超級實用的線性代數(shù)總復習總結(整理1)

《線性代數(shù)》主干知識點歸納―、幾組重要關系1、 若A為n階方陣，則A0 r(A)n(A是滿秩矩陣)；A可逆(存在n階矩陣B,使得ABI或BAI)；AI(A與I等價)；齊次方程組Ax0只有零解bRn，Axb總有唯一解；A的行(列)向量組線性無關；APPP，P是初等陣(即：A可表示成若干個初等矩陣的乘積)；1 2 s iA的行(列)向量組是Rn的一組基；A的特征值全不為0；AtA是正定矩陣；A是Rn中某兩組基的過渡矩陣；注：若|A|0,則否定上述各命題。如：|A|0 r(A)no2、 矩陣的秩的性質(zhì)：AOr(A)>1；AOr(A)0；0<r(A)<min(m,n)omnr(A)f(At)r(ATA) (A為方陣)r(kA)r(A)(k0)若P、Q可逆，則r(A) r(PA) r(AQ ) r(PAQ )；(可逆矩陣不影響矩陣的秩)(P85推論)⑤若⑤若r(A)rA與唯一的°rO等價，稱°rO為矩陣A的等價標準型.(P86定理3)⑥r(nóng)(AB⑥r(nóng)(AB)<minr(A),r(B)(P145例6)(P148ex7)r(AB)<r(A)r(B)(P148ex7)maxr(A),r(B)<r(A,B)<r(A)r(B) (P148ex8)⑦設n階矩陣A、B滿足AB=O，則：R(A)R(B)n(P153例4)AOOAAC /、 /、?rOBrBor(A)r(B)(P87例7)注：roBr(A)r(B)

3、幾種特殊矩陣及其性質(zhì)(1)轉(zhuǎn)置矩陣、可逆矩陣、伴隨矩陣矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：(At)t=AAT=A(AB)t=BtAt(kA)T=kAT(A土B)T=At土Bt(A-1)t=(At)-1(At)*=(A*)t矩陣可逆的性質(zhì)：(A-1)-1=AA-i=A-1(AB)-1=B-1A-1(kA)-1=k-1A-1(A±B)-1豐A-1±B-1(A-1)k=(Ak)-1=A-k伴隨矩陣的性質(zhì)：(At)*=(A*)t,A*=|A|n-1(kA)*=kn-1A*, (P80ex2)n 若r(A)=nr(A*)=<1 若r(A)=n-10 若r(A)<n-1AA*=A*A=|A|l(無條件恒成立)(2)A與B等價A=BoA經(jīng)過初等變換得到B;oPAQ=B，P、Q可逆；or(A)=r(B)，A、B同型；(3)A與B相似A口BoP-iAP=B，P為可逆矩陣(P180定義)若A口B，貝y：|XI-A|=|九I-B|，即A,B有相同的特征值(但特征向量不一定相同)?(P180定理1)注：兩個實對稱矩陣相似o有相同的特征值.(P199例2)trA=trB(主對角元之和相等) (P208思考題五ex2(2))|A|=B\ 從而A,B同時可逆或不可逆 (P188ex11)r(A)=r(B)⑤A^Bt；A-i口B-i(若A,B均可逆)⑥Ak^Bk (k為整數(shù))；f(A)口f(B)(P187ex4) f(A)|=f(B)\(由③可得)⑦ADb,⑦ADb,c口D='A、Jc(P188ex9)(4)A為正交矩陣oAtA=AAt=I(P194)oA的n個行(列)向量構成口n的一組標準正交基.正交矩陣A的性質(zhì)（P194）A-1=At也為正交陣；A|=±1；若A、B正交陣，則AB也是正交陣；A為正交矩陣Oa的行（列）向量組是標準正交向量組（5） 實對稱矩陣的性質(zhì)（P196）特征值全是實數(shù),特征向量是實向量；（P197定理1）不同特征值對應的特征向量必定正交；（P197定理2）注：對于普通方陣，不同特征值對應的特征向量線性無關；實對稱矩陣一定與對角矩陣相似（P定理3；例1）實對稱矩陣一定與對角矩陣合同，即：任一實二次型可經(jīng)可逆線性變換化為標準形；（P212定理1）必可用正交矩陣相似對角化，即：任一實二次型可經(jīng)正交變換化為標準形；（P216定理3）兩個實對稱矩陣相似O有相同的特征值.