圓錐曲線橢圓雙曲線拋物線知識點(diǎn)總結(jié)例題習(xí)題精講答案

知能梳理課程星級：★★★★★知能梳理【橢圓】一、橢圓的定義1、橢圓的第一定義：平面內(nèi)一個(gè)動點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)F 、F1 2

(PF PF 2aFF

) ，這個(gè)動點(diǎn)P的軌跡叫橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作1 2 1 2橢圓的焦距。留意：假設(shè)(PF PF FF)，則動點(diǎn)P的軌跡為線段FF；1 2 1 2 1 2假設(shè)(PF PF FF

P的軌跡無圖形。1 2 1 2二、橢圓的方程1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程〔端點(diǎn)為a、b，焦點(diǎn)為c〕x2 y2當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： a2 b2

1(ab0)，其中c2

b2；y軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

1(ab0)，其中c2

b2；a2 b2x2 y22、兩種標(biāo)準(zhǔn)方程可用一般形式表示： 1

或者mx2+ny2=1三、橢圓的性質(zhì)〔以

b2

m n1(ab0)為例〕1、對稱性：對于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程

b2

1(ab0)：是以xy軸為對稱軸的軸對稱圖形；并且是以原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形，這個(gè)對稱中心稱為橢圓的中心。2、范圍：橢圓上全部的點(diǎn)都位于直線xa和yb所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足 xa，yb。3、頂點(diǎn)：①橢圓的對稱軸與橢圓的交點(diǎn)稱為橢圓的頂點(diǎn)。②橢圓

x2y2a2 b2

1(ab0)與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)即為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為 A1

(a,0)，A(a,0)，B2

(0,b)，B2

(0,b)。AA1 2

，BB1

分別叫做橢圓的長軸和短軸，AA1 2

2a，BB1 2

2b。a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。4、離心率：①橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用e表示，記作e②由于(ac0，所以e的取值范圍是(0e1。

2cc。2a ae越接近1，則c就越接近a，從而b a2c2越小，因此橢圓越扁；e0c0，從而b越接近于a，這時(shí)橢圓就越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)abc0，這時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2

a。③離心率的大小只與橢圓本身的外形有關(guān)，與其所處的位置無關(guān)。留意：橢圓

b2

1的圖像中線段的幾何特征〔如以下圖〕：PF1PM1PF2PM2 PF1PM1PF2PM21

PF2

2a) (PM1

PM2

2a2)c5、橢圓的其次定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)〔焦點(diǎn)〕和一條定直線〔準(zhǔn)線〕的距離的比為常數(shù)e〔0＜e＜1〕的點(diǎn)的軌跡為橢圓|PF|〔d

e。PF2PMPF2PM2即到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離的比為離心率的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形也即上圖中有 1 PM

e。①焦點(diǎn)在xx2a2

b2

11〔a＞b＞0〕xc②焦點(diǎn)在yy2a2

1〔a＞b＞0〕ya2c6、橢圓的內(nèi)外部需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料，請?jiān)谔?寶.上.搜.索.寶.貝.“高考復(fù)習(xí)資料高中數(shù)學(xué)學(xué)問點(diǎn)總結(jié)例題精講(具體解答)”或者搜.店.鋪..“龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)P(xy

在橢圓

x2y2

1(ab0)的內(nèi)部

x2 y20 0 10 0 a2 b2 a2 b2P(xy

在橢圓

x2y2

1(ab0)的外部

x2 y20 0 10 0 a2 b2 a2 b2標(biāo)準(zhǔn)方程x標(biāo)準(zhǔn)方程x2y2a2 b21 (ab0)y2a2x2b21 (ab0)圖形焦點(diǎn)F(c,0)，F(xiàn)(c,0)12F(0,c)，F(xiàn)(0,c)1 2焦距FF 2c1 2FF 2c1 2性質(zhì)范圍x a，y bx b，y a對稱性xy軸和原點(diǎn)對稱頂點(diǎn)軸長長軸長2a，短軸長2b離心率離心率eae1)準(zhǔn)線方程xa2cya2c焦半徑PFaex，PF0aex0PFaey，PF0a1212ey0五、其他結(jié)論高考復(fù)習(xí)資料高中數(shù)學(xué)學(xué)問點(diǎn)總結(jié)例題精講”.龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)1、假設(shè)P

