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Page1專(zhuān)題08大題限時(shí)練八1.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿(mǎn)足,且.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)若,求的前項(xiàng)和.【答案】(1);(2)【詳解】(1)解:因?yàn)?,所以,又因?yàn)?,所以,即,所以?shù)列是首項(xiàng),以3為等比的等比數(shù)列,所以;(2)解:,則,,兩式相減得,所以.2.在中,角,,的對(duì)邊分別為,,,滿(mǎn)足,且的平分線交于點(diǎn).(Ⅰ)求的大小;(Ⅱ)若,且,求的面積.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)【詳解】(Ⅰ)由正弦定理及,知,即,由余弦定理知,,因?yàn)?,所以.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,因?yàn)榈钠椒志€交于點(diǎn),所以,因?yàn)?,所以由角平分線的性質(zhì)知,,因?yàn)?,所以,即,解得,所以的面積.3.2020年將全面建成小康社會(huì),是黨向人民作出的莊嚴(yán)承諾.目前脫貧攻堅(jiān)已經(jīng)進(jìn)入沖刺階段,某貧困縣平原地區(qū)家庭與山區(qū)家庭的戶(hù)數(shù)之比為.用分層抽樣的方法,收集了100戶(hù)家庭2019年家庭年收入數(shù)據(jù)(單位:萬(wàn)元),繪制的頻率直方圖如圖所示,樣本中家庭年收入超過(guò)1.5萬(wàn)元的有10戶(hù)居住在山區(qū).(1)完成2019年家庭年收入與地區(qū)的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為該縣2019年家庭年收入超過(guò)1.5萬(wàn)元與地區(qū)有關(guān).超過(guò)1.5萬(wàn)元不超過(guò)1.5萬(wàn)元總計(jì)平原地區(qū)山區(qū)10總計(jì)附:,其中.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828(2)根據(jù)這100個(gè)樣本數(shù)據(jù),將頻率視為概率.為了更好地落實(shí)黨中央精準(zhǔn)扶貧的決策,從2020年9月到12月,每月從該縣2019年家庭年收入不超過(guò)1.5萬(wàn)元的家庭中選取4戶(hù)作為“縣長(zhǎng)聯(lián)系家庭”,記“縣長(zhǎng)聯(lián)系家庭”是山區(qū)家庭的戶(hù)數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】見(jiàn)解析【詳解】(1)由頻率分布直方圖可知,超過(guò)1.5萬(wàn)元的頻率為,所以超過(guò)1.5萬(wàn)元的戶(hù)數(shù)有戶(hù),又因?yàn)槠皆貐^(qū)家庭與山區(qū)家庭的戶(hù)數(shù)之比為,抽取了100戶(hù),故平原地區(qū)的共有60戶(hù),山區(qū)地區(qū)的共有40戶(hù),又樣本中家庭年收入超過(guò)1.5萬(wàn)元的有10戶(hù)居住在山區(qū),所以超過(guò)1.5萬(wàn)元的有40戶(hù)居住在平原地區(qū),不超過(guò)1.5萬(wàn)元的有20戶(hù)住在平原地區(qū),有30戶(hù)住在山區(qū)地區(qū),故2019年家庭年收入與地區(qū)的列聯(lián)表如下:超過(guò)1.5萬(wàn)元不超過(guò)1.5萬(wàn)元總計(jì)平原地區(qū)402060山區(qū)103040總計(jì)5050100則,所以有的把握認(rèn)為該縣2019年家庭年收入超過(guò)1.5萬(wàn)元與地區(qū)有關(guān);(2)由(1)可知,選1戶(hù)家庭在平原的概率為,山區(qū)的概率為,的可能取值為0,1,2,3,4,所以,,,,,所以的分布列為:01234因?yàn)榉亩?xiàng)分布,所以的數(shù)學(xué)期望.4.如圖所示,在四棱柱中,四邊形為矩形,,四邊形為菱形,,平面平面,點(diǎn)為線段的中點(diǎn),為線段的中點(diǎn).(Ⅰ)證明:;(Ⅱ)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】(Ⅰ)見(jiàn)解析;(Ⅱ)【詳解】證明:(Ⅰ)如圖,取的中點(diǎn),連接,,,因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?,所以,因?yàn)槠矫嫫矫?,平直平面,所以平面,因?yàn)槠矫妫?,易知,所以,因?yàn)?,所以平面,因?yàn)槠矫?,所以;(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以,所在直線分別為軸,軸,以平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,4,,,,2,,所以,,,,設(shè)平面的法向量為,則,即,令,得,設(shè)平面的法向量為,則,即,令,得,所以,所以平面與平面所成二面角的余弦值為.5.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,,且該雙曲線過(guò)點(diǎn).(1)求的方程;(2)如圖,過(guò)雙曲線左支內(nèi)一點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別與雙曲線相交于點(diǎn),和點(diǎn),,當(dāng)直線,均不平行于坐標(biāo)軸時(shí),直線,分別與直線相交于,兩點(diǎn),證明:,兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng).【答案】見(jiàn)解析【詳解】(1)由已知得,解得,,所以的方程為;證明:(2)設(shè)直線的方程為,直線的方程為,點(diǎn),,,,,,,,由,得,則△,得,所以,,同理可得,,,滿(mǎn)足,直線的方程為,令,得,又,,所以,即,同理可得,因?yàn)?,所以,兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng).6.已知函數(shù).(1)若,求曲線在處的切線方程;(2)若在,上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1);(2),【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,則,所以(1),(1),此時(shí),曲線在處的切線方程為,即;(2)在,上恒成立,且(1),所以,(1),因?yàn)?,所以.①?dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)在,上單調(diào)遞增,則(1),不合乎題意;②當(dāng)時(shí),令,則,此時(shí)函數(shù)在,上單調(diào)遞減.若(1),即當(dāng)時(shí),對(duì)任意的,(1)且不恒為零,此時(shí),函數(shù)在,上單調(diào)遞減,則(1),合
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