），由正弦定理得，故，，周長(zhǎng)，為銳角三角形，則，，.2．（2022·四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為．(1)求的值及函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)已知，，求的值．【答案】(1)，單調(diào)遞減區(qū)間：(2)（1），∵相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為，∴，∴，∴；由，解得，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）由（1）知，∵，∴，∴，∴，∴，．3．（2022·黑龍江·哈九中模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若銳角中角A、，所對(duì)的邊分別為、、，且，求的取值范圍．【答案】(1)，；(2)．（1），所以函數(shù)的最小正周期，又由，所以函數(shù)的增區(qū)間為；（2），則,由于銳角中角，，，三角形是銳角三角形，，，得，，故，，即．4．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）銳角的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.(1)證明：；(2)求的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)（1）因?yàn)椋?，因?yàn)槭卿J角三角形，所以，即，故，所以.所以.（2）由正弦定理得，因?yàn)?，所以，?故的取值范圍是.5．（2022·遼寧·東北育才雙語(yǔ)學(xué)校一模）已知函數(shù)（，）.再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇能確定函數(shù)解析式的兩個(gè)合理?xiàng)l件作為已知，條件①：的最大值為1；條件②：的一條對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)；條件③：的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為.求：(1)求函數(shù)的解析式；并求的單調(diào)遞增區(qū)間、對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)；(2)若將函數(shù)圖象上的點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，再向右平移單位，得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間上的最小值為，求m的最大值.【答案】(1)；（）；（）(2)（1），當(dāng)選條件①時(shí)，，解得；當(dāng)選條件②時(shí)，，顯然條件②不合理；當(dāng)選條件③時(shí)，，即，解得；綜上所述，條件①③能確定函數(shù)解析式，且；令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）；令，得，，所以函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)為，；（2）將函數(shù)圖象上的點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，得到的圖象，再向右平移單位，得到函數(shù)的圖象，即；因?yàn)?，所以，因?yàn)?/p>