同濟大學第一章函數極限

第一篇函數、極限與連續(xù)第一章函數、極限與連續(xù)高等數學的主要內容是微積分，微積分是以變量為研究對象，以極限方法為基本研究手段的數學學科.本章第一復習函數有關內容，既而介紹極限的觀點、性質、運算等知識，最后經過函數的極限引入函數的連續(xù)性觀點，這些內容是學習高等數學課程極其重要的基礎知識.第1節(jié)

會合與函數會合會合議論函數離不開會合的觀點.一般地，我們把擁有某種特定性質的事物或對象的整體稱為會合，構成會合的事物或對象稱為該會合的元素.往常用大寫字母A、B、C、表示會合，用小寫字母a、b、c、表示會合的元素.假如a是會合A的元素，則表示為aA，讀作“a屬于A”；假如a不是會合A的元素，則表示為aA，讀作“a不屬于A”.一個會合，假如它含有有限個元素，則稱為有限集；假如它含有無窮個元素，則稱為無限集；假如它不含任何元素，則稱為空集，記作.會合的表示方法往常有兩種：一種是列舉法，即把會合的元素一一列舉出來，并用“｛｝”括起來表示會合.比如，有1,2,3,4,5構成的會合A，可表示成A={1,2,3,4,5}

；第二種是描繪法，即設會合M所有元素x的共同特色為P，則會合M可表示為Mx|x擁有性質P.比如，會合A是不等式x2x20的解集，就能夠表示為Ax|x2

x2

0

.由實數構成的會合，稱為數集，初等數學中常有的數集有：（1）全體非負整數構成的會合稱為非負整數集（或自然數集），記作

N

，即N0,1,2,3,

,n,

；（2）所有正整數構成的會合稱為正整數集，記作N，即N1,2,3,,n,；（3）全體整數構成的會合稱為整數集，記作Z，即Z,n,,3,2,1,0,1,2,3,,n,；（4）全體有理數構成的會合稱為有理數集，記作

Q，即Q

p

p

Z,q

N,且p與q互質；q（5）全體實數構成的會合稱為實數集，記作R.區(qū)間與鄰域在初等數學中，常有的在數集是區(qū)間.設a,bR，且ab，則（1）開區(qū)間(a,b)x|axb；（2）半開半閉區(qū)間[a,b)x|axb，(a,b]x|axb；（3）閉區(qū)間[a,b]x|axb；（4）無量區(qū)間[a,)x|xa，(a,)x|xa，(,b]x|xb，(,b)x|xb，(,)x|xR.以上四類統稱為區(qū)間，此中（1）-（4）稱為有限區(qū)間，（5）-（8）稱為無窮區(qū)間.在數軸上能夠表示為（圖1-1）：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）圖1-1在微積分的觀點中，有時需要考慮由某點x0鄰近的所有點構成的會合，為此引入鄰域的觀點.定義1設為某個正數，稱開區(qū)間(x0,x0)為點x0的鄰域，簡稱為點x0的鄰域，記作U(x,)，即0U(x0,)x0|x0xx0x||xx0|.在此，點x0稱為鄰域的中心，稱為鄰域的半徑，圖形表示為（圖1-2）：圖1-2o此外，點x0的鄰域去掉中心x0后，稱為點x0的去心鄰域，記作U(x0,)，即oU(x0,

)

x|0

|x

x0

|

,圖形表示為（圖1-3）：圖1-3此中(x0,x0)稱為點x0的左鄰域，(x0,x0)稱為點x0的右鄰域.函數的觀點函數的定義定義2設x、y是兩個變量，D是給定的數集，假如對于每個xD，經過對應法例f，有獨一確立的y與之對應，則稱y為是x的函數，記作yf(x).此中x為自變量，y為因變量，D為定義域,函數值f(x)的全體成為函數f的值域，記作Rf，即Rfy|yf(x),xD.函數的記號是能夠隨意選用的,除了用f外,還可用“g”、“F”、“”等表示.但在同一問題中,不一樣的函數應采用不一樣的記號.函數的兩因素：函數的定義域和對應關系為確立函數的兩因素.例1求函數y11x2的定義域.x解1的定義區(qū)間知足：x0；1x2的定義區(qū)間知足：1x20，解得1x1.x這兩個函數定義區(qū)間的公共部分是1x0或0x1.所以，所求函數定義域為[1,0)(0,1].例2判斷以下各組函數能否相同.（1）f(x)2lgx，g(x)lgx2；（2）f(x)3x4x3，g(x)x3x1；（3）f(x)x，g(x)x2.解（1）f(x)2lgx的定義域為x0，g(x)lgx2的定義域為x0.兩個函數定義域不一樣，所以f(x)和g(x)不相同.（2）f(x)和g(x)的定義域為一的確數.f(x)3x4x3x3x1g(x),所以f(x)和g(x)是相同函數.（3）f(x)x，g(x)函數的表示法有表格法、在此不再多做說明.函數舉例:

x2x,故二者對應關系不一致，所以f(x)和g(x)不相同.圖形法、分析法(公式法)三種.常用的是圖形法和公式法兩種.1,x0例3函數ysgnx0,x0，函數為符號函數，定義域為R，值域1,0,1.如1,x0圖1-4：圖1-4例4函數yx，此函數為取整函數，定義域為R，設x為隨意實數,y不超出x的最大整數，值域Z.如圖1-5：圖1-5特別指出的是，在高等數學中還出現另一類函數關系，

一個自變量

x經過對于法例

f

有確立的y值與之對應，但這個我們稱這樣的對應法例確立了一個

y值不老是獨一多值函數.

