第五章-定積分-(同濟(jì)七版16-17)課件

第五章定積分積分學(xué)不定積分：原函數(shù)的全體（函數(shù)族）定積分：和式極限（常數(shù)）引言：定積分是在解決不規(guī)則面的面積、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程，變力做功，水壓力等實(shí)際問題時(shí)抽象出來的數(shù)學(xué)概念。目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第五章定積分積分學(xué)不定積分：原函數(shù)的全體（函數(shù)族）定積分第一節(jié)一、定積分問題舉例二、定積分的定義三、定積分的性質(zhì)定積分的概念及性質(zhì)

第五章目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第一節(jié)一、定積分問題舉例二、定積分的定義三、定積分的性質(zhì)abxyabxy（2）曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線兩直線所圍成,求其面積S.一、定積分問題舉例1.不規(guī)則面的面積abxy（1）目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束abxyabxy（2）曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線兩計(jì)算步驟:1)劃分：2)近似：任取，則第i個(gè)小曲邊梯形面積3)求和：曲邊梯形面積4)取極限.目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束計(jì)算步驟:1)劃分：2)近似：任取，則第i個(gè)小曲邊1.曲邊梯形面積（a,b）2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

（T1，T2）目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1.曲邊梯形面積（a,b）2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程目錄二、定積分定義(P225)分法令Δxi=

xi–xi-1,任取總趨于確定的極限

I,則稱此極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間

[a,b]上的定積分,記為即此時(shí)稱

f(x)在[a,b]上可積

.1.定義:設(shè)函數(shù)f(x)定義在[a,b]上,若對(duì)[a,b]的任一種只要時(shí)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、定積分定義(P225)分法令Δxi=xi–x積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和目錄上即2.說明（1）定積分表示一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)取決于積分區(qū)間[a,b]和被積函數(shù)，而與積分變量用什么表達(dá)式無關(guān)。（2）定積分=和式極限不定積分=f(x)的全體原函數(shù)F(x)+c這是兩個(gè)完全不同的概念目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束即2.說明（1）定積分表示一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)取決于積分區(qū)間[a（3）定積分的幾何意義:曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負(fù)值定積分=x

軸上方取正面積,x

軸下方取負(fù)面積,然后相加.例1.P2363,4.目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束（3）定積分的幾何意義:曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負(fù)值定積（4）當(dāng)a>b時(shí)，定義（5）當(dāng)當(dāng)a=b時(shí)，定義時(shí)，定理1.定理2.且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)三、定積分的存在條件（可積的充分條件）:(證明略)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)f(x)在[a,b]上可積函數(shù)f(x)在[a,b]上有界,f(x)在[a,b]上可積目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束（4）當(dāng)a>b時(shí)，定義（5）當(dāng)當(dāng)a=b時(shí)，定義時(shí)，定【例1】利用定義計(jì)算定積分解:∵e

x-1連續(xù)，故可積(1).將[0,1]n

等分.(2).取(3).求和(4).取極限目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束【例1】利用定義計(jì)算定積分解:∵ex-1連續(xù)，故可積(1三、定積分的性質(zhì)(設(shè)所列定積分都存在)(

λ,μ

為常數(shù))1.線性性質(zhì)2.路徑性質(zhì)當(dāng)a,b,c

的位置任意時(shí),例如則有例.P2367.目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、定積分的性質(zhì)(設(shè)所列定積分都存在)(λ,μ為常數(shù))1推論1.

若在[a,b]上

f(x)≤

g(x),則3.比較性質(zhì)證:即推論2.

在[a,b]上若在[a,b]上

f(x)≥0,則

【例2】比較積分的大小.目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束推論1.若在[a,b]上f(x)≤g(x),則3

設(shè)則4.估值性質(zhì)【例3】估計(jì)積分的值目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束設(shè)則4.估值性質(zhì)【例3】估計(jì)積分的值目錄上頁(yè)5.

