第一章A勻變速直線運(yùn)動(dòng)

5/5第一章A勻變速直線運(yùn)動(dòng)在基礎(chǔ)型物理課程中，我們學(xué)習(xí)了勻速直線運(yùn)動(dòng)和初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。這是兩種最簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)形式，實(shí)際運(yùn)動(dòng)較為復(fù)雜。例如物體在開始做加速運(yùn)動(dòng)時(shí)有一定的“初速度”，此外還有減速運(yùn)動(dòng)。因此現(xiàn)在要將我們的討論拓展到較一般的勻變速直線運(yùn)動(dòng)，包括初速不為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)、勻減速直線運(yùn)動(dòng)，以及豎直上拋運(yùn)動(dòng)等。勻變速直線運(yùn)動(dòng)。圖1-1如圖1-1所示，高速公路上有一輛警車正在以一定的速度巡邏行駛，如果此時(shí)獲悉在前方某處發(fā)生車禍，該警車就要立即加速向事故發(fā)生地駛?cè)?。那么這輛警車要多久才能趕到出事地點(diǎn)？這里涉及到有初速度的物體的加速運(yùn)動(dòng)過程，以及到達(dá)事故發(fā)生地之前的減速運(yùn)動(dòng)過程。其他如列車在直線軌道上的加速或減速過程，飛機(jī)降落后在跑道上的滑行過程，長(zhǎng)跑運(yùn)動(dòng)員的最后沖刺過程等，在物理上都可近似地作為初速不為零的勻變速直線運(yùn)動(dòng)進(jìn)行考察圖1-1在基礎(chǔ)型物理課程中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了初速為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。不過，從上述情景中可以看到，為了解決更多的實(shí)際問題，有必要將我們的討論進(jìn)一步拓展到更一般的初速不為零的勻變速直線運(yùn)動(dòng)，建立有關(guān)的基本公式，探討運(yùn)用這些基本公式求解問題的基本思路和基本方法。一、速度隨時(shí)間變化的規(guī)律速度是描寫物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量，因此掌握運(yùn)動(dòng)物體的速度隨時(shí)間變化的關(guān)系非常重要。那么，當(dāng)物體做勻變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的速度v隨時(shí)間t的變化有怎樣的規(guī)律呢？大家談一物體做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為a，問經(jīng)過t秒后該物體的速度v是多少？這個(gè)問題能否回答？為什么？我們知道，為了描寫速度的變化，需要引進(jìn)加速度。加速度是描寫物體運(yùn)動(dòng)速度變化快慢的物理量，因此當(dāng)物體的速度發(fā)生均勻變化時(shí)，它的加速度a是常量。若物體在初始時(shí)刻的速度為v0，其后某一時(shí)刻t的速度為v，則由加速度的定義a＝EQ\F(v－v0,t)可得v＝v0＋at。此式常稱為“速度公式”，它反映了一般初速度不為零的勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度隨時(shí)間變化的規(guī)律。從物理意義上可這樣來理解上式：加速度在數(shù)值上等于單位對(duì)間內(nèi)速度的增加量。當(dāng)速度均勻地增加時(shí)，時(shí)間t內(nèi)速度的增加量就是at，因此時(shí)刻t的速度就是初速度v0與該增加量at之和?！臼纠?】汽車以36km/h的速度勻速行駛，如果以1.6m/s2的速度使它的速度均勻地增加一倍，需多少時(shí)間6.25s？6.25s【解答】已知初速度v0＝36km/h＝10m/s，末速度v＝2v0＝20m/s，加速度a＝1.6m/s2。由速度公式v＝v0＋at可得t＝EQ\F(v－v0,a)＝EQ\F(20－10,1.6)s＝6.25s。勻變速直線運(yùn)動(dòng)可區(qū)分為“勻加速直線運(yùn)動(dòng)”和“勻減速直線運(yùn)動(dòng)”兩類。根據(jù)加速度定義a＝EQ\F(v－v0,t)，在加速運(yùn)動(dòng)中，末速度大于初速度，所以加速度a為正值；在減速運(yùn)動(dòng)中，來速度小于初速度，所以加速度a為負(fù)值。二、速度-時(shí)間圖象（v-t圖）在基礎(chǔ)型物理課程的學(xué)習(xí)中我們知道，當(dāng)物體做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的速度隨時(shí)間變化的規(guī)律除了可用公式表示外，還可用圖象表示。