專題01 圓錐曲線與向量結(jié)合問題（解析版）

圓錐曲線與向量結(jié)合問題高考定位向量具有代數(shù)與幾何形式的雙重身份，平面向量與解析幾何的交匯是新課程高考命中的熱點(diǎn)問題。專題解析它們具體結(jié)合體現(xiàn)在夾角、平行、垂直、共線、軌跡等問題的處理，目標(biāo)是將向量語言坐標(biāo)化、符號(hào)化、數(shù)量化，從而將推理轉(zhuǎn)化為運(yùn)算，或者考慮向量運(yùn)算的幾何意義，利用其幾何意義解決有關(guān)問題.

基礎(chǔ)類型一、垂直例1-1.已知橢圓C：的離心率為，且其右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為1.（1）求C的方程；（2）點(diǎn)M、N在C上，且，證明：存在定點(diǎn)P，使得P到直線的距離為定值.【答案】（1），（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)已知列出方程組，解方程即可求得結(jié)果；（2）若直線與x軸垂直，求得的坐標(biāo)，若直線不與x軸垂直，設(shè)直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立，由可得，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)可得，則有，即可證得存在點(diǎn)符合條件.【詳解】（1）由題意得，解得，，所以橢圓C的方程為；（2）①若直線與x軸垂直，由對(duì)稱性可知，將點(diǎn)代入橢圓方程中，解得；②若直線不與x軸垂直，設(shè)直線的方程為，，，由，消去y整理得，所以，，又，則，即，所以，整理得，即，故存在定點(diǎn).綜上所述，存在定點(diǎn)，使得P到直線的距離為定值.練．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為8．（1）求橢圓的方程；（2）若一條直線與橢圓分別交于，兩點(diǎn)，且，試問點(diǎn)到直線的距離是否為定值，證明你的結(jié)論．【答案】（1）；（2）為定值，證明見解析．【分析】（1）由的周長(zhǎng)為8，求得，再由橢圓離心率，解求得，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，求得點(diǎn)到直線的距離；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算，求得，進(jìn)而得到點(diǎn)到直線的距離，即可得到結(jié)論.【詳解】（1）由題意，的周長(zhǎng)為8，可得，解得，由橢圓離心率，解得．所以橢圓的方程．（2）由題意，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)不妨設(shè)，．又，兩點(diǎn)在橢圓上，∴，，∴點(diǎn)到直線的距離．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為．設(shè)，，聯(lián)立方程，消去得．由已知，，，由，則，即，整理得：，∴，整理得，滿足．∴點(diǎn)到直線的距離為定值．綜上可知，點(diǎn)到直線的距離為定值．練．已知?jiǎng)狱c(diǎn)(其中)到定點(diǎn)的距離比點(diǎn)到軸的距離大1.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過橢圓的右頂點(diǎn)作直線交曲線于?兩點(diǎn)，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)①求證：；②設(shè)?分別與橢圓相交于點(diǎn)?，證明：原點(diǎn)到直線的距離為定值.【答案】（1）；（2）①證明見解析；②證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題意有，化簡(jiǎn)可得答案.

（2）直線的方程為,與拋物線方程聯(lián)立，

①由，將韋達(dá)定理代入可證明.

②由①可得，設(shè)?，直線的方程為，則，由方程聯(lián)立，韋達(dá)定理可得，再由點(diǎn)到直線的距離公式可證明.【詳解】（1）設(shè)由題意，兩邊平方，整理得：所以所求點(diǎn)的軌跡方程為.（2）①設(shè)過橢圓的右頂點(diǎn)的直線的方程為.代入拋物線方程，得.設(shè)?，則∴.∴.②設(shè)?，直線的方程為，代入，得.于是，.從而∵，∴.代入，整理得.∴原點(diǎn)到直線的距離為定值.例1-2．（廣東省東莞市光明中學(xué)2022屆高三下學(xué)期期初T21）．已知橢圓的離心率為，其左?右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且，(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)且斜率為k的動(dòng)直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)M，使以為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）存在，理由見解析.【分析】（1）利用，列出方程可得，再由離心率即可求出，得出橢圓方程；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，借助于韋達(dá)定理，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】(1)，，又，，即，則可得，又，，故所求橢圓方程為；(2)設(shè)直線，代入，有.設(shè)，則，若軸上存在定點(diǎn)滿足題設(shè)，則，，，由題意知，對(duì)任意實(shí)數(shù)都有恒成立，即對(duì)成立.，解得，在軸上存在定點(diǎn),使以為直徑的圓恒過這個(gè)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：（1）得出直線方程，設(shè)交點(diǎn)為，；（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程；（3）寫出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.練．設(shè)分別是平面直角坐標(biāo)系中軸正方向上的單位向量，若向量，，且，其中.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)作直線與軌跡交于，兩點(diǎn)，設(shè)，是否存在直線，使得四邊形是矩形？若存在，求出直線的方程；若不存在，試說明理由.【答案】（1）（2）存在，【分析】通過，得到點(diǎn)M的軌跡為以為焦點(diǎn)，的橢圓，應(yīng)用橢圓的定義得到其軌跡方程；首先判斷直線的斜率是否存在，通過聯(lián)立方程組，得到，結(jié)合，得到四邊形為平行四邊形，若要成為矩形，需有，運(yùn)算化簡(jiǎn)即可得結(jié)果．（1）由題意得，，，，設(shè)，，則動(dòng)點(diǎn)M滿足，由橢圓的定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)橢圓的方程為，則，，，故軌跡的方程為（2）存在滿足條件的直線.設(shè)直線的方程為，由方程組，消去，整理得：則恒成立，即直線與橢圓恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)為，，則①，②由得，即，∴四邊形OAPB為平行四邊形若存在直線使四邊形OAPB為矩形，則，即③將①?②代入③式得：，解得，所以直線的方程為，此時(shí)四邊形OAPB為矩形.練．在圓上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線段，為垂足，當(dāng)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段上有一點(diǎn)，使得，（1）求的軌跡的方程；（2）若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，且以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，求證：點(diǎn)到直線的距離為定值.