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利用空間向量解決立體幾何問題數(shù)學專題二教學目標向量運算在幾何證明與計算中的應(yīng)用,掌握利用向量運算解幾何題的方法,并能解簡單的立體幾何問題。教學重點:向量運算在幾何證明與計算中的應(yīng)用。教學難點:向量運算在幾何證明與計算中的應(yīng)用;空間向量之應(yīng)用3利用空間向量求距離BAaMNnab一、求異面直線的距離nabAB方法指導:①作直線a、b的方向向量a、b,求a、b的法向量n,即此異面直線a、b的公垂線的方向向量;②在直線a、b上各取一點A、B,作向量AB;③求向量AB在n上的射影d,則異面直線a、b間的距離為zxyABCC1即取x=1,則y=-1,z=1,所以EA1B1當E,F在公垂線同一側(cè)時取負號當d等于0是即為“余弦定理”<>=π—θ(或θ),zxyABCC1EA1B1練習zxyABCC1即取x=1,z則y=-1,z=1,所以EA1B12點到平面的距離A為平面α外一點如圖,n為平面α的法向量,過A作平面α的斜線AB及垂線AH

==于是,點到平面的距離等于平面內(nèi)外兩點的向量和平面的法向量的數(shù)量積的絕對值與平面的法向量模的比值nABHαθ詳細答案DABCGFExyzDABCGFExyz1答案2答案APDCBMN2課本第116頁練習2如圖,60°的二面角的棱上有A、B兩點,直線AC、BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi),且都垂直AB,已知AB=4,AC=6,BD=8,求CD的長BACD解:如圖,以D為原點建立空間直角坐標系D-xyz

則D(0,0,0),A(,0,0),B(,,0),C(0,,0),P(0,0,)DMPNAxCBzy例3、已知正方形ABCD的邊長為4,CG⊥平面ABCD,CG=2,E、F分別是AB、AD的中點,求直線BD到平面GEF的距離。DABCGFExyz三、求直線與平面間距離正方體AC1棱長為1,求BD與平面GB1D1的距離A1B1C1D1ABCDXYZ練習3:G例4、正方體AC1棱長為1,求平面AD1C與平面A1BC1的距離A1B1C1D1ABCDXYZ四、求平面與平面間距離評述:此題用找公垂線的方法比較難下手,用向量代數(shù)的方法則簡捷,高效,顯示了向量代數(shù)方法在解決立體幾何問題的優(yōu)越性平行平面間的距離可轉(zhuǎn)化為直線到平面的距離或再轉(zhuǎn)化為點到平面的距離例5如圖,四面體ABCD中,O、E分別是BD、BC的中點,(I)求證:AO⊥平面BCD;(II)求異面直線AB與CD所成角的余弦值;(III)求點E到平面ACD的距離。xyZ解:I略II以O(shè)為原點,如圖建立空間直角坐標系,所以異面直線AB與CD所成角的余弦值為(III)解:設(shè)平面ACD的法向量為則令得是平面ACD的一個法向量,所以點E到平面ACD的距離xyZ練習、在邊長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M、N、E、F分別是棱A1

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