積分中值定理若f(x)∈C[a,b],則存在ξ∈[a,b],使得證:設(shè)由介值定理,在[a,b]上,至少存在一點(diǎn)ξ∈[a,b],使得,即

f(ξ)理解為f(x)在[a,b]上的平均值則即目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束5.積分中值定理若f(x)∈C[a,b],則存作業(yè)P23610(2)13(2,3,5)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束作業(yè)P23610(2)13(2,3,【例4】計(jì)算從0秒到T秒這段時(shí)間內(nèi)自由落體的平均速度.解:

已知自由落體速度為故所求平均速度目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束【例4】計(jì)算從0秒到T秒這段時(shí)間內(nèi)自由落體的平均速【例5】積分中值定理的一個(gè)推廣：且g(x)在[a,b]上不變號(hào),則若f

(x),g

(x)∈C[a,b],存在一點(diǎn)ξ∈[a,b],使得【例6】試證:目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束【例5】積分中值定理的一個(gè)推廣：且g(x)在[a,b一、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、牛頓–萊布尼茲公式第二節(jié)微積分的基本公式

第五章目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、牛頓–萊布尼茲公式第二一、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)則變上限函數(shù)證:則有1.定理1若f(x)∈C[a,b],

是f(x)在[a,b]上的一個(gè)原函數(shù).

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)則變上限函數(shù)證:則有1.定理11)連續(xù)函數(shù)f(x)的原函數(shù)一定存在，一個(gè)原函數(shù).2)積分上限函數(shù)給出了一種全新的函數(shù)表達(dá)式.例如在其定義域內(nèi)連續(xù)，則它們的原函數(shù)一定存在，但是上述幾個(gè)函數(shù)是不可積分的，因此用是f(x)的來表示被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù).2.說明:目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1)連續(xù)函數(shù)f(x)的原函數(shù)一定存在，一個(gè)原函數(shù).2

4)

變限積分求導(dǎo):3)

通過Th1得到:牛頓–萊布尼茲公式----利用原函數(shù)計(jì)算定積分目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束4)變限積分求導(dǎo):3)通過Th1得到:牛頓–萊布尼【例1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(課堂練習(xí))【例1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(早期的期末考題)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(早期的期末求目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束求目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束【例2】求下列極限目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(例)(課堂)(P243例8)(提示)【例2】求下列極限目錄上頁(yè)下頁(yè)返回目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束【例3】P2444目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束【例3】P2【例4】設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且證明在(a,b)內(nèi)證明:積分中值Th微分中值Th....目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(P24512)【例4】設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),(a,b)內(nèi)可導(dǎo)【例5】在[0,+∞)內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù).證:只要證設(shè)f(x)在[0,+∞)內(nèi)連續(xù),且f(x)>0,證明F(x)在[0,+∞)內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù).目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(P243例7)【例5】在[0,+∞)內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù).證:只要證二、牛頓–萊布尼茲公式(牛頓-萊布尼茲公式)

證:根據(jù)定理1,故記作函數(shù),則定理2：設(shè)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在[a,b]上的一個(gè)原是f(x)的一個(gè)原函數(shù)令x=a,得C=F(a),因此再令x=b,得目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、牛頓–萊布尼茲公式(牛頓-萊布尼茲公式)證:則有說明:微積分基本公式積分中值定理微分中值定理牛頓–萊布尼茲公式目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束當(dāng)f(x)是單調(diào)函數(shù)時(shí)則有說明:微積分基本公式積分中值定理微分中值定理牛頓–【例6】

計(jì)算下列積分目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(P241例2)(P241例4)(★

)【例6】計(jì)算下列積分目錄上頁(yè)下頁(yè)返回解：設(shè)【例7】設(shè)求f(x).(定積分為常數(shù)),則分別在0-1,0-2上積分目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(期末考題)解：設(shè)【例7】設(shè)求f(x).(定積分為常數(shù)),則【例6】汽車以每小時(shí)36

km的速度行駛,速停車,解:

設(shè)開始剎車時(shí)刻為則此時(shí)刻汽車速度剎車后汽車減速行駛,其速度為當(dāng)汽車停住時(shí),即得故在這段時(shí)間內(nèi)汽車所走的距離為剎車,問從開始剎到某處需要減設(shè)汽車以等加速度車到停車走了多少距離?目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束【例6】汽車以每小時(shí)36km的速度行駛,速停車,解:作業(yè)P244

2；3;5(3);8(2,3,7,8,10);11(1,2)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束作業(yè)P244目錄上頁(yè)下頁(yè)返回求目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束補(bǔ)充題：求目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束補(bǔ)充題：2.確定常數(shù)a,b,c