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）先設(shè)，，根據(jù)題意，得到，，進(jìn)而可求出結(jié)果；（2）先設(shè)直線的方程為，，，根據(jù)題意得到，推出，聯(lián)立直線與橢圓方程，由韋達(dá)定理，以及題中條件，得出，再由點(diǎn)到直線距離公式，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，，由題意可得，，，則，代入，整理得；即所求的軌跡的方程為；（2）設(shè)直線的方程為，，，因?yàn)橐詾橹睆降膱A經(jīng)過原點(diǎn)，所以，則，即，即；聯(lián)立消去得，整理得，則，，即，所以，整理得，則，滿足，又點(diǎn)到直線的距離為為定值.練。（2022南寧模擬）已知雙曲線的右頂點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為．若在的漸近線上存在點(diǎn)，使得，則的離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【法一】由，得三角形AFP是直角三角形，點(diǎn)P在以AF為直徑的圓上，所以圓心到漸近線的距離小于等于半徑，可得【法二】由題意得，，設(shè)，由，得，因?yàn)樵诘臐u近線上存在點(diǎn)，則，即，又因?yàn)闉殡p曲線，則，故選B．基礎(chǔ)類型二、平行共線例2-1（2022?長(zhǎng)寧區(qū)二模）設(shè)、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)、在橢圓上，且不是橢圓的頂點(diǎn)．若，且，則實(shí)數(shù)的值為．【解答】解：因?yàn)?，所以，所以，根?jù)橢圓的對(duì)稱性可知，四邊形一定為平行四邊形，如圖：所以，所以，即，故答案為：1．練（廣東省2022屆高三下學(xué)期六校第三次聯(lián)考T16）已知雙曲線的兩焦點(diǎn)分別為，過右焦點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若且為等腰三角形，則雙曲線的離心率為______.【答案】或【分析】由題意畫出圖形，分與兩類討論，利用，結(jié)合余弦定理求解．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，設(shè)，，則，，，，即，得，，由，得，，得；當(dāng)時(shí)，設(shè)，，則，，，，得，則，，由，得，，得．故答案為：或．例2-2．已知點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，若，則（）A．9 B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立直線l與拋物線方程化簡(jiǎn)可得，設(shè)，，由此可得，結(jié)合可求A,B的坐標(biāo)，再由焦點(diǎn)弦公式求|AB|.【詳解】因?yàn)榻裹c(diǎn)，設(shè)直線l的方程為，代入拋物線方程，得．設(shè)，，由韋達(dá)定理得．因?yàn)椋?，所以．解得，或，，所以，，所以．故選D．練．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn).橢圓以橢圓的長(zhǎng)軸為短軸，且與橢圓有相同的離心率.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作斜率分別為的兩條直線，直線與橢圓分別交于點(diǎn)，直線與橢圓分別交于點(diǎn).（i）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的縱坐標(biāo)；（ii）若兩點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，求證：為定值.【答案】（1）；（2）（i）點(diǎn)A的縱坐標(biāo)：；（ii）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)列出方程組，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）（i）設(shè)出直線的方程，并分別與的方程聯(lián)立求出的橫坐標(biāo)，由代入坐標(biāo)得出，求出的值，再由直線的方程得出點(diǎn)的縱坐標(biāo)；（ii）設(shè)出直線的方程，求出的橫坐標(biāo)，根據(jù)得出，最后由，，求出為定值.【詳解】（1）設(shè)橢圓的方程為由題意可知，解得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）(i)由得；由得；由知，，解得故；(ii)設(shè)直線的方程為，同理可得，由兩點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱知，即，即；由相似三角形的性質(zhì)可知同理，所以.基礎(chǔ)類型三、夾角例3-1.（2022錦州一模）如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，為橢圓的頂點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，若為鈍角，則該橢圓的離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如圖所示，為與的夾角，設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸、短半軸、半焦距分別為，，，向量的夾角為鈍角時(shí)，，又，兩邊除以得，即，解集，又，故選C．練.已知點(diǎn)是雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若是鈍角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D基礎(chǔ)類型四、數(shù)量積例4-1．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，上頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，問：點(diǎn)到直線的距離是否為定值？若是，求出的值；若不是．請(qǐng)說明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）點(diǎn)到直線的距離是，是定值．【分析】（Ⅰ）由題可得，再根據(jù)可在中求出，即得橢圓方程；（Ⅱ）分直線的斜率不存在和直線的斜率存在兩種情況進(jìn)行討論，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程即可證得定值.【詳解】（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為．由已知可得，解得．因?yàn)?，易得在中，，，，．所以，解得．所以橢圓的方程為．（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，軸．由可得．結(jié)合橢圓的對(duì)稱性，可設(shè)，，則．將點(diǎn)代入橢圓的方程，得，解得，所以．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，此時(shí)點(diǎn)到直線的距離，即．設(shè)，，由，可得，則，得．所以，．所以．又因?yàn)椋裕?，解得．所以，得．綜上所述，點(diǎn)到直線的距離是，是定值．練．已知橢圓與直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，，，且的最小值為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，判斷是否為定值，若是求出其值并證明，若不是請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）定值為，證明見解析【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)題意，得到，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，得到，根據(jù)其最小值，求出，即可得出橢圓方程；（2）設(shè)，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理，由弦長(zhǎng)公式，以及點(diǎn)到直線距離公式，求出的面積的最值，得到；得出點(diǎn)的軌跡為橢圓，即可得出為定值.