信息光學簡明教程信息光學簡明教程陳家璧習題答案

第一章二維線性系統(tǒng)分析1.已知不變線性系統(tǒng)的輸入為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。若b?。?）（2），求系統(tǒng)的輸出。并畫出輸出函數(shù)及其頻譜的圖形。2.若限帶函數(shù)的傅里葉變換在長度為寬度的矩形之外恒為零，如果，，試證明證明：如果，，還能得出以上結(jié)論嗎？答：不能。因為這時。3.對一個空間不變線性系統(tǒng)，脈沖響應為，試用頻域方法對下面每一個輸入，求其輸出。（必要時，可取合理近似）（1）答：（2）答：（3）答：（4）答：4.給定一個不變線性系統(tǒng)，輸入函數(shù)為有限延伸的三角波對下述傳遞函數(shù)利用圖解方法確定系統(tǒng)的輸出。（1）（2）答：圖解方法是在頻域里進行的，首先要計算輸入函數(shù)的頻譜，并繪成圖形方括號內(nèi)函數(shù)頻譜圖形為：圖1.4（1）圖形為：圖1.4（2）因為的分辨力太低，上面兩個圖縱坐標的單位相差50倍。兩者相乘時忽略中心五個分量以外的其他分量，因為此時的最大值小于0.04%。故圖解頻譜結(jié)果為：圖1.4（3）傳遞函數(shù)（1）形為：圖1.4（4）因為近似后的輸入函數(shù)頻譜與該傳遞函數(shù)相乘后，保持不變，得到輸出函數(shù)頻譜表達式為：其反變換，即輸出函數(shù)為：該函數(shù)為限制在區(qū)間內(nèi)，平均值為1，周期為3，振幅為1.37的一個余弦函數(shù)與周期為1.5，振幅為0.342的另一個余弦函數(shù)的疊加。傳遞函數(shù)（2）形為：圖1.4（5）此時，輸出函數(shù)僅剩下在及兩個區(qū)間內(nèi)分量，盡管在這兩個區(qū)間內(nèi)輸入函數(shù)的頻譜很小，相對于傳遞函數(shù)（2）在的零值也是不能忽略的，由于可以解得，通過傳遞函數(shù)（2）得到的輸出函數(shù)為：該函數(shù)依然限制在區(qū)間內(nèi)，但其平均值為零，是振幅為0.043，周期為0.75，的一個余弦函數(shù)與振幅為0.027，周期為0.6的另一個余弦函數(shù)的疊加。5.若對二維函數(shù)抽樣，求允許的最大抽樣間隔并對具體抽樣方法進行說明。答：也就是說，在X方向允許的最大抽樣間隔小于1/2a，在y方向抽樣間隔無限制。6.若只能用表示的有限區(qū)域上的脈沖點陣對函數(shù)進行抽樣，即試說明，即使采用奈魁斯特間隔抽樣，也不能用一個理想低通濾波器精確恢復。答：因為表示的有限區(qū)域以外的函數(shù)抽樣對精確恢復也有貢獻，不可省略。7.若二維不變線性系統(tǒng)的輸入是“線脈沖”，系統(tǒng)對線脈沖的輸出響應稱為線響應。如果系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，證明：線響應的一維傅里葉變換等于系統(tǒng)傳遞函數(shù)沿軸的截面分布。證明：8.如果一個空間不變線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)在頻率域的區(qū)間，之外恒為零，系統(tǒng)輸入為非限帶函數(shù)，輸出為。證明，存在一個由脈沖的方形陣列構(gòu)成的抽樣函數(shù)，它作為等效輸入，可產(chǎn)生相同的輸出，并請確定。答：為了便于從頻率域分析，分別設(shè)：物的空間頻譜；像的空間頻譜；等效物體的空間頻譜；等效物體的像的空間頻譜由于成像系統(tǒng)是一個線性的空間不變低通濾波器，傳遞函數(shù)在之外恒為零，故可將其記為：、利用系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，表示物像之間在頻域中的關(guān)系為在頻域中我們構(gòu)造一個連續(xù)的、二維周期性分布的頻域函數(shù)，預期作為等效物的譜，辦法是把安置在平面上成矩形格點分布的每一個點周圍，選擇矩形格點在、方向上的間隔分別為和,以免頻譜混疊，于是 （1）對于同一個成像系統(tǒng)，由于傳遞函數(shù)的通頻帶有限，只能允許的中央一個周期成份（）通過，所以成像的譜并不發(fā)生變化，即用一維形式表示出系統(tǒng)在頻域分別對和的作用，為簡單計，系統(tǒng)傳遞函數(shù)在圖中表示為。既然，成像的頻譜相同，從空間域來看，所成的像場分布也是相同的，即因此，只要求出的逆傅立葉變換式，就可得到所需的等效物場，即帶入（1）式，并利用卷積定理得到（2）上式也可以從抽樣定理來解釋。是一個限帶的頻譜函數(shù)，它所對應的空間域的函數(shù)可以通過抽樣，用一個點源的方形陣列來表示，若抽樣的矩形格點的間隔，在方向是，在方向是，就得到等效物場；（3）（4）把（3）、（4）式代入（2）式，得到利用函數(shù)性質(zhì)（1.8）式，上式可寫為這一點源的方形陣列構(gòu)成的等效物場可以和真實物體產(chǎn)生完全一樣的像。