.這個對應法例其實不切合函數的定義，習慣上函數的性質設函數yf(x)，定義域為D，ID.（1）函數的有界性定義3若存在常數M0，使得對每一個xI，有f(x)M，則稱函數f(x)在I上有界.若對隨意M0，總存在x0I，使f(x0)M，則稱函數f(x)在I上無界.如圖1-6：圖1-6比如函數f(x)sinx在(,)上是有界的:sinx1.函數f(x)1在(0,1)x內無上界，在(1,2)內有界.（2）函數的單一性設函數yf(x)在區(qū)間I上有定義,x1及x2為區(qū)間I上隨意兩點,且x1x2.假如恒有f(x1)f(x2),則稱f(x)在I上是單一增添的；假如恒有f(x1)f(x2),則稱f(x)在I上是單一遞減的.單一增添和單一減少的函數統稱為單一函數（圖1-7）.圖1-7（3）函數的奇偶性設函數yf(x)的定義域D對于原點對稱.假如在D上有f(x)f(x),則稱f(x)為偶函數；假如在D上有f(x)f(x),則稱f(x)為奇函數.比如，函數f(x)x2，因為f(x)(x)2x2f(x)，所以f(x)x2是偶函數；又如函數f(x)x3，因為f(x)(x)3x3f(x)，所以f(x)x3是奇函數.如圖1-8：圖1-8從函數圖形上看，偶函數的圖形對于y軸對稱，奇函數的圖形對于原點對稱.函數的周期性設函數yf(x)的定義域為D.假如存在一個不為零的數l,使得對于任一xD有xlD,且fxlf(x),則稱f(x)為周期函數,l稱為f(x)的周期.假如在函數f(x)的所有正周期中存在一個最小的正數，則我們稱這個正數為f(x)的最小正周期.我們往常說的周期是指最小正周期.比如，函數ysinx和ycosx是周期為2的周期函數，函數ytanx和ycotx是周期為的周期函數.在此，需要指出的是某些周期函數不必定存在最小正周期.比如，常量函數f(x)C，對隨意實數l，都有f(xl)f(x)，故隨意實數都是其周期，但它沒有最小正周期.又如，狄里克雷函數1,xQD(x)Qc，0,x當xQc時，對隨意有理數l，xlQc，必有D(xl)D(x)，故隨意有理數都是其周期，但它沒有最小正周期.反函數在初等數學中的函數定義中，若函數f:Df(D)為單射,若存在f1:f(D)D，稱此對應法例f1為f的反函數.習慣上,yf(x),xD的反函數記作yf1(x),xf(D).比如，指數函數yex,x(,)的反函數為ylnx,x(0,)，圖像為（圖1-9）圖1-9反函數的性質：（1）函數yf(x)單一遞加(減)，其反函數yf1(x)存在，且也單一遞加（減）.（2）函數yf(x)與其反函數yf1(x)的圖形對于直線yx對稱.下邊介紹幾個常有的三角函數的反函數：正弦函數ysinx的反函數yarcsinx，正切函數ytanx的反函數yarctanx.反正弦函數yarcsinx的定義域是[1,1]，值域是,；反正切函數yarctanx的22定義域是(,)，值域是,，如圖1-10：229圖1-10復合函數定義4設函數yf(u),uDf，函數ug(x),xDg,值域RgDf，則yfg(x)或yfg(x),xDg稱為由yf(u),ug(x)復合而成的復合函數，此中u為中間變量.注：函數g與函數f構成復合函數fg的條件是RgDf，不然不可以構成復合函數.比如，函數yarcsinu，u[1,1]，ux22,xR.在形式上能夠構成復合函數yarcsinx22.可是ux22的值域為[2,)[1,1]，故yarcsinx22沒存心義.在后邊的微積分的學習中，也要掌握復合函數的分解，復合函數的分解原則：從外向里，層層分解，直至最內層函數是基本初等函數或基本初等函數的四則運算.例5對函數yasinx分解.解yasinx由yau，usinx復合而成.例6對函數ysin2(2x1)分解.解ysin2(2x1)由yu2，usinv，v2x1復合而成.初等函數在初等數學中我們已經接觸過下邊各種函數：常數函數：yC（C為常數）；冪函數：yx(0)；指數函數：yax(a0且a1)；對數函數：ylogax(a0且a1)；三角函數：ysinx,ycosx,ytanx,ycotx,ysecx,ycscx；反三角函數：yarcsinx,yarccosx,yarctanx,yarccotx.這六種函數統稱為基本初等函數.定義5由基本初等函數經過有限次的四則運算和有限次的復合步驟所構成的并用一個式子表示的函數，稱為初等函數.比如，yesinx，ysin(2x1)，ycotx等都是初等函數.2需要指出的是，在高等數學中碰到的函數一般都是初等函數，可是分段函數不是初等函數，因為分段函數一般都有幾個分析式來表示.可是有的分段函數經過形式的轉變，能夠用一個式子表示，就是初等函數.比如，函數x,x0y，x,x0可表示為yx2.習題1-1求以下函數的定義域.（1）y1x2；（2）（3）ylnxx2；（4）2（5）y5（6）；x24