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，由題意知，，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，即，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，，，由，得，，，則點(diǎn)到直線的距離，，取得最大值，當(dāng)且僅當(dāng)即，①此時(shí)，，即，代入①式整理得，即點(diǎn)的軌跡為橢圓，且點(diǎn)為橢圓的左、右焦點(diǎn)，即，故為定值.提高類型一、向量幾何化（三角形法則、平四法則、模距離、零數(shù)量積垂直、數(shù)乘平行）例1-1．設(shè)分別是平面直角坐標(biāo)系中軸正方向上的單位向量，若向量，，且，其中.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)作直線與軌跡交于，兩點(diǎn)，設(shè)，是否存在直線，使得四邊形是矩形？若存在，求出直線的方程；若不存在，試說明理由.【答案】（1）（2）存在，【分析】通過，得到點(diǎn)M的軌跡為以為焦點(diǎn)，的橢圓，應(yīng)用橢圓的定義得到其軌跡方程；首先判斷直線的斜率是否存在，通過聯(lián)立方程組，得到，結(jié)合，得到四邊形為平行四邊形，若要成為矩形，需有，運(yùn)算化簡(jiǎn)即可得結(jié)果．（1）由題意得，，，，設(shè)，，則動(dòng)點(diǎn)M滿足，由橢圓的定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)橢圓的方程為，則，，，故軌跡的方程為（2）存在滿足條件的直線.設(shè)直線的方程為，由方程組，消去，整理得：則恒成立，即直線與橢圓恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)為，，則①，②由得，即，∴四邊形OAPB為平行四邊形若存在直線使四邊形OAPB為矩形，則，即③將①?②代入③式得：，解得，所以直線的方程為，此時(shí)四邊形OAPB為矩形.例1-2．已知點(diǎn)在橢圓：（）上，左頂點(diǎn)為，點(diǎn)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，的最大值和最小值分別為4和．直線點(diǎn)，且與平行，過，兩點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，，當(dāng)矩形的面積為時(shí)，則直線的斜率是______．【答案】【分析】由已知求得a，b，從而求得橢圓的方程，再設(shè)直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，求得弦長(zhǎng)AP，點(diǎn)A到直線的距離，由矩形的面積公式建立方程可求得m的值，從而得出直線的斜率.【詳解】解：因?yàn)?，又，所以，解得，所以橢圓的方程為，則，設(shè)直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立得，所以，而點(diǎn)A到直線的距離為，所以矩形的面積為，解得，所以直線的方程為，所以直線的斜率為，故答案為：.練.(廣東省2022屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題T12)已知雙曲線的右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)的直線與的一條漸近線交于點(diǎn)，直線與的一個(gè)交點(diǎn)為，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A．直線與軸垂直 B．的離心率為C．的漸近線方程為 D．（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）【答案】AB【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)的正誤；求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，求出該雙曲線的離心率，可判斷B選項(xiàng)的正誤；求出的值，可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用兩點(diǎn)間的距離公式可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】由已知得，設(shè)，由，得，所以軸，即，A正確；不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，易知，，，即點(diǎn)，設(shè)，由，得，所以，所以，即．因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，整理得，所以，解得或（負(fù)值舍去），B正確；，故C的漸近線的斜率的平方為，C錯(cuò)誤；不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則，所以，D錯(cuò)誤．故選：AB．練.（廣東省汕頭市金山中學(xué)2022屆高三下學(xué)期學(xué)科素養(yǎng)測(cè)試T21）．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足：（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）直線過點(diǎn)且與軌跡交于點(diǎn)，若是等腰三角形，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）設(shè)，由向量的運(yùn)算性質(zhì)可得，由橢圓的定義可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)DE為：，，聯(lián)立直線DE與橢圓的方程，由韋達(dá)定理可得，，，，計(jì)算，得，由勾股定理可得，解得k，進(jìn)而可得直線的方程.【詳解】（1）設(shè)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓由，，動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為（2）設(shè)為：，由，，，設(shè)直線的斜率分別為，依題或綜上所求直線為：或.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）通過橢圓的定義求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）得到直線的斜率滿足，具備較強(qiáng)的運(yùn)算能力是解題的關(guān)鍵.練.(廣東省2022屆高三下學(xué)期六校第三次聯(lián)考T22)．已知，，橢圓經(jīng)過點(diǎn)且焦距為.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求的最小值；（3）如圖是橢圓旋轉(zhuǎn)一定角度的圖形，請(qǐng)寫出一種尺規(guī)作圖方案以確定其對(duì)稱中心的位置，并在答卷的圖中畫出來，（不必說明理由）.【答案】（1）；（2）；（3）答案見解析.【分析】（1）根據(jù)題意，先分析橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由橢圓的定義，求出的值，進(jìn)而求出的值，即可得到答案；（2）根據(jù)題意，設(shè)，線段的中點(diǎn)為，則，分①當(dāng)直線L不垂直于軸與②當(dāng)直線L垂直于軸兩種情況討論，分析可得，將其代入中可得，分析可得答案；（3）由橢圓的幾何性質(zhì)，先作兩組平行的弦，，再作出弦的中點(diǎn)，連接一對(duì)平行弦的中點(diǎn)即可得橢圓的中心.【詳解】（1）依條件知，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)半軸為，短半軸為，且焦距.，橢圓的兩焦點(diǎn)分別為.橢圓經(jīng)過點(diǎn)，橢圓的方程是；（2）設(shè)，線段的中點(diǎn)為，則.①當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線的斜率為，則直線方程為，，，，又中點(diǎn)在直線（即）上，所以，.②當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，過，此時(shí)也滿足上式.