第二章角度及變標量衍射的角譜理論1.一列波長為的單位振幅平面光波，波矢量與軸的夾角為，與軸夾角為，試寫出其空間頻率及平面上的復振幅表達式。答：,,2.尺寸為a×b的不透明矩形屏被單位振幅的單色平面波垂直照明，求出緊靠屏后的平面上的透射光場的角譜。答：，，3.波長為的單位振幅平面波垂直入射到一孔徑平面上，在孔徑平面上有一個足夠大的模板，其振幅透過率為，求緊靠孔徑透射場的角譜。答:：4.參看圖2-1，邊長為的正方形孔徑內(nèi)再放置一個邊長為的正方形掩模，其中心落在點。采用單位振幅的單色平面波垂直照明，求出與它相距為的觀察平面上夫瑯和費衍射圖樣的光場分布。畫出時，孔徑頻譜在方向上的截面圖。圖2-1題答：5.圖2-2所示的孔徑由兩個相同的矩形組成，它們的寬度為，長度為，中心相距為。采用單位振幅的單色平面波垂直照明，求與它相距為的觀察平面上夫瑯和費衍射圖樣的強度分布。假定及，畫出沿和方向上強度分布的截面圖。如果對其中一個矩形引入位相差，上述結(jié)果有何變化？圖2-2答：如圖所示，雙縫的振幅透射率是兩個中心在及的矩形孔徑振幅透射率之和：（1）由于是單位振幅平面波垂直照明，孔徑平面上入射光場，透射光場（2）由夫瑯和費衍射方程，在夫瑯和費區(qū)中離孔徑距離z的觀察平面上得到夫瑯和費衍射圖樣，它正比于孔徑上場分布的傅立葉變換式（頻率坐標），即（3）利用傅立葉變換的相移定理，得到把它帶入（3）式，則有強度分布不難看出，這一強度分布是矩孔徑衍射圖樣和雙光束干涉圖樣相互調(diào)制的結(jié)果。雙縫的振幅透射率也可以寫成下述形式：（4）它和（1）式本質(zhì)上是相同的。由（4）式可以利用卷積定理直接求出其傅立葉變換式，導出與上述同樣的結(jié)果。代入所給條件b=4a,d=1.5a沿x軸，此時中心光強：I(0,0)=8a2極小值位置為：方向上強度分布的截面圖示意如下：圖題5（2）沿y軸：此時，故中心光強：I(0,0)=8a2極小值位置：方向上強度分布的截面圖示意如下：圖題5（3）由于是單位振幅平面波垂直照明，孔徑平面上入射光場，透射光場,b=4a,d=1.5a時（2）由夫瑯和費衍射方程，在夫瑯和費區(qū)中離孔徑距離z的觀察平面上得到夫瑯和費衍射圖樣，它正比于孔徑上場分布的傅立葉變換式（頻率坐標），即（3）利用傅立葉變換的相移定理，得到把它帶入（3）式，則有強度分布6.圖2-3所示半無窮不透明屏的復振幅透過率可用階躍函數(shù)表示為。采用單位振幅的單色平面波垂直照明，求相距為的觀察平面上夫瑯和費衍射圖樣的復振幅分布。畫出在方向上的振幅分布曲線。圖題6答：振幅分布曲線圖略。7.在夫瑯和費衍射中，只要孔徑上的場沒有相位變化，試證明：（1）不論孔徑的形狀如何，夫瑯和費衍射圖樣都有一個對稱中心。（2）若孔徑對于某一條直線是對稱的，則衍射圖樣將對于通過原點與該直線平行和垂直的兩條直線對稱。證明：（1）在孔徑上的場沒有相位變化時，衍射孔徑上的光分布是一個實函數(shù)，其傅里葉變換是厄米型函數(shù)，即：因此，所以夫瑯和費衍射圖樣有一個對稱中心。（2）孔徑對于某一條直線是對稱時，以該直線為軸建立坐標系。有：因此同時所以可見衍射圖樣將對于通過原點與該直線平行和垂直的兩條直線對稱。8.試證明如下列陣定理：假設(shè)在衍射屏上有個形狀和方位都相同的全等形開孔，在每一個開孔內(nèi)取一個相對開孔來講方位一樣的點代表孔的位置，那末該衍射屏生成的夫瑯和費衍射場是下列兩個因子的乘積：（1）置于原點的一個孔徑的夫瑯和費衍射（該衍射屏的原點處不一定有開孔）；（2）個處于代表孔位置的點上的點光源在觀察面上的干涉。證明：假設(shè)置于原點的一個孔徑表示為，個處于代表孔位置的點上的點光源表示為，則衍射屏的透過率可表示為，其傅里葉變換可表示為，該式右邊第一項對應于置于原點的一個孔徑的夫瑯和費衍射，第二項對應于個處于代表孔位置的點上的點光源在觀察面上的干涉，因此該衍射屏生成的夫瑯和費衍射場是這兩個因子的乘積。9.一個衍射屏具有下述圓對稱振幅透過率函數(shù)這個屏的作用在什么方面像一個透鏡？給出此屏的焦距表達式。什么特性會嚴重的限制這種屏用做成像裝置（特別是對于彩色物體）？答：（1）解衍射屏的復振幅投射率如圖所示，也可以把它表示為直角坐標的形式：（1）（1）式大括號中第一項僅僅是使直接透射光振幅衰減，其他兩項指數(shù)項與透鏡位相變換因子比較，可見形式相同。當平面波垂直照射時，這兩項的作用是分別產(chǎn)生會聚球面波和發(fā)散球面波。因此在成像性質(zhì)和傅立葉變換性質(zhì)上該衍射屏都有些類似與透鏡，因子表明該屏具有半徑為的圓形孔徑。