y14x2；1xyarcsinx34；yln(3x)x.2以下各題中，函數f(x)和g(x)能否相同，為何（1）2f(x)xg(x)x2f(x)lgx，g(x)2lgx；（），；2（3）f(x)x，g(x)elnx；（4）f(x)x，g(x)sin(arcsinx).3.已知f(x)的定義域為[0,1]，求以下函數的定義域.（1）f(x2)；（2）f(tanx)；（3）f(xa)f(xa)(a0).4.設fx1x23x5，求f(x)，f(x1).5.判斷以下函數的奇偶性.（1）ysinxtanx；（2）（3）yexex（4）；2

ylgxx21；yx(x31)；1x,x0（5）yx,x.106.設以下考慮的函數都是定義在區(qū)間(l,l)(l0)上的，證明：（1）兩個偶函數的和是偶函數，兩個奇函數的和是奇函數；2）兩個偶函數的乘積是偶函數，兩個奇函數的乘積是偶函數，偶函數和奇函數的乘積是奇函數.以下函數中哪些是周期函數假如是，確立其周期.（1）ysin(x1)；（2）ycos2x；（3）y1sinx；（4）ycos2x.8.求以下函數的反函數.（1）y3x1；（2）ex（3）y；（4）x1ex,x1

y1lg(x2)；y2sinxx(,)；2（5）yx2,1x4.2x,x49.以下函數是有哪些函數復合而成的.（1）ysin(3x1)；（2）ycos3(12x)；（3）yln(arcsin(x1))；（4）yesinx2.10.設f(x)x2，(x)lnx，求f(x)，ff(x)，f(x).第2節(jié)極限極限在高等數學中據有重要地位，微積分思想的構架就是用極限制義的.本節(jié)主要研究數列極限、函數極限的觀點以及極限的有關性質等內容.數列的極限數列的觀點定義1若依據必定的法例，有第一個數a1，第二個數a2，，挨次擺列下去，使得任何一個正整數n對應著一個確立的數12nan，那么，我們稱這列有序次的數a，a，，a，為數列.數列中的每一個數叫做數列的項。第n項an叫做數列的一般項或通項.比如111,,12,,2n,；481,111,(1)n12,,,,；34n1,2,3,,n,；234n11,1,1,,(1)n1,都是數列，它們的一般項挨次為1，(1)n1，n，(1)n1.2nnn1我們能夠看到，數列值an跟著n變化而變化，所以能夠把數列an看作自變量為正整數n的函數，即anf(n),nN.此外，從幾何的角度看，數列an對應著數軸上一個點列，可看作一動點在數軸上依次取a1，a2，，an，，在數軸上表示為（圖1-11）：圖1-11數列極限的定義數列極限的思想早在古代就已萌發(fā)，我國《莊子》一書中著名的“一尺之錘，日取其半，萬世不?！保簳x時期數學家劉徽在《九章算術注》中開創(chuàng)“割圓術”，用圓內接多邊形的面積去迫近圓的面積，都是極限思想的萌芽.設有一圓，第一作圓內接正六邊形，把它的面積記為A1；再作圓的內接正十二邊形，其面積記為A2；再作圓的內接正二十四邊形，其面積記為A3；挨次進行下去，一般把內接正62n1邊形的面積記為An，可得一系列內接正多邊形的面積：A1，A2，A3，，An，，它們就構成一列有序數列.能夠發(fā)現，當內接正多邊形的邊數無窮增添時，An也無窮湊近某一確立的數值(圓的面積)，這個確立的數值在數學上被稱為數列An當n時的極限.在上邊的例子中，數列1如圖1-12：2n圖1-12當n時，1無窮湊近于常數0，則0就是數列1當n時的極限.2n2n再如數列n：當n時，n無窮湊近于常數1，則1就是數列n當n1n1n1n時的極限；而數列(1)n1：當n時，(1)n1在1和-1之間往返震蕩，沒法趨近一個確立的常數，故數列(1)n1當n時無極限.由此推得數列的直觀定義：定義2設an是一數列，a是一常數.當n無窮增大時（即n），an無窮湊近于a，則稱a為數列an當n時的極限，記作limann→a（n→∞）．aan在上例中，lim10，limn(1)n10.n1，limnn2nn1n對于數列an，其極限為a，即當n無窮增大時，an無窮湊近于a.怎樣胸懷an與a無限湊近呢一般狀況下，兩個數之間的湊近程度能夠用這兩個數之差的絕對值ba來胸懷，而且a越小，表示a與b越湊近.(1)n1(1)n1比如數列n，經過察看我們發(fā)現an當n無窮增大時，an無窮湊近0，n即0是數列an當n時的極限.下邊經過距離來描繪數列an的極限為0.因為an0(1)n11,nn當n愈來愈大時，1愈來愈小，進而an愈來愈湊近于0.當n無窮增大時，an無窮接近于0.n比如，給定1，要使11，只需n100即可.也就是說從101項開始都能使100n1001an0100成立.給定1，要使11，只需n10000即可.也就是說從10001項開始都能使10000n100001an010000成立.一般地，無論給定的正數多么的小，總存在一個正整數N，使適當nN時，不等式ana(1)n1當n時極限的實質.都成立.這就是數列ann依據這一特色獲得數列極限的精準定義.定義3設an是一數列，a是一常數.假如對隨意給定的正數，總存在正整數N，使適當nN時，不等式ana都成立，則稱a是數列an的極限，或稱數列an收斂于a.記作limana.n反之，假如數列an的極限不存在，則稱數列an發(fā)散.