數(shù)學(xué)蘇教版選修2-3學(xué)案1.2排列

1.2排列學(xué)習(xí)目標(biāo)重點、難點1．能說出排列的概念；2．能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式；3．能利用排列數(shù)公式解決簡單的實際問題.重點：排列概念的理解，排列數(shù)公式．難點：利用排列數(shù)公式解決實際問題.1．排列的概念一般地，從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．預(yù)習(xí)交流1如何判斷一個問題是否是排列問題？提示：排列問題與元素的排列順序有關(guān)，是按一定的順序排成一列，如果交換元素的位置，其結(jié)果發(fā)生了變化，叫它是排列問題，否則，不是排列問題．2．排列數(shù)的概念一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號表示．根據(jù)分步計數(shù)原理，我們得到排列數(shù)公式＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中n，m∈N*，且m≤n.n個不同元素全部取出的一個排列，叫做n個不同元素的一個全排列．在排列數(shù)公式中，當(dāng)m＝n時，即有＝n(n－1)(n－2)·…·3·2·1，稱為n的階乘(factorial)，通常用n！表示，即＝n！.我們規(guī)定0?。?，排列數(shù)公式還可以寫成＝.預(yù)習(xí)交流2如何理解和記憶排列數(shù)公式？提示：是m個連續(xù)自然數(shù)的積，最大一個是n，依次遞減，最后一個是(n－m＋1)．在預(yù)習(xí)中，還有哪些問題需要你在聽課時加以關(guān)注？請在下列表格中做個備忘吧！我的學(xué)困點我的學(xué)疑點一、排列問題下列三個問題中，是排列問題的是__________．①在各國舉行的足球聯(lián)賽中，一般采取“主客場制”，若共有12支球隊參賽，求比賽場數(shù)；②在“世界杯”足球賽中，采用“分組循環(huán)淘汰制”，共有32支球隊參賽，分為八組，每組4支球隊進行循環(huán)，問在小組循環(huán)賽中，共需進行多少場比賽？③在乒乓球單打比賽中，由于參賽選手較多，故常采用“抽簽捉對淘汰制”決出冠軍．若共有100名選手參賽，待冠軍產(chǎn)生時，共需舉行多少場比賽？思路分析：交換元素的順序，有影響的是排列問題，否則，不是．答案：①解析：對于①，同樣是甲、乙兩隊比賽，甲作為主隊和乙作為主隊是兩場不同的比賽，故與順序有關(guān)，是排列問題；對于②，由于是組內(nèi)循環(huán)，故一組內(nèi)的甲、乙只需進行一場比賽，與順序無關(guān)，故不是排列問題；對于③，由于兩名選手一旦比賽后就淘汰其中一位，故也與順序無關(guān)，故不是排列問題．下列問題是排列問題嗎？并說明理由．①從1,2,3,4四個數(shù)字中，任選兩個做加法，其結(jié)果有多少種不同的可能？②從1,2,3,4四個數(shù)字中，任選兩個做除法，其結(jié)果有多少種不同的可能？解：①不是排列問題；②是排列問題．理由：由于加法運算滿足交換律，所以選出的兩個元素做加法時，與兩個元素的位置無關(guān)，但做除法時，兩個元素誰是除數(shù)，誰是被除數(shù)不一樣，此時與位置有關(guān)，故做加法不是排列問題，做除法是排列問題．判斷排列問題的原則：①與順序有關(guān)；②元素互不相同；③一次性抽?。?、排列數(shù)問題解方程：3Aeq\o\al(3,x)＝2Aeq\o\al(2,x＋1)＋6Aeq\o\al(2,x).思路分析：先把式中的排列數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的表達式，并注意Aeq\o\al(m,n)中m≤n，且m，n為正整數(shù)這些限制條件，再求解關(guān)于x的方程．解：由3Aeq\o\al(3,x)＝2Aeq\o\al(2,x＋1)＋6Aeq\o\al(2,x)，得3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)．∵x≥3，∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)，即3x2－17x＋10＝0.解得x＝5或x＝eq\f(2,3)(舍)，故x＝5.解不等式：Aeq\o\al(x,9)＞6Aeq\o\al(x－2,6).解：由排列數(shù)公式，原不等式可化為：eq\f(9！,9－x！)＞6×eq\f(6！,6－x＋2！)，∴eq\f(9×8×7,9－x)＞6，解得x＞－75.又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2≥0，,x≤9，,6≥x－2，))∴2≤x≤8.又∵x為整數(shù)，∴原不等式的解集為{2,3,4,5,6,7,8}．