（2）解把衍射屏復振幅透射率中的復指數(shù)項與透鏡位相變換因子相比較，得到相應的焦距，對于項，令，則有焦距為正，其作用相當于會聚透鏡，對于項，令，則有焦距為負，其作用相當于發(fā)散透鏡，對于“”這一項來說，平行光波直接透過，僅振幅衰減，可看作是（3）解由于該衍射屏有三重焦距，用作成像裝置時，對同一物體它可以形成三個像，例如對于無窮遠的點光源，分別在屏兩側(cè)對稱位置形成實像和虛像，另一個像在無窮遠（直接透射光）（參看圖4.12）。當觀察者觀察其中一個像時，同時會看到另外的離焦像，無法分離開。如用接收屏接收，在任何一個像面上都會有其它的離焦像形成的背景干擾。除此以外，對于多色物體來說，嚴重的色差也是一個重要的限制。因為焦距都與波長成反比。例如取，，則有這樣大的色差是無法用作成像裝置的，若采用白光作光源，在像面上可以看到嚴重的色散現(xiàn)象。這種衍射屏實際就是同軸形式的點源全息圖，即伽柏全息圖。10.用波長為的平面光波垂直照明半徑為的衍射孔，若觀察范圍是與衍射孔共軸，半徑為的圓域，試求菲涅耳衍射和夫瑯和費衍射的范圍。答：由式(2.55)及式(2-57)有菲涅耳衍射和夫瑯和費衍射分別要求即11.單位振幅的單色平面波垂直入射到一半徑為的圓形孔徑上，試求菲涅耳衍射圖樣在軸上的強度分布。答：圓形孔徑的透過率可表示為根據(jù)式(2.53)有軸上的振幅分布為軸上的強度分布為12.余弦型振幅光柵的復振幅透過率為式中，為光柵周期，，。觀察平面與光柵相距。當分別取下列各數(shù)值：（1）；（2）；（3）（式中稱作泰伯距離）時，確定單色平面波垂直照明光柵，在觀察平面上產(chǎn)生的強度分布。答：根據(jù)式(2.31)單色平面波垂直照明下余弦型振幅光柵的復振幅分布為強度分布為角譜為傳播距離后，根據(jù)式(2.40)得到角譜利用二項式近似有故（1）時與僅相差一個常數(shù)位相因子，因而觀察平面上產(chǎn)生的強度分布與單色平面波垂直照明下剛剛透過余弦型振幅光柵產(chǎn)生的強度分布完全相同。（2）時對應復振幅分布為因而觀察平面上產(chǎn)生的強度分布為平移半個周期的單色平面波垂直照明下剛剛透過余弦型振幅光柵產(chǎn)生的強度分布。（3）對應復振幅分布為強度分布為13.圖2-4所示為透射式鋸齒型位相光柵。其折射率為，齒寬為，齒形角為，光柵整體孔徑為邊長的正方形。采用單位振幅的單色平面波垂直照明，求距離光柵為的觀察平面上夫瑯和費衍射圖樣的強度分布。若讓衍射圖樣中的某個一級譜幅值最大，應如何選擇？圖2-4（題13）答：在如圖的透射式鋸齒型位相光柵中，單位振幅的單色平面波由光柵的背后平面入射垂直照明，則在齒頂平面形成的光波復振幅分布可表示為其角譜為若讓衍射圖樣中的m級譜幅值最大，應選擇使得因而有14.設(shè)為矩形函數(shù)，試編寫程序求，，時，其分數(shù)階傅里葉變換，并繪制出相應的曲線。答：根據(jù)分數(shù)階傅里葉變換定義式(2.62)以及式(2.79)即可編程計算，，時的分數(shù)階傅里葉變換。第三章光學成像系統(tǒng)的頻率特征1.參看圖3.5，在推導相干成像系統(tǒng)點擴散函數(shù)（3.35）式時，對于積分號前的相位因子試問：（1）物平面上半徑多大時，相位因子相對于它在原點之值正好改變π弧度？（2）設(shè)光瞳函數(shù)是一個半徑為a的圓，那么在物平面上相應h的第一個零點的半徑是多少？（3）由這些結(jié)果，設(shè)觀察是在透鏡光軸附近進行，那么a，λ和do之間存在什么關(guān)系時可以棄去相位因子解：（1）由于原點的相位為零，于是與原點位相位差為的條件是，（2）根據(jù)（3.1.5）式，相干成像系統(tǒng)的點擴散函數(shù)是透鏡光瞳函數(shù)的夫瑯禾費衍射圖樣，其中心位于理想像點式中，而（1）在點擴散函數(shù)的第一個零點處，，此時應有，即（2）將（2）式代入（1）式，并注意觀察點在原點，于是得（3）（3）根據(jù)線性系統(tǒng)理論，像面上原點處的場分布，必須是物面上所有點在像面上的點擴散函數(shù)對于原點的貢獻。按照上面的分析，如果略去h第一個零點以外的影響，即只考慮h的中央亮斑對原點的貢獻，那么這個貢獻僅僅來自于物平面原點附近范圍內(nèi)的小區(qū)域。當這個小區(qū)域內(nèi)各點的相位因子變化不大，就可認為（3.1.3）式的近似成立，而將它棄去，假設(shè)小區(qū)域內(nèi)相位變化不大于幾分之一弧度（例如）就滿足以上要求，則，，也即（4）例如，，則光瞳半徑，顯然這一條件是極易滿足的。2.一個余弦型振幅光柵，復振幅透過率為放在圖3.5（a）所示的成像系統(tǒng)的物面上，用單色平面波傾斜照明，平面波的傳播方向在x0z平面內(nèi)，與z軸夾角為θ。透鏡焦距為f，孔徑為D。求物體透射光場的頻譜；使像平面出現(xiàn)條紋的最大θ角等于多少？求此時像面強度分布；(3)若θ采用上述極大值，使像面上出現(xiàn)條紋的最大光柵頻率是多少？與θ=0時的截止頻率比較，結(jié)論如何？