)在橢圓x2 y2

1上，則過P

xxyy的橢圓的切線方程是 10 0 0

a2 b2 0

0 0a2 b22、假設(shè)P

)在橢圓x2 y2

1Po作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為PP

，則切點(diǎn)弦PP

的直線0 0 0

a2 b2

1 2 12方程是

xyy0 0 1a2 b2x2 y23、橢圓

1(a＞b＞0FF，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)FPF

，則橢圓a2 b2

1 2 1 2的焦點(diǎn)角形的面積為S

FPF1

b2tan24

x2

1〔ab0〕的焦半徑公式：|MF

|aex,|MF|aex(F(c,0),a2 b2

1 0 2 0 12 0 05FP、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)FMN兩點(diǎn)，則MFNF6、過橢圓一個(gè)焦點(diǎn)FP、Q,A1、A2為橢圓長軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M，A2P和A1Q交于點(diǎn)NMF⊥NF7、AB是橢圓

x2

1的不平行于對稱軸的弦，M(x,y)為AB的中點(diǎn)，則k k b2，即a2 b2

0 0 OM AB a2b2xK 0。AB a2y0x2 y2

xxyyx2 y28、假設(shè)P0

0

)在橢圓a2 b2

1內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是0 0a2 b2

0 0a2 b2x2 y2 x2 y2 xx yy9P(xy

)在橢圓

1內(nèi)，則過Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是

0 00 0 0

a2 b2

a2 b2 a2 b2【雙曲線】一、雙曲線的定義1、第肯定義：到兩個(gè)定點(diǎn)F1與F2的距離之差確實(shí)定值等于定長〔|F1F2|〕的點(diǎn)的軌跡2〔PF PF 2aFF2

〔a為常數(shù)。這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)?！病尘嚯x之差1 1 2〔2〕2a＜|F1F2|。當(dāng)|MF1|－|MF2|=2aF2所對應(yīng)的一支；當(dāng)|MF1|－|MF2|=－2aF1所對應(yīng)的一支；1 2a=|F1F2|F、F為端點(diǎn)向外的兩條射線；2a＞|F1F2|時(shí)，動點(diǎn)軌跡不存在。1 2動點(diǎn)到肯定點(diǎn)Fle(e＞1)時(shí)，這個(gè)動點(diǎn)的軌跡是雙曲線。這定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，定直l叫做雙曲線的準(zhǔn)線。二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程〔b2

a2，其中|F1

F|=2c〕2需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料，請?jiān)谔?寶.上.搜.索.寶.貝.“高考復(fù)習(xí)資料高中數(shù)學(xué)學(xué)問點(diǎn)總結(jié)例題精講(具體解答)”或者搜.店.鋪..“龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)三、點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系，直線與雙曲線的位置關(guān)系1、點(diǎn)與雙曲線2、直線與雙曲線四、雙曲線與漸近線的關(guān)系五、雙曲線與切線方程六、雙曲線的性質(zhì)七、弦長公式1ykxb與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A、Bxx1 2

分別為A、B的橫坐標(biāo)，(xx(xx)2(yy)21 2 1 2則

xx ，k21kk21k21 xx24xx1 2 121k2 |a|y,y1 2

分別為A、B的縱坐標(biāo)，則AB

yy 。1111k2k211 yy24yy12122、通徑的定義：過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn)，則弦長|AB|

2b2。a3、假設(shè)弦AB所在直線方程設(shè)為xkyb，則AB ＝

yy 。11k24、特別地，焦點(diǎn)弦的弦長的計(jì)算是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用其次定義求解八、焦半徑公式九、等軸雙曲線十、共軛雙曲線.寶.上.搜.索.寶.貝.“高考復(fù)習(xí)資料高中數(shù)學(xué)學(xué)問點(diǎn)總結(jié)例題精講(具體解答)”或者搜.店.鋪..“龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)【拋物線】一、拋物線的概念Fl(lF)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線。定點(diǎn)F叫做拋物l叫做拋物線的準(zhǔn)線。二、拋物線的性質(zhì)三、相關(guān)定義1、通徑：過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦HH稱為通徑；通徑：|HH