（P199例2）（6）A為正定矩陣oA的特征值全大于0； （P220定理3）oA與I合同，即存在可逆矩陣C使得CTAC=I；oA的所有順序主子式全大于0；A為正定矩陣na就>0 ； |A|>0.A為正定矩陣nAt,A-i,A*也是正定矩陣（P220例2,P223ex5）.A與B合同，若A為正定矩陣nB為正定矩陣A,B為正定矩陣nA+B為正定矩陣，但AB,BA不一定為正定矩陣.（7） A與B合同oCTAC=B，其中C可逆adbna與B合同 （即：相似一定合同、合同未必相似）；A與B合同nr（A）=r（B）4、向量的線性關系零向量是任何向量的線性組合，零向量與任何同維實向量正交.單個零向量線性相關；單個非零向量線性無關.部分相關,整體必相關；整體無關,部分必無關. （向量個數(shù)變動）若r維向量組線性無關，則其每個向量添上n-r個分量后組成的n維向量組也線性無關。即：原向量組無關，加長向量組無關；（教材P140ex10）反之：加長向量組相關，原向量組相關.（維數(shù)變動）

兩個向量線性相關O對應元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無關.向量組a,Q,…,Q中任一向量Q（1WiWn）都是此向量組的線性組合.TOC\o"1-5"\h\z12 n i向量組aa,…,a線性相關O向量組中至少有一個向量可由其余n-1個向量線性表示.12 n（P137定理4）向量組a,a,…,a線性無關o向量組中每一個向量a都不能由其余n-1個向量線性表示.1 2 n i（定理4的逆否命題）⑧m維列向量組a,a,…,a線性相關or（A）<n；1 2 nm維列向量組a1,a2,…，an線性無關S（A）=n*若a,a,…,a線性無關，而a,a,…,a,卩線性相關，則卩可由a,a,…,a線性表示，且表示法\o"CurrentDocument"1 2 n 1 2 n 1 2 n唯一. （P138定理5）矩陣的行向量組的秩=列向量組的秩=矩陣的秩. （P142定理2）行階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個數(shù).向量組等價（P132定義2）（P26）（P180定義）（P211（P26）（P180定義）（P211定義2）對稱性、傳遞性矩陣相似（口）矩陣合同（口）二、主干知識點第一章矩陣由mxn個數(shù)排成的m行n列的表A=廠a由mxn個數(shù)排成的m行n列的表A=廠a11a21a12a22、a1na2n稱為mxn矩陣?記作:A=C）或Aijmxn mxnam1（1）伴隨矩陣A*=ij（A11A12A21A22am2An1An2a丿mn，A為|A|中各個元素的代數(shù)余子式.ijIA1nA丿IA1nnn（2）可逆矩陣1）可逆矩陣性質(zhì) （P32定理2）2） 可逆矩陣的求法：①（A：E）—初等行變換>（EA-1）（P34-35；例4）(3)(4)A*②A-1=岡(P77定理1；P78例2,例,3)-1亠a1丄a2方陣的冪的性質(zhì)：AmAn=Am+n(Am)n=(A)mn-1亠a1亠a2設A__,B__,A的列向量為a1，a2,…,a,B的列向量為P,P,…,P,rb11b21mxnnxs則AB=Co(a,a,…,a)mxs 1 2 nb12b221 2 sb、1sb2sb丿nsIb丿nsoA卩=c,(i=1,2, ,s)???TOC\o"1-5"\h\zi ioP為Ax=c的解…i ioA(p,p,…,p)=(Ap,Ap,…,Ap)=(c,c,1 2 s 1 2 s 1 2oc1，c2，,cs可由H，a2,-,a”線性表示.即： C的列向量能由A的列向量線性表示，B為系數(shù)矩陣.