如果直角坐標(biāo)系的橫坐標(biāo)代表時(shí)間，縱坐標(biāo)代表速度，則這種坐標(biāo)系就可用來表示做直線運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度隨時(shí)間變化的關(guān)系，這樣的圖就稱為速度-時(shí)間圖象，簡(jiǎn)稱“v-t圖”。對(duì)于初速為零的勻變速直線運(yùn)動(dòng)來說，當(dāng)t＝0時(shí)，v0＝0；其后v隨時(shí)間t均勻地增加，因此初速度為零的勻變速直線運(yùn)動(dòng)的v-t圖是一條通過原點(diǎn)的傾斜直線，如圖1-2（a）所示，其斜率隨加速度a的數(shù)值增大而增大。一般初速不為零的勻變速直線運(yùn)動(dòng)的v-t圖是怎樣的呢？圖為t＝0時(shí)物體的速度為v0，所以它是一條不通過原點(diǎn)的傾斜直線，如圖1-2（b）所示，傾斜直線與縱坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即為運(yùn)動(dòng)物體的初速度v0；直線的斜率則表示運(yùn)動(dòng)物體的加速度a。圖圖1-2大家談1．下面的v-t圖中顯示了三種勻變速運(yùn)動(dòng)的速度隨時(shí)間變化的關(guān)系。請(qǐng)描述一下它們的運(yùn)動(dòng)情況。圖圖1-3三、位移隨時(shí)間變化的規(guī)律對(duì)于運(yùn)動(dòng)物體，人們常常不僅要了解它們的速度隨時(shí)間變化的情況，還要了解它們的位置變化，即位移隨時(shí)間變化的情況。對(duì)于一般做初速不為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的物體來說。它們的位移隨時(shí)間的變化有怎樣的規(guī)律性呢？圖1-4在基礎(chǔ)型物理課程的學(xué)習(xí)中我們知道，做直線運(yùn)動(dòng)的物體在某段時(shí)間內(nèi)的位移，在數(shù)值上等于它的速度圖線與時(shí)間軸所圍成的面積?，F(xiàn)將上述結(jié)論推廣到勻變速運(yùn)動(dòng)情況。從圖1-4可以看出，經(jīng)過時(shí)間t物體的速度由v0變到v0＋at，在該段時(shí)間的速度圖線與時(shí)間軸所圍成的面積是S＝S1＋S2,，因此時(shí)間t圖1-4s＝v0t＋EQ\F(1,2)at2。這個(gè)式子常稱為“位移公式”，它反映了一般初速不為零的勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律。聯(lián)立速度公式和位移公式，消去t，可得到勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度v與位移s的關(guān)系式：v2－v02＝2as。速度公式、位移公式，以及速度和位移的關(guān)系式反映了勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。在這三個(gè)公式中，只有兩個(gè)是獨(dú)立的。自主話動(dòng)利用勻變速直線運(yùn)動(dòng)在時(shí)間t內(nèi)平均速度的公式EQ\X\to(v)＝EQ\F(1,2)（v0＋v），導(dǎo)出位移公式，看看是否與利用圖象法導(dǎo)出的公式一致。初速度不為零的勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律在日常生活和交通運(yùn)輸領(lǐng)域有許多應(yīng)用。例如，車輛從制動(dòng)到停止的運(yùn)動(dòng)過程可近似地視為勻減速運(yùn)動(dòng)過程（見圖1-5）。車輛制動(dòng)過程中所移動(dòng)的距離稱為“制動(dòng)距離”。國(guó)家對(duì)機(jī)動(dòng)車的剎車裝置制訂了“制動(dòng)距離”的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)（見下表），以保證車輛行駛安全。圖圖1-5某些機(jī)動(dòng)車“制動(dòng)距離”的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)車輛類型制動(dòng)初速度（km/h）滿載檢測(cè)的制動(dòng)距離（m）空載檢測(cè)的制動(dòng)距離（m）座位數(shù)≤9的載客汽車50≤20≤19其他總質(zhì)量≤4.5t的汽車50≤22≤21其他汽車及無軌電車30≤10≤9四輪農(nóng)用運(yùn)輸車30≤9≤8兩輪摩托車30≤7二輪摩托車30≤8輕便摩托車20≤4輪式拖拉機(jī)車組20≤6.5≤6.0【示例2】李先生駕駛一輛小汽車，以90km/h的速度在高速公路上行駛，并小心地與前方汽車保持60m車距。不巧，由于前方那輛汽車突然剎車，李先生的車一頭撞了上去，發(fā)生了追尾事故。交警趕來調(diào)查處理時(shí)，他爭(zhēng)辯說：“按照國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，我的轎車的制動(dòng)距離只要20m，而我則保持了60m車距，因此對(duì)這次事故我沒有責(zé)任?！