小專題(六)-構(gòu)造全等三角形的方法技巧-2020秋滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)課件

小專題(六)

構(gòu)造全等三角形的方法技巧第14章

全等三角形小專題(六)構(gòu)造全等三角形的方法技巧第14章全等三角形在證明三角形全等時(shí),有時(shí)需添加輔助線,這對(duì)于學(xué)習(xí)幾何證明不久的學(xué)生而言往往是難點(diǎn).下面介紹證明全等時(shí)常見的三種輔助線.一般地,當(dāng)所證結(jié)論為線段的和、差關(guān)系,且這兩條線段不在同一直線上時(shí),通?？梢钥紤]用截長補(bǔ)短的辦法.三角形問題中涉及中線(中點(diǎn))時(shí),將三角形中線延長一倍,構(gòu)造全等三角形是常用的解題思路.在一些求證三角形問題中,延長某兩條線段(邊)相交,構(gòu)成一個(gè)封閉的圖形,可以找到更多的相等關(guān)系,有助于問題的解決.在證明三角形全等時(shí),有時(shí)需添加輔助線,這對(duì)于學(xué)習(xí)幾何證明不久類型1

連接線段構(gòu)造全等三角形通過連接兩點(diǎn),構(gòu)造出三角形,再證明兩個(gè)三角形全等,然后利用全等三角形的性質(zhì)說明角相等或邊相等.類型1連接線段構(gòu)造全等三角形1.如圖,在△ABC中,AB=AC,M為BC的中點(diǎn),MD⊥AB于點(diǎn)D,ME⊥AC于點(diǎn)E.求證:MD=ME.證明:連接AM.∴△ABM≌△ACM(SSS),∴∠BAM=∠CAM.∵M(jìn)D⊥AB,ME⊥AC,∴∠MDA=∠MEA=90°,又∵AM=AM,∴△AMD≌△AME(AAS),∴MD=ME.1.如圖,在△ABC中,AB=AC,M為BC的中點(diǎn),MD⊥A2.如圖,在△ABC中,∠B=∠C,點(diǎn)E,D,F分別在AB,BC和AC邊上,且BE=CD,BD=CF,過點(diǎn)D作DG⊥EF于點(diǎn)G.求證:2.如圖,在△ABC中,∠B=∠C,點(diǎn)E,D,F分別在AB,小專題(六)-構(gòu)造全等三角形的方法技巧-2020秋滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)課件類型2

利用“截長補(bǔ)短”構(gòu)造全等三角形證明一條線段等于兩條線段的和的方法:“截長法”或“補(bǔ)短法”.“截長法”的基本思路是在長線段上取一段,使之等于其中一條短線段,然后證明剩下的線段等于另一條短線段;“補(bǔ)短法”的基本思路是延長短線段,使之延長部分等于另一條短線段,再證明延長后的線段等于長線段.類型2利用“截長補(bǔ)短”構(gòu)造全等三角形3.如圖1,在△ABC中,AD是∠BAC的平分線,若AB=AC+CD,那么∠ACB與∠ABC有怎樣的數(shù)量關(guān)系?小明通過觀察分析,形成了如下解題思路:

如圖2,延長AC到點(diǎn)E,使CE=CD,連接DE,由AB=AC+CD,可得AE=AB.又因?yàn)锳D是∠BAC的平分線,可得△ABD≌△AED,進(jìn)一步分析就可以得到∠ACB與∠ABC的數(shù)量關(guān)系.3.如圖1,在△ABC中,AD是∠BAC的平分線,若AB=A(1)判定△ABD與△AED全等的依據(jù)是

SAS

(從SSS,SAS,ASA,AAS中選擇一個(gè));

(2)∠ACB與∠ABC的數(shù)量關(guān)系為

∠ACB=2∠ABC

.

請(qǐng)按照以上思路補(bǔ)充解題過程.解:理由:∵△ABD≌△AED,∴∠B=∠E,∵CD=CE,∴∠CDE=∠E,∴∠ACB=2∠E,∴∠ACB=2∠ABC.(1)判定△ABD與△AED全等的依據(jù)是SAS(從SSS4.如圖,已知AP∥BC,∠PAB的平分線與∠CBA的平分線相交于點(diǎn)E,CE的延長線交AP于點(diǎn)D.求證:AD+BC=AB.4.如圖,已知AP∥BC,∠PAB的平分線與∠CBA的平分線證明:在AB上截取AF=AD,∵AE平分∠PAB,∴∠DAE=∠FAE,∴△DAE≌△FAE(SAS),∴∠AFE=∠ADE.∵AD∥BC,∴∠ADE+∠C=180°,∵∠AFE+∠EFB=180°,∴∠EFB=∠C.∵BE平分∠ABC,∴∠EBF=∠EBC,證明:在AB上截取AF=AD,∴△DAE≌△FAE(SAS)∴△BEF≌△BEC(AAS),∴BC=BF,∴AD+BC=AF+BF=AB.∴△BEF≌△BEC(AAS),∴BC=BF,5.如圖,在四邊形OACB中,CM⊥OA于點(diǎn)M,∠1=∠2,CA=CB.求證:∠3+∠4=180°.5.如圖,在四邊形OACB中,CM⊥OA于點(diǎn)M,∠1=∠2,證明:過點(diǎn)C作CE⊥OB,交OB的延長線于點(diǎn)E.∵CM⊥OA,CE⊥OB,∴∠OEC=∠OMC=90°.∴△OEC≌△OMC(AAS),∴CE=CM.又∵CA=CB,∴Rt△BCE≌Rt△ACM(HL),∴∠3=∠CBE,∴∠3+∠4=∠CBE+∠4=180°.證明:過點(diǎn)C作CE⊥OB,交OB的延長線于點(diǎn)E.∴△OEC≌類型3

利用“中線倍長”構(gòu)造全等三角形當(dāng)題目中出現(xiàn)中線時(shí),常常延長中線,使所延長部分與中線的長度相等,然后連接相應(yīng)的端點(diǎn),便可以得到全等三角形.類型3利用“中線倍長”構(gòu)造全等三角形6.如圖,在△ABC中,D為BC的中點(diǎn).(1)求證:AB+AC>2AD;(2)若AB=5,AC=3,求AD的取值范圍.解:(1)延長AD至點(diǎn)E,使DE=AD,連接BE.∵D為BC的中點(diǎn),∴CD=BD.又∵AD=ED,∠ADC=∠EDB,∴△ADC≌△EDB,∴AC=EB.∵AB+BE>AE,∴AB+AC>2AD.(2)∵AB-BE<AE<AB+BE,∴AB-AC<2AD<AB+AC.∵AB=5,AC=3,∴2<2AD<8.∴1<AD<4.6.如圖,在△ABC中,D為BC的中點(diǎn).7.如圖,AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,M為BC的中點(diǎn),求證:DE=2AM.7.如圖,AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,M證明:延長AM至點(diǎn)N,使MN=AM,連接BN.∵M(jìn)為BC的中點(diǎn),∴BM=CM.又∵AM=MN,∠AMC=∠NMB,∴△AMC≌△NMB(SAS),∴AC=BN,∠C=∠NBM,∴∠ABN=∠ABC+