，當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為；（3）作圖方案步驟如下：①先做兩組平行的弦，；②再分別作出四弦的中點(diǎn)，，，；③再過每組平行弦中點(diǎn)作直線，；④作直線，的交點(diǎn)，即為所求.如圖示理由如下（不必寫出），設(shè)為對(duì)稱中心，則，，同理，，同理，其他方案只要合理即可.【點(diǎn)睛】(1)解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．練.已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線在第二象限的交點(diǎn)為，若，則雙曲線的漸近線方程是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，所以，，設(shè)直線的傾斜角為，則為鈍角，，結(jié)合解得，設(shè)，則，，將點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程得，而，所以，化簡(jiǎn)得，，，，，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：A練．已知橢圓：（）上的點(diǎn)到的兩焦點(diǎn)的距離之和為6，的離心率為．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為，點(diǎn)在上，點(diǎn)滿足，且直線，的斜率之積為，證明：為定值．【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）利用橢圓的定義與橢圓的離心率，即可得，，由可求出的值，從而得的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）法一：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，求出的值；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，利用直線與橢圓的位置關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系及向量的線性運(yùn)算求出的值，從而得到結(jié)論．法二：設(shè)出，的坐標(biāo)，利用，的斜率之積為，得，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之間的關(guān)系式，將，的坐標(biāo)代入的方程，分別求出，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之間的關(guān)系式，由向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積可證出為定值．【詳解】解：（1）因?yàn)闄E圓：（）上的點(diǎn)到的兩焦點(diǎn)的距離之和為6，所以，解得，又的離心率為，所以，，又，所以，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）法一：設(shè)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，因?yàn)橹本€，的斜率之積為，所以，即，又，在橢圓上，所以，．因?yàn)?，所以；?dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為（），聯(lián)立方程得消去，得，，設(shè)，則，．因?yàn)橹本€，的斜率之積為，所以，即，得，滿足．因?yàn)?，所以．綜上，為定值．法二：設(shè)，，因?yàn)橹本€，的斜率之積為，所以，即．因?yàn)镸，在橢圓：上，所以，，可得①，②，由①②得，所以，即．由①②得，得．因?yàn)?，所以，因此為定值．提高類型二、向量坐?biāo)化例2-1.已知橢圓C：，，且橢圓C右焦點(diǎn)為，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）過的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若，求直線l的方程.【答案】（1）（2）或【分析】（1）結(jié)合，，求解即可得答案；（2）根據(jù)題意設(shè)直線l的方程為，進(jìn)而與橢圓聯(lián)立方程得，再結(jié)合得，進(jìn)一步求解得即可得答案.（1）解：∵，，∴解得，.∴橢圓C的方程為：（2）解：易知直線l的斜率存在且不為零.設(shè)，，直線l的方程為：.聯(lián)立：，可得.其中由韋達(dá)定理有：又∵，可得代入韋達(dá)定理有，可得解得，.∴直線l的方程為：或.練．如圖，過拋物線的焦點(diǎn)F任作直線l，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，AB與x軸不垂直，且點(diǎn)A位于x軸上方.AB的垂直平分線與x軸交于D點(diǎn).（1）若求AB所在的直線方程；（2）求證：為定值.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由于直線斜率不為0，，所以設(shè)直線，設(shè)，由題意可得，然后直線方程和拋物線方程聯(lián)立，消去，再利用韋達(dá)定理結(jié)合可求出的值，從而可得AB所在的直線方程；（2）設(shè)中點(diǎn)為，則由（1）可得，從而可得AB中垂線，求出點(diǎn)，進(jìn)而可求出的長(zhǎng)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式可求出的長(zhǎng)，從而可求得的值【詳解】解：（1）直線斜率不為0，，設(shè)直線，設(shè)，因?yàn)锳點(diǎn)在x軸上方，所以由，得由代入因，所以，解得所以AB所在直線方程為（2）設(shè)中點(diǎn)為所以AB中垂線(定值)練．已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)A作斜率為的直線與C相交于A，B，且，O坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓的離心率e；（2）若，過點(diǎn)F作與直線平行的直線l，l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn).（ⅰ）求的值；（ⅱ）點(diǎn)M滿足，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為N，求的值.【答案】（1）；（2）（?。?；（ⅱ）.【分析】（1）由幾何關(guān)系可得點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程即得，又即得；（2）（?。⒅本€與橢圓聯(lián)立即得結(jié)果；（ⅱ）將其坐標(biāo)化，利用P，Q，N在橢圓上求得結(jié)果即可．【詳解】（1）已知，則，代入橢圓C的方程：，∴，∴，∴．（2）（?。┯桑?）可得，∴設(shè)直線l：∵，∴聯(lián)立直線l與橢圓C的方程：恒成立∴∴．（ⅱ）設(shè)，∴∵P，Q，N在橢圓上，∴，∴由（?。┛芍啵唷啵殻阎獧E圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，直線y＝kx交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，M是橢圓上不同于P，Q的任意一點(diǎn)，直線MP和直線MQ的斜率分別為k1，k2．（1）證明：k1·k2為定值；（2）過F2的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且，求|AB|．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）設(shè)P（m，n），M（x，y），則Q（-m，-n），則可表示出，進(jìn)而可得的表達(dá)式，又根據(jù)點(diǎn)P，M在橢圓上，利用點(diǎn)差法，即可得證；（2）設(shè)直線l的方程為x＝ty＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立直線與橢圓可得關(guān)于y的一元二次方程，利用韋達(dá)定理，可得的表達(dá)式，根據(jù)，可得的關(guān)系，即可求出，代入弦長(zhǎng)公式，即可求得結(jié)果.【詳解】（1）證明：設(shè)P（m，n），M（x，y），則Q（-m，-n），則，，則，又，，故，所以為定值．