的值,使解:原式=

c≠0,故又由,得目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.確定常數(shù)a,b,c的值,使解:原式3.設(shè)求在（－∞,＋∞）內(nèi)的表達(dá)式.解：當(dāng)x<0時(shí),當(dāng)0≤x≤π時(shí),當(dāng)x≥π時(shí),目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.設(shè)求在（－∞,＋∞）內(nèi)的表達(dá)式.解：當(dāng)x<4.求解：的遞推公式(n為正整數(shù)).由于因此所以其中目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束4.求解：的遞推公式(n為正整數(shù)).由于因此所以其中目(k

為常數(shù))換元積分公式目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(k為常數(shù))換元積分公式目錄上頁(yè)下頁(yè)返目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束常用湊微分公式目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束常用湊微分公式目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、定積分的分部積分法第三節(jié)不定積分一、定積分的換元法換元積分法分部積分法定積分換元積分法分部積分法定積分的換元法和

分部積分法

第五章目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、定積分的分部積分法第三節(jié)不定積分一、定積分的換元法換一、定積分的換元法

1.第一類換元法（湊微分法）.

設(shè)則注：上下限不用換目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

只要積分變量不發(fā)生改變，就不需要換積分上下限一、定積分的換元法1.第一類換元法（湊微分法）.設(shè)【例1】計(jì)算下列積分(湊微分法)(P247例2)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(湊微分法)(P2551(16))(湊微分法)(P2541(2))【例1】計(jì)算下列積分(湊微分法)(P247例2)目解:目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(P248例3)☆☆解:目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(P242.第二類換元法定理1.

設(shè)函數(shù)f(x)∈C[a,b],單值函數(shù)x=φ(t)滿足1)2)在上連續(xù)，且值域不超過[a,b]，則：目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.第二類換元法定理1.設(shè)函數(shù)f(x)∈C[a第二類換元法，需要換積分限目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

積分變量發(fā)生改變時(shí)，需要換積分上下限換積分上下限后不需要還原設(shè)第二類換元法，需要換積分限目錄上頁(yè)下頁(yè)返回(幾何意義)(P247例1)(P2541(6))目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束【例2】計(jì)算下列積分盡量用幾何意義做題(幾何意義)(幾何意義)(P247例1)(P2541(6))目解:令(根式代換)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解:令(根式代換)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回(三角代換)(倒代換)(P2541(10))目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(三角代換)(三角代換)(倒代換)(P2541(10))目錄☆☆【例3】設(shè)求令x–2=tdx=dt目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束先換元再計(jì)算☆☆【例3】設(shè)求令x–2=tdx=dt目錄①若f(-x)=f(x)

②若f(-x)=-

f(x)3.奇偶函數(shù)的積分設(shè)函數(shù)f(x)∈C[-a,a],(奇函數(shù))(偶函數(shù))【例4】計(jì)算下列積分(P2541(22))(P2541(24))(P249例5)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束①若f(-x)=f(x)②若f(-x)=作業(yè)P2541(1,3,8,12,15,17,21)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束作業(yè)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束設(shè)可積函數(shù)f(x)以T為周期，則①②【例5】4.周期函數(shù)的積分(P249例7)(周期性)(周期性)(奇函數(shù))目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束設(shè)可積函數(shù)f(x)以T為周期，則①②【例5】4.周期【例6】(1)若f(x)是連續(xù)的奇函數(shù),證明證明：是偶函數(shù);(2)若f(x)是連續(xù)的偶函數(shù),證明是奇函數(shù).令t=-

s所以Φ(x)是偶函數(shù);(2)同理可證.(P2536)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束【例6】(1)若f(x)是連續(xù)的奇函數(shù),證明證明：是偶函數(shù)【例7】設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),證明(P2532)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束【例7】設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),證明(

若則：4.三個(gè)常用結(jié)果【例8】目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(P249例6)若則：4.三個(gè)常用結(jié)果【例8】目錄上頁(yè)下【例9】目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束【例9】目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、定積分的分部積分法

定理2.

