有答案數(shù)列綜合練習(xí)(錯(cuò)位相減法裂項(xiàng)相消法)

數(shù)列綜合練習(xí)(一)知識(shí)梳理?1?等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式:q^iax1-qn_a!-anq⑴公式：sn_<1-q"1-q^i<na2q_1(2)注意：應(yīng)用該公式時(shí)，必然不要忽略4_1的情況.2.若｛an｝是等比數(shù)列，且公比q*l,則前n項(xiàng)和Sn_吾(1-qn)_A(qn-1).其中A_A_q-i推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的方式叫錯(cuò)位相減法.一般適用于求一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)積的前n項(xiàng)和.拆項(xiàng)成差求和經(jīng)常常利用到下列拆項(xiàng)公式：1_11_1nn+1'作業(yè)設(shè)計(jì)?一、選擇題STOC\o"1-5"\h\z1.設(shè)Sn為等比數(shù)列｛a”｝的前n項(xiàng)和，8a2+a5=0,貝忖等于()nnS2A.11B.5C._8D._11答案D解析由8a2+a5_0得8a1q+a1q4_0,.??q_-2,則滬^^_-11.S2a1(1-22)S2.記等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，若S3=2,S6=18，則導(dǎo)等于(nnS5A._3B.5D.33CD.33答案D

牛(1-q6)S1－q解析由題意知公比q^1/S6=S3a〔(1_q3)1-q二1+q3二9,a1(1-q10)?°.q二2?°.q二2斗二1-qS5aQ-q5)二1+q51-q二11-q二1+25二33.S3.設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比q=2，前n項(xiàng)和為S“，則等于()nna2A．2B．4答案C解析方式一由等比數(shù)列的概念，S4二a]+a2+a3+a4=》+a2+a2q得!T1+1+q+q2誓.+a2q2，方式二a1方式二a1(1-q4)S4=a2二aq，S3S3=7，則S5等則實(shí)數(shù)k的值為..爲(wèi)二1-q4』a2(1-q)q24.設(shè)｛an｝是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，已知a2a4=1,于()答案B解析T｛an｝是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且a2a4二1,??設(shè)｛an｝的公比為q，則q>0，且a2-1，即a3=1.vS3-7，:.a+a2+a3--1；+丄+1-7,3123q2q即6q2-q-1-0.故q-|或q--1(舍去),.a—丄—4.1q24(1-2)131P--8(1-幻-￥?1-25.在數(shù)列｛an｝中，an^=can(c為非零常數(shù))，且前n項(xiàng)和為S”=3n+k,)A.0B.1C.－1D.2答案C解析當(dāng)n-1時(shí)，a1-S1-3+k，

當(dāng)n±2時(shí)，a=s-S=(3n+k)-(3n-i+k)nnn－1—3n-3n-1—2^3n-1由題意知｛an｝為等比數(shù)列，所以a1-3+k-2,：.k—-1.為(6.在等比數(shù)列｛an｝中，公比q是整數(shù)，a1+a4=18,a2+a3=12，則此數(shù)列的前8項(xiàng)和為(A.514B.513C.512D.510答案D解析由a1＋a4—18和a2＋a3—12，得方＋a1q3—18q—得方＋a1q3—18q—2a1q+a1q2二12或|1q—2'?q為整數(shù)，「.'?q為整數(shù)，「.q—2,a1—2,2(28-1)防石rr—29-2—510.二、填空題若｛an｝是等比數(shù)列，且前n項(xiàng)和為S“=3n-1+t,則t=.答案-1解析顯然qM1,此時(shí)應(yīng)有Sn—A(qn-1)，又S-3?3"+t，-t—-3.n33設(shè)等比數(shù)列｛a”｝的前n項(xiàng)和為S”,若a]=1,S6=4S3，則a@=答案3解析S6—4滬吟嚴(yán)—他號(hào)》3(q3—1不合題意，舍去)??q—arq3—1X3—3.9.若等比數(shù)列｛an｝中，a]=1,a”=—512,前n項(xiàng)和為S”=—341,則n的值是答案10解析$_a!解析$_a!-anq1-q?-341—1+512q1-q..q—-2,又.a二a、qn-1,?.-512—(-2)n-1,?n—10.若是數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和S=2a—1,則此數(shù)列的通項(xiàng)公式a='"丿nnn答案2n—1解析當(dāng)n—1時(shí)，S1—2a1-1，.a1—2a1-1，.a1—1.當(dāng)n±2時(shí)，a—S-S,—(2a-1)-(2a,-1)nnn－1nn－1?an-2an-1,.｛an｝是等比數(shù)列，?a—2n-1，nWN*.n三、解答題在等比數(shù)列｛a｝中，a,+a=66,a3a2=128,S=126,求n和q.n1n3n—2na1an—128,解'a3a—a^,.a,a—128，解方程組’"3n－21n1na’+a—66,1n