有關(guān)以排列數(shù)公式形式給出的方程、不等式，應(yīng)根據(jù)有關(guān)公式轉(zhuǎn)化為一般方程、不等式，再求解，但應(yīng)注意其中的字母都是滿足一定條件的自然數(shù)．三、數(shù)字排列問題用1,2,3,4,5,6,7這7個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，如果組成的四位數(shù)必須是偶數(shù)，那么這樣的四位數(shù)有多少個？思路分析：先排個位數(shù)，再排千、百、十位數(shù)，再由分步計數(shù)原理求得適合條件的四位數(shù)的個數(shù)．解：第一步排個位上的數(shù)，因為組成的四位數(shù)必須是偶數(shù)，個位數(shù)字只能是2,4,6之一，所以有Aeq\o\al(1,3)種排法，第二步排千、百、十這三個數(shù)位上的數(shù)，有Aeq\o\al(3,6)種排法．根據(jù)分步計數(shù)原理，適合條件的四位數(shù)的個數(shù)為N＝Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,6)＝360，所以這樣的四位數(shù)有360個．由0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中小于50萬，又不是5的倍數(shù)的數(shù)有多少個？解：法一：因為0和5不能排在首位和個位，先將它們排在中間4個數(shù)位上有Aeq\o\al(2,4)種排法，再排其他4個數(shù)位有Aeq\o\al(4,4)種排法，由分步計數(shù)原理得，共有Aeq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(4,4)＝12×24＝288個數(shù)符合要求．法二：六個數(shù)位的全排列共有Aeq\o\al(6,6)個，其中0排在首位或個位有2Aeq\o\al(5,5)個，還有5排在首位或個位上的也有2Aeq\o\al(5,5)個，這兩種情況都包含0和5分別在首位或個位上的排法有2Aeq\o\al(4,4)種，所以符合條件的數(shù)字個數(shù)有Aeq\o\al(6,6)－4Aeq\o\al(5,5)＋2Aeq\o\al(4,4)＝288個．關(guān)于數(shù)字問題要注意首位數(shù)字不能為0，其次注意特殊位置或特殊數(shù)字，再考慮其他位置或其他數(shù)．也可用全排列數(shù)減去不合要求的排列數(shù)．1．已知Aeq\o\al(2,n)＝7Aeq\o\al(2,n－4)，則n＝__________.答案：7解析：由排列數(shù)公式得，n(n－1)＝7(n－4)(n－5)，∴3n2－31n＋70＝0，解得n＝7或n＝eq\f(10,3)(舍)．∴n＝7.2．將五輛車停在5個車位上，其中A車不停在1號車位上的停車方案有__________種．答案：96解析：因為A車不停在1號車位上，所以可先將A車停在其他四個車位上，有Aeq\o\al(1,4)種停法；然后將另外四輛車在剩余的四個車位上進行全排列，有Aeq\o\al(4,4)種停法，由分步計數(shù)原理得，共有N＝Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝4×24＝96種不同的停車方案．3．用1,2,3,4,5這5個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)有__________個．答案：36解析：當(dāng)個位數(shù)字分別為1,3,5時，百位、十位上數(shù)字的排列總數(shù)均為Aeq\o\al(2,4)＝12個．由分類計數(shù)原理知，沒有重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)共有12＋12＋12＝36個．4．從甲、乙、丙、丁4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊試驗田上進行試驗，其中甲品種必須入選，則不同的種植方法有多少種？解：本題相當(dāng)于從4個元素中取出3個元素的排列，其中甲元素必取，優(yōu)先考慮甲元素，先排甲，有Aeq\o\al(1,3)種方法，再從乙、丙、丁三個元素中選出兩個元素的排列數(shù)為Aeq\o\al(2,3).則由分步計數(shù)原理得，滿足條件的排列有Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(2,3)＝18種不同的種植方法．5．從7名運動員中選出4人參加4×100米接力賽，求滿足下列條件的方案種數(shù)．(1)甲、乙二人都不跑中間兩棒；(2)甲、乙二人不都跑中間兩棒．解：(1)從甲、乙之外的5人中選2人安排在中間兩棒，有Aeq\o\al(2,5)種方法，再從余下的5人中安排首末兩棒，有Aeq\o\al(2,5)種方法，由分步計數(shù)原理知共有Aeq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(2,5)＝400種不同的安排方案．(2)從7人中選