（2）設(shè)直線l的方程為x＝ty＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立消去x，得（3t2＋4）y2＋6ty-9＝0，則有，．又，所以-y1＝2y2，故，解得，所以．例2-2．已知橢圓C：()的離心率為，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)F的直線l交橢圓于A?B兩點(diǎn)，交y軸于P點(diǎn)，設(shè)，，試判斷是否為定值？請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）存在，定值為.【分析】（1）由題意可得，，，可求得橢的圓方程；（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立整理得：，設(shè)，，由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得，再根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示出，，代入計(jì)算可求得定值.【詳解】（1）由題可得，又，所以因此橢圓方程為（2）由題可得直線斜率存在，設(shè)直線l的方程為，由消去y，整理得：，設(shè)，，則，又，，則，，由可得，所以同理可得，所以所以，為定值.練．已知橢圓的離心率為，且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓C的方程;（Ⅱ）已知過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，與直線交于點(diǎn)Q，設(shè)，，求證：為定值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析【分析】（Ⅰ）由離心率得，由橢圓過一點(diǎn)．得，兩者結(jié)合可解得，得橢圓方程；（Ⅱ）設(shè)直線方程為，設(shè)，直線方程代入橢圓方程后可得，由，，把用表示，然后計(jì)算并代入即可得證．【詳解】（Ⅰ）由題意，解得，∴橢圓方程為；（Ⅱ）易知直線斜率存在，設(shè)其方程為，設(shè)，由，消元整理得，∴，，把代入得，即，由，得，，由，得，，∴，∴為定值．練．已知直線與圓相切，動(dòng)點(diǎn)到與兩點(diǎn)的距離之和等于、兩點(diǎn)到直線的距離之和．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)的直線交軌跡于不同兩點(diǎn)、，交軸于點(diǎn)，已知，，試問是否等于定值，并說明理由．【答案】（1）；（2）是定值，為，理由詳見解析.【分析】（1）由得動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓可得答案；（2）直線斜率存在取特殊情況可證明，不存時(shí)直線與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合向量可得答案.【詳解】是定值，為，理由如下：（1）設(shè)、、三點(diǎn)到直線的距離分別為、、，為的中點(diǎn)，∵直線與圓相切，∴∴∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓∴，，，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡.（2）①當(dāng)斜率為0時(shí)，，，不妨取，，∴，，則，，，則，∴．②當(dāng)斜率不為0時(shí)，設(shè)，、，則．則由，同理可得由，得，∴，，∴，綜上，為定值．練．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過橢圓C的右焦點(diǎn)作直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若為定值．【答案】(1)(2)-10【分析】試題分析：（Ⅰ）要求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，要有兩個(gè)獨(dú)立的條件，本題中拋物線的焦點(diǎn)是，這樣有，另外由離心率，就可求得，得標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）本題是解析幾何中定值問題，設(shè)出直線方程為，同時(shí)設(shè)交點(diǎn)為，由直線方程與橢圓方程聯(lián)立后消元后可得，利用已知求得（用表示），然后計(jì)算可證得結(jié)論．試題解析：（I）設(shè)橢圓C的方程為，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)是所以由題意知b=1．又有∴橢圓C的方程為（II）方法一：設(shè)A、B、M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為易知右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）．將A點(diǎn)坐標(biāo)代入到橢圓方程中，得去分母整理得方法二：設(shè)A、B、M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為又易知F點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）．顯然直線l存在的斜率，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程是將直線l的方程代入到橢圓C的方程中，消去y并整理得又練．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)．（1）若直線與圓：相切，求直線的方程；（2）若直線與軸的交點(diǎn)為．且，，試探究：是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，試說明理由．【答案】（1）；（2），理由見解析；【分析】（1）由直線過焦點(diǎn)，且與半徑為，圓心的圓相切知圓心到直線的距離即可求直線斜率，進(jìn)而得到直線方程；（2）由直線與拋物線、軸的交點(diǎn)情況知斜率存在且，令，聯(lián)立方程得，又，，應(yīng)用向量共線的坐標(biāo)表示有即可確定是否為定值.【詳解】（1）由題意知：且圓的半徑為，圓心，即有在圓外，∴設(shè)直線為，則圓心到直線的距離，解之得：，即直線的方程為.（2）由過的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為，即斜率存在且，設(shè)直線為，有，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，有，可得，設(shè)，，即有，，，，，由，，可得，，∴，即可得為定值練．已知點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)的直線與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B，且直線PA交軸于M，直線PB交軸于N.（1）求拋物線C的方程；（2）求直線的斜率的取值范圍；（3）設(shè)O為原點(diǎn)，，求證：為定值.【答案】（1）（2）（3）定值為2【分析】(1)將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入即可求出拋物線C的方程.(2)設(shè)出直線l方程，聯(lián)立直線l與拋物線C的方程，借助判別式即可計(jì)算得解.(3)利用給定的向量關(guān)系，用點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)表示和，結(jié)合(2)的信息并借助韋達(dá)定理即可計(jì)算作答.（1）因點(diǎn)在拋物線上，則，解得，所以拋物線C的方程為.（2）令直線的斜率為k，則直線方程為：，由消去y并整理得：，因直線與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B，則，解得且，又直線PA，PB與相交，而點(diǎn)(1，-2)在拋物線C上，則直線不能過點(diǎn)(1，-2)，否則PA或PB之一平行于y軸，矛盾，因此，綜上得：，且，所以直線的斜率的取值范圍.（3）設(shè)點(diǎn)，，，而，則，同理，設(shè)，由(2)知，直線方程：，即，則，令，得，同理，于是得，所以為定值2.練．