在上邊的定義中，能夠隨意給定，不等式ana表達了an與a無窮湊近程度.此外N與有關，跟著的給定而選定.nN表示了從N1項開始知足不等式ana.對數列an的極限為a也能夠略寫為：limana0,N0.當nN時,有xna.n數列an的極限為a的幾何解說：將常數a與數列a1,a2,,an,在數軸上用對應的點表示出來，從N1項開始，數列an的點都落在開區(qū)間(a,a)內，而只有有限個(至多只有N個)在此區(qū)間之外（圖1-13）.圖1-13例1證明數列極限lim(1)n10.nn證明因為ana(1)n101,nn對0，要使(1)n1,0n即1,n1.取N1,當n(1)n1N時，有0.由極限的定義知nn(1)n1lim0.n例2證明數列極限lim3n13.n2n12證明因為ana3n134n1121,2n1224n4n對0，要使3n13,2n12即1,n1.取N1,當nN時，有3n13.由極限的定義知4n442n123n13lim.2n12注：在利用數列極限的定義來證明數列的極限時，重要的是要指出對于隨意給定的正數，正整數N的確存在，沒有必需非去找尋最小的N.例3證明數列極限lim10.2nn證明因為ana1012n2n,對0(設1)，要使10,2n1ln.取Nln，當nN時，有10.由極限的定即,取對數得nln22n2nln2義知lim10.2nn數列極限的性質定理1(極限的獨一性)收斂數列的極限必獨一?證明（反證法）假定同時有l(wèi)imana及l(fā)imanb?且ab，不如設a<b?nn按極限的定義?對于ba>0?因為limana，存在充分大的正整數N1?使當2nN1時?有baana?2有anba.2因為limanb，存在充分大的正整數N2?使當nN2時?有nanbba2?有aban.2baab取NmaxN1,N2，則當nan成立，這是不行能的，N時，同時有an和22故假定不行立.收斂數列的極限必獨一.定理2(收斂數列的有界性)假如數列an收斂?那它必定有界?即對于收斂數列an，必存在正數M，對全部nN，有anM.證明設limana，依據數列極限的定義?取??1?存在正整數N?當nN時?不n等式ana1都成立?于是當nN時?ananaaanaa1a.取Mmaxa1,a2,,aN,1a，那么數列an中的全部an都知足不等式anM.?這就證了然數列an是有界的?定理2說了然收斂數列必定有界，反之不行立.比如，數列(1)n有界，可是不收斂.定理3(收斂數列的保號性)假如limana,且a0(或a0)?那么存在正整數N當nN時?有an0(或nan0)?證明就a0的情況?由數列極限的定義?對a0,NN,當nN時?有2|ana|a?2進而0aan.2推論假如數列an從某項起有an0(或an0)?且limana?那么a0(或na0).定理4(夾逼準則)假如數列an、bn及cn知足以下條件?(1)bnancn(n1,2,)?(2)limbna?limcna?nn那么數列an的極限存在?且limana?n證明因為limbna?limcna?以依據數列極限的定義????0??N10?當nnN1時?有abna.又N20?當nN2時?有acna?現取NmaxN1,N2?則當nN時?有abna?acna同時成立?又因bnancn(n1,2,)?所以當nN時?有abnancna?即|ana|?這就證了然limana?n例4求證lim1110.n2(n1)2(nn)2n證明因為n111n(nn)2n2(n1)2(nn)2n2，而limn0，limn0，由夾逼準則知，(nn)2n2nnlim1110.222nn(n1)(nn)假如數列an知足條件a1a2anan1?就稱數列an是單一增添的.假如數列an知足條件a1a2anan1?就稱數列an是單一減少的?單一增添和單一減少量列統稱為單一數列?定理5(單一有界準則)單一有界數列必有極限?例5求數列1，11，，111，的極限.解證明數列的有界性.令an111，此中a11，a222.設ak2，則則an11an，ak11ak32.由概括法知，對所有的nN，有0an2，故an有界.證明數列的單一性.已知a11，a2，則a2a1.設akak1，則2ak1ak1ak1ak-1akak-10.1ak1ak1由概括法知，對所有的nN，有an1故an單一遞加.an，由單一有界準則知，數列an存在極限，設為a.在an11an兩邊取極限，得a1a,解得a1515a15故所求數列的極2或a.因為收斂數列保號性知舍去.22限是15.2函數的極限因為數列an能夠看做是自變量為n的函數：anf(n),nN.所以數列an的極限為a，能夠以為是當自變量n取正整數且無窮增大時，對應的函數值f(n)無窮湊近于常數a.對一般的函數yf(x)而言，在自變量的某個變化過程中，函數值f(x)無窮湊近于某個確定的常數，那么這個常數就叫做f(x)在自變量x在這一變化過程的極限.這說明函數的極限與自變量的變化趨勢有關，自變量的變化趨勢不一樣，函數的極限也會不一樣.下邊主要介紹自變量的兩種變化趨勢下函數的極限.自變量x時函數的極限引例察看函數ysinx時的變化趨勢（圖1-14）.