哈工大研究生數(shù)值分析試題及答案

.X=-3,2分別是方程X372-8X+12=0的根；討論用Newton迭代法求它們近似值的收斂階。取初值X=-2計算根X=-3的近似值，要求迭代3次。(結果保留4位小數(shù))0解：設f(X)=X3-X2-8X+12f(-3)=0,f'(-3)≠0，f⑵=0,f(2)=0,f〃(2)=10≠0則：-3是f（X）=0的單根，故Newton迭代在-3附近是平方收斂;2是f（X）=0的二重根，故Newton迭代在2附近是線性收斂；取X=-2，NeWtOn迭代：0.設常數(shù)a≠0，求出a的取值*圍使得解方程組的Jacobi迭代法收斂。解：JaCObi迭代：迭代矩陣B的特征方程:J即：（λa）3+14（λa）=0特征根：λ=0,λ=±±Wia譜半徑：P（BJ）=媽＜1時Jacobi迭代收斂a故：a>√14（23.設（1）用Croutm角分解法求解方程組10、3(X)1X13)5139（2）用乘冪法求方程組系數(shù)陣的按摸最大的特征值和對應的特征向量。（取V=（0,0,1”,計算迭代三次的值）0解：（1）Crout三角分解：3362)4??/(132、1L=(10-1232求解Ly=b得y=求解Ux=y得X=(1,1,0>⑵V0=(0QDTv，U= 0 0max(v)0=(0,0,1)Tλ=1v=Au=(2,4,111 0U=—V—=(0.5,1,0.25)λ=41 max(v)1V=Au=(,,>，212

max(v)2=(0.5,1,0.8611》λ=93V7J,(?U=2」,。v=Au=(,,>3 2k?TJU21121√,vV

—?u3,max(v)3=(0.5,1,0.7306)t，λ=11.44.試利用插值多項式證明：對k=0,1,…〃-2恒有等式證明：設x=i,i=1,2,…方i由插值多項式的唯一性，比較Lagrange與Newton插值最高項系數(shù)得:由差商與導數(shù)關系，有將X=i,(i=1,2,…,n(,f(X)=Xk,(k=0,1,…n-2)代入上面兩等式，有i.求4次Hermit插值多項式H(X),滿足:并寫出誤差表達式。解：方法一：因H(0)=H'(0)=0,故設：H(x)=x2(a+bx+cx2)由H(1)=HQ)=1,H⑵=1，得得α=>3 1一,C=一2 4誤差：E(X)=f(X)—H(X)=f∣(^X2(x-1)2(x=2),ξ∈(0,2)方法一：滿足H(0)=0,H(1)=H⑵=1的插值多項式為：設：H(X)=P(X)+(A+Bx)(X-0)(X-1)(X-2)23H'(0)=-+2B=0,由 12H'(1)=--(A+B)=1213得：由A=4,B=-4誤差：E(X)=f(X)-H(X)=f∣(^X2(X-1)2(X=2),ξ∈(0,2).試求求積公式J2f(X)dX≈A0f(-233)+A1f(W)的求積系數(shù)A0,%使得其有盡可能高的代數(shù)精度，是否是GauSS型的？并用此公式計算積分??sinXdX(結果保留5位小數(shù))。0解：令f(X)=1,X求積公式準確成立，有：得：A=A=201求積公式：J2f(X)dX≈2f(-與3)+2f(與3)-2 3 3令f(X)=X2,X3求積公式準確成立的，f(X)=X4求積公式不是準確成立的，求積公式代數(shù)精度為3,是Gauss型的；兀作變換X=—(t+2),t∈[-2,2]87.用最小二乘法求一個形如y=aX2+b的經(jīng)驗公式，使它與下列數(shù)據(jù)擬合X.1925313844419.032.349.073.397.8解：取φ(X)=1,φ(X)=X2，01擬合函數(shù)為y=bφ(X)+aφ(X)=b+aX201法方程為：得：a=0.050351,b=0.9726045擬合函數(shù)為y=0.0500351X2+0.97260458.用共軛梯度方法解方程組：(21)(、13人X1X2(取初值X(0)=(0,0)τ)。7(5)15J共軛梯度方法：〈p=r(0)=b—Ax(0),0(r(k),r(k))(P,Ap)kkx(k+1)=x(k)+ap,kk(r(k+1),r(k+1))β=「 T-k (r(k),r(k))r(k+i)=r(k)—aAPkkp=r(k+i)+βpk+1 k kɑk(21)

J3,解：A=是對稱正定陣；解為：x(2)=(2,1)T9應用Heun方法：一、一、 [5y'+8y=0,解初值問題《 時，問步長h應如何選取方能保證方法的絕對穩(wěn)定性？并在h=1,2中Iy(0)=2選取數(shù)值穩(wěn)定的步長計算y(2)的近似值.解：將Heun方法應用到方程5y'+8y=0上，有：y=(1+h+—)y,其中h=—-h=—1.6hn+1 2n 5當h=—(2,0)時，方法是絕對穩(wěn)定的，即h=(0,5)=(0,1.25)時方法是絕對穩(wěn)定的；4.. 5 8故取h=1∈(0,-)=(0,1.25)，即h=——-，方法是絕對穩(wěn)定的45一,,,,'、、一、 [V'=f(X,y),a<X<b, 」、10求解常微分方程初值問題\(\ 的兩步方法:Iy(a)=n(1)求出局部截斷誤差；(2)討論方法的收斂性；(3)討論方法的絕對穩(wěn)定性。58 1解：a=1,a=0,b=一,b=一,b=一0ι-ι120 12ι12(1)把局部截斷誤差T在X處TaylOr展開：nn(2)c=c=0，方法是相容的；01第一特征多項式：P(r)=r2-r，P(r)=r2-r=0兩根為：r=1,r=0,01r<1,r=1是單根，方法滿足根條件；， 1由收斂的充分必要條件知方法是收斂的。5- 2-h(2)穩(wěn)定多項式：兀(r；h)=(1- h)r2-(1+-h)r+-，由絕對穩(wěn)定性要求知h<0,故1--5h>0JL乙由參考定理知：兀(r;h)=0的兩根r(h)<1。0,1故h∈(-6,0)，即當h∈(-6,0)時方法是絕對穩(wěn)定的。應用1.試確定α=0是方程f(X)=e2X-1-2X-2X2=0的幾重根；取初值X=0.25用改進的具0有二階收斂速度的NeWtOn迭代法求f(X)=0的根α=0的近似值。要求迭代2次(結果保留4位小數(shù))。解：f(X)=e2X-1-2X-2X2，α=0是方程f(X)=0的3重根；改進的具有二階收斂速度的Newton迭代法：應用4.若用復化梯形公式計算積分J3eXSinXdX，要求截斷誤差不超過1。"(舍入誤差不計)，1問需要計算多少個節(jié)點上的函數(shù)值？解：f(X)=eXSinX,f'(X)=eX(sinX+CosX),f"(X)=2eXCosx,f'"(X)=3eX(cosX-SinX)復化求積公式余項為：b-a其中：h=——n因IcosX∣≤1,有If"(η)∣≤2e33×10.4若E(f