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)之比為2，過點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓相切．（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，若，．證明：為定值．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）得到以及切線方程，然后假設(shè)橢圓方程為：，聯(lián)立切線與橢圓方程使用可得結(jié)果.（2）討論直線為軸與不是軸，假設(shè)直線方程，并與橢圓聯(lián)立，使用韋達(dá)定理，然后得到，最后代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可.【詳解】（1）由題意知：，，切線方程為，設(shè)橢圓方程為：，直線與橢圓聯(lián)立：得，，即，得，∴橢圓方程為：（2）當(dāng)為軸時(shí)，易得，，．當(dāng)不為軸時(shí)，設(shè)直線，，直線與橢圓聯(lián)立：，得，，，直線，令，則，即，，，，，，，，，，將（*）代入得：．（設(shè)直線的方程為時(shí)可以不用討論）練．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，直線的傾斜角為60°，原點(diǎn)到直線的距離是．（1）求的方程；（2）過上任一點(diǎn)作直線，分別交于，（異于的兩點(diǎn)），且，，探究是否為定值？若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）是定值，定值為6．【分析】（1）先求出，然后由點(diǎn)到直線的距離列出關(guān)于的方程，求出的值，進(jìn)而得到的值，從而得到的方程；（2）①當(dāng)點(diǎn)為橢圓右頂點(diǎn)時(shí)，求出；②當(dāng)點(diǎn)為橢圓左頂點(diǎn)時(shí)，求出；③當(dāng)點(diǎn)不為橢圓頂點(diǎn)，即直線，的斜率均不為零時(shí)，設(shè)直線，的方程，分別與橢圓方程聯(lián)立，得到韋達(dá)定理，然后利用向量的關(guān)系，求出，，即可得到答案．【詳解】（1）由題意，點(diǎn)，直線的傾斜角為60°，所以，在中，求得點(diǎn)到直線的距離是，又由原點(diǎn)到直線的距離是，則，所以，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）①當(dāng)點(diǎn)為橢圓右頂點(diǎn)時(shí)，，，所以；②當(dāng)點(diǎn)為橢圓左頂點(diǎn)時(shí)，同理可得；③當(dāng)點(diǎn)不為橢圓頂點(diǎn)，即直線，的斜率均不為零時(shí)，設(shè)直線的方程是，直線的方程是，分別代入橢圓方程，可得和，設(shè)，，，則，，由，可得，則，由直線的方程，可得，所以，由，同理可得，所以為定值．綜上所述，為定值6．提高類型三、探索“向量關(guān)系”例3-1．已知橢圓C：的離心率為，且是C上一點(diǎn)．（1）求橢圓C的方程；（2）過右焦點(diǎn)作直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)M，使為定值？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及該定值；若不存在，試說明理由．【答案】（1）（2）存在；，該定值為【分析】（1）根據(jù)題意，將點(diǎn)代入橢圓方程，再橢圓離心率公式和，由此即可求出結(jié)果；（2）設(shè)直線AB的方程為，將其與橢圓方程聯(lián)立化簡(jiǎn)，求出韋達(dá)定理，設(shè)根據(jù)數(shù)量積公式和韋達(dá)定理化簡(jiǎn)可得，根據(jù)為定值，即可求出結(jié)果.（1）解：由題意知，∴橢圓C的方程為．（2）解：設(shè)直線AB的方程為，，，，即，所以假設(shè)存在這樣的符合題意，則，，要使其為定值，則，解得．∴存在符合題意，該定值為．練1．已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)作直線，且直線交橢圓于，兩點(diǎn)，問軸上是否存在一點(diǎn)，使得為常數(shù)，若存在，求出坐標(biāo)及該常數(shù)，若不存在，說明理由．【答案】（1）（2）在軸上有在定點(diǎn)，使得恒為常數(shù)，這個(gè)常數(shù)為【分析】（1）利用待定系數(shù)法設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由橢圓的幾何性質(zhì)，列出方程組，求出，的值，再利用，，的關(guān)系求出，即可得到答案；（2）①當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)出直線方程，然后與橢圓方程聯(lián)立，得到韋達(dá)定理，然后利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)，利用它是常數(shù)，求出的值，得到坐標(biāo)及該常數(shù)；②當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，求出，的坐標(biāo)，求出的值以及常數(shù)．結(jié)合以上兩種情況，即可確定答案．（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可得，，解得，所以，故橢圓的方程為；（2）由（1）可知，，假設(shè)在軸上存在一點(diǎn)，使得恒為常數(shù)．①當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)其方程為，設(shè)，，，，聯(lián)立方程組，可得，所以，，故，因?yàn)槭桥c無關(guān)的常數(shù)，則有，即，此時(shí)；②當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，當(dāng)時(shí)，亦有．綜上所述，在軸上有在定點(diǎn)，使得恒為常數(shù)，這個(gè)常數(shù)為．練．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)連線構(gòu)成等邊三角形，且橢圓C的短軸長(zhǎng)為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在過點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)M，N，且滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【分析】（1）由題意得，解方程組可求出的值，從而可求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不符合題意，所以直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，，，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系，再結(jié)合可求出的值，從而可求出直線方程【詳解】（1）由題意得：，解得∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，不符合題意當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，由消整理得：，解得或，∴∵∴解得，滿足所以存在符合題意的直線，其方程為.練3．已知橢圓的離心率為，兩焦點(diǎn)，與橢圓上的頂點(diǎn)構(gòu)成邊長(zhǎng)為2的等邊.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使得為定值？如果有，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及定值；如果沒有，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）存在點(diǎn)，定值為.【分析】（1）根據(jù)是等邊且邊長(zhǎng)為2，及，列出方程組，可求解；（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，用坐標(biāo)表示：代入韋達(dá)定理即得解，當(dāng)斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證成立即可【詳解】（1）∵，∴，，∵是等邊且邊長(zhǎng)為2，∴，，又，∴，故，，，∴橢圓方程為.