解：（1）斜入射的單色平面波在物平面上產(chǎn)生的場為，為確定起見設(shè)，則物平面上的透射光場為其頻譜為由此可見，相對于垂直入射照明，物頻譜沿軸整體平移了距離。（2）欲使像面有強度變化，至少要有兩個頻譜分量通過系統(tǒng)，系統(tǒng)的截止頻率，于是要求，由此得（1）角的最大值為（2）此時像面上的復振幅分布和強度分布為（3）照明光束的傾角取最大值時，由（1）式和（2）式可得即或（3）時，系統(tǒng)的截止頻率為，因此光柵的最大頻率（4）比較（3）和（4）式可知，當采用傾角的平面波照明時系統(tǒng)的截止頻率提高了一倍，也就提高了系統(tǒng)的極限分辨率，但系統(tǒng)的通帶寬度不變。3.光學傳遞函數(shù)在fx=fy=0處都等于1，這是為什么？光學傳遞函數(shù)的值可能大于1嗎？如果光學系統(tǒng)真的實現(xiàn)了點物成點像，這時的光學傳遞函數(shù)怎樣？（1）在（3.4.5）式中，令為歸一化強度點擴散函數(shù)，因此（3.4.5）式可寫成而即不考慮系統(tǒng)光能損失時，認定物面上單位強度點源的總光通量將全部彌漫在像面上，這便是歸一化點擴散函數(shù)的意義（2）不能大于1（3）對于理想成像，歸一化點擴散函數(shù)是函數(shù)，其頻譜為常數(shù)1，即系統(tǒng)對任何頻率的傳遞都是無損的。4.試證明：當非相干成像系統(tǒng)的點擴散函數(shù)hI（xi，yi）成點對稱時，則其光學傳遞函數(shù)是實函數(shù)。解：由于是實函數(shù)并且是中心對稱的，即有，，應用光學傳遞函數(shù)的定義式（3.4.5）易于證明，即為實函數(shù)。5.非相干成像系統(tǒng)的出瞳是由大量隨機分布的小圓孔組成。小圓孔的直徑都為2a，出瞳到像面的距離為di，光波長為λ，這種系統(tǒng)可用來實現(xiàn)非相干低通濾波。系統(tǒng)的截止頻率近似為多大？解：用公式（3.4.15）來分析。首先，由于出瞳上的小圓孔是隨機排列的，因此無論沿哪個方向移動出瞳計算重疊面積，其結(jié)果都一樣，即系統(tǒng)的截止頻率在任何方向上均相同。其次，作為近似估計，只考慮每個小孔自身的重疊情況，而不計及和其它小孔的重疊，這時N個小孔的重疊面積除以N個小孔的總面積，其結(jié)果與單個小孔的重疊情況是一樣的，即截止頻率約為，由于很小，所以系統(tǒng)實現(xiàn)了低通濾波。6.試用場的觀點證明在物的共軛面上得到物體的像解：如圖圖3.6題設(shè)是透過率函數(shù)為的物平面，是與共軛的像平面，即有式中f為透鏡的焦距，設(shè)透鏡無像差，成像過程分兩步進行：射到物面上的平面波在物體上發(fā)生衍射，結(jié)果形成入射到透鏡上的光場；這個入射到透鏡上的光場經(jīng)透鏡作位相變換后，在透鏡的后表面上形成衍射場，這個場傳到像面上形成物體的像。為了計算光場，我們用菲涅耳近似，透鏡前表面的場為這里假定只在物體孔徑之內(nèi)不為零，所以積分限變?yōu)椋朔e分可以看成是函數(shù)的傅立葉變換，記為，其中在緊靠透鏡后表面處這個被透鏡孔徑所限制的場，在孔徑上發(fā)生衍射，在用菲涅耳近似，便可得到像面上的光場由題設(shè)知，并且假定透鏡孔徑外的場等于零，且忽略透鏡孔徑的限制，所以將上式中的積分限寫成無窮，于是上述積分為注意于是得再考慮到和之間的關(guān)系得到即得到像平面上倒立的，放大倍的像。7.試寫出平移模糊系統(tǒng)，大氣擾動系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：在照相系統(tǒng)的曝光期間，因線性平移使點變成小線段而造成圖像模糊，這種系統(tǒng)稱為平移模糊系統(tǒng)，它的線擴散函數(shù)為一矩形函數(shù)其傳遞函數(shù)為對于大氣擾動系統(tǒng)，設(shè)目標物為一細線，若沒有大氣擾動，則理想成像為一條細線。由于大氣擾動，使在爆光期間內(nèi)細線的像作隨機晃動，按照概率理論，可以把晃動的線像用高斯函數(shù)描述。設(shè)晃動擺幅的均方根值為a，細線的線擴散函數(shù)為對上式作傅立葉變換，就得到大氣擾動系統(tǒng)的傳遞函數(shù)8.有一光楔（即薄楔形棱鏡），其折射率為n，頂角α很小，當一束傍軸平行光入射其上時，出射光仍為平行光，只是光束方向向底邊偏轉(zhuǎn)了一角度（n-1）α，試根據(jù)這一事實，導出光束的位相變換函數(shù)t。(x,y)θ(x,y)θδ=-(n-1)α設(shè)入射平行光與Z軸成θ角入射，按傍軸條件，θ角很小，入射到光楔上的光場為通過光楔后的出射光場為其中–(n-1)α表示偏轉(zhuǎn)是順時針方向，即向底邊偏轉(zhuǎn)，又根據(jù)出射光場，入射光場和光楔變換函數(shù)三者的關(guān)系有于是有。