當xx圖1-14從圖1-14能夠看出，當x無窮增大時，函數sinx無窮湊近于0（確立的常數）.x由此推得函數f(x)在x時極限的直觀定義：定義4設f(x)當x大于某一正數時有定義，當x無窮增大時,函數值f(x)無窮湊近于一個確立的常數A,稱A為f(x)當x→+∞時的極限.記作limf(x)A??或f(x)A(x)．x引例中，limsinx0.x類比于數列極限的定義推適當x時函數f(x)的極限的直觀定義：定義5設f(x)當x大于某一正數時有定義，假如存在常數A，對隨意給定的正數，總存在正數X，使適當xX時，不等式f(x)A都成立，則稱A是函數f(x)在x時的極限，記作limf(x)A.x對定義5的簡單表達：limf(x)A0,X當時有f(x)A.x類比當x時函數f(x)的極限制義，當x時函數f(x)的極限制義：定義6設f(x)當x大于某一正數時有定義，假如存在常數A，對隨意給定的正數，總存在正數X，使適當xX時，不等式f(x)A都成立，則稱A是函數f(x)在x時的極限，記作limf(x)A.x對定義6的簡單表達：limf(x)A0,X當時有f(x)A.x在引例中，sinx0.limxx聯合定義5和定義6，推得函數f(x)在x時的極限制義：定義7設f(x)當|x|大于某一正數時有定義，假如存在常數A，對隨意給定的正數，總存在正數X，使適當xX時，不等式f(x)A都成立，則稱A是函數f(x)在x時的極限，記作limf(x)A.x對定義7的簡單表達：limf(x)A0,X當時有f(x)A.x聯合定義7，函數f(x)在x時的極限存在的充要條件是：limf(x)Alimf(x)limf(x)A.xxx例6證明limsinx0.xx證明因為f(x)Asinx0sinx1,xxx對0，要使f(x)A,即1,x1.取X1,當xX時，有f(x)A,由極限的定義知xlimsinx0.x從幾何上看，limf(x)A表示當xX時，曲線yf(x)位于直線yA和xyA之間（圖1-15）.圖1-15這時稱直線yA為曲線yf(x)的水平漸近線.比如limsinx0，則y0是曲線ysinx的水平漸近線.xxx自變量xx0時函數的極限引例1察看函數f(x)x1和g(x)x211時函數值的變化趨勢（圖x在x11-16）：圖1-16從圖1-16中得出，函數x211時函數值都無窮湊近于f(x)x1和g(x)在xx12，則稱2是函數f(x)xx211時的極限.1和g(x)在xx1從上例中看出，固然f(x)和g(x)在x1處都有極限，但g(x)在x1處不定義.這說明函數在一點處能否存在極限與它在該點處能否有定義沒關.所以，在后邊的定義中假定函數f(x)在x0的某個去心鄰域內有定義，函數f(x)在xx0時函數極限的直觀定義：定義7函數f(x)在x0的某個去心鄰域內有定義.當xx0時，函數f(x)的函數值無限湊近于確立的常數A，稱A為函數f(x)在xx0時的極限.在定義7中，函數f(x)的函數值無窮湊近于某個確立的常數A，表示f(x)A能任意小，在此相同能夠經過對于隨意給定的正數，f(x)A表示.而xx0能夠表示為0xx0（>0），表現了x湊近x0的程度.由此獲得函數f(x)在xx時0函數極限的精準定義：定義8函數f(x)在x0的某個去心鄰域內有定義.對于隨意給定的正數，總存在正數，當x知足不等式0xx0時，函數f(x)知足不等式f(x)A，稱A為函數f(x)在xx0時的極限.記作limf(x)A或f(x)A(xx0).xx0定義8簡單表述為：limf(x)A0,0,當0xx0時,有f(x)A.xx0函數f(x)在xx0時極限為A的幾何解說：o對0，當xU(x0,)時，曲線yf(x)位于直線yA和yA之間，如圖1-17：圖1-17例7證明limCC,C為常數.xx0證明因為f(x)ACC0,對0，對0，當0xx0時，都有f(x)A,故limCC.xx0例8證明limx212.x1x1證明因為f(x)Ax212x1,x1對0，要使f(x)A，即x1.取，當0xx0時，都有f(x)A,故limx212.x1x1在函數的極限中，xx0既包括x從左邊向x0湊近，又包括從右邊向x0湊近.所以，在求分段函數在分界點x0處的極限時，因為在x0處雙側函數式子不一樣，只好分別議論.x左邊向x0湊近的情況，記作xx0.x從右邊向x0湊近的情況，記作xx0.在定義8中，若把空心鄰域0xx0改為x0xx0，則稱A為函數f(x)在xx0時的左極限.記作limf(x)A或f(x0)A.xx0近似地，若把空心鄰域0xx0改為x0xx0，則稱A為函數f(x)在xx0時的右極限.記作limf(x)A或f(x0)A.xx0我們把左極限和右極限統稱為單側極限.依據f(x)在xx0時極限的定義推出f(x)在xx0時的極限存在的充要條件是左、右極限都存在而且相等，即：limf(x)Alimf(x)limf(x)A.xx0xx0xx0例9議論函數x,x0f(x)01x,x當x0時f(x)極限不存在.解函數圖形（圖1-18）以下：圖1-18f(x)載x0處的左極限為limf(x)lim(x)0；x0x0右極限為limf(x)lim(1x)1.x0x0因為limf(x)limf(x)，故limf(x)不存在.x0x0x0函數的極限的性質類比數列極限的性質，能夠推得函數極限的性質.