高數(shù)第九章無窮級數(shù)

9.2.1正項級數(shù)及其審斂法9.2常數(shù)項級數(shù)的審斂法9.2.2交錯級數(shù)及其審斂法9.2.3絕對收斂與條件收斂9.2

常數(shù)項級數(shù)的審斂法

9.2.1正項級數(shù)及其審斂法正項級數(shù).定理9.2.1(充要條件)這種級數(shù)稱為其部分和數(shù)列{sn}為單調(diào)增加數(shù)列.定理9.2.2(比較審斂法)證明即部分和數(shù)列有界不是有界數(shù)列定理證畢.比較審斂法的不便:須有參考級數(shù).解由圖可知重要參考級數(shù):幾何級數(shù),P-級數(shù),調(diào)和級數(shù).解(2)定理9.2.3比較審斂法的極限形式設(shè)?￥=1nnu與?￥=1nnv都是正項級數(shù),如果則(1)當(dāng)時,二級數(shù)有相同的斂散性;(2)當(dāng)時，若收斂,則收斂;(3)當(dāng)時,若?￥=1nnv發(fā)散,則?￥=1nnu發(fā)散;證明由比較審斂法的推論,得證.(2)(3)的證法相同。故原級數(shù)收斂.(3)所以原級數(shù)發(fā)散。所給級數(shù)收斂。證明定理9.2.4(比值審斂法,達朗貝爾D’Alember審斂法)收斂發(fā)散比值審斂法的優(yōu)點:不必找參考級數(shù).注意:例4

判斷下列各級數(shù)的斂散性解（1）（2）則級數(shù)收斂。(2)

比值法失效。所以原級數(shù)收斂。

注意用比值法失效,一般用比較法.定理9.2.5(根值審斂法,也稱柯西判別法）對于正項級數(shù)證明(i)當(dāng)ρ<1時，取一適當(dāng)小的正數(shù)ε，使ρ+ε=r<1。由極限定義，存在m，即有(ii)略(iii)ρ=1時，仍以p-級數(shù)為例則當(dāng)ρ<1時級數(shù)收斂，當(dāng)ρ>1時級數(shù)發(fā)散，ρ=1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。

當(dāng)n≥m時有不等式，例5

判別下列級數(shù)的斂散性解例6

判別下列級數(shù)的斂散性方法：拆成兩個級數(shù)，收斂方法：根值法，發(fā)散方法：比較法，收斂總結(jié):

稱形如：u1－u2+u3－…+(－1)n-1un+…定理9.2.6(萊布尼茲定理)證明k=1，2，…)的級數(shù)為交錯級數(shù).或－u1+u2－u3+…+(－1)n-1

un+…(2)un→0(n→∞)(1)un≥un

+1；滿足條件9.2.2交錯級數(shù)及其審斂法(其中uk>0,由前一式知{S2n}單調(diào)增加，由后一式知S2n<u1。由數(shù)列判斂的單調(diào)有界準(zhǔn)則知:它也滿足收斂的兩個條件，于是有右端也是一交錯級數(shù)，注意單調(diào)減少不是交錯級數(shù)例7

交錯級數(shù)收斂收斂的必要條件。例8

判斷解顯然原級數(shù)為交錯級數(shù)，記則un單調(diào)減且un→0(n→∞)，依萊布尼茲定理，原級數(shù)收斂。

下面討論一般項級數(shù)u1+u2+u3+…+un+…其中un為任意實數(shù)。

定理9.2.7證明令另一方面，un=2vn－|un|，于是依正項級數(shù)的比較審斂法，進而知顯然有0≤vn≤|un|。9.2.3絕對收斂與條件收斂也收斂。定義9.2.1的依據(jù)是>1，此時un不趨于0(n→∞)，不滿足級數(shù)收斂的必要條件。注意但如果我們是用比值法或根值法判定這是因為這兩種審斂法判定級數(shù)發(fā)散

例9