9考慮一個想要的強場(振幅為A)和一個不想要的弱場(振幅為a的相加。你可以假設(shè)A>a。(1)當兩個場相干時,計算由于不想要的場的出現(xiàn)而引起的對想要的場的強度的干擾AI/A1。(2)當兩個場相互不相干時,重復這一計算。答：略第四章光學全息技術(shù)1.證明：若一平面物體的全息圖記錄在一個與物體相平行的平面內(nèi)，則最后所得到的像將在一個與全息圖平行的平面內(nèi)。（為簡單起見，可設(shè)參考光為一平面波）證明:利用點源全息圖公式,取物面上任意一點來研究。設(shè),參考光波和再現(xiàn)光波是波矢平行于z軸的平面波即。于是有對于原始虛像(第二組符號)有對于共軛實像(第一組符號)有不管是原始虛像或共軛實像,均與無關(guān),即不管物點在物面上位于何處,其像點均在同一平面內(nèi),但位置隨物點的不同在像平面內(nèi)移動。2.制作一全息圖,記錄時用的是氬離子激光器波長為488.0nm的光,而成像時則是用He-N激光器波長為632.8nm的光。（1）設(shè)，問是多少？（2）設(shè)，問是多少？放大率M是多少？解：由式（8.5.20）可得3.證明：若，則得到一個放大率為1的虛像；若則得到一個放大率為1的實像。證明：由式(8.5.20)的第二組可得zi=zO，M=1，左方，虛像。由式(8.5.20)的第一組可得zi=?zO，M=1，右方，實像。4.幾種底片的MTF的近似截止頻率為：設(shè)用632．8nm波長照明，采用無透鏡傅里葉變換記錄光路，參考點和物體離底10cm若物點位于某一大小的圓（在參考點附近）之外，則不能產(chǎn)生對應的像點，試對每種底片估計這個圓的半徑大小。答：由公式可得圓半徑rmm的大小依次為（mm）：3．16，3．8，119，38。5.證明下圖(a)和(b)的光路都可以記錄物體的準傅里葉變換全息圖。證明：(a)物體位于透鏡前dO處，應用公式(5.3.10)，這里q=f，則物體gx(O,yO)在記錄平面上后焦面上的光場分布為式中，G(ξη,)是gx(O,yO)的頻譜，。參考光在后焦面上形成分布為：這里的記錄平面并不是物和參考光的準確傅里葉變換平面，多了一個二次相位因子，因此說全息圖是物光場分布的準傅里葉變換平面。全息圖平面上的光強分布為由此可見，二次相位因子已相互抵消，只有傾斜因子和物頻譜，故記錄了物的傅里葉頻譜，但記錄面又不是物的準確傅里葉變換平面，所以稱為準傅里葉變換全息圖。(b)物體位于透鏡前f?dO處，應用公式(5.3.17)得到后焦面上的光場分布為式中，G(ξη,)是gx(O,yO)的頻譜，。參考光在后焦面上形成分布為：全息圖平面上的光強分布為由于物光波和參考光波有相同的相位因子，可相互抵消，從而得到物體的準傅里葉變換全息圖。6.散射物體的菲涅耳全息圖的一個有趣性質(zhì)是，全息圖上局部區(qū)域的劃痕和臟跡并不影響像的再現(xiàn)，甚至取出全息圖的一個碎片，仍能完整地再現(xiàn)原始物體的像，這一性質(zhì)稱為全息圖的冗余性。應用全息照相的基本原理，對這一性質(zhì)加以說明。碎片的尺寸對再現(xiàn)原的質(zhì)量有哪些影響?解：(1)對于散射物體的菲涅耳全息圖，物體與底片之間的關(guān)系是點面對應關(guān)系，即每一受發(fā)出的光波都直接照射到記錄介質(zhì)的整個平面上；反過來，菲涅耳全息圖上的每一點都包了物體各點的全部信息，稱為全息圖的“冗余”性。這意味著只要一小塊全息圖就可完整再現(xiàn)原始物的像。因此，局部區(qū)域的劃痕和臟跡并不影響物的完整再現(xiàn)，甚至取出一小塊仍能完整再現(xiàn)原始物的像。(2)雖然，冗余的各小塊并不帶來新的信息，但各小塊再現(xiàn)像的疊加提高了像的信噪比，增加了像的亮度。其次，一個物點再現(xiàn)為一個像點是在假定全息記錄文件質(zhì)也即全息圖為無限大的情況下得出的。對于有限大小的全息圖，點物的再現(xiàn)像是一個衍射斑，全息圖越小衍射斑越大，分辨率越低。碎塊的再現(xiàn)像分辨率較低。最后，通過全息圖來觀察再現(xiàn)像，尤如通過櫥窗看里面的陳列品一樣，如將櫥窗的一部分遮檔，有些物品就可能看不到，因此，小塊全息圖再現(xiàn)時，視場較小。7.見下圖題(a)，點源置于透鏡前焦點，全息圖可以記錄透鏡的像差。試證明：用共扼參考光照明(圖(b))可以補償透鏡像差，在原點源處產(chǎn)生一個理想的衍射斑。解：將點源置于透鏡前焦點，由于透鏡有像差，通過透鏡出射的波面ΣO不為平面。參考光波用平面波，在全息平面上物光和參考光波的復振幅分布為全息圖上的光強分布為全息圖的振幅透為：再現(xiàn)光用參考光波的共軛波，即C=R*，再現(xiàn)光波場為如果使e?iφO(xy,)代表的光波Σ*O通過透鏡，則與透鏡所產(chǎn)生的有像差的波面ΣO形狀相同，方向相反，再經(jīng)過透鏡后可變成平面波。因此，在焦點平面上形成一個理想系統(tǒng)的衍射斑，所圖(b)所示。