定積分習(xí)題及答案

4.54.5.#解:令2x=t，且fxi：1sin2x=sin2x設(shè)fx二ax?b—Inx，在1,3上fx_0,求出常數(shù)a,b使:fxdx最小。3 3解：當(dāng)［f(xdx最小，即^(ax+b—lnxpx最小，由f(x)=ax+b—lnx^0知，y=ax+b在1y=lnx的上方，其間所夾面積最小，則y=ax?b是y=lnx的切線，而、二一,設(shè)切點(diǎn)為x°,lnx°,xTOC\o"1-5"\h\z、 i i則切線yx-x0?lnx0，故a，b=lnx0-1。33-lnxdxi33-lnxdxi1于是I=f(ax+b-1nxdx=使x2+bxi1 12 J9 d令la"=4——=0得a=—a 2從而x0=2，b=In2—13又Ia=2 0，此時(shí)fxdx最小。a 11已知fx二，求°fxfxdx解：fx--2xe*210fxdx2210fxdx20fxdx，求fX。12-設(shè)ofxdx=A,yfxdx=B，貝Ufx=x2一Bx2A11*011???A=fxdx二x2-Bx2Adx1B2A?ov 3222°8.??Bfxdxx-Bx2Adx2B4A$0 』0 318.解:設(shè)fx=X2-x1 4解得：A=1,B=-，于是319.0fCOSXcosx-fcosxsin19.0fCOSX解：原式「0fcosxcosxdx0sin對(duì)cosxdcosxx20.設(shè)xt0時(shí)，F(xiàn)(x)=J(x2-12)T(tdt的導(dǎo)數(shù)與x2是等價(jià)無(wú)窮小，試求廠(0)X Xx2-t2ftdt 2xftdt解:lim 3 lim 2x0 x3 x-° x2

(C)1.設(shè)fx是任意的二次多項(xiàng)式，gx是某個(gè)二次多項(xiàng)式，；fxdx訂f04f￡f1，求agxdx。解：設(shè)x=]b—ata，則'b+a 小、'b+a 小、j，fO=g(b)\2<于是f(O)=g(a),f—J=gb一a由已知得I=—一]g(a)+4g,使得2.設(shè)函數(shù)fx在閉區(qū)間a,b1上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則在a,b,使得證：由泰勒公式其中x0,x?a,b， ?位于x0與x之間。兩邊積分得：TOC\o"1-5"\h\zI? :令Xo=4，則 '..I2''學(xué)卜士(b-afG)，從(a,b)。l2丿24fx在a,b】上二次可微，且「x]，0 ，b—afa：：bfxdx：：b—afbfa。‘a(chǎn) 2證明：當(dāng)x?a,b時(shí)，由「X0,fx0知fx是嚴(yán)格增及嚴(yán)格凹的，從而fxfa及fx::fa 5x-ab-ab b故fxdxfadx=】b-afaLa ?a設(shè)函數(shù)fX在a,b丨上連續(xù)，「X在a,b1上存在且可積，fai〕=fb[=0，試證bf(x)蘭一[f'(xJdx(avxvb)'a證明：因?yàn)樵赼,b上fx可積，故有