（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，，，，則.若存在定點(diǎn)滿足條件，則有，如果要上式為定值，則必須有因此點(diǎn)；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線，代入橢圓方程可得此時(shí)成立；故存在點(diǎn)滿足.練．橢圓的上下焦點(diǎn)分別為，，離心率為，為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的面積最大值為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，是否存在軸上的點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）存在；．【分析】（1）根據(jù)離心率可得，根據(jù)面積得，求得即可得出方程；（2）設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，得出韋達(dá)定理，可化簡(jiǎn)得出，滿足即可.【詳解】（1）離心率，所以，所以．因?yàn)榈拿娣e最大值為，所以，即，所以，故．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）假設(shè)存在符合要求的點(diǎn)．若直線斜率存在，則可設(shè)直線的方程為．聯(lián)立，消去，整理得．由題意可知，設(shè)，，則，，因?yàn)椋?，所以若為定值，則，解得，則，此時(shí)．若直線斜率不存在，則直線的方程為，代人得，不妨設(shè)，，此時(shí)若取，則，，故．綜上所述，存在軸上的點(diǎn)，使得為定值，此時(shí)．練．已知橢圓過，兩點(diǎn)，直線交橢圓于，兩點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線過點(diǎn)，是否存在常數(shù)，使得為定值，若存在，求的值及定值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）存在，，為定值.【分析】（1）由已知條件可得，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程中可求出的值，從而可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線為，將直線方程代入橢圓方程中，消去后，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，然后由化簡(jiǎn)后代入前面的值，可得，從而有，可求出，進(jìn)而可得結(jié)果，當(dāng)當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直接可求出的坐標(biāo)，從而可求得的值【詳解】（1）由已知得且，解得，∴橢圓方程為.（2）①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線為代入得：，，，若為定值，故，解得，定值為②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，所以，，，，，，當(dāng)時(shí)，綜上所述，存在常數(shù)，使得為定值.練．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，且經(jīng)過點(diǎn)；過點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B．（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在直線l，滿足，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）存在直線l滿足條件，其方程為【分析】（1）設(shè)橢圓C的方程為，根據(jù)橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，且經(jīng)過點(diǎn)，可得，即可得到答案；（2）由題意得直線l的斜率必存在，設(shè)直線l的方程為：，利用韋達(dá)定理，代入向量等式可得，求出的值，即可得到答案；（1）（1）∵中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，且經(jīng)過點(diǎn)，∴設(shè)橢圓C的方程為，由題意得，解得，∴橢圓C的方程為．（2）∵過點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，∴若存在直線l滿足題意，則直線l的斜率必存在，設(shè)直線l的方程為：，由，得，∵直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A、B，設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，∴，整理，得，解得，又，∵，即，∴，∴，∴，解得，∵，∴，∴存在直線l滿足條件，其方程為．練．已知橢圓：（）的離心率為，長(zhǎng)軸端點(diǎn)和短軸端點(diǎn)的距離為．（1）求橢圓的方程；（2）若為橢圓上異于橢圓端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)且平行于的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)），是否存在實(shí)數(shù)，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）存在，.【分析】（1）首先根據(jù)題意得到，再解方程組即可得到答案。（2）首先設(shè)過點(diǎn)的直線：，設(shè)，，與橢圓聯(lián)立得到，從而得到，聯(lián)立得到，根據(jù)得到，代入求解即可?！驹斀狻浚?）依題意得，所以橢圓的方程：。（2）因?yàn)槭菣E圓上異于橢圓端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，且，故直線的斜率存在．設(shè)過點(diǎn)的直線：，設(shè)，．由，消去并整理，得．。由。又因?yàn)?，．綜上，存在實(shí)數(shù)，使得成立，且．練．已知橢圓的右焦點(diǎn)F2是拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)垂直于軸的直線被橢圓所截得的線段長(zhǎng)度為3．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)動(dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn)．請(qǐng)問：在x軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）存在，.【分析】（1）由題知焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，進(jìn)而根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；，（2）假設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)，使得為定值，設(shè)，則，進(jìn)而聯(lián)立方程得，故，進(jìn)而令即可求解得答案.【詳解】解：（1）∵拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，橢圓C過點(diǎn)，∴，解得，∴（2）假設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)，使得為定值.設(shè)，則，由，得，∵動(dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴,即，此時(shí)，∴.∴∴∴當(dāng)時(shí)，即，∴存在點(diǎn)，使得為定值練．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與上、下頂點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，以橢圓的短軸為直徑的圓與直線相切．