因為函數極限自變量的變化趨勢有不同的形式，下邊僅以limf(x)為代表議論.xx0性質1（獨一性）若limf(x)A，則極限值是獨一的.xx0性質2（局部有界性）若limf(x)A，若存在常數M0及0，當0xx0xx0時，有f(x)M.性質3（保號性）若limf(x)A，且A0（或A0），若存在0，當xx00xx0時，有f(x)0（或f(x)0）.性質4（夾逼準則）設、、是三個函數，若存在0，當0xx0f(x)g(x)h(x)時，有g(x)f(x)h(x)，limg(x)limh(x)A，xx0xx0則limf(x)A.xx0無量大與無量小在研究函數的變化趨勢時，常常會碰到兩種特別情況：一是函數的極限為零，二是函數的絕對值無窮增大，即是本節(jié)議論的無量小和無量大，以limf(x)為代表議論.xx0無量小若limf(x)0，則稱函數f(x)為xx0時的無量小.xx0比如lim(x21)0，則x21是x1時的無量小.lim10，則1是x時的x1xxx無量小.在此需要指出的是：（1）無量小不是很小的數，它表示當xx0時，f(x)的絕對值能夠隨意小的函數.（2）在說一個函數是無量小時，必定要指明自變量的變化趨勢.同一函數，在自變量的不一樣變化趨勢下，極限不必定為零；在常數里面.（3）0是獨一的無量小.無量大函數f(x)在x0的某個去心鄰域內有定義.對于隨意給定的正數M，總存在正數，當x知足不等式0xx0時，函數值f(x)知足不等式f(x)M，則稱函數f(x)為xx0時的無量大.依據函數極限的定義，當xx0時無量大的函數f(x)極限是不存在的.為了便于表達函數的這一性態(tài)，習慣上稱作函數的極限是無量大，記作limf(x).xx0若把定義中f(x)M改為f(x)M(或f(x)M)，稱函數極限為正無量大（或負無量大），記作limf(x)(或limf(x)).xx0xx0在此，相同注意無量大不是很大的數，不可以和很大的數混作一談.比如因為lim1，1為x0時的無量大，如圖1-19.x0xx圖1-19從圖形上看，當x0時，曲線y1x0.無窮湊近于直線x一般地，若limf(x)，則直線xx0為曲線yf(x)的鉛直漸近線.xx0在上例中，x0是曲線y1的鉛直漸近線.x無量小的性質性質1limf(x)A充要條件是f(x)A，此中為xx0時的無量小.xx0證明limf(x)A0，0，當0xx0時，都有xx0f(x)A.令f(x)A，則，即lim0，說明為xx0時的無量小.xx0此時f(x)A.性質2在自變量的同一變化過程中，若f(x)為無量大，則1為無量?。蝗鬴(x)為f(x)無量小，且f(x)0，則1為無量大.f(x)比如因為lim(x1)0，則lim1.1x1x1x性質3有限個無量小的和是無量小.性質4有界函數與無量小的乘積是無量小.例10求極限limxsin1.x0x解因為sin11，是有界函數，而limx0.由性質4得limxsin10.xx0x0x推論1常數與無量小的乘積是無量小.推論2有限個無量小的乘積是無量小.習題1-2依據數列的變化趨勢，求以下數列的極限：（1）an(1)n1（2）an2n(1)nn2；2n；（3）annsinn；（4）ann1.2n1依據數列極限的定義，證明：（1）lim10；（2）limn112.nnn3n13（3）limn21（4）limsinn0.n1；nnn3.設limana，求證limana.nn4.設數列an有界，limbn0，求證limanbn0.nn依據函數極限的定義，證明：（1）limx244；（2）lim2x13；x2x2x2（3）lim1x21；（4）limsinx0.2x2x2xx6.求以下函數在指定點處的左、右極限，并判斷在改點處極限能否存在.（1）f(x)x0處；cosx,x00處；，在x（2）f(x)x,x，在xx10（3）f(x)xsin1,x00處.x，在x1x2,x07.指出以下函數在什么狀況下是無量小，什么狀況下是無量大.（1）f(x)x1（2）f(x)lnx；x；11（3）f(x)cotx；（4）f(x)ex.求以下函數的極限.（1）lim21；（2）lim2x1；x2xx2xx（3）limx2cos1；（4）limarctanx.x0xxx9.求函數f(x)1的圖形的漸近線.1x210.利用極限存在準則證明：（1）lim111；（2）limnnn1；n222nnn1n2nn2（3）數列an11an的極限存在；2（4）數列a12，an11an1的極限存在.2an第3節(jié)極限的運算本節(jié)議論極限的求法，主要內容是極限的四則運算、復合函數的極限運算法例，以及利用這些法例，求某些特定函數的極限.因為函數極限自變量的變化趨勢有不一樣的形式，下邊僅以limf(x)為代表議論.xx0極限的四則運算法例定理1假如fxAgxB，則lim(),lim()xx0xx0（1）limf(x)g(x)AB；xx0（2）limf(x)g(x)AB；xx0（3）若B0，則limf(x)A.xx0g(x)B證明只證limf(x)g(x)AB.xx0因為limfx)Ag(x)B，則xx0xx0f(x)A，g(x)B,此中和是xx0時的無量小.于是f(x)g(x)AB(AB)().