姿態(tài)的歐拉角表示

題目：比擬分析，找出一種適合乒乓球機器人的末端姿態(tài)的歐拉角方法姿態(tài)的歐拉角表示任何旋轉(zhuǎn)矩陣都可以通過三個歐拉角進展參數(shù)化，一般來說，繞三個坐標(biāo)軸的順次旋轉(zhuǎn)可以到達任意的姿態(tài)，由于旋轉(zhuǎn)矩陣的乘法是非交換的，因此旋轉(zhuǎn)的次序是很重要的。按照旋轉(zhuǎn)所繞軸的次序的不同，共有12種不同的歐拉角。六種非對稱型歐拉角:*YZ，*ZY，Y*Z，YZ*，Z*Y和ZY*;六種對稱型歐拉角:*Y*，*Z*，Y*Y，YZY，Z*Z和ZYZ。記繞三個坐標(biāo)軸的根本旋轉(zhuǎn)矩陣為:1、非對稱型歐拉角表示當(dāng)三個旋轉(zhuǎn)所繞的坐標(biāo)軸相互不同時，稱為非對稱型歐拉角表示。以*YZ歐拉角為例，假定起始時物體坐標(biāo)系與慣性坐標(biāo)系重合，首先剛體繞物體坐標(biāo)系的*-軸旋轉(zhuǎn)α角，接著繞y-軸旋轉(zhuǎn)β角，最后繞z-軸旋轉(zhuǎn)角，則剛體最終的姿態(tài)矩陣為:上式給出了*YZ歐拉角參數(shù)的正運動學(xué)方程，反解該式可求得其逆運動學(xué)方程，給定姿態(tài)矩陣R=【rij】3×3時，可求得其逆運動學(xué)方程為:從上式可以看出，當(dāng)β=π2時，逆運動學(xué)存在奇異。其他五種非對稱型歐拉角表示的姿態(tài)矩陣計算結(jié)果列于表1。這些表示均在β=π2時存在奇異。對稱型歐拉角表示當(dāng)三個旋轉(zhuǎn)所繞的坐標(biāo)軸第一個和第三個一樣時，稱為對稱型歐拉角表示，以ZYZ歐拉角為例，首先繞物體坐標(biāo)系的z-軸旋轉(zhuǎn)α角，接著繞y-軸旋轉(zhuǎn)β角，最后繞*-軸旋轉(zhuǎn)γ角，則剛體最終的姿態(tài)矩陣為:另外還有五種對稱型歐拉角表示的姿態(tài)矩陣列于表2。這些表示均在β=0時存在奇異。歐拉角表示與RPY角表示的對偶性姿態(tài)的三參數(shù)描述還有一種稱為RPY角參數(shù)的方法。1和2中所描述的歐拉角參數(shù)的運動過程都是在物體坐標(biāo)系中進展的，因此其姿態(tài)矩陣是按照矩陣的右乘規(guī)則得到的。而RPY角參數(shù)的運動過程則是在慣性坐標(biāo)系中完成的，其姿態(tài)矩陣是按照矩陣的左乘規(guī)則得到。這樣，與12種歐拉角參數(shù)相對應(yīng)的就有12種RPY角參數(shù)。以ZY*RPY角參數(shù)為例，其運動過程是:假定起始時物體坐標(biāo)系與慣性坐標(biāo)系重合，剛體首先繞慣性坐標(biāo)系的z-軸旋轉(zhuǎn)γ角，接著繞慣性坐標(biāo)系的軸旋轉(zhuǎn)角，最后繞慣性坐標(biāo)系的軸旋轉(zhuǎn)角。最終剛體的姿態(tài)矩陣為:R'ZY*=R(*，α)R(y，β)R(z，γ)=R*YZ。因此，ZY*RPY角參數(shù)與*YZ歐拉角參數(shù)具有對偶關(guān)系。同樣的方法可以求得其他的11種歐拉角參數(shù)與相應(yīng)的11種RPY角參數(shù)之間的對偶關(guān)系。歐拉角參數(shù)表示的一階運動旋轉(zhuǎn)矩陣R滿足正交矩陣的條件，即RRT=1，對這個式子兩邊求導(dǎo)數(shù)，可得R·RT+(R·RT)T，因此是一個反對稱矩陣。我們定義^ω=R·RT為剛體的瞬時空間角速度矩陣，它是在慣性坐標(biāo)系中描述的。下面我們利用公式求剛體的瞬時空間角速度和歐拉角參數(shù)空間角速度之間的關(guān)系。設(shè)R=ABC，其中A、B和C是三種根本旋轉(zhuǎn)矩陣。計算R=ABC的角速度矩陣，有:寫成向量形式有:此處稱為*YZ型歐拉角參數(shù)表示的雅克比矩陣，由detJ*YZ=cosβ可知，J*YZ在β=π/2時出現(xiàn)奇異，這就是*YZ型歐拉角參數(shù)的一階運動奇異位形。其他歐拉角參數(shù)表示的雅可比矩陣列于表3和表4。從表3可以看出，非對稱型歐拉角表示的雅可比矩陣都在β=π/2時出現(xiàn)奇異，因此它們存在大角度的一階運動奇異;從表4可以看出，對稱型歐拉角表示的雅可比矩陣都在β=0時出現(xiàn)奇異，因此它們存在小角度的一階運動奇異。歐拉角參數(shù)表示的二階運動對式(4)繼續(xù)求導(dǎo)，可以得到剛體的瞬時空間角加速度，它也是在慣性坐標(biāo)系中描述的。計算的結(jié)果如下，其他歐拉角參數(shù)表示的矩陣列于表5和表6。從表5可以看出，非對稱歐拉角表示在β=π/2時出現(xiàn)