而其它兩項不在軸線方向而發(fā)散了。采用全息圖校正板后，在限視場的情況下可以改善成像質(zhì)量。但也有如下缺點：全息圖的衍射效率低；由于全息圖存在色散效應，必須采用單色光；全息圖校正又引入了自身的像差。8.彩虹全息照相中使用狹縫的作用是什么?為什么彩虹全息圖的色模糊主要發(fā)生在與狹縫垂直的方向上?答：在彩虹全息照相中使用狹縫的目的是為了能在白光照明下再現(xiàn)準單色像。在普通全息照相中，若用白光照明全息圖再現(xiàn)時，不同波長的光同時進入人眼，我們將同時觀察到相互錯位的不同顏色的再現(xiàn)像，造成再現(xiàn)像的模糊，即色模糊。在彩虹全息照相中，由于狹縫起了分色作用，再現(xiàn)過程中不同波長的光對應不同的水平狹縫位置，通過某一狹縫位置只能看到某一準單色的像，從而避免了色模糊。在彩虹全息照相中，為了便于雙眼觀察，參考平面波的選擇總是使全息圖的光柵結(jié)構(gòu)主要沿水平方向，因而色散沿豎直方向。狹縫沿水平方向放置，這樣色散方向與狹縫垂直，即色模糊訂發(fā)生在與狹縫垂直方向上。這樣做的結(jié)果便于人眼上下移動選擇不同顏色的準單色像。9.說明博里葉變換全息圖的記錄和再現(xiàn)過程中，可以采用平行光入射和點光源照明兩種方式，并且這兩種方式是獨立的。答：傅里葉變換全息圖的核心是(a)通過一個傅里葉變換裝置將物頻譜記錄下；(b)再通過一個傅里葉裝置將物譜還原成物。因此，不管記錄和再現(xiàn)裝置有何具體差異，只要有傅里葉變換功能即可。當把物體置于變換透鏡的前焦面，若用平行光照明，則透鏡的后焦面則為物的標準頻譜面；若用點光源的物像共軛面即為物的標準頻譜面。因此，記錄時無論用平行光或點光源照明，均可在相應的共軛面處記錄下標準的物譜。同樣，再現(xiàn)時無論用平行光照明或點光源照明均可在共軛面處得到物。平行光照明和點光源照明可任意配置，這兩種方式是獨立的。10.曾有人提出用波長為0.1nm的輻射來記錄一張X射線全息圖，然后用波長為600.0nm的可見光來再現(xiàn)像。選擇如下圖題(上部)所示的無透鏡傅里葉變換記錄光路，物體的寬度為0.1mm，物體和參考點源之間的最小距離選為0.1mm，以確保孿生像和“同軸”干涉分離開，軸”干涉分離開．X射線底片放在離物體2cm處。投射到底片上的強度圖案中的最大頻率(周／mm)是多少?假設(shè)底片分辨率足以記錄所有的入射強度變化，有人提議用下圖(下部)所示的通常方法來再現(xiàn)成像，為什么這個實驗不會成功?解：(1)選擇參考光源位于坐標的原點，且y軸方向向下，則在公式η=(yO?yR)/λz中，因此，這樣一張全息圖所記錄的空間頻率范圍為0.510×≤≤5η105(2)當用600nm的單色平面波垂直照射這張全息圖時，設(shè)Uxy(,,0)為透過全息圖的光場復振幅分布，則它的角譜為所以這就表明，全息圖所透過的濾是倏逝波，在全息圖后幾個波長的距離內(nèi)就衰減為零，沒有波會通過透鏡再現(xiàn)成像，故實驗不會成功。第五章計算全息1.一個二維物函數(shù)f（x，y），在空城尺寸為10×10mm2，最高空問頻率為5線/mm，為了制作一張傅里葉變換全息圖：（1）確定物面抽樣點總數(shù)。（2）若采用羅曼型迂回相位編碼方法，計算全息因上抽樣單元總數(shù)是多少？（3）若采用修正離軸參考光編碼方法，計算全息圖上抽樣單元總數(shù)是多少？（4）兩種編碼方法在全息因上抽樣單元總數(shù)有何不同？原因是什么？答：(1)假定物的空間尺寸和頻寬均是有限的。設(shè)物面的空間尺寸為，頻寬為，，根據(jù)抽樣定理，抽樣間距卸必須滿足才能使物復原。故抽樣點總N(即空間帶寬積SW為(2)羅曼計算全息圖的編碼方法是在每一個抽樣單元里。用開孔的大小和開孔的位置來編碼物光波在該點的振幅和相位根據(jù)抽祥定理，在物面上的抽樣單元數(shù)應為物面的空間帶寬積,即N=SW=104要制作傅里葉變換全息圖，為了不丟失信息，空間帶寬積應保持不變故在譜面上的抽樣點數(shù)仍應為N=104。（3）對于修正離鈾參考光的編碼方法，為滿足離軸的要求，載頻a應滿足為滿足制作全息圖的要求，其抽樣間隔必須滿足因此其抽樣點數(shù)為(4)兩種編碼方法的抽樣點總數(shù)為2倍關(guān)系，這是因為，在羅曼型編碼中，每一抽樣單元編碼一復數(shù);在修正離軸型編碼中，每一抽樣單元編碼一實數(shù)。修正離軸加偏置量的目的是使全息函數(shù)變成實值非負函數(shù)，每個抽樣單元都是實的非負值因此不存在位置編碼問題,比同時對振幅和相位進行編碼的方法簡便.但由于加了偏置分量,增加了記錄全息圖的空間帶寬積，因而增加了抽樣點數(shù)。避免了相位編碼是以增加抽樣點數(shù)為代價的。2.對比光學離軸全息函數(shù)和修正型離軸全息函數(shù)，說明如何選擇載頻和制作計算全息圖的抽樣頻率。