同理：C的行向量能由B的行向量線性表示，At為系數(shù)矩陣.即:'aiia21a12a22a即:'aiia21a12a22a1na2nrc)1c2(5)ja、n1對角矩陣aP+aP++aP=c1111221n21aP+aP++aP=c211222… 2n22aP+aP.?++aP=cmn?2mm1 1???m2 2?…用對角矩陣A直乘一個矩陣，相當于用A的對角線上的各元素依次乘此矩陣的行向量;用對角矩陣A右乘一個矩陣，相當于用A的對角線上的各元素依次乘此矩陣的列向量.兩個同階對角矩陣相乘只用把對角線上的對應元素相乘.(6)分塊矩陣1）分塊矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣:(6)分塊矩陣1）分塊矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣:“主對轉(zhuǎn)置不變，副對轉(zhuǎn)置交換”2）分塊矩陣的逆矩陣:（A 、-i(A-i「(A、-i（ B-i、, B-i丿,B丿<A-i 丿“主逆不變，副逆交換”（P45； P46ex2）4）分塊對角陣相乘：A=raiiA22丿(BiiB22丿,（P44例3）；特別地：An,（P44例3）；特別地：An=(An11第二章行列式\o"CurrentDocument"a aii i2\o"CurrentDocument"a aD=2i 22? ?n ? ?? ?\o"CurrentDocument"a ani n2aina2nann(ABiiiiIAB丿'2222'（7）矩陣方程的解法（P36-37；P37例7；P40ex8,9）（8）行階梯形矩陣可畫出一條階梯線，線的下方全為0；每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個元素非零?當非零行的第一個非零元為1,且這些非零元所在列的其他元素都是0時，稱為行最簡形矩陣（9）矩陣的初等變換1）矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩，且不改變列向量間的線性關系；矩陣的列初等變換不改變矩陣的秩，且不改變行向量間的線性關系.即：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩.2）矩陣的初等變換和初等矩陣的關系：P28定理3對A施行一次初等行變換得到的矩陣,等于用相應的初等矩陣直乘A；對A施行一次初等列變換得到的矩陣,等于用相應的初等矩陣看乘A.（10）矩陣的秩如果矩陣A存在不為零的r階子式，且任意r+1階子式均為零，則稱矩陣A的秩為r?記作r（A）=r行列式的計算（具體方法技巧參看專題文檔1、 行列式按行（列）展開定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式的乘積之和推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.2、 上三角、下三角、主對角行列式等于主對角線上元素的乘積.*aOa1n1naa2n-1?=2n*aOa1n1naa2n-1?=2n-1■■aO■aOn1n13、關于副對角線:=(-1)n(n-1)aaa(P55例3)1n2n n1（即：所有取自不同行不同列的n個元素的乘積的代數(shù)和）4、若A與B都是方陣（不必同階），則AOA*OBOBOA*ABOBO=A|B|(拉普拉斯展開式P73)=(-1)mn|A||B|5、范德蒙德行列式xiX21X2X22XnX2n―x) (P64例8)ij1<j<i<n6、行列式性質(zhì)Xn-116、行列式性質(zhì)Xn-11Xn-12Xn-1n性質(zhì)1（P56）；性質(zhì)2(P58)；性質(zhì)3（P58）；性質(zhì)4（P59）； 性質(zhì)5（P61）；7、行列式運算性質(zhì)設A,B是n階方陣,k是數(shù)，則1）|AB=A||B|（P67定理2,P68推論1）； Ak二|A|k； |kA|=kn|A|（P60）2） |A土B\主A|土|B第三章幾何空間參看教材P93-122第四章n維向量空間1、n維向量空間Rn的概念 （P125；P127定理1）2、Rn的基、維數(shù)與坐標；過渡矩陣 （P146；147例9）3、 向量組、向量組的秩與極大無關組向量組a,a,,a的極大無關組所含向量的個數(shù)，稱為這個向量組的秩?