TOC\o"1-5"\h\z, x b而fx二ftdt, -fx二ftdt■a ■x十冃 J 1 -X b 1于是f(X)=3『a「(t聯(lián)―J」'(tdt15.設(shè)f(x在0,1上連續(xù)，J0f(xdx=0,J0xf(xdx=1,求證存在一點(diǎn)x,Owx蘭1，使f(xD>4。證：假設(shè)f(xp蘭4,x^0,1]rf 匚 1 1由已知ofxdx=0,oxfxdx=1，得1.x_3|f(x艸=4(0x」dx21f1X——1.x_3|f(x艸=4(0x」dx21f1X——J02從而(|f(x?-4dx=0???fx-4=011因?yàn)閒X在0,1連續(xù)，則fX=4或fX汽￥。從而°fxdx=4或-4,這與°fxdx=0矛盾。故fx$>4。6.設(shè)fx可微，f0=0，f0=1，F(xiàn)x二Xtfx2-t2dt，求limF：?！? —oxx2解：令x2-12=u，則F(x)=>Jf(udu，顯然F'(x)=xf(x2)#0于曰Fx Fx fx2 fx2-f0 1 1于是lim——4=lim——3=lim——2=lim———2 二f0i=—x xt4xt4xt4(x—0) 4 44x27.設(shè)f(x)在6，b】上連續(xù)可微，若"2。，則右小皿-maxfx證：因f(x在a,b】上連續(xù)可微’則f(X)在『號(hào)］和f設(shè)m=maxfx，則有b,b上均滿足拉格朗日定理?xiàng)l件,2故一rf&加蘭m。(b-af'a證：bfXkfxdx」bfxkdx-1bfxdxa k ka ka8.設(shè)fx在〔A,B上連續(xù)，A：：：a::b：：B，求證冋^dx二fb-fab b*令xk=u，貝Ufxkdxfudu*a 呂a侏于是xk fxdxJa k k"于是xk fxdxJa k k"a**%尸 k」a%尸bfxk-fx 1bk 1ak故lim dx=limk0a k k—0k■mk_0-a9.設(shè)fx為奇函數(shù)，在［-J,-::b fxdX)內(nèi)連續(xù)且單調(diào)增加，F(xiàn)(x)=J0(x—3t)f(tdt，證明：(1)F(x)為奇函數(shù)；(2)Fx在0,：；3］上單調(diào)減少。_x t x證：⑴f-x=o-x-3tftdt二—￡-x3uf-udu令a-二-x，即得f2恵一x=fx。14.設(shè)方程14.設(shè)方程2x「tgx「y二.2x-y 2.亠dysectdt，求一20 dx2解：方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得從而y=1-cos2x-y=sin2x-y設(shè)fX在a,b上連續(xù)，求證:th-ftdt=fx—fa(a：：x：：b)th-ftdt證：設(shè)Fx為fx的原函數(shù)，則左邊=lim1F(x+h)_F(a+h)_F(x)+F(a)]=fx-fa=右邊。x2fl-+x\當(dāng)xZO時(shí)，f(x連續(xù)，且滿足f0')f(t)dt=x，求f(2)解：等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得令x21x=2得x=1將x=1代入得：f25=11TOC\o"1-5"\h\z故f(2)=5。 I|■. ||設(shè)fx在0,1連續(xù)且遞減，證明1;“f(xdx蘭J-f(x)dx，其中九丘(0,1)。牴 l g 嚴(yán)丁 ？盧1 f九 1 、證：0fXdx二0fXdxfXdx1?則fXdx-fxdx$0 J0「1-’f1 ''-1f2，＜ ,1,20,'由于fX遞減，f1乞f21工 扎工故'fxdx-fxdx乞0S J01/即fxdx豈fxdx。F2a-2FaAF2a-2FaA1。設(shè)fx連續(xù)，F(xiàn)x=°ftf2a-tdt，f0=0，fa=1，試證:

2a a證：F2a-2Faftf2a—tdt一2°ftf2a一tdt在第一個(gè)積分中，令2a-t=u，貝U2a而-ftf2a-ta=-f2af0f2a=1故F2a］；-2Fai；=1設(shè)gx是a,b1上的連續(xù)函數(shù)，fX二Xgtdt，試證在a,b內(nèi)方程gx少=0至少有a b-a一個(gè)根。證：由積分中值定理，存在匚三ia,b使fb=0的一個(gè)根。b-a即g-fb=0的一個(gè)根。b-a故是方程gx-設(shè)f(x在a,b】連續(xù)，且f(x)>0，又F(x)=jXf(tjdt+八￡dt，證明:'a 'bf(t)⑴Fx一2(2)Fx=0在a,b內(nèi)有且僅有一個(gè)根。1證：(1)F'(x)=f(x)+^K2f(x)a1 b(2)Fa dt::0，F(xiàn)bftdt0」bf(t) Jav'■■-.J又FX在a,bl連續(xù)，由介值定理知FX=0在a,b內(nèi)至少有一根。又Fx0，則Fx單增，從而Fx=0在a,b內(nèi)至多有一根。故Fx=0在a,b內(nèi)有且僅有一個(gè)根。設(shè)fx在0,2a上連續(xù)，貝U fxdx二3|-fxf2^xdx怕 w2a a 2a證：j0f(xdx=j0f(xdx+jaf(xdx令x=2a-u，dx=-du，貝U故2\xdxfxf2a-xdx』0J0設(shè)fx是以二為周期的連續(xù)函數(shù)，證明：2二”.”.：'..”.sinxxfxdx2x亠ifxdx。-00