則證:目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、定積分的分部積分法定理2.則證:目錄上頁(yè)【例10】

計(jì)算下列積分目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束【例10】計(jì)算下列積分目錄上頁(yè)下頁(yè)返回證:

n

為偶數(shù)

n

為奇數(shù)得遞推公式☆☆☆【例11】證明目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證:n為偶數(shù)n為奇數(shù)得遞推公式☆☆☆【例11】證明目于是而故所證結(jié)論成立.公式P253目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束于是而故所證結(jié)論成立.公式P253目錄上頁(yè)

公式P253【例12】

計(jì)算下列積分目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束公式P253【例12】計(jì)算下列積分目錄上頁(yè)

求【例13】設(shè)

求【例14】設(shè)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束求【例13】設(shè)求【例14】設(shè)目錄上頁(yè)下頁(yè)求解:分部積分在[0,1]上連續(xù),且f(0)=1,f(2)=3,【例15】設(shè)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束求解:分部積分在[0,1]上連續(xù),且f(0)=，求,且【例16】設(shè)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束求【例17】設(shè)，求,且【例16】設(shè)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回作業(yè)P254

1(20)(21)(24)，37(1)(5)(6)(10)(12)

P27210(10),12,13目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束作業(yè)P2541(20)(21)(2證明：右端f(a)=f(b),試證分部積分分部積分=左端【例18】設(shè)f(x)在[a,b]上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),且目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證明：右端f(a)=f(b),試證分部積分分部積分二、無界函數(shù)的反常積分第四節(jié)常義積分積分限有限被積函數(shù)有界推廣一、無窮限的反常積分反常積分(廣義積分)反常積分

第五章目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、無界函數(shù)的反常積分第四節(jié)常義積分積分限有限被積函數(shù)有界推一、無窮限的反常積分引例.

曲線和直線及

x軸所圍成的開口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一、無窮限的反常積分引例.曲線和直線及x軸所圍成的開口1、定義1：以上每個(gè)極限都存在，則其對(duì)應(yīng)的積分收斂，否則發(fā)散。目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1、定義1：以上每個(gè)極限都存在，則其對(duì)應(yīng)的積分收斂，否則發(fā)散若F

(x)是f

(x)的原函數(shù)，引入記號(hào)2.廣義的Newton–Leibniz公式:目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束若F(x)是f(x)的原函數(shù)，引入記號(hào)2.廣義解:思考:分析:原積分發(fā)散!注意:

對(duì)反常積分,只有在收斂的條件下才能使用“奇偶函數(shù)積分”的性質(zhì),否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.【例1】計(jì)算反常積分目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解:思考:分析:原積分發(fā)散!注意:對(duì)反常積分,只有在解:原式【例2】計(jì)算反常積分目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解:原式【例2】計(jì)算反常積分目錄上頁(yè)下頁(yè)當(dāng)p>1時(shí)收斂;p≤1

時(shí)發(fā)散.

發(fā)散

收斂P256例3【例3】證明第一類p

積分目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束當(dāng)p>1時(shí)收斂;p≤1時(shí)發(fā)散.發(fā)散收斂二、無界函數(shù)的反常積分引例:曲線所圍成的與

x軸,y

軸和直線開口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、無界函數(shù)的反常積分引例:曲線所圍成的與x軸,y軸1、定義2：無界點(diǎn)稱為瑕點(diǎn)以上每個(gè)極限都存在，則其對(duì)應(yīng)的積分收斂，否則發(fā)散。a

點(diǎn)為瑕點(diǎn)b點(diǎn)為瑕點(diǎn)a,b點(diǎn)為瑕點(diǎn)c點(diǎn)為瑕點(diǎn)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1、定義2：無界點(diǎn)稱為瑕點(diǎn)以上每個(gè)極限都存在，則其對(duì)應(yīng)的積分④

若瑕點(diǎn)①若

b

為瑕點(diǎn),②若a

為瑕點(diǎn),③若a,b

都為瑕點(diǎn),不可抵消！2.廣義的Newton–Leibniz公式:若被積函數(shù)在積分區(qū)間上僅存在有限個(gè)第一類

說明:

例如,間斷點(diǎn),而不是反常積分.

則本質(zhì)上是常義積分,

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束④若瑕點(diǎn)①若b為瑕點(diǎn),②若a為瑕點(diǎn),③若發(fā)散.【例4】計(jì)算下列反常積分目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束發(fā)散.【例4】計(jì)算下列反常積分目錄