記作r（a,a,,a）TOC\o"1-5"\h\z1 2 n 1 2 n①向量組卩,卩,…,卩?可由向量組a,a,…,a線性表示 …1 2 s 1 2 nOAX=B有解or（a,a,…,a）=r（a,a,-a,卩,卩,…,卩） （P145三個等價命題）1 2 n 1 2 n1 2 snr（卩,卩,…,卩）Wr（a,a,…,a）.（即:大秩向量組表示小秩向量組）（P144）1 2 s 1 2 n

②若向量組a,a,…,a可由向量組卩，卩，…，卩線性表示，且a,a,…,a線性無關，則r<s.TOC\o"1-5"\h\z1 2 r 1 2 s 1 2 r(P143定理3)O若向量組a,a,…,a可由向量組卩，卩，…，卩線性表示，如果r>s，則a,a,…,a線性相關.1 2 r 1 2 s 1 2 r(定理3的逆否命題P144)③向量組a,a,…,a與卩，卩，…，卩等價\o"CurrentDocument"1 2 n 1 2 sOr(a,a,…,a)=r(卩，卩，…，卩)二r(a,a,-a,卩，卩，…，卩) (P145)1 2 n 1 2 s 1 2 n1 2 s任一向量組和它的極大無關組等價.向量組的任意兩個極大無關組等價.向量組的極大無關組不唯一，但極大無關組所含向量個數(shù)唯一確定.設A是mxn矩陣，若r(A)=m，A的行向量線性無關；若r(A)=n，A的列向量線性無關.4、線性方程組解的結構廠aaa、廠x、/b、11121n1aaax,p=矩陣式Ax=pA二21■■■22-… 2n■■■,x=2■■■2■■■.am1am2?■aJmn<x丿n<b丿m向量式xa+xa+ +xa=P1 1 2 2 nn???(a,a, ,a)1 2 n廠x、1x2■■■=pa=jfa)jaj■■■,j=1,2, ,n??????Ix丿na< .j、m//???(1)線性方程組解的判斷(P131定理1，P159例10)有解判定定理：設A為mxn矩陣，若r(A)二r(A：卩)(P131定理1，P159例10)卩可由a,a, ,a線性表示oAx=卩有解TOC\o"1-5"\h\z1 2 n/oAx二p有無窮多解一當a為方陣時A|二0<n[O表示法不唯一Or(A)二r(A：卩)<二n''戶a,a, ,a線性相關Or(A)二r(A：卩)<二n\o"CurrentDocument"1 1 2 n/oAx二卩有唯一組解-當A為方陣時A|豐0=克萊姆法則(P79)■o表示法唯一a,a,,a線性無關oAx=o只有零解X 1 2 n

or(A)豐r(A：卩)卩or(A)豐r(A：卩)卩不可由a,a，…,a線性表示oAx二卩無解＜1 2 nor(A)<r(A：卩)or(A)+1二r(A：卩)注:其導出組即Ax=0有非零解Ax=P有無窮多解Ax=p有唯一解：其導出組即Ax=0只有零解⑵線性方程組解的性質(zhì)若耳，耳是Ax=o的解，則耳+H也是它的解；（P150性質(zhì)1）1212若耳是Ax=o的解，則對任意k,kn也是它的解；（P150性質(zhì)2）若耳,，耳是Ax=o的解，則對任意:個常數(shù)1 2 k九,九，…，認，切+九耳+ +九耳也是它的解。（P150性質(zhì)3）1 2 k11 22 kk若耳，耳?是Ax=卩的兩個解?