a二64,得］1①、化"，1%二64.②將①代入+，可得噸，由a二aq-1可解得n1%二64.②將②代入S二^■土，可得q-2,n1-q由a”-a1qn-1可解得n-6.故n-6,q-*或2.12.已知Sn為等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，S“=54,S2n=60，求S3n.解方式一由題意Sn，S2n-Sn，S3n-Sn成等比數(shù)列，?62-54（S3n-6°），Pn1823.和1823.和1-q“)二541-q方式二由題意得aMl,a〔(1-q3n)9X54a〔(1-q3n)9X541-(1-斗-2X4,.?.S1-q83n13.已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和S“=2n七一4.求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；"⑵設(shè)b=a?log2a，求數(shù)列｛b｝的前n項(xiàng)和T.nn2nnn解(1)由題意，Sn-2n＋2-4，n三2時(shí)，a-S-S-2n+2-2n+1-2n+1,nnn-1當(dāng)n-1時(shí)，a1-S1-23-4-4，也適合上式，??數(shù)列｛a”｝的通項(xiàng)公式為an-2n+1,nWN*.Tb“-anlog2an-(n+1)仏+1，?T—2-22+3-23+4-24+…+n?2n+(n+1)?2n+1,n2T-2?23+3?24+4?25+…+n?2“+1+(n+1)?2“+2.n②-①得，T--23-23-24-25-…-2n+1+(n+1)?2n+2n23(1-2n-1)--23-+(n+1)-2n+2--23-23(2n-1-1)+(n+1)?2n+21-2由②一①得1+qn-10?qn-1r1-q118293)-丁-(n+1)"2n+2-23?2n-1-(n+1)2n+2-2n+2-n"2n+2.14.已知等差數(shù)列｛aj知足：°3=7,05+07=26,｛aj的前n項(xiàng)和為Sn.(1)求a及S；nn⑵令bn=~(nN*),求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Tn.na21nnn解(1)設(shè)等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)為a1,公差為d.

、a1+2d=7,因?yàn)閍3=7,a5+a7=26,所以]3572a,+10d=26,Id二Id二2.n(n-1)小所以a二3+2(n-1)二2n+1,S二3n+X2=n2+2n.nn2所以，a二2n+1,S二n2+2n.nn⑵由(1)知an=2n+1,所以b=—^-=■1二4?1-nan2-1(2n+1)2-14n(n+1)-1卩丄一4“n+1丿，所以Tn#.(1-2+2-3+_+n1

n+=4(1n+?二命即數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和nT二n4(n+1)15.設(shè)數(shù)列｛an｝知足a1=2,a”+]—a”=3?22n-1.(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；W+"⑵令b=nan，求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和S.解(1)由已知，當(dāng)心1時(shí)，an+1二[(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)']+a1-3(22n-1+22n-3+…+2)+2二22(n+1)-1.而a1-2,符合上式，所以數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為an-22“-1.(2)由b-na-n^22n-1知nnS-12+2?23+3^25+…+n?22n-1,n從而2?.S-123+2?25+3?2?+…+n2n+1.n①-②得(1-22)s-2+23+25+…+22n-1-n22n+1,n即S—￡[(3n-1)22n+1+2].n9)D.1＋n＋lnn16?在數(shù)列｛an｝中，幻=2,a”[haH+lnC)D.1＋n＋lnnA.2＋lnnB.2＋(n－1)lnnC.2＋nlnn答案A解析Tan+1-an+ln(1+n)，??an+1-ln(n??an+1-ln(n+1)-lnn.-an-lnl1+;J-ln~n~又a1-2，?On-a】+(a?-aj+(a?-a?)+(°4-a?)+…+(q”-an-1)-2+[ln2-In1+In3-In2+In4-In3+…+Inn-ln(n-1)]-2+lnn-ln1-2+lnn.17.已知正項(xiàng)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn=1(an+1)2,求｛a“｝的通項(xiàng)公式.解當(dāng)n-1時(shí),a1-S1,所以a1=4(a1+1)2，

解得a1-1.當(dāng)心2時(shí),an-Sn-Sn-1-4(a“+1)2-4(a“-1+1)2—4(a2_a2-1+2叫_2叫-1)，a2-a2-2(a+a)-0，nn-1nn-1(a+a-1)(a-a-1-2)-0.nn-1nn-1Va+a]>0,「a-a,-2—0.nn-1nn-1a-a-1—2.nn-1?｛an｝是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列.a—1+2(n-1)—2n-1.n18.(12分)在數(shù)列｛an｝中，a]=l,a”+1=2an+2n.設(shè)bn=±?證明：數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列；求數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和.(1)證明由已知a”+]=2an+2n,a＋12a＋2na得b二一^1二——=-a^~+1=b+1n+12n2n2n－1nAbn+1~bn=1，又b1=a1=L???｛bn｝是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.a(2)解由(1)知，b=n,~l=b二n.「.a二n-2"-1.n2n－1nn「?S二1+22+32+…+n?2n-1n兩邊乘以2得：2S二1?21+2.2?+…+(n-1)?2“-1+n?2n,n兩式相減得：-S二1+21+22+…+2n-1-n?2nn-2n-1-n?2n=(1-n)2n-1,??S—(n-1)?2n??S—(n-1)?2n+1.n19.(12分)已知數(shù)列｛an｝的前(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；⑵當(dāng)bn項(xiàng)和為S，且a,