矩陣范數(shù)詳解

PAGEPAGE4《周國標(biāo)師生交流講席010》向量和矩陣的范數(shù)的若干難點(diǎn)導(dǎo)引(二)矩陣范數(shù)的定義引入矩陣范數(shù)的原因與向量范數(shù)的理由是相似的，在許多場合需要“測量”矩陣的“大小”，比如矩陣序列的收斂，解線性方程組時(shí)的誤差分析等，具體的情況在這里不再復(fù)述。最容易想到的矩陣范數(shù)，是把矩陣可以視為一個(gè)維的向量（采用所謂“拉直”的變換），所以，直觀上可用上的向量范數(shù)來作為的矩陣范數(shù)。比如在范數(shù)意義下，；（1.1）在-范數(shù)意義下，，（1.2）注意這里為了避免與以后的記號(hào)混淆，下標(biāo)用“F”，這樣一個(gè)矩陣范數(shù)，稱為Frobenius范數(shù)，或F-范數(shù)?？梢则?yàn)證它們都滿足向量范數(shù)的3個(gè)條件。那么是否矩陣范數(shù)就這樣解決了？因?yàn)閿?shù)學(xué)上的任一定義都要與其對(duì)象的運(yùn)算聯(lián)系起來，矩陣之間有乘法運(yùn)算，它在定義范數(shù)時(shí)應(yīng)予以體現(xiàn)，也即估計(jì)的“大小”相對(duì)于的“大小”關(guān)系。定義1設(shè)，對(duì)每一個(gè)，如果對(duì)應(yīng)著一個(gè)實(shí)函數(shù)，記為，它滿足以下條件：（1）非負(fù)性：；（1a）正定性：（2）齊次性：；（3）三角不等式：則稱為的廣義矩陣范數(shù)。進(jìn)一步，若對(duì)上的同類廣義矩陣范數(shù)，有（4）（矩陣相乘的）相容性：，，則稱為的矩陣范數(shù)。我們現(xiàn)在來驗(yàn)證前面（1.1）和（1.2）定義的矩陣范數(shù)是否合法？我們這里只考慮（1.2）,把較容易的（1.1）的驗(yàn)證留給同學(xué)們，三角不等式的驗(yàn)證。按列分塊，記。對(duì)上式中第2個(gè)括號(hào)內(nèi)的諸項(xiàng)，應(yīng)用Cauchy不等式，則有（1.3）于是，兩邊開方，即得三角不等式。再驗(yàn)證矩陣乘法相容性。（這一步用了Cauchy不等式）（1.4）可見，矩陣相容性滿足。這樣就完成了對(duì)矩陣F-范數(shù)的驗(yàn)證。是不是這樣直接將向量范數(shù)運(yùn)用到矩陣范數(shù)就可以了嗎？No!運(yùn)用-范數(shù)于矩陣范數(shù)時(shí)便出了問題。如果，那么,這樣的矩陣范數(shù)在下面一個(gè)例子上就行不通。設(shè)。因此，按上述矩陣∞-范數(shù)的定義，，于是但這是矛盾的。所以簡單地將-范數(shù)運(yùn)用于矩陣范數(shù)，是不可行的。雖然這僅是一個(gè)反例，但是數(shù)學(xué)的定義是不可以有例外的。由此，我們必須認(rèn)識(shí)到，不能隨便套用向量范數(shù)的形式來構(gòu)造矩陣范數(shù)。為此,我們僅給出矩陣范數(shù)的定義是不夠的，還需要研究如何構(gòu)成具體的矩陣范數(shù)的方法。當(dāng)然，你也可以不去考慮構(gòu)成方法，一個(gè)函數(shù)一個(gè)函數(shù)去試，只要滿足條件就行。不過這樣做的工作量太大，也很盲目。第二，在實(shí)際計(jì)算時(shí)，往往矩陣與向量出現(xiàn)在同一個(gè)計(jì)算問題中，所以在考慮構(gòu)造矩陣范數(shù)時(shí)，應(yīng)該使它與向量范數(shù)相容。比如要考慮的“大小”，是一個(gè)向量，但它由與相乘而得的，它與的“大小”和的“大小”的關(guān)系如何？這提出了兩類范數(shù)相容的概念。定義2對(duì)于上的矩陣范數(shù)和上的同類向量范數(shù)，如果成立（1.5）則稱矩陣范數(shù)與向量范數(shù)是相容的。例1．1可以證明是與向量范數(shù)相容。事實(shí)上，在（1。2）中，取，那么矩陣算子范數(shù)現(xiàn)在給出一種構(gòu)造矩陣范數(shù)的一般方法，它可以使構(gòu)造出的矩陣范數(shù)與向量范數(shù)相容，當(dāng)然，它也滿足定義1規(guī)定的4個(gè)條件。定義3設(shè)上的同類向量范數(shù)為，，定義在空間上的矩陣的由向量范數(shù)誘導(dǎo)給出的矩陣范數(shù)為（2.1）。故這組特征向量構(gòu)成了一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，用它們可表示任一個(gè)范數(shù)的向量：而且，由，可得到。這樣，。由此，也就是由的任意性和算子范數(shù)的定義（*）另一方面，由，并且取對(duì)應(yīng)的特征向量，考慮所以（**）綜合（*）和（**），由-范數(shù)誘導(dǎo)得出的矩陣范數(shù)應(yīng)為。