指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)復習(知識點和習題詳解)

PAGEPAGE4第六講指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)都是基本初等函數(shù)，是高中必須掌握的，在高考中，主要是考查基礎知識。要求掌握擴充后指數(shù)的運算，對數(shù)的運算，指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)。一、指數(shù)的性質(zhì)（一）整數(shù)指數(shù)冪1．整數(shù)指數(shù)冪概念：2．整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：（1）（2）（3）其中，．3．的次方根的概念一般地，如果一個數(shù)的次方等于，那么這個數(shù)叫做的次方根，即：若，則叫做的次方根，例如：27的3次方根，的3次方根，32的5次方根，的5次方根．說明：①若是奇數(shù)，則的次方根記作；若則，若則；②若是偶數(shù)，且則的正的次方根記作，的負的次方根，記作：；（例如：8的平方根16的4次方根）③若是偶數(shù)，且則沒意義，即負數(shù)沒有偶次方根；④∴；⑤式子叫根式，叫根指數(shù)，叫被開方數(shù)?！啵?．的次方根的性質(zhì)一般地，若是奇數(shù)，則；若是偶數(shù)，則．5．例題分析：例．計算：解：（二）分數(shù)指數(shù)冪1．分數(shù)指數(shù)冪：即當根式的被開方數(shù)能被根指數(shù)整除時，根式可以寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式；冪的運算性質(zhì)對分數(shù)指數(shù)冪也適用，例如：若，則，，∴．規(guī)定：（1）正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是；（2）正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是．2．分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對于分數(shù)指數(shù)冪也同樣適用，即：說明：（1）有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對無理數(shù)指數(shù)冪同樣適用；（2）0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒意義。3．例題分析：【例1】用分數(shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式：，，.解：=；=；=．【例2】計算下列各式的值（式中字母都是正數(shù)）．（1）；（2）；解（1）（2）==．==；例3．計算下列各式：（1）（2）．解：（1）==（2）=．==；三、對數(shù)的性質(zhì)1．對數(shù)定義：一般地，如果（）的次冪等于N,就是，那么數(shù)b叫做a為底N的對數(shù)，記作，a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。即，。指數(shù)式底數(shù)冪指數(shù)對數(shù)式對數(shù)的底數(shù)真數(shù)對數(shù)說明：1．在指數(shù)式中冪N>0，∴在對數(shù)式中，真數(shù)N>0．（負數(shù)與零沒有對數(shù)）2．對任意且,都有∴，同樣：．3．如果把中的寫成，則有（對數(shù)恒等式）．2．對數(shù)式與指數(shù)式的互換例如：，；，；，；，?！纠?】將下列指數(shù)式寫成對數(shù)式：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）；（2）；（3）；（4）．3．介紹兩種常見的對數(shù)：①常用對數(shù)：以10作底簡寫成；②自然對數(shù)：以作底為無理數(shù)，=2.71828……，簡寫成．【例2】（1）計算：，．解：設則，,∴；令，∴,,∴．（2）求x的值：①；②．解：①；②但必須：，∴舍去，從而．（3）求底數(shù)：①，②．解：①∴；②,∴．4．對數(shù)的運算性質(zhì)：如果a>0，a1，M>0，N>0，那么（1）；（2）；（3）．【例3】計算：（1）lg1421g；（2）；（3）．解：（1）解法一：；解法二：=；（2）；（3）=．5．換底公式：(a>0,a1；)證明：設，則，兩邊取以為底的對數(shù)得：，∴，從而得：，∴．說明：兩個較為常用的推論：（1）；（2）（、且均不為1）．證明：（1）；（2）．【例4】計算：（1）；（2）．解：（1）原式=；（2）原式=．【例5】已知，，求（用a,b表示）．解：∵，∴，∴，又∵，∴，∴．【例6】設，求證：．證明：∵，∴，∴．四、對數(shù)函數(shù)1．對數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)。2．對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：（2）圖象：由于對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，所以對數(shù)函數(shù)的圖象只須由相應的指數(shù)函數(shù)圖象作關于的對稱圖形，即可獲得。11（圖1）同樣：也分與兩種情況歸納，以（圖1）與（圖2）為例。11（圖1）1111（圖2）（3）對數(shù)函數(shù)性質(zhì)列表：圖象 性質(zhì)（1）定義域：（2）值域：（3）過點，即當時，（4）在（0，+∞）上是增函數(shù)（4）在上是減函數(shù)【例1】求下列函數(shù)的定義域：（1）；（2）；（3）．