蹦愕目捶乩钕壬鷽]有正確理解上表中數(shù)據(jù)的含義。這里，首先要從機(jī)動(dòng)車“制動(dòng)距離”國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)的相應(yīng)數(shù)據(jù)，推算出他的汽車制動(dòng)時(shí)能達(dá)到的最大加速度。根據(jù)上表數(shù)據(jù)，他的汽車在初速度v0＝李先生沒有正確理解上表中數(shù)據(jù)的含義。這里，首先要從機(jī)動(dòng)車“制動(dòng)距離”國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)的相應(yīng)數(shù)據(jù)，推算出他的汽車制動(dòng)時(shí)能達(dá)到的最大加速度。根據(jù)上表數(shù)據(jù)，他的汽車在初速度v0＝50km/h＝13.9m/s時(shí)的制動(dòng)距離為20m，所以該車制動(dòng)時(shí)的加速度可利用速度與位移關(guān)系式v2－v02＝2as求得a＝EQ\F(v2－v02,2s)＝EQ\F(0－13.92,2×20)m/s2＝－4.83m/s2?，F(xiàn)在轎車的初速度v0?＝90km/h＝25m/s；末速度v?＝0；加速度a＝－4.83m/s2。因此制動(dòng)距離是s?＝EQ\F(v?2－v0?2,2a)＝EQ\F(0－252,2×（－4.83）)m＝64.7m。即李先生的這輛車此時(shí)與前方汽車的距離應(yīng)至少等于64.7m?！窘獯稹坷钕壬鷽]有正確理解上表中數(shù)據(jù)的含義。這里，首先要從機(jī)動(dòng)車“制動(dòng)距離”國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)的相應(yīng)數(shù)據(jù)，推算出他的汽車制動(dòng)時(shí)能達(dá)到的最大加速度。根據(jù)上表數(shù)據(jù)，他的汽車在初速度v0＝50km/h＝13.9m/s時(shí)的制動(dòng)距離為20m，所以該車制動(dòng)時(shí)的加速度可利用速度與位移關(guān)系式v2－v02＝2as求得a＝EQ\F(v2－v02,2s)＝EQ\F(0－13.92,2×20)m/s2＝－4.83m/s2?，F(xiàn)在轎車的初速度v0?＝90km/h＝25m/s；末速度v?＝0；加速度a＝－4.83m/s2。因此制動(dòng)距離是s?＝EQ\F(v?2－v0?2,2a)＝EQ\F(0－252,2×（－4.83）)m＝64.7m。即李先生的這輛車此時(shí)與前方汽車的距離應(yīng)至少等于64.7m?！居懻摗吭诒３周嚲嗟膯栴}中，還必須考慮“反應(yīng)時(shí)間”這個(gè)因素。為了行車安全，必須保持一定的車距。點(diǎn)擊初速不為零的勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度公式和位移公式涉及五個(gè)量：加速度a、初速度v0、末速度v、位移s，以及時(shí)間t，已知其中任何三個(gè)量，就可求出另外兩個(gè)量。此外，這兩式還將勻速直線運(yùn)動(dòng)和初速為零的勻變速直線運(yùn)動(dòng)的基本公式作為特例包含在其中?！臼纠?】一輛警車在高速公路上以36km/h的速度行駛，此時(shí)接到命令，在前方4km處發(fā)生車禍，該警車于是立即加速向事故發(fā)生地駛?cè)?。設(shè)警車加速或減速時(shí)加速度的值都是2.8m/s2，最高時(shí)速為180km/h。試估計(jì)這輛警車趕到事故發(fā)生地所需最短時(shí)間94.7s。94.7s圖1-6【分析】可近似地認(rèn)為這輛警車的運(yùn)動(dòng)包括三段（見圖1-6，圖中v0＝36km/h，v＝180km/h）：（1）ab段，是初速不為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，速度由礬增加到可；（2）bc段，是勻速直線運(yùn)動(dòng)；（3）cd段，是勻減速直線運(yùn)動(dòng)，速度由v減小到零。計(jì)算時(shí)可先利用速度公式和速度與位移的關(guān)系式算出加速段與減速段所需時(shí)間和路程，然后算出中間勻速段的路程及時(shí)間。圖1-6【解答】（1）加速段：已知v0＝36km/h＝10m/s，v＝180km/h＝50m/s，a＝2.8m/s2，因此，為了求出未知量時(shí)間t1和位移s1，可分別利用速度公式v＝v0＋at1，及速度與位移的關(guān)系式v2－v02＝2as1，得t1＝EQ\F(v－v0,a)＝EQ\F(50－10,2.8)s＝14.3s，s1＝EQ\F(v2－v02,2s)＝EQ\F(502－102,2×2.8)m＝428.6m。（2）減速段：已知v0＝50m/s，v＝0，a＝－2.8m/s2，因此t3＝－EQ\F(v0,a)＝EQ\F(50,2.8)s＝17.9s，s3＝－EQ\F(v02,2s)＝EQ\F(502,2×2.