因為仍舊是xx0時的無量小，則limf(x)g(x)AB.xx0其余狀況近似可證.注：本定理可推行到有限個函數的情況.例1求lim32x5.x2x解lim325lim32limlim53lim2limlim5x2xxx2xx2xx2x2xx2xx234-2515.例2求limx2x2x3.x12x22x3limx22x3limx22limx3解limx1x1x16.x2limx2limx2x1x1x1注：在運用極限的四則運算的商運算時，分母的極限B0.但有時分母的極限B0，這時就不可以直策應用商運算了.例3求limx1.x1x1解因為lim(x1)0，分母中極限為0，故不可以用四則運算計算.x1x1lim(x1)0x1因為lim1lim(x1)0，依據無量小的性質，知x1x2x1x1lim.x1x1例4求limx222x1.x1x1解因為x1時，分子、分母的極限都為0，記作0型.分子分母有公因子x1，可約去公因子x10，所以limx22x1lim(x1)2limx100.x1x21x1(x1)(x1)x1x12總結：在求有理函數除法limP(x)的極限時，x0Q(x)（1）當Q(x)0時，應用極限四則運算法例，P(x)P(x0)；Q(x0)xx0Q(x)（2）當Q(x)0，且P(x)0時，由無量小的性質，P(x)；limxx0Q(x)（3）當Q(x0)0，且P(x0)0時，約去使分子、分母同為零的公因子xx0，再使用四則運算求極限.例5求lim3x22x3.2x2x5x7解因為x時，分子、分母的極限都為，記作型.用x2去除分子及分母，即3x22x33233limlimxx2257.x2x5x7x22xx2例6求（1）limx31；（2）lim5x3.5x22x73x2x1xx解（1）用x3去除分子及分母，得x3111lim5x27lim5x3.x2xx27xx2x3（2）用x2去除分子及分母，求極限得5x353limlimxx20.2x111x3xx3xx2總結：型的函數極限的一般規(guī)律是：當a00，b00，m和n為正整數，則a0,nmlima0xna1xn1anb0m.b0xmb1xm1bm0,nx,nm例7求lim13.1x1x3x1解這是型，能夠先通分，再計算.lim13limx2x2(x2)(x1)1x1x3x)(1xx2)limx)(1xx2)x1x1(1x1(1limx21.xx2x11例8求limx1x.x解這是型無理式，能夠先進行有理化，再計算.limx1x10.limxxx1x兩個重要極限sinxlim1x0x作單位圓（圖1-20）,圖1-20取圓心角AOBx，設0x，由圖1-20可知，2AOB的面積扇形AOB的面積AOD的面積，即1sinx1x1tanx，222整理，得sinxxtanx.不等式兩邊同時除以sinx，取倒數，得cosxsinxx1.當x取值范圍換成區(qū)間,0，不等式符號不改變.2當x0時，limcosx1，有夾逼準則知x0limsinx1.x0xsinx注意：在利用lim1求函數的極限時，要注意使用條件：x0x（1）極限是0型；（2）式中帶有三角函數；（3）limsin1中的變量一致，都趨00向于0.例9求limtanx.0x解tanxsinx1sinxlim1limlimcosxlim111.x0xx0xx0xx0cosx例10求limsin3x.0sin2x解limsin3xlimsin3x2x33limsin3xlim13113.x0sin2xx03xsin2x22x03xx0sin2x221cosx2x例11.求limx2x02sin2xxsinx21cosx1sin21121解lim222.limx2limxlimx12x0x0x22x022x0222xlim11exn考慮xn（正整數）的情況.記an11，下邊證明an是單一有界數列.n因為1n1n(n1)12n(n1)(n2)13an11nnn2!n3!nn(n1)(n2)1n1n!n1111111112111121n1.2!n3!nnn!nnn近似地，n1111111an11111121n12!n13!n1n11121n.n1!n11n11n比較an和an1的睜開式，除前兩項外，an的每一項都小于an1的對應項，且an1比an多了最后的正數項，所以anan1，即an是單一遞加數列.因為an1111111112111121n12!n3!nnn!nnn11111111112!3!12122122212221n!1n111111111213.222232n1111122即an是有界數列.n由極限存在準則知，當n時，an11e來表示,的極限存在，往常用字母n即n1lim1e.nx能夠證明，當x取實數而趨勢（或）時，函數11的極限也存在，且等于xe.故當x時，xlim11e.x令1t，當x時，t0，上式可變成x1lim1tte，t0x故極限lim1e的另一種形式是1x1lim1xxe.x01x注意：在利用lim1e求函數極限時，要注意使用條件：xx111（1）極限是型；（2）lim1e中的變量一致，且括號e和lim10內1與括號右上角處互為倒數.x例12求lim12.x2x2解lim1lim1xxxxx4x例13求lim.x3x