|=2P1 2 1 22|AB|

|xx|11k2

|yy |111k23、焦點(diǎn)弦：y22pxp0)FABA(xyB(xy

，則1 1 2 2(1)|AF|x+

p，(2)xx

p2，yy

－p20 2 12 4 12ABpx

x),xx

2 xx

p，即當(dāng)x=x

時(shí),2p1 2 1 2 12 1 2假設(shè)AB的傾斜角為，則AB1 1 2

2psin2〔5〕

+ =AF BF P四、點(diǎn)、直線與拋物線的位置關(guān)系.寶.上.搜.索.寶.貝.“高考復(fù)習(xí)資料高中數(shù)學(xué)學(xué)問點(diǎn)總結(jié)例題精講(具體解答)”或者搜.店.鋪..“龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)【圓錐曲線與方程】一、圓錐曲線的統(tǒng)肯定義平面內(nèi)的動點(diǎn)P(x,y)到一個(gè)定點(diǎn)F(c,0)的距離與到不通過這個(gè)定點(diǎn)的一條定直線l的距離之比是一個(gè)常數(shù)e(e＞0),則動點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線。其中定點(diǎn)F(c,0)稱為焦點(diǎn)，定直線le稱為離心率。0＜e＜1時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)e=1時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)e＞1時(shí)，軌跡為雙曲線。特別留意：當(dāng)e0時(shí)，軌跡為圓〔ec，當(dāng)c0ab時(shí)。a二、橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)三、曲線與方程四、坐標(biāo)變換1、坐標(biāo)變換：2、坐標(biāo)軸的平移：3、中心或頂點(diǎn)在(h,k)的圓錐曲線方程精講精練需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料，請?jiān)谔?寶.上.搜.索.寶.貝.“高考復(fù)習(xí)資料高中數(shù)學(xué)學(xué)問點(diǎn)總結(jié)例題精講(具體解答)”或者搜.店.鋪..“龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)精講精練【例】以拋物線y28 3x的焦點(diǎn)F為右焦點(diǎn),且兩條漸近線是x 3y0的雙曲線方程為 .解 ：4y283xF為(23,0)x2

3y2

，3

2 3)29，雙x2 y2曲線方程為 19 3x2【例】雙曲線

y2=1(b∈N)F、F，P為雙曲線上一點(diǎn)，|OP|＜5,|PF

|,|FF

|,|PF

|成等比數(shù)4 b2 1 2

1 12 2列，則b2= 。解：設(shè)F－,0、F2,0、P,，則PF12+PF22=2(PO2+F1O22(2+2PF12+PF22＜50+22，又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|－|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|，依雙曲線定義，有|PF1|－|PF2|=4，17依條件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2 ∴16+8c2＜50+2c2，∴c2＜3,又∵c2=4+b2＜

17 5，∴b2＜，∴b2=1。3 3【例】當(dāng)m取何值時(shí)，直線lyxm與橢圓9x216y2

144相切，相交，相離？ yxm…… … ①解： 9x216y2144… ②①代入②得9x216(xm)2144化簡得25x232mx16m21440(32m)2425(16m2144)576m214400當(dāng)0,即m5時(shí)，直線l與橢圓相切；當(dāng)0，即5m5時(shí)，直線與橢圓相交；當(dāng)0，即m5或m5時(shí)，直線與橢圓相離。410【例xF，M是橢圓上的任意點(diǎn)，|MF4102y=xM

M，且|MM|=

，試求橢圓的方程。解：|MF|max=a+c，|MF|min=a－c，則(a+c)(a－c)=a2－c2=b2，

1 2 1 2 3x2 y2x∴b2=4，設(shè)橢圓方程為 1 ①a2 4設(shè)過M1和M2的直線方程為y=－x+m ②1 1 2 2 2 1 2 0 將②代入①得：(4+a2)x2－2a2mx+a2m2－4a2=0 ③設(shè)M1(x，y)、M(x，y)，MM的中點(diǎn)為(x，y)1 1 2 2 2 1 2 0 x=1

(x+x)=

，y=－x

+m= 4m 。0 2 1

4a2 0

4a2y=x，得

a2m

4m ，4a2a2＞4，∴m=0x+x

=0，x

M

|= 2 (x

x)24xx

410，1 2 12

4a2 1 x2 y2

1 2 12 32 12x1+x，xxa2=5，故所求橢圓方程為：542 12

=1。【例20米，拱高4米，在建橋時(shí)每隔4米需用一支柱支撐，求其中最長的支柱的高考復(fù)習(xí)資料高中數(shù)學(xué)學(xué)問點(diǎn)總結(jié)例題精講(具體解答)”或者搜.店.鋪..“龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)】”x軸，建立坐標(biāo)系，AB|=2OM|=，、B－1、(1〕設(shè)拋物線方程為x2=－2py，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入，得100=－2p×(－4)，解得p=12。5，x2=－25y。由題意知E點(diǎn)橫坐標(biāo)也為2代入得。3.84米?！纠齇，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線y=x+1與橢圓交于P和Q，且OP⊥OQ，10|PQ|=102

，求橢圓方程。2解：設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m＞0，n＞0)，P(x1，y1)，Q(x，y2)2yx1由mx2

ny21

得m+n+2nn1=，=4n－4m+n－1，即+nm，OP⊥OQxx+yy

=02x

x+(x+x)+1=0，∴2(n1)

2n +1=0，∴m+n=2 ①12 12

12 1

mn mn4(mnmn) 10 3又2 ( )2，將m+n=2，代入得m·n= ②mn 2 4m=1，n=3m=3

，n=12 2 2 2x2 3 3 1故橢圓方程為 + y2=1或x2+ y2=1。2 2 2 2【例】圓C1

的方程為x22y12

20C3

x2a2

b2

1ab0，C

2的離心率221為 ，假設(shè)C212

A、BABC1

ABC2的方程。yyAC1FF2O1Bx22解：由e ,得c ,a22c2,b2c2.設(shè)橢圓方程為x2 y21.222 a 2 2b2 b2A(xy1 1