分析：此題主要利用對數(shù)函數(shù)的定義域求解。解：（1）由>0得，∴函數(shù)的定義域是；（2）由得，∴函數(shù)的定義域是；（3）由9-得-3，∴函數(shù)的定義域是．【例2】比較下列比較下列各組數(shù)中兩個值的大?。海?），，；（2），，．解：（1）∵，，，∴．（2）∵，∴．【例3】求下列函數(shù)的值域：（1）；（2）解：（1）令，則，∵，∴，即函數(shù)值域為．（2）令，則，∴，即函數(shù)值域為．【例4】判斷函數(shù)的奇偶性。解：∵恒成立，故的定義域為，，所以，為奇函數(shù)?！纠?】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解：令在上遞增，在上遞減，又∵，∴或，故在上遞增，在上遞減，又∵為減函數(shù)，所以，函數(shù)在上遞增，在上遞減。

課堂練習題（1）1、填空：（3）；（4）；（5）；（6）；2、（1）若，則；（2）若，則；（3）若，，用表示，；（2）（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；2、判斷下列式子是否正確，若不對，請糾正：(1)；（2）；（3）；（4）.課后鞏固提高1、下列計算正確的是（）A.B.C.D.2、81×27可以記為（）A.B.C.D.3、可以等于（）A.B.C.D.4、計算的結(jié)果是（）A.B.C.D.5、在等式中，括號內(nèi)的代數(shù)式應當是（）A.B.C.D.6、若是正整數(shù)，當時，等于（）A.1B.－1C.0D.1或－17、計算的結(jié)果為()A.B.C.D.8、，，.9、已知，則；已知，則x=.10、計算：（1）；（2）；（3）；11、下列各式中，正確的是（）A.B.C.D.12、下列各式中錯誤的是()A.B.()=C.D.－13、已知n是大于1的自然數(shù),則等于()A.B.C.D.14、下列運算中與結(jié)果相同的是()A.B.C.D.15、用簡便方法計算(1)(2)16、已知,求m的值.17、若，解關于的方程.18、若，，求的值．§2指數(shù)擴充及其運算性質(zhì)1、將b寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式：（1）；（2）；（3）.2、將分數(shù)指數(shù)冪寫成根式的形式：（1）；（2）；（3）；（4）.3、將根式寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式：（1）；（2）；（3）；（4）.4、計算：（1）；（2）；（3）；（4）.5、已知，，求，，，.6、已知，求，.§3指數(shù)函數(shù)1、已知，則指數(shù)函數(shù)1.，2.的圖像為（）第2題2、如圖是指數(shù)函數(shù)的圖像則的關系是（）第2題A.B.C.D.3、已知，則的大小關系是（）A．B．C．D．4、若，則下列選項成立的是（）A.B.C.D.5、設，則（）A.B.C.D.6、若，那么的值為（）A.1B.2C.5D.1或57、已知則的大小關系為.8、解方程.§4.1對數(shù)及其運算1、把下列指數(shù)式寫成對數(shù)式：（1）（2）（3）（4）2、把下列對數(shù)式寫成指數(shù)式：（1）（2）（3）（4）3、求下列各式中x的值：（1）（2）（3）（4）4、求下列各式的值：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）5、基礎練習（1）（2）6、加強鞏固（1）（2）（3）（4）（5）（6）7、已知，，，請分別用表示式子，，.§4.2換底公式1、求下列各式的值：(1)（2）（3）（4）（5）（6）2、加強鞏固3、綜合應用（1）設,，試用、表示，，.（2）已知求.§5對數(shù)函數(shù)1、求下列函數(shù)的定義域：(1)；（2）；(3)；（4）.2、求下列函數(shù)的反函數(shù)：(1)；（2）；(3)；（4）；(5)；（6）.3、比較各題中各數(shù)的大?。?1)，；（2），；(3)，；（4），.4、已知函數(shù)，則.5、已知函數(shù)，且，則.第三章指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)單元測試卷滿分150分，考試時間120分鐘一、選擇題（每小題6分，共60分．）1．已知x，y為正實數(shù)，則()A．B．C．D．2．若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)的反函數(shù)且f(2)＝1，則f(x)＝()A．B．C． D．3．已知，則函數(shù)y＝f(x＋1)在區(qū)間[2,8]上的最大值與最小值分別為()A．2與1B．3與1C．9與3 D．8與34．下列說法正確的是()A．B．C．D．5．設函數(shù)．若，則的值等于()A．4B．8C．16D．2loga86．(log43＋log83)(log32＋log98)等于()A.eq\f(5,6)B.eq\f(25,12)C.eq\f(9,4) D．以上都不對7．若的值域為[－1,1]，則函數(shù)f(x)的定義域為()A.B．C.D.8．若是奇函數(shù)，則實數(shù)a＝()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,10)9．已知，那么用表示是（）A．B.C.D.10．設，則（）A.B.C.D.二、填空題（每小題5分，共15分．）11．函數(shù)y＝eq\f(lg4－x,x－3)的定義域是________．12．函數(shù)，則________.13．的值為.三、解答題(本大題共5小題，共75分．解