廠則n-H是其導出組Ax=o的解 （P155性質(zhì)4）1212若丫是Ax=卩的解，n是其導出組Ax=o的解，貝W+n是Ax=卩的解（P155性質(zhì)5）⑥若n,n,,n是Ax=卩的解，則TOC\o"1-5"\h\z1 2 k(P170ex6)+九n是Ax=卩的解ox+x+(P170ex6)kk 1 2Xn+Xn1122的解oX+X+…，+X=0Xn+Xn11221 2 k（3）線性方程組的基礎解系（1）判斷n,n, ,n是齊次線性方程組Ax=o的基礎解系的條件：1 2 sf,n,,n線性無關；12 sn,n，…,n都是Ax=o的解；12 ss=n-r（A）=每個解向量中自由未知量的個數(shù).（P150定理）（2）若n*是Ax=卩的一個解，g,g,,g是Ax=o的一個基礎解系，則g,g,,g,n*線性無關1 s 1 s… ?…（P167ex9）（3） 關于公共解的三種處理辦法：已知兩具體齊次線性方程組，求其非零公共解

將其聯(lián)立，則聯(lián)立方程組Dx二0的所有非零解，即為所求。Bx+x二0Ix—x+x二0【例1】設四元齊次方程組(I)與(II)： I：{1 2 ；(11”1 2 3 求:x—x二0Ix—x+x二02 4 2 3 4方程組(I)與(II)的基礎解系；方程組(I)與(II)的公共解。解(1) (I)的基礎解系為a= (-1, 1, 0, 1) t, a= (0, 0, 1,0)t；12同樣得(II)基礎解系為a=(1,1,0,T)t,a=(-1,0,1,1)t3 4x+x=012x一x=0(2)將方程組I和II聯(lián)立組成新方程組HI：<24x—x+x=0123x—x+x=0234'1100、'1001'010—1010—1將其系數(shù)矩陣進行初等行變換T1—110001 —2、01—11丿、0000丿得皿的基礎解系為(-1,1,2,1)T于是方程組I與II的公共解為 X=k(-1,1,2,1)t, k取全體實數(shù)。僅已知兩齊次線性方程組的通解，求其非零公共解令兩通解相等，求出通解中任意常數(shù)滿足的關系式，即可求得非零公共解，簡言之，兩通解相等的非零解即為所求的非零公共解?！纠?】已知齊次線性方程組I與II的基礎解系分別是a=(1,2,5,7)t,a=(3,-1,1,7)t,a=(2,3,4,20)t,TOC\o"1-5"\h\z1 2 3B= (1, 4, 7,1) t, p= (1, -3, -4, 2) to12求方程組I與II的公共解。解;顯然方程組I與II的通解分別為k1a1+k2a2+k3a3與入1p嚴2p2,1 1 2 2 3 3 1 1 2 2Ik+3k+2k—九一九=01 2 3 1 2令其相等得到 X1+k2a2+k3a3=A1p1令其相等得到 X1+k2a2+k3a3=A1p1+入2卩21 2 3 15k+k+4k—7九+4九=012 3 127k+7k+20k—九—2九=01 2 3 1 2

'1 3 2 -1 -1、2 -1 3 -4 3A=5 1 4 -7 4J 7 20 -1 -2丿10003、T010010003、T01004_7001000V0011_2丿12 3 1 2即k=-3t/14,k=4t/7,k=0，入=t/2,A=t1 2 3 1 2于是可得A1，A2的關系為A1=t/2=A2/2,將此關系式代入通解即為所求的公共解為1212A卩1+A 2P 2=(A 2/2) p1+A2P2= (A2/2) (P 1+2p2)= (A 2/2) (3,-2,-1,5)t,=A (3,-2,-1,5)t,11 2 2 21222 12 2其中A=A2/2為任意實數(shù)。2已知一齊次方程組的通解及另一具體方程組，求其非零公共解常將通解代入另一方程組，求出通解中任意常數(shù)滿足的關系，即求出通解中獨立的任意常數(shù)，再代回通解，即得所求的非零公共解。簡言之：已知的通解中滿足另一具體方程組的非零解即為所求的非零公共解。