).B(x,y2

).由圓心為(2,1). xx1 2

4,yy1

2.x2 y2

x2 y2

x2x2

y2y2又 1 12b2 b2

2 22b2 b2

兩 式 相 減 ，

1 22b2

1 20.b2(xx1 2

)(x1

x)2(y2

y)(y2

y)0,2xx1 2

4.yy1

y1xx

21直線AB的方程為

y1(x2yx31 2yx3代入x22b2

b2

13x212x182b20.直線AB與橢圓C相交.24b2720.需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料，請?jiān)谔?寶.上.搜.索.寶.貝.“高2考復(fù)習(xí)資料高中數(shù)學(xué)學(xué)問點(diǎn)總結(jié)例題精講(具體解答)”或者搜.店.鋪..“龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)2(x x)2(x x)24xx1 2 1 22224b27220.3AB

x x

.得 1 2 3 3解得b28. 故全部橢圓方程x2y21.16 82【例】過點(diǎn)(1，0)lx軸上且離心率為22

CA、B兩點(diǎn)，直線y=1xABCllC的方程。2yyy=12xBF2oF1xA2解法一：由e=c ，得a2b21，從而a2=2b2，c=b。設(shè)橢圓方程為x2+2y2=2b2，A(x2

，y)，B(x，a 2 a2 2y2)在橢圓上。

yy

1 1 2xx2=2b2，x2+2y2=2b2，兩式相減得，(x

2－x

2)+2(y

2－y

2)=0，1

2 1 2 .1 1 2 2

1 2 1

xx1

2(y1

y)2x 1 1 x設(shè)AB中點(diǎn)為(x，y)，則k =－0 ，又(x，y)在直線y= x上，y= x，于是－0

=－1，0 0 AB 2y 0 0

2 0 2

2y AB0ly=－x+1。右焦點(diǎn)(b，0)l的對稱點(diǎn)設(shè)為(x′，y′)，

y1 xb 解得x1 則y

xb

y1b 1 9由點(diǎn)(1，1－b)1+2(1－b)2=2b2，b2=9

a29。

2 2C8x2

16 8=1，ly=－x+1。9 92高考復(fù)習(xí)資料高中數(shù)學(xué)學(xué)問點(diǎn)2總結(jié)例題精講(具體解答)”或者搜.店.鋪..“龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)】”由e=c

a2b21，從

a 2 a2 2則x+x= 4k2 ，y+y=k(x

－1)+k(x－1)=k(x+x

)－2k=－2k 。1 2 12k2 1 1

1 2xx yy

1 2 12k2k 1 2k2直線l：y= x過AB的中點(diǎn)(

2,

k=0k=－1。2 2 2 12k2 2 12k2k=0ly=0F(c，0)lFCk=0k=－1ly=－(x－1)，即y=－x+1，以下同解法一。x2a2

b2

直線l不平行于y 軸，否則AB 中點(diǎn)在x 軸上與直線yl的方程為yk(x1)(2)

1x過AB中點(diǎn)沖突。故可設(shè)直線2(2)代入(1)消y整理得：(k2a2b2)x22k2a2xa2k2a2b20(3)設(shè)A(x，y

)B(x，y

知：xx

又yy

k(x

x2k代入上式得：1 1 2

1 2 k2a2b2

1 2 1 2k 2k 1，k2kk2a2b2

1，kk

b2 1又exx 21 2

2k2a2 2

ka2 2 2k

a2

2(a2c2)a2

22e21，直線l的方程為y1x，此時(shí)a22b2方程(3)化為3x24x22b201624(1b2)8(3b21)0b

Cx22y22b2(4c2a2b2b2，333Fb0)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線l(x，y)，0 0 y 0 1x 則0y0

xx b 00

0

1b，2 1 23又1b在橢圓上，代入(4得121b)b2，b3 ，34 39b2 ， a29916 8所以所求的橢圓方程為：x2y21

9 98 1627，PPP

的一個(gè)三等分點(diǎn)，求以直線OP、OP

為漸近線且1 2 4 12 1 213P的離心率為132

的雙曲線方程。yyP2PoxP122O為原點(diǎn)，∠P1OP2x軸建立如下圖的直角坐標(biāo)系。22設(shè)雙曲線方程為

a2

y =1(a＞0，b＞0)，由e2=cb2

1( ) 。b213 b 3( )2，得a2a2yb213 b 3( )2，得a2a21 2 2 22設(shè)點(diǎn)P(x3x)，P(2

3 )(x＞0，x＞0)，21 1 2 2

2x，－2x2 1 2則由點(diǎn)PPP

所成的比

PP x2x1 =2，得P點(diǎn)坐標(biāo)為( 1 2

x2x,1 2)，,12 PP 3 2121Px2a2

4y29a2

=1上，所以(x

2x)229a2

(12x2)2x9a2x

=1，1即(x1+2x2)2－(x－2x2)2=9a2，整理得8x1x2=9a2 ①199又|OP| x2 x2 13x,|OP| x2 x2 13x991 1 4 1 2 1 2 4 2 2 2sinPOP