2仃證：osinxxfxdx令x=二u，貝U=0■u：；嘖-sinufudu(vfx以二為周期)2it rr故I[sinxxfxdx=o2^ifxdx設(shè)fX在a,b1上正值，連續(xù)，則在a,b內(nèi)至少存在一點(diǎn)■TOC\o"1-5"\h\z￡ b 1bafxdx=fxdx=2afxdx。x b證：令Fx二ftdt-ftdtLa Lx由于a,b時(shí)，fx0，故I故由零點(diǎn)定理知，存在一點(diǎn)：a,b，使得F=0b即〕af(tdt—^f(tdt=oTOC\o"1-5"\h\ztb 匕 b 匕又fxdxfxdx亠ifxdx=2fxdx., b 1b故cf(xdx=仁f(xdx=—[f(xdx。*a 弋 2La1 xffu+1\ 1證明「Inf(x+tdt=\In ^du+[Inf(udu。?o ，0 f(u) 、0c I*I\■■ Ij證：設(shè)X+t=u+1，貝U | . 〔」令u■1=V，貝U1 Xffu+1\ 1b2xfxdx。-a故°lnfxtdtInb2xfxdx。-a設(shè)fx在a,b上連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)增加，則abbfxdx=?a衣 x x證：令Fx二axftdt-2tftdta ax則Fx二ftdraxfx-2xfx*ava ，fx在a,b1嚴(yán)格單增???ft-fx:::0則F?x：：：0,從而Fb::Fa=0r b b即abftd^2tftdr0a a

b b故ab&fxdx：：2&xfxdx設(shè)f(x在kb】上可導(dǎo)，且fgM,f(a)=0，則ffgx礙(b_a)2證：由假設(shè)對(duì)-x.a,b1,可知fx在a,x〕上滿足微分中值定理，則有fX二fX一fa二fX—a，a,x又因fx_M，x三［a,b故fx-Mx_aMb—aMb—a2。于是fxdxmMx「adx二'a ?a27.27.設(shè)fx處處二階可導(dǎo)又ut為任一連續(xù)函數(shù)，1aaofutdt-a1aaofutdt-a即ofutdt亠afa0utdt28?設(shè)fX在a,b上二階可導(dǎo),b“ “且fX<0，貝ufXdx乞b—afa!0ff-Jou(tdtL(a>0)a!0證：由泰勒公式，有其中■在x與Xo之間又因fx_0，故即fX—fX。廣fX。x-X。仝》2IU1a令X=U(t),X°=—J0U(t出a0\A_\ \\k.‘卜弋\/'i'ia aj‘1 a 、 a' a 、則jf(u(t)dt色jf!—ju(t述dt十j ju(tdt% g匕"0丿 $0((a"丿證：對(duì)-x?a,bi,將fx在X。=心處展開(kāi)，得2其中?在x與…之間。2由題設(shè)fx：：0，則f：：：0o

b積分afxdx_b-afb積分afxdx_b-af3+心］丫I2丿2JJax—口dxbfxdx_b-afa設(shè)fx在a,b1上連續(xù)，且fx-0,afxdx^O，證明在la,b1上必有fx三0。TOC\o"1-5"\h\zb b b證：由fX_0得afxdx_o，再由題設(shè)afXdx^O，知.afxdx=0又由于fX_0，對(duì)Xa,b得，0ftdt_Xftdt_o■a *a即:ftdt=0，從而fx二:ftdt=0f(x)在a,b上連續(xù)，且對(duì)任何區(qū)間&,B］ub,b有不等式f(xdx蘭M|0-叫嵋(M，為正常數(shù))，試證在a,b上fX三0。/I #蘆人 x證：令Fx二ftdt，則