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過橢圓右焦點(diǎn)且不重合于軸的動(dòng)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，探究在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）存在；．【分析】（1）由橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與上、下頂點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，以橢圓的短軸為直徑的圓與直線相切，列出方程組，求得的值，即可求解；（2）①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算求得，進(jìn)而得到，確定定點(diǎn)，②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證成立，即可得到結(jié)論.【詳解】（1）由題意，橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與上、下頂點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，以橢圓的短軸為直徑的圓與直線相切，可得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，由，且，，假設(shè)軸上存在定點(diǎn)，使得為定值，則，要使得為定值，則的值與無關(guān)，所以，解得，此時(shí)為定值，定點(diǎn)，②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，，則，，可得，綜上所述，在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值．練．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線l交于M，N兩點(diǎn)，已知點(diǎn)，直線BM，BN分別交x軸于點(diǎn)E，F(xiàn).試問在軸上是否存在一點(diǎn)G，使得？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）存在，點(diǎn).【分析】（1）由直譯法列出方程化簡(jiǎn)即可；（2）設(shè)出直線方程，以及，,，,通過代換用表示，化簡(jiǎn)得到一個(gè)常數(shù)即可.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，則，化簡(jiǎn)得故動(dòng)點(diǎn)的軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)直線的方程為聯(lián)立方程組，得，得:或，.設(shè)，定點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為，，則令，求出與軸的交點(diǎn)，，，即有:即即當(dāng)直線與軸重合時(shí)，解得所以存在定點(diǎn)，的坐標(biāo)為.練．已知橢圓C：，過點(diǎn)的直線l交橢圓C于點(diǎn)A，B.（1）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，求；（2）在x軸上是否存在定點(diǎn)P，使為定值？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及的值；若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)存在點(diǎn)，使得【分析】(1)將代入橢圓方程求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，從而可得答案.

(2)當(dāng)直線l與x軸不重合時(shí)，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，將的坐標(biāo)表達(dá)式寫出來，將韋達(dá)定理代入，分析式子為定值的條件，再驗(yàn)證直線l與x軸重合時(shí)的情況，可得答案.【詳解】(1)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),直線將代入，得，解得即,所以(2)設(shè)當(dāng)直線l與x軸不重合時(shí)，設(shè)由，可得則所以，當(dāng)，即時(shí)，的值為定值與無關(guān).當(dāng)直線l與x軸重合時(shí)，且時(shí)，所以存在點(diǎn)，使得為定值.練．已知雙曲線的離心率為，點(diǎn)在上．（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線l與曲線交于M，N兩點(diǎn)，問在x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得為常數(shù)？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)及此常數(shù)的值，若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）存在；；定點(diǎn)．【分析】（1）由已知得到a、b、c的方程組，解出a、b、c，即可求出雙曲線的方程；（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)定點(diǎn)，聯(lián)立方程組，用“設(shè)而不求法”表示出為常數(shù)，求出t，即可求出定點(diǎn)Q.【詳解】解：（1）由題意，，解得，．∴雙曲線方程為；（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)定點(diǎn)，聯(lián)立，得．∴，且，解得且．設(shè)，，∴，，∴，．∴為常數(shù)，與無關(guān)，∴，即，此時(shí)．∴在軸上存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)．練．已知橢圓的離心率，過右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，在第一象限，且．（1）求橢圓的方程；（2）在軸上是否存在點(diǎn)，滿足對(duì)于過點(diǎn)的任一直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)，，都有為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）存在點(diǎn)，滿足為定值．.【分析】（1）根據(jù)題意得出，及，直線與橢圓聯(lián)立解出即可得出橢圓方程；（2）設(shè)出直線方程（要分類討論），聯(lián)立直線與橢圓，將向量的數(shù)量積用的形式表示，再利用韋達(dá)定理整理并分析出得到定值的條件即可求解.【詳解】（1）由，及，得，設(shè)橢圓方程為，聯(lián)立方程組得．則，所以．所以．所以橢圓的方程為．（2）當(dāng)直線不與軸重合時(shí)，設(shè)，聯(lián)立方程組得．設(shè)，，，則有，．于是，若為定值，則有，得，．此時(shí)：當(dāng)直線與軸重合時(shí)，，，也有．綜上，存在點(diǎn)，滿足為定值．練．已知雙曲線，直線交雙曲線于兩點(diǎn).（1）求雙曲線的頂點(diǎn)到其漸近線的距離；（2）若過原點(diǎn)，為雙曲線上異于的一點(diǎn)，且直線的斜率均存在，求證：為定值；（3）若過雙曲線的右焦點(diǎn)，是否存在軸上的點(diǎn)，使得直線繞點(diǎn)無論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，都有成立？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）存在點(diǎn)，使得.【分析】（1）由雙曲線方程可得頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程，由點(diǎn)到直線距離公式可求得結(jié)果；（2）設(shè)，，，表示出，將代入雙曲線方程，兩式作差整理可得定值；（3）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，與雙曲線方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算可表示出，由此可構(gòu)造方程組求得，得