答：設(shè)物的頻寬為，對于載頻α的選擇光學離軸:修正離軸：載頻的選擇是為了保證全息函數(shù)在領(lǐng)域中各結(jié)構(gòu)分量不混疊對于制作計算全息圖時抽樣頻率的選擇光學離鈾全息:修正離鈾全息:抽樣間距的選擇必須保證整體頻譜(包括各個結(jié)構(gòu)分量)不混疊。3.一種類似傅奇型計算全總圖的方法，稱為黃氏（Huang）法，這種方法在偏置項中加入物函數(shù)本身，所構(gòu)成的全息函數(shù)為:（1）畫出該全息函數(shù)的空間頻率結(jié)構(gòu)，說明如何選擇載頻。（2）畫出黃氏計算全息圖的空間頻率結(jié)構(gòu)，說明如何選擇抽樣頻率。答：把全息函數(shù)重寫為:并且是歸一化的，即，參考光被R=1經(jīng)過處理后的振幅透過率為設(shè)物的帶寬為全息函數(shù)的空間頻譜結(jié)構(gòu)如圖題(b)所示,黃氏全息圖的空間頻率結(jié)構(gòu)如圖題(c)所示，由此可得出4羅曼迂回相位編碼方法有三種衍射孔徑形式,如圖題5.4所示、利用復平面上矢量合成得方法解釋,在這三種孔徑形式中,就是如何對振幅與相位進行編碼的。圖5.4答：解:對于Ⅰ型與Ⅲ型,就是用來編碼振幅A(x,y),用來編碼相位,在復平面上用一個相幅矢量來表示,如圖。對于羅曼Ⅱ型就是用兩個相同寬度得矩孔來代替Ⅰ,Ⅲ型中得一個矩孔。兩矩孔之間得距離就是變化得,用這個變化來編碼振幅A(x,y)。在復平面上反映為兩個矢量夾角得變化.兩個矩孔中心距離抽樣單元中心得位移量用作相位得編碼。在復平面上兩矢量得合成方向即表示了得大小,如圖所示。第六章光學信息處理1.利用阿貝成像原理導出相干照明條件下顯微鏡的最小分辨距離公式并同非相干照明下的最小分辨距離公式比較。答：在顯微鏡下觀察的微小物體可近似看作一個點，且物近似位于物鏡的前焦點上，如附圖[6-1]所示。對于相干照明，系統(tǒng)的截止頻率由物鏡孔徑限制的最大孔徑角q0決定，故對于非相干照明，由幾何光學可知其分辨距離為。由此可見，非相干照明時顯微鏡的分辨率大約為相干照明時的兩倍6-12.在4f系統(tǒng)輸入平面處放置40線/mm的光柵，入射光波長為632.8nm，為了使頻譜面上至少能夠獲得±5級衍射斑，并且，相鄰衍射斑間距不少于2mm，求透鏡的焦距和直徑。答：設(shè)光柵尺寸很大，可近似看成無窮大，則其透過率函數(shù)可表示成：其頻譜為：即譜點位置由確定，其空間坐標為：相鄰衍射斑之間的間距為：，由此求得焦距為：物透明片位于透鏡前焦面，譜面在后焦面，譜面上的±5級衍射斑對應于能夠通過透鏡的最大空間頻率，即要求3.觀察相位型物體得所謂中心暗場方法,就是在成像透鏡得后焦面上放一個細小得不透明光闌以阻擋非衍射得光.假定通過物體得相位延遲<<rad,求所觀察到得像強度(用物體得相位延遲表示出來)。相位物體的透過率為：其頻譜為：若在譜平面上放置細小的不透明光闌作為空間濾波器，濾掉零頻背景分量，則透過的頻譜為：再經(jīng)過一次傅里葉變換(在反演標系)得：強度分布為因此在像面上得到了正比于物體相位平方分布的光強分布,實現(xiàn)了將相位轉(zhuǎn)換為強度分布的目的。不過光強不是相位的線性函數(shù)，這給分析帶來因難。4.當尼克相襯顯微鏡的位移點還有部分吸收，其強度透過率等于a(0<a<1)時,求觀察到的像強度表示式。答：按題設(shè)，其強度吸收為a，則其振幅吸收為，透鏡后焦面上的振幅透射率函數(shù)遂可表示為其中e為一小量，相當于相移點的大小。當透明物體經(jīng)過透鏡理想成像時，像場振幅分布為：M為放大倍數(shù)。像的光強度分布為：上式表明的對比度是2fa。當相移點沒有這種吸收時，像的對比度是2f。又由于a<1，故使用有吸收的相移點，能使像的對比度改善。5.用CRT記錄一幀圖像透明片，設(shè)掃描點之間的間隔為0.2mm，圖像最高空間頻率為10線/mm。如欲完全去掉離散掃描點，得到一幀連續(xù)灰階圖像，那么空間濾波器的形狀和尺寸應當如何設(shè)計？輸出圖像的分辨率如何（設(shè)傅里葉變換物鏡的焦距f'=1000mm，l=632.8nm）？答：掃描點的表達式為：其頻譜為：可見其頻譜仍是點狀結(jié)構(gòu)，其位置由下式確定：點狀結(jié)構(gòu)是高頻成分，可采用低通濾波器將其濾掉。低通濾波器的孔徑半徑為能傳遞的最高空間頻率為：高于此值的空間頻率成分將被濾除，故輸出圖像的分辨率為5線mm。6.某一相干處理系統(tǒng)的輸入孔徑為邊長=30mm的方孔，第一個變換透鏡的焦距100mm，波長是632.8nm。假定頻率平面模片結(jié)構(gòu)的精細程度可與輸入頻譜相比較，問此模片在焦平面上的定位必須精確到何種程度？答：按題意，系統(tǒng)的光瞳函數(shù)為：設(shè)系統(tǒng)的輸入面位于透鏡的前焦面，物透明片的復振幅分布為，考慮到系統(tǒng)孔徑有限，透鏡后焦面上的場分布為：將sinc函數(shù)由最大值降為零的寬度取為最小分辨單元，即令由于頻譜平面模片也有同樣的細節(jié)，故其對準誤差最大也不允許超過它的一半，約1mm。