P169ex19與下面例題同型4.92已知4元齊捉線性方程組(I)為{2話1-|-Sig—工3ZL-4-2iE2+丄3—工4=°；又已崢另一個4元齊次線性方程組(II)的一個基礎解系為- . T 乂 jT1oti=(2,—lt￡D-I-2^1)*ota=(—l,2T4?ffl+8).求方程組⑴的一個基礎解系i當a為何值時，方程組⑴和(II)有非零公共解？在有非零公共解時，求出全部非零公共解,解⑴方程組⑴的一片基礎解系為創(chuàng)=(&-3丄0)二國=(—舉,晾)=⑵方程組(I)和(□)有非零公共解:將屮)的通解心45代入(I)中，得f+ =0,[(a+1)A：i—(a+1)Jc2=0.當a#-1時，趕=%=0,虹％4聰叫=0,則⑴和(II)無非零公共解：當口=-1時,gk2任意:此時⑴和(四有非零公共解,且全部非零公共解為

Ctj+fcgfft2 Ctj+fcgfft2 It、fcl5孔為不全為零的任意實數(shù).第五章特征值與特征向量1、A的特征值與特征向量(P171定義)A的特征方程卜I-A|=0?(P173)；(求A的特征值與特征向量：P174例3、例4、例5)A的特征多項式f(九)=|九I-A|?(P177)若九.為A的特征值，則|A|二九九 九，且工九=trA，(P178),i 1 2 n i1(trA稱為矩陣A的“跡”(P49ex21))上三角陣、下三角陣、對角陣的特征值就是主對角線上的n個元素.2)若a是A關于2)若a是A關于九的特征向量，則a也是<kAaA+bEA-1A*關于的特征向量.Am九m(P179ex3)kAaA+bEAtk九a九+b九1⑸1)若九是A的特征值，則:<分別有特征值 xA-11A1XX…XA*x-—1 nXAmXm(179ex2)2、矩陣的相似對角化(1)A與B相似 P1AP=B (P為可逆矩陣) 記為：AgB

（2）若（2）若n階矩陣A與對角矩陣A=相似，則",九2,，九”是A的全部特征值。(P181定理2)（3）A可相似對角化即：AaAoA恰有n個線性無關的特征向量.（P182定理3）oR（九I—A）=n—k,k為九的重數(shù).（P185推論3）TOC\o"1-5"\h\zi i Ii（on—R（九I—A）=k即：幾何重數(shù)二代數(shù)重數(shù)），（Pex176,ex173）i i(P185推論1)AaAUn階矩陣A有(P185推論1)（4）設a為對應于九的線性無關的特征向量，則有（P181定理2證明過程）:i iA(a,a, ,a)=(Aa,Aa,1 2 n 1 2\o"CurrentDocument",Aa)=(九a,九a,,九a)=(A(a,a, ,a)=(Aa,Aa,1 2 n 1 2n 11 2 2 nn九丿n(5)A(5)A口AnAk=PAkP-i，g(A)=Pg(A)P-i=PP-13、n維向量空間的正交性(1)3、n維向量空間的正交性(1)向量a=(a,a, ,a)t與卩=(b,b,1 2 n 1 2，b）T的內(nèi)積n(P188定義1)g(九)丿n(a,卩)=2abiii=1（2）內(nèi)積的性質(zhì):①非負性（正定性）:（2）內(nèi)積的性質(zhì):①非負性（正定性）:(a,a)>0,且(a,a)=0oa=o②對稱性：（a,卩）②對稱性：（a,卩）二（卩,a）③線性性:（a，卩1+卩2）=（a，卩1）+（a，卩2）(ai+a2,卩)=(ai，卩)+(a2,卩)(ca,卩)二c(a,卩)二(a,c卩)\o"CurrentDocument"向量a=(a,a, ,a1 2 n)T的長度|a||=J(a,a)=￡\o"CurrentDocument"=厶\o"CurrentDocument"向量a=(a,a, ,a1 2 n)T的長度|a||=J(a,a)=￡\o"CurrentDocument"=厶a2=a2+a2+ +a2i 1 2 ni=1若a是單位向量，則=J（a,a）=1?即