高中數(shù)學(xué)函數(shù)的奇偶性蔣建平

函數(shù)的基本性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)函數(shù)的基本性質(zhì)---奇偶性觀察下列函數(shù)圖象，從圖形對稱的角度把這些函數(shù)圖象進(jìn)行分類：函數(shù)性質(zhì)奇偶性第一類：關(guān)于y軸對稱函數(shù)性質(zhì)奇偶性第二類：關(guān)于原點(diǎn)對稱函數(shù)性質(zhì)奇偶性首先從第一類函數(shù)圖象中選取一個我們熟悉的代表：x-3-2-10123f(x)=x^29410149通過表格和圖象中我們可以觀察到代數(shù)特征：當(dāng)自變量取一對相反數(shù)時，相應(yīng)的函數(shù)值相同列表函數(shù)性質(zhì)奇偶性圖象結(jié)論：當(dāng)自變量在定義域內(nèi)任取一對相反數(shù)時，相應(yīng)的兩個函數(shù)值相同；即：函數(shù)性質(zhì)奇偶性偶函數(shù)定義:一般地，如果對于函數(shù)f的定義域內(nèi)的任意一個都有f-=f，那么函數(shù)f就叫做偶函數(shù)。如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱或者說一個函數(shù)是偶函數(shù)，那么它的定義域應(yīng)該有什么特點(diǎn)？定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱函數(shù)性質(zhì)奇偶性注意：1偶函數(shù)指的是函數(shù)的整體性質(zhì)，針對整個定義域內(nèi)來說的2偶函數(shù)的前提條件是：定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱要注意關(guān)于原點(diǎn)對稱的含義，如區(qū)間（-2,0）與區(qū)間（0，2）關(guān)于原點(diǎn)對稱3在前提條件下：偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱函數(shù)性質(zhì)奇偶性我們繼續(xù)觀察：第二類圖象我們能否按照推導(dǎo)偶函數(shù)的方法和步驟，歸納出奇函數(shù)的定義呢？函數(shù)性質(zhì)奇偶性答案是肯定的類比偶函數(shù)定義的由來在第二類函數(shù)圖象中選取一個代表：x-3-2-10123f(x)=x^3-27-8-101827通過表格和圖象中我們可以觀察到奇函數(shù)代數(shù)特征：當(dāng)自變量取一對相反數(shù)時，相應(yīng)的函數(shù)值相反列表函數(shù)性質(zhì)奇偶性圖象由此我們可以得到奇函數(shù)的定義：一般地，如果對于函數(shù)f（）的定義域內(nèi)任意一個,都有____________,那么函數(shù)f（）就叫做奇函數(shù)f-=-f如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱或者說一個函數(shù)是奇函數(shù)，那么它的定義域應(yīng)該有什么特點(diǎn)？定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱應(yīng)用同樣的方法我們可以得出奇函數(shù)的注意事項(xiàng)函數(shù)性質(zhì)奇偶性注意：1奇函數(shù)指的是函數(shù)的整體性質(zhì)，針對整個定義域內(nèi)來說的2奇函數(shù)的前提條件是：定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱3在前提條件下：奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱函數(shù)性質(zhì)奇偶性函數(shù)名稱圖例圖象特點(diǎn)定義偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱對定義域內(nèi)任意一個x,都有奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱對定義域內(nèi)任意一個x,都有函數(shù)性質(zhì)奇偶性例1、根據(jù)定義判斷下列函數(shù)的奇偶性函數(shù)性質(zhì)奇偶性例1、根據(jù)定義判斷下列函數(shù)的奇偶性函數(shù)性質(zhì)奇偶性奇偶性例1、根據(jù)定義判斷下列函數(shù)的奇偶性奇偶性例1、根據(jù)定義判斷下列函數(shù)的奇偶性用定義法判斷函數(shù)奇偶性解題步驟:1先確定函數(shù)定義域,并判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱;2求f-，找f與f-的關(guān)系;若f-=f,則f是偶函數(shù);若f-=-f,則f是奇函數(shù)3作出結(jié)論：f是偶函數(shù)或奇函數(shù)或非奇非偶函數(shù)或即是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。函數(shù)性質(zhì)奇偶性給出函數(shù)判斷定義域是否對稱驗(yàn)證f-與f的關(guān)系結(jié)論定義法判斷函數(shù)奇偶性解題步驟:函數(shù)性質(zhì)奇偶性例2、已知函數(shù)的右半部分圖象，根據(jù)下列條件把函數(shù)圖象補(bǔ)充完整；1f是偶函數(shù);2f是奇函數(shù)函數(shù)性質(zhì)奇偶性奇偶性通過例2的學(xué)習(xí)我們知道可以通過奇函數(shù)和偶函數(shù)的圖像性質(zhì)解決：已知其函數(shù)或者偶函數(shù)定義域右邊圖像畫出對應(yīng)區(qū)間左邊的函數(shù)圖象。思考：如果我們知道奇函數(shù)（或者偶函數(shù)）的定義域右邊（或者定義域左邊）的解析式，能否求利用奇函數(shù)（或者偶函數(shù)）的性質(zhì)出對于定義域左邊（或者定義域右邊）的解析式呢？函數(shù)性質(zhì)奇偶性解：函數(shù)性質(zhì)奇偶性解：奇偶性與單調(diào)性通過例1、例2的學(xué)習(xí)我們知道:如果已知奇函數(shù)或者偶函數(shù)定義域左邊或者定義域右邊的圖像（或者解析式），我們可以畫出左邊圖像（或者求出左邊的解析式）如圖思考偶函數(shù)：y軸兩側(cè)的圖像走勢有何不同？可得出什么結(jié)論？奇偶性與單調(diào)性結(jié)論：偶函數(shù)在y軸兩側(cè)的圖像的升降方向是相反的；即偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反奇偶性與單調(diào)性思考：奇函數(shù)是否具有相同的性質(zhì)？如圖思考：y軸兩側(cè)的圖像走勢有何不同？可得出什么結(jié)論？奇偶性與單調(diào)性奇偶性與單調(diào)性結(jié)論：奇函數(shù)在y軸兩側(cè)的圖像的升降方向是相同的；即奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同奇偶性與單調(diào)性通過圖形語言我們得出了奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性的關(guān)系：奇函數(shù)對稱的區(qū)間單調(diào)性相反，偶函數(shù)對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反。之前我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過用函數(shù)單調(diào)性的定義證明單調(diào)性，我們能否從定義上給予結(jié)論嚴(yán)格的邏輯證明呢？奇偶性與單調(diào)性分析：取值定號變形作差結(jié)論奇偶性與單調(diào)性證明：奇偶性與單調(diào)性類比分析：取值定號變形作差結(jié)論奇偶性與單調(diào)性證明：分析：由于奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，所以在-1,0]的作用轉(zhuǎn)化為自變量來解決奇偶性與單調(diào)性奇偶性與單調(diào)性解：奇偶性與單調(diào)性解：【課堂小結(jié)】1、奇偶性定義:對于函數(shù)f,在它的定義域內(nèi)，①若有f-=-f,則f叫做奇函數(shù)；②若有f-=f