2tanPOx1

23 21211 2 1tan2POx 19 1314S 1|OP||OP|sinPOP113xx

12

27,POP 2 1 2

1 2 2

12 13 41 2即xx= 9 ②12 2

x2 y2由①、②得a2=4，b2=9。故雙曲線方程為 4 9

=1?！纠?寶.上.搜.索.寶.貝“高考復(fù)習(xí)資料高中數(shù)學(xué)學(xué)問點(diǎn)總結(jié)例題精講(具體解答)”或者搜.店.鋪..“龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)C：y2a2

1(ab0P引圓O：x2+y2=b2的兩條切線PA、PB，A、B為切點(diǎn)，直線ABx軸，y軸分別交于M、N兩點(diǎn)。(1)已知P點(diǎn)坐標(biāo)為(x)xy

≠AB(2)假設(shè)橢圓的短軸長為8a

b2 25，0 0 00

|OM|2

|ON|2 16求橢圓C的方程；(3)橢圓C上是否存在點(diǎn)P，由P向圓O所引兩條切線相互垂直？假設(shè)存在，懇求出存在的條件；假設(shè)不存在，請說明理由。解：(1)A(x，y)，B(x，y

) 切線PAxxyyb2，PBxxy

yb21 1 2

1 1 2 2∵P點(diǎn)在切線PA、PBxx10

yy10

x2x0

yy2

b2∴直線AB的方程為xxyyb2(xy 0)0 0 0 0ABy=0，則M(b2，0)x=0，則N(0b2)x0 y0a2 b2

a2 y2

a2 25∴|OM|2

|ON|2

( 0b2

0) ①b2 b2 16∵2b=8 ∴b=4 a2=25，b2=16∴橢圓Cy2x21(xy0)25 160 假設(shè)存在點(diǎn)P(x，y)滿足PA⊥PB，連接OA、OB由|PA|=|PB|0 四邊形PAOB為正方形，|OP|=

|OA| x2202

0

2b2 ①又∵P點(diǎn)在橢圓C上 x20b2(a22b2)

b2y20a2b2

a2b2 ②0

a2b2

0

a2b2

∵a>b>0 ∴a2－b2>0當(dāng)a2－2b2>0，即a> 2b時(shí)，橢圓C上存在點(diǎn)，由P點(diǎn)向圓所引兩切線相互垂直；當(dāng)a2－2b2<0，即b<a< 2b時(shí)，橢圓C上不存在滿足條件的P點(diǎn)【例】點(diǎn)〔1，，〔0P是平面上一動點(diǎn)，且滿足|PC||BCPBC.求點(diǎn)P的軌跡C對應(yīng)的方程；點(diǎn)A〔m，2〕在曲線C上，過點(diǎn)A作曲線C的兩條弦AD和AE，且AD⊥AE，推斷：直線DE是否過定點(diǎn)？試證明你的結(jié)論。A〔m，2〕CACAD，AEAD，AEk、k滿1 2k1·k2=2。求證：直線DE過定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)。(x1)2y2〔〕設(shè)P(xy)代入|PC||BC(x1)2y2

1x,化簡得y24x.(2)將A(m,2)代入y24x得m1,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2).設(shè)直線AD的方程為y2k(x1)代入y24x得y24

8y 8由y 2可得y1

42,D(4k k2

k kk同理可設(shè)直線AE:y21(x1代入y24x得E(4k21,4k2).k則直線DE方程為:y4k2

k4k24k

(x4k21化簡得k2(y2)k(x5)(y2)0,即y2 kk21

(x5過定點(diǎn)(5,2).(3)將A(m,2)代入y24x得m1,設(shè)直線DE的方程為ykxbD(xyE(xy)ykxb

1 1 1 1由y2

4x

得k2x22(kb2)xb20,y2 y2k kAD AE

2,1 2 2(x,xx1 x1 1 1 2

且y kx1 1

b,y2

kx b2(k22)xx12

(kb2k2)(x1

x)(b2)220,2將xx1 2

2(kb2),xxk2 12

b2k2

代入化簡得b2(k2)2,b(k2).b(k2).將bk2代入ykxb得ykxk2k(x12過定點(diǎn)(1,2).將b2k代入ykxb得ykx2kk(x12過定點(diǎn)(1,2不合舍去,定點(diǎn)為(1,2)【例.寶.上.搜.索.寶.貝.“高考復(fù)習(xí)資料高中數(shù)學(xué)學(xué)問點(diǎn)總結(jié)例()”.()”a2 b2

