空間向量與向量運(yùn)算同步練習(xí) 高二數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第一冊

3.2空間向量與向量運(yùn)算【夯實(shí)基礎(chǔ)】

知識點(diǎn)1從平面向量到空間向量

1.下列關(guān)于空間向量的說法錯誤的是()A.兩個相等的空間向量，若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同B.在空間中共線的向量在平面內(nèi)一定共線C.不相等的兩個空間向量的?？赡芟嗟菵.將空間中所有的單位向量平移到同一起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個圓2.如圖所示，在長方體中，，，，則在以八個頂點(diǎn)中的兩個分別為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中：(1)單位向量有__________；(2)與相等的向量有__________；(3)模為的向量有__________；(4)的共線向量有____________.知識點(diǎn)2空間向量的運(yùn)算

3.已知空間任意四個點(diǎn)A，B，C，D，則()A. B. C. D.4.光岳樓，又稱“余木樓”“鼓樓”“東昌樓”，其墩臺為磚石砌成的正四棱臺，如圖所示，其中AB與EF之比為，則_________.5.在平行六面體中，，，若，則()A. B. C. D.6.如圖所示，在棱長為2的正方體中，O為AC與BD的交點(diǎn)，G為的中點(diǎn)，則在上的投影的數(shù)量為___________，在平面ABCD上的投影為__________.7.已知不共面的三個向量a，b，c都是單位向量，且兩兩夾角都是，則向量和b的夾角為()A. B. C. D.8.如圖，在正方體中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AE上，且，則()A. B.C. D.【提升能力】

9.如圖，在長方體中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱，上，，，則()A.1 B. C.2 D.10.已知四面體的所有棱長都等于2，E是棱AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱CD上靠近點(diǎn)C的四等分點(diǎn)，則等于()A. B. C. D.11.（多選）下列命題中錯誤的是().A.若兩個空間向量相等，則它們起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同B.若空間向量滿足，則C.在正方體中，必有D.若空間向量a，b，c滿足，，則12.（多選）已知正方體的棱長為a，則()A. B.C. D.13.在空間四邊形ABCD中，連接AC，BD，E，F(xiàn)分別是邊AC，BD的中點(diǎn).設(shè)，，則___________.(用a，b，c表示)14.已知點(diǎn)P為棱長等于4的正方體內(nèi)部一動點(diǎn)，且，則的值達(dá)到最小時，與夾角的余弦值為__________.【綜合素養(yǎng)】15.已知正三棱柱的各棱長都是2，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，則EF的長是()A.2 B. C. D.16.正多面體也稱柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體(各面都是全等的正多邊形).數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.已知一個正八面體ABCDEF的棱長都是2(如圖)，P，Q分別為棱AB，AD的中點(diǎn)，則___________.

答案以及解析1.答案：D解析：由空間向量的相關(guān)概念知A，C說法正確.對于B，在空間中共線的向量，平移到同一平面內(nèi)一定共線，故B說法正確.對于D，它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個球面，故D說法錯誤.2.答案：(1)，，，，，，，；(2)，，；(3)，，，，，，，；(4)，，，，，，解析：(1)因?yàn)?，所以，，，，，，，是單位向?(2)由相等向量的定義知與相等的向量有，，.(3)因?yàn)?，所以模為的向量有，，，，，，?(4)由共線向量的定義知的共線向量有，，，，，，.3.答案：D解析：.4.答案：解析：延長EA，F(xiàn)B，GC，HD相交于一點(diǎn)O(如圖)，則，又，且，所以.5.答案：A解析：如圖，，所以，解得.6.答案：；解析：在上的投影的數(shù)量為，在平面ABCD上的投影為.7.答案：C解析：，，，.設(shè)向量和b的夾角為，則，又，.8.答案：D解析：由題意知，，，，，，所以.9.答案：D解析：連接.由長方體的性質(zhì)可得.又，所以.因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所?故選D.10.答案：D解析：因?yàn)镋是棱AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱CD上靠近點(diǎn)C的四等分點(diǎn)，所以，所以.因?yàn)?，，，所?故選D.11.答案：AB解析：A錯誤，空間向量是自由向量；B錯誤，兩個向量的模相等，但方向可以不同，所以這兩個向量不一定相等或相反；C，D正確.12.答案：BC解析：正方體的面對角線長為，體對角線長為.，故A錯誤；，故B正確；，故C正確；，故D錯誤.13.答案：解析：.14.答案：0解析：由題意可知點(diǎn)P在以A為球心，4為半徑，且在正方體的內(nèi)部的球面上運(yùn)動，如圖，取線段的中點(diǎn)E，連接PE，則，，所以.當(dāng)A，P，E三點(diǎn)共線時，取最小值，此時，此時，所以.15.答案：C解析：方法一：由題意知，，，又，所以，所以.方法二：取AC的中點(diǎn)O，以O(shè)