函數的奇偶性+導學案 高一上學期數學人教A版（2019）必修第一冊

高一數學導學案本學案共7頁，第頁高一年級數學學科導學案命題班級學號姓名得分課題：函數的奇偶性【學習目標】1.結合具體函數，了解奇偶性的概念和幾何意義了解奇偶函數的圖象的對稱性，掌握函數奇偶性的簡單應用【重點難點】函數奇偶性的求解【學習流程】◎基礎感知問題：我們知道函數的圖象能夠反映函數的性質，那么函數圖象的對稱性反映了函數的什么性質呢？

◎探究未知一、知識點函數的奇偶性

1．奇函數

(1)定義：一般地，設函數f(x)的定義域是A，如果對任意的x∈A，有－x∈A，且f(－x)＝－f(x)，那么稱函數f(x)為奇函數；

(2)圖象特征：圖象關于原點對稱，反之亦然．

2．偶函數

(1)定義：設函數f(x)的定義域是A，如果對任意的x∈A，有－x∈A，且f(－x)＝f(x)，那么稱函數f(x)為偶函數；

(2)圖象特征：圖象關于y軸對稱，反之亦然．

3．奇偶性

當函數f(x)是奇函數或偶函數時，稱f(x)具有奇偶性．

記憶點：(1)定義域I具有對稱性，即?x∈I，－x∈I.定義域不關于原點對稱時，f(x)是非奇非偶函數；

(2)當f(x)的定義域關于原點對稱時，要看f(x)與f(－x)的關系．特別地，若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)是非奇非偶函數；若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)既是奇函數又是偶函數．例1、下列圖象表示的函數中具有奇偶性的是()

例2．下列函數是偶函數的是________(填序號)．

①y＝x；②y＝2x2－3；③y＝eq\f(1,\r(x))；④y＝eq\f(1,2)x2，x∈[0，1]．

跟蹤訓練：1．若函數y＝f(x)，x∈[－1，a]是奇函數，則a＝________．2．若f(x)是定義在R上的奇函數，f(3)＝2，則f(－3)＝________，f(0)＝________．判斷函數的奇偶性方法技巧：判斷函數奇偶性的兩種方法

定義法：先判斷定義域是否關于原點對稱，若不是，則既不是奇函數也不是偶函數，若是，則計算f(-x),確定f(x)與f(-x)的關系，最后下結論圖象法：觀察函數圖像，若關于原點對稱，函數為奇函數；若關于y軸對稱，函數為偶函數例3、判斷下列函數的奇偶性：(1)f(x)＝eq\f(x3－x2,x－1)；(2)f(x)＝|x－2|－|x＋2|；(3)f(x)＝x2＋eq\f(a,x)(x≠0，a∈R)．跟蹤訓練：1、下列四個函數中為偶函數的是()A．y＝2xB．y＝eq\f(x5－x4,x－1)C．y＝x2－2x D．y＝|x|利用函數奇偶性求參數方法技巧：利用奇偶性求參數的常見類型(1)定義域含參數：奇偶函數f(x)的定義域為[a，b]，根據定義域關于原點對稱，利用a＋b＝0求參數；(2)解析式含參數：根據f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比較系數利用待定系數法求解．例4、(1)若函數f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數，定義域為[a－1，2a]，則a＝________，b＝________；(2)若f(x)＝(x＋a)(x－4)為偶函數，則實數a＝________；(3)已知函數f(x)＝eq\f(（x＋1）（x＋a）,x)為奇函數，則a＝________．跟蹤訓練：2、若函數f(x)＝eq\f(x,（2x＋1）（x－a）)為奇函數，則a＝()A．eq\f(1,2)B．eq\f(2,3)C．eq\f(3,4) D．1利用函數的奇偶性求解析式(值)（一）定義法求函數解析式

方法技巧：利用函數奇偶性求函數解析式的3個步驟

(1)“求誰設誰”，即在哪個區(qū)間上求解析式，x就應在哪個區(qū)間上設；

(2)轉化到已知區(qū)間上，代入已知的解析式；

(3)利用f(x)的奇偶性寫出－f(－x)或f(－x)，從而解出f(x)．例5、已知f(x)為R上的奇函數，當x>0時，f(x)＝－2x2＋3x＋1.(1)、求f(－1)；(2)、求f(x)的解析式．變式訓練：(變條件)若將本例中的“奇”改為“偶”，“x>0”改為“x≥0”，其他條件不變，求f(x)的解析式（二）方程組法求函數解析式方法技巧：已知函數f(x)，g(x)組合運算與奇偶性，則把x換為－x，構造方程組求解．例6、設f(x)是偶函數，g(x)是奇函數，且f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1)，求函數f(x)，g(x)的解析式．跟蹤訓練：3．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，則f(2)等于()A．－26B．－18C．－10 D．104．已知函數f(x)為偶函數，且當x<0時，f(x)＝x＋1，則x>0時，f(x)＝________．奇偶性與單調性的綜合應用方法技巧：奇偶性與單調性綜合問題的兩種題型及解法(1)比較大小問題，一般解法是先利用奇偶性，將不在同一單調區(qū)間上的兩個或多個自變量的函數值，轉化為同一單調區(qū)間上的自變量的函數值，然后利用單調性比較大??；(2)抽象不等式問題，解題步驟是：①將所給的不等式轉化為兩個函數值的大小關系；②利用奇偶性得出區(qū)間上的單調性，再利用單調性“脫去”函數的符號“f”，轉化為解不等式(組)的問題．需要注意的是：在轉化時，自變量的取值必須在同一單調區(qū)間上；當不等式一邊沒有符號“f”時，需轉化為含符號“f”的形式，如0＝f(1)，f(x－1)<0，則f(x－1)<f(1)．例7、(1)、已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0，2]上單調遞增，則()A．f(－1)<f(3)<f(4) B．f(4)<f(3)<f(－1)C．f(3)<f(4)<f(－1) D．f(－1)<f(4)<f(3)(2)、已知函數y＝f(x)在定義域[－1，1]上既是奇函數，又是減函數，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，則實數a的取值范圍為________；(3)、定義在[－2，2]上的偶函數f(x)在區(qū)間[0，2]上單調遞減，若f(1－m)<f(m)，則實數m的取值范圍為________．跟蹤訓練：5．設偶函數f(x)的定義域為R，當x∈[0，＋∞)時，f(x)是增函數，則f(－2)，f(π)，f(－3)的大小關系是()A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2)D．f(π)<f(－2)<f(－3)6．函數f(x)是定義在實數集上的偶函數，且在[0，＋∞)上是增函數，f(3)<f(2a＋1)，則a的取值范圍是()A．a>1 B．a<－2C．a>1或a<－2 D．－1<a<2◎達標檢測1．(多選)下列函數是奇函數的有()A．y＝eq\f(x（x－1）,x－1)B．y＝－3xeq\s\up6(\f(1,3))C．y＝x－eq\f(2,x) D．y＝πx3－eq\f(3,5)x2．已知y＝f(x)是偶函數，其圖象與x軸有4個交點，則方程f(x)＝0的所有實數根之和是()A．4B．2C．1D．03．若函數f(x)＝2x2－|3x＋a|為偶函數，則a＝()A．1B．2C．3D．04．已知奇函數f(x)在R上單調遞減，且f(2)＝－1，則滿足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范圍是()A．[－2，2]