例3．3設(shè)，-范數(shù)誘導(dǎo)得出的矩陣范數(shù)（3.4）證明：設(shè)，即。由算子范數(shù)，（*）另一方面，選取k，使得令其中，則，從而有，由算子范數(shù)。（**）綜合（*）和（**），便得。除了上述3種常用的矩陣范數(shù)外，F(xiàn)robenius范數(shù)雖然不是算子范數(shù)，但也經(jīng)常所用，在討論序列收斂等問題上是等價(jià)的。設(shè)，求其各種矩陣范數(shù)。解：最大列和=6；最大行和=7；；由矩陣范數(shù)推出的向量范數(shù)矩陣范數(shù)可由向量范數(shù)誘導(dǎo)，反過來，向量范數(shù)有時(shí)也可從矩陣范數(shù)推出。例4．1設(shè)是上的矩陣范數(shù)，任取中的非零向量，則函數(shù)（4。1）是上的向量范數(shù)，且矩陣范數(shù)與向量范數(shù)相容。證明：欲證是一個(gè)向量范數(shù)，只須驗(yàn)證它滿足向量范數(shù)得個(gè)條件。非負(fù)性：當(dāng)時(shí)，由于非零，故；當(dāng)時(shí)，，故。齊次性：對(duì)任一常數(shù)，有。三角不等式：對(duì)任意的，有。因此由向量范數(shù)的定義知，是一個(gè)向量范數(shù)。下面再證兩種范數(shù)的相容性。如果，那么?？梢姡仃嚪稊?shù)與向量范數(shù)相容。范數(shù)的若干應(yīng)用范數(shù)的應(yīng)用很廣泛，這里只舉2例。矩陣奇異性的條件對(duì)于矩陣，能否根據(jù)其范數(shù)的大小，來判別的奇異性？判別一個(gè)矩陣的奇異性，并不方便（比如計(jì)算的行列式的值是否非零，判斷的諸列是否線性無關(guān)等，均不大容易），但矩陣的范數(shù)的計(jì)算，如，還是方便的。定理5.1(Banach引理)設(shè)矩陣,且對(duì)矩陣上的某種矩陣范數(shù),有,則矩陣非奇異,且有(5.1)證明:假設(shè)矩陣范數(shù)與向量范數(shù)相容。欲證矩陣非奇異，可通過。用反證法。假設(shè)，則齊次線性方程組有非零解，即于是，。兩邊取范數(shù)其中最后一個(gè)不等號(hào)是由于。但上式是矛盾的，假設(shè)不成立，從而矩陣非奇異，故有逆。再由可得兩邊取范數(shù)，得再移項(xiàng)，有從而這正是我們要想證明的。在推演分析的直接法的誤差分析時(shí)起重要的作用。請(qǐng)同學(xué)們自行證明下面類似的結(jié)果。定理5.2設(shè)矩陣,且對(duì)矩陣上的某種矩陣范數(shù),有，則2．近似逆矩陣的誤差——逆矩陣的攝動(dòng)在數(shù)值計(jì)算中，誤差無處不在，考慮由于這些誤差存在而帶來的后果，是一項(xiàng)重要的課題。設(shè)矩陣的元素帶有誤差，則矩陣的真實(shí)的值應(yīng)為，其中稱為誤差矩陣，又叫攝動(dòng)矩陣。若為非奇異，其逆陣為。問題是：與的近似程度如何呢？或者說，與的“距離”大小為多少？下面是回答上述問題的攝動(dòng)定理。定理5.3設(shè)矩陣非奇異，，且對(duì)上的某種矩陣范數(shù)，有，則（1）非奇異；（2）記，那么；（3）。證明：由于，所以。由定理5。1，非奇異，故非奇異。在定理5。2中，將換成，即得（2）。又因?yàn)椋瑑蛇吶》稊?shù)，并利用（2）的結(jié)論，可得，即可得到（3）?！?．矩陣譜半徑及其性質(zhì)矩陣譜半徑是一個(gè)重要的概念，在特征值估計(jì)，廣義逆矩陣，數(shù)值計(jì)算（特別在數(shù)值線性代數(shù)）等理論中，都占有極其重要的地位。定義4設(shè)矩陣的n個(gè)特征值為（含重根），稱為矩陣的譜半徑，記為。關(guān)于矩陣譜半徑的最證明也是最重要的結(jié)論是，矩陣的譜半徑不超過其任一種矩陣范數(shù)。這個(gè)結(jié)果已經(jīng)在課堂上證明過了。作為練習(xí)，請(qǐng)同學(xué)們對(duì)驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論。關(guān)于矩陣譜半徑的第2個(gè)重要結(jié)論是，如果矩陣為Hermite矩陣，則。證明留給大家。雖然Hermite矩陣的譜半徑與其譜范數(shù)相等，但是，一般矩陣的譜半徑與其譜范數(shù)可能相差很大。下面關(guān)于矩陣譜半徑的第3個(gè)重要結(jié)論，刻畫了譜半徑與矩陣范數(shù)之間的另一種定量關(guān)系。，定理5。4設(shè)矩陣，對(duì)任意正數(shù)，存在一種矩陣范數(shù)，使得證明：根據(jù)Jordan標(biāo)準(zhǔn)型，對(duì)，存在非奇異的，使如果記