1(a0b0)的離心率e

直線l過〔a－b兩點(diǎn)原點(diǎn)O到l的距離是 .233233〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕過點(diǎn)B作直線m交雙曲線于N兩點(diǎn)，假設(shè)OMON23，求直線m的方程。解〔Ⅰ〕依題意，l方程x y ,bxayab, 由原點(diǎn)O到l的距離為3，

ab ab 3又eca

a2ba2b23

a b33

x23

2 c 2y21〔Ⅱ〕明顯直線mx軸垂直，設(shè)my=kx－1，M、N坐標(biāo)〔

x,y1

〔

x,y2

ykx1〕是方程組 的解x2消去y，得(13k2)x26kx60 ①

3

y21依設(shè)，13k20由根與系數(shù)關(guān)系，知xx

6k ,xx 6 1 2 12

OMON(x,y1 1

)(x,y2

)xx12

yy1

xx12

(kx1

1)(kx2

= (1k2)xx12

k(x1

x)1 =26(1k2) 6k2 13k21 3k21= 6 13k21OMON23

63k21

1=－23，k=±1。當(dāng)k=±12 2

時(shí)，方程①有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根ly1x1,或y1x12 2【例Px2y21FF的距離之和為定值，且cosFPF

的最小值2 3 1 2 1 2為1．9P的軌跡方程；D(0,3MNP的軌跡上且DMDN，求實(shí)數(shù)的取值范圍．〔〕由可得：c

，a2a2(2c)252a25

1 ∴a299

, b2a2c24∴所求的橢圓方程為

1。9 4(2)方法一：由題知點(diǎn)D、M、N共線，設(shè)為直線m，當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則直線m的方程為y=kx+3 代入前面的橢圓方程得(4+9k2)x2+54k+45=0 ①由判別式(54k)2449k2450，得k25。再設(shè)M(x9 1

)，N(x2

，y2)，則一方面有xxDM(x,y3)DN(x,y 3)(x,(y 3))，得1 21 1 2 2 2

y3(y 3)另一方面有xx

54k

1 2 45 ②1 2 49k2 12 49k2xx1 2

代入②式并消去x2

可得324

49，由前面知，04k2

365∴9

324

81，解得5

15。5又當(dāng)直線m

1或5，所以5

15為所求。5xx方法二：同上得132(

y y1 22sin 3 (2sin 設(shè)點(diǎn)M2sin 3 (2sin 由上式消去α并整理得sin132185，由于1sin112(2)∴1132185115為所求。12(2) 5需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料，請?jiān)谔?寶.上.搜.索.寶.貝.“高考復(fù)習(xí)資料高中數(shù)學(xué)學(xué)問點(diǎn)總結(jié)例題精講(具體解答)”或者搜.店.鋪..“龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)D的距離的最大值為1的取值范圍為15。【例【例】如下圖，拋物線y2=4xOA的坐標(biāo)為(5，0)l與線段4OA相交(OA)M、N兩點(diǎn)，求△AMNl的方程，并求△AMN的最大面積。l的方程為y=x+m，－5＜m＜0。yxm2由方程組 ，消去y，得x2+(2m－4)x+m22y 4x∵直線l與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)、，∴方程①的判別式mmmm＜1，又－5＜m＜0，∴m的范圍為(－5，0)1 1 2 2 1 2 1 設(shè)M(x，y)，N(x，y)則x+x=4－2m，x·x=m2，∴|MN|=4 2(1m)。1 1 2 2 1 2 1 5m點(diǎn)A到直線l的距離為d= 。2∴S=2(5+m) 1mS

22m5m5m2=4(1－m)(5+m)2=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2(

)3=128?！?△ 3∴S≤8 22－2m=5+mm=－1時(shí)取等號。△故直線l的方程為y=x－1，△AMN的最大面積為8 2。【例C：2x2－y2=2P(1，2)。(1)P(1，2)llC分別有一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)，沒有交點(diǎn)。(2)假設(shè)Q(1，1)，試推斷以Q為中點(diǎn)的弦是否存在。解：(1)l的斜率不存在時(shí)，lx=1C有一個(gè)交點(diǎn)。l有一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)，沒有交點(diǎn)。(2)假設(shè)Q(1，1)，試推斷以Q為中點(diǎn)的弦是否存在。解：(1)l的斜率不存在時(shí)，lx=1C有一個(gè)交點(diǎn)。lly－2=k(x－1)，(ⅰ)當(dāng)2－k2=0，即k=± 2時(shí)，方程(*)有一個(gè)根，l與C有一個(gè)交點(diǎn)2－k2≠0，即k≠± Δ=03－2k=0，k=32