7.參看圖6.2-1，在這種圖像相減方法的編碼過程中，如果使用的光柵透光部分和不透光部分間距分別為a和b，并且a≠b。試證明圖像和的信息與圖像差的信息分別受到光柵偶數(shù)倍頻與光柵奇數(shù)倍頻的調(diào)制。答：如圖題9.3所示，先將t(x)展開成傅立葉級數(shù)式中所以第一次曝光得對于是將光柵向x的負方向移動半個周期即(a+b)/2，將它展開成傅立葉級數(shù)得第二次曝光得即圖像和的信息受到光柵偶數(shù)倍頻的調(diào)制，圖像差的信息受到光柵奇數(shù)信頻的調(diào)制。8.用VanderLugt方法來綜合一個平年元平面濾波器，如圖9.1（左）所示，一個振幅透射率為s(x,y)的“信號”底片緊貼著放在一個會聚透鏡的前面，用照相底片記錄后焦面上的強度，并使顯影后底片的振幅透射率正比于曝光量。這樣制得的透明片放在圖題9.1（左）的系統(tǒng)中，假定在下述每種情況下考查輸出平面的適當部位，問輸入平面和第一個透鏡之間的距離d應為多少，才能綜合出：（1）脈沖響應為s(x,y)的濾波器？（2）脈沖響應為s*(x,y)的“匹配”濾波器？答：（1）參看圖題9.1左，設(shè)物面坐標為x1,y1；膠片坐標為x2,y2。則參考光波在記錄膠片上造成的場分布為（1）式中A為常數(shù)，α＝sinθ/λ為空間頻率。物透明片在記錄膠片上造成的場分布為式中S(ξ,η)為s(x1,y1)的頻譜，且ξ＝x2/λf，η=y2/λf。膠片上的光強分布為(2)將曝過光的膠片顯影后制成透明片，使它的復振幅透過率正比于照射光的強度，即（3）將制得的透明片作為頻率平面模片，放在圖題9.1右所示的濾波系統(tǒng)中。要綜合出脈沖響應s(x,y)或s*(-x,-y)，只要考察當輸入信號為單位脈沖δ(x,y)時，在什么條件下系統(tǒng)的脈沖響應為s(x,y)或s*(-x,-y)。參看右圖，當輸入信號為δ(x1,y1)時，在L2的后焦面上形成的光場復振幅分布，根據(jù)公式得透過頻率平面模片得光場分布，由(2)，(3)和(4)式得如果要使系統(tǒng)是脈沖響應為s(x,y)的濾波器，應當利用(5)式中含有S(ξ,η)的第三項，應要求該項的二次相位因子為零，即有d=2f(6)這時的輸出為（在反演坐標系中）（7）（2）若要使系統(tǒng)的脈沖響應為s*(-x,-y)的匹配濾波器，應當利用(5)式中的第二項，要求d=0，則在輸出面上形成的光場復振幅分布為（在反演坐標系中）（8）9.振幅透射率為h(x,y)和g(x,y)的兩張輸入透明片放在一個會聚透鏡之前，其中心位于坐標（x=0,y=Y/2）和(x=0,y=-Y/2)上，如圖題9.2所示，把透鏡后焦面上的強度分布記錄下來，由此制得一張γ為2的正透明片。把顯影后的透明片放在同一透鏡之前，再次進行變換。試證明透鏡的后焦面上的光場振幅含有h和g的互相關(guān)，并說明在什么條件下，互相關(guān)可以從其它的輸出分量中分離出來。答：參見圖題9.2，設(shè)用單位振幅的平面波垂直照明兩張振幅透過率為和的輸入透明片，則透過兩張透明片的光場的復振幅分布在透鏡L2的后焦面上形成的強度分布為(略去了二次相位因子)（1）式中.用照相膠片記錄(1)式所表達的強度分布，從而可制得γ＝2的正透明片，它的復振幅透過率為（2）將制得的正透明片置于透鏡前再次進行傅里葉變換，若同樣用單位振幅的單色平面波垂直照明，則透過透明片光場的復振幅分布在透鏡后焦面形成的光場的復振幅分布，略去二次相位因子后，在反演坐標系中可表示為(3)第三項和第四項是h和g的互相關(guān)，只是中心分別在(0,-Y)和(0,Y)。設(shè)函數(shù)h在y3方向的寬度為Wh，函數(shù)g在y3方向的寬度為Wg，并且假定，則由(3)式所表達的U中各項在x3y3平面上所處的位置，要使自相關(guān)和互相關(guān)分開，顯然應滿足10.在照相時，若相片的模糊只是由于物體在曝光過程中的勻速直線運動，運動的結(jié)果使像點在底片上的位移為0.5mm。試寫出造成模糊的點擴展函數(shù)h(x,y)；如果要對該相片進行消模糊處理，寫出逆濾波器的透過率函數(shù)。答：由于勻速運動，一個點便模糊成了一條線段，并考慮到歸一化，具有模糊缺陷的點擴散函數(shù)為帶有模糊缺陷的傳遞函數(shù)為濾波函數(shù)的透過率為11.圖6.11投影式非相干光卷積運算裝置，由光源S和散射板D產(chǎn)生均勻的非相干光照明，m（x，y）和O（x，y）是兩張透明片，在平面P上可以探測到m（x，y）和O（x，y）的卷積。（1）寫出此裝置的系統(tǒng)點擴散函數(shù)。（2）寫出P平面上光強分布的表達式。（3）若m（x，y）的空間寬度為l1，O（x，y）