時(shí)，方程(*)有一個(gè)實(shí)根，lC有一個(gè)交點(diǎn)。Δ＞0k＜

k≠± 2，故當(dāng)k＜－2或－2＜k＜2或2＜k＜時(shí)，方程(*)有兩不3 2 23 等實(shí)根，lC有兩個(gè)交點(diǎn)。3Δ＜0k＞2

時(shí)，方程(*)無解，lC無交點(diǎn)。綜上知：當(dāng)k=± 2，或k=3，或k不存在時(shí)，l與C只有一個(gè)交點(diǎn)；2當(dāng)2＜k3，或－2＜k＜2k＜－2時(shí)，lC有兩個(gè)交點(diǎn)；2k3時(shí)，lC沒有交點(diǎn)。21 1 2 (2)QABA(x，y)，B(x，y)1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2x2－y2=2，2x2－y2=2兩式相減得：2(x－x)(x+x)=(y－y)(y+y1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 又∵x1+x2=2，y1+y2=2∴2(x

－x2)=y

－y1k

= 1y

2=2y1 1 ABy

xx1 2但漸近線斜率為± 2，結(jié)合圖形知直線AB與C無交點(diǎn)，所以假設(shè)不正確，即以Q為中點(diǎn)的弦不存在?！纠鼼的中心在原點(diǎn)，它的漸近線與圓x2y210x200相切．過點(diǎn)P4,0作斜率1為 的直線l，使得l和G交于A,B兩點(diǎn)，和y軸交于點(diǎn)C，并且點(diǎn)P在線段AB 上，又滿足4PAPBPC2．求雙曲線G的漸近線的方程；求雙曲線G的方程；S的中心在原點(diǎn)，它的短軸是GS中垂直于l的平行弦的中點(diǎn)的軌跡恰好是G的漸近線截在S內(nèi)的局部，求橢圓S的方程．〔1〕設(shè)雙曲線G的漸近線的方程為：ykx，則由漸近線與圓x2y210x200相切可得：5kk25kk215

．雙曲線G的漸近線的方程為：y x．1 2 21 由〔1〕可設(shè)雙曲線Gx2

4y2

m．把直線ly

1x4代入雙曲線方程，整理得3x28x164m0．48 164m則x xA B

, xx3 A

〔＊〕3∵PAPBPC2PABCPAB上，∴x xP A

xB

x xP

x 2xC

44xA

164xA

xxxB A

320將〔＊〕m28x2y21．28 7由題可設(shè)橢圓S的方程為：x2y21a2 7．下面我們來求出S中垂直于l的平行弦中點(diǎn)的28 a2.寶.上.搜.索.寶.貝.“高考復(fù)習(xí)資料高中數(shù)學(xué)學(xué)問點(diǎn)總結(jié)例題精講(具體解答)”或者搜.店.鋪..“龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為Mx,y1 1

,Nx,y2

MNPxy0 0

，則x2 y21 1 1

xxx

x yyy

y28 a2

．兩式作差得：1 2 1

2 1 2

2 0x2 y2 28 a22 2 128 a2yy由于1

4，xx

2x,yy

x 所以，0

00，xx1 2

1 2 0 1 2

28 a2x所以，垂直于l的平行弦中點(diǎn)的軌跡為直線

0截在橢圓S內(nèi)的局部．28 a2又由題，這個(gè)軌跡恰好是G的漸近線截在S內(nèi)的局部，所以，a2 1．112 2a256，橢圓Sx2

y21．28 56點(diǎn)評：解決直線與圓錐曲線的問題時(shí)，把直線投影到坐標(biāo)軸上〔也即化線段的關(guān)系為橫坐標(biāo)〔或縱坐標(biāo)〕之間的關(guān)系〕是常用的簡化問題的手段；有關(guān)弦中點(diǎn)的問題，常常用到“設(shè)而不求”的方法；判別式和韋達(dá)定理是解決直線與圓錐曲線問題的常用工具．【例C的中心為直角坐標(biāo)系xOys軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別71.寶.上.搜.索.寶.貝.“高考復(fù)習(xí)資料高中數(shù)學(xué)學(xué)問點(diǎn)總結(jié)例題精講(具體解答)”或者搜.店.鋪..“龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)〔Ⅰ〕求橢圓C的方程；OPOM〔Ⅱ〕假設(shè)P為橢圓C上的動點(diǎn)，M為過P且垂直于x軸的直線上的點(diǎn)， =λ，求點(diǎn)MOPOM并說明軌跡是什么曲線。需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料，請?jiān)谔?寶.上.搜.索.寶.貝.“高考復(fù)習(xí)資料高中數(shù)學(xué)學(xué)問點(diǎn)總結(jié)例題精講(具體解答)”或者搜.店.鋪..“龍奇跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)解：(Ⅰ)設(shè)橢圓長半軸長及半焦距分別為a，c，由得ac1 x2 y2ac7,解得a4,c3wwks5ucom 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1671〔Ⅱ〕設(shè)M(x,y)x

。由

OP2OM2OP2

2P在橢圓C上可得9x211216(x2y2)3

2。整理得(1629)x2162y2

112x4,4。

時(shí)。化簡得9y24

1124 73所以點(diǎn)M的軌跡方程為y (4x4)，軌跡是兩條平行于x4 73

3 x2時(shí)，方程變形為

y2

1x4,44 112 1121629 162當(dāng)0

3時(shí)，點(diǎn)My軸上的雙曲線滿足4x4的局部。431時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、長軸在x軸上的橢圓滿足4x4的局部；4當(dāng)1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、長軸在x軸上的橢圓；3x2 y2 3

的離心率為

FLC相交于AB兩點(diǎn)，【例＝1a2 b2

a＞b＞032當(dāng)L的斜率為1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到L的距離為2 。(Ⅰ)a，b的值；(Ⅱ)CPLF轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有OP＝OA＋OBP的坐標(biāo)與L的方程；假設(shè)不存在，說明理由考點(diǎn)：此題考察解析幾何與平面對量學(xué)問綜合運(yùn)用力量，第一問直接運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式以及橢圓有關(guān)關(guān)系式計(jì)算，其次問利用向量坐標(biāo)關(guān)系及方程的思想，借助根與系數(shù)關(guān)系解決問題，留意特別狀況的處理。00c2c2。故c22，2c1〔Ⅰ〕設(shè)Fc0,當(dāng)l的斜率為00c2c2。故c22，2c133a2c22由ec ，得a ，33a2c22a 3〔Ⅱ〕CP，使得當(dāng)lF轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有OPOAOB成立。由〔Ⅰ〕知C的方程為2x23y2=6A(xy1 1

),B(x,y).2 2(ⅰ)當(dāng)l不垂直x軸時(shí)，設(shè)l的方程為yk(x1)C 上的點(diǎn)P使OPOAOB 成立的充要條件是

1

x,y2

y〕且22(x1

x)23(y2

y)262整理得2x21

1

2x22

2

4xx1

6yy 61 2又A、B在C上，即2x21

3y 1

6,2x22

3y22

6。 故2xx1 2

3yy1

30 ①將yk(x1)代入2x2

6,(23k2)x2

6k2x3k2

606k2 3k26 4k2于是xx , xx= ,yy k2(x1)(x 2)1 2 23k2

1 2 23k2 1

1 2 23k2k2

2，此時(shí)x x

3yy

k(x

x

k 3 k，即P( , )因此，當(dāng)k

1 2 22l的方程為22l的方程為2xy20；l的方程為2xy20。時(shí)，P( , )，2 2

1 2 1 2 2 2 2k

時(shí)，P( , )，2232 2223〔ⅱ〕當(dāng)lx軸時(shí)，由OAOB(2,0知，C上不存在點(diǎn)P使OPOAOB成立。3綜上，C上存在點(diǎn)P( ,32

2)使OPOAOB成立，此時(shí)l的方程為2xy 202【例】橢圓C：y21 a2

x2b2

1(ab0)A(1,0)，過C1

的焦點(diǎn)且垂直長軸的弦長為1．求橢圓C1

的方程；設(shè)點(diǎn)P在拋物線C2

yx2h(hR上，C2

P處的切線與C1

交于點(diǎn)MN．當(dāng)線段AP的MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí)，求h的最小值．b1 a2 y2解〔〕由題意得 b2 ,所求的橢圓方程為2 1 b1 4 a

x21〔II〕Mx,y1 1

),N(x,y2

),P(t,t2

h則拋物線C在點(diǎn)Py2

2t，直線MNy2txt2h，xt將上式代入橢圓C1

的方程中，得

4x22txt2h)240 ，即41t2 x24t(t2h)x(t2h)240，由于直線MN與橢圓C1

有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以有1

16t42(h2t2h240，設(shè)線段MNxx12332設(shè)線段MNxx123322(1t2)設(shè)線段PAxx44t12，x3x，即有t2(1h)t10，其中的 (1h)240,h1或h3；4 2當(dāng)h3時(shí)有h20,4h 02，因此不等式16t42(h2)t h 4022不成立；1因此h1，當(dāng)h1時(shí)代入方程t2(1h)t10得t1，h1,t1代入不等式16t42(h2)t h 4 022成立，因此的最小值為1．h1【例】設(shè)橢圓E:a2 b2x2 y21〔a,b>0〕過M〔2，2〕，N( 6,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，〔I〕求橢圓E的方程；〔II〕E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且OAOB？假設(shè)存在，寫出