x222lim1xx

x22e2.xxx(x3)(1)3解lim4lim11lim11.xx3xx3xx3lim11xx3求lim11例142xx.x012x解lim12xxlim1x0x0

(x3)1131e11e1.x312)1(2)(lim12x2xe2.2xx0無量小的比較引例當x0時，x、x2、3sinx都是無量小，而極限limx20，limx，lim3sinx3.x0xx0x2x0x引例中，在x0時，三個函數都是無量小，但比值的極限結果不一樣，這反應了不一樣的無量小趨于0的速度“快慢”不一樣.定義在xx0時，(x)和(x)為無量小，（1）假如lim(x)0,則稱(x)是(x)(x)xx0（2）假如lim(x),則稱(x)是(x)(x)xx0

為高階無量小，記作o()；為低階無量??；（3）假如lim(x)(C0),則稱(x)與(x)為同階無量??；Cxx0(x)（4）假如lim(x)0,k0),則稱(x)是對于(x)的k階無量??；kC(Cxx0(x)（5）假如lim(x)(x)與(x)為等價無量小，記作~.1,則稱xx0(x)明顯等價無量小是同階無量小的特別情況，即C1.在上邊的例子中，因為limx20，則當x0時，x2是x的高階無量小，記作x2o(x)；x0x因為limx，則當x0時，x是x2的低階無量??；x0x2因為lim3sinx3，則當x0時，3sinx是x的同階無量?。粁x0因為limsinx1，則當x0時，sinx是x的等價無量小.xx0在此，列舉出當x0時，常有的等價無量小有sinx~x；tanx~x；1cosx~1x2；arcsinx~x；arctanx~x；21ex1~x；ln(1x)~x；n1x1~x.n在上述幾個無量小的觀點中，最常有的是等價無量小，下邊給出等價無量小的性質：定理2~的充要條件是o().證明以自變量xx0時的極限為例.必需性設~，則limlim1lim10.xx0xx0xx0故o()(xx0)，即o().充分性設o()，則limlimo()o()，lim11xx0xx0xx0故~(xx0).注：其余自變量的變化趨勢下同上.定理3~，~，且lim存在，則xx0limlim.證明以自變量xx0時的極限為例.limlimlimlimlimlim.xx0xx0xx0xx0xx0xx0定理3表示，在求兩個無量小之比的的極限時，分子或分母都可用等價無量小來取代.例15求lim1cosx.x0xsinx解當x0時，1cosx~1x2，sinx~x，則2lim1cosx1x21.lim2x0xsinxx0x22例16求lim1xx1.x0e1解當x0時，1x1~1x，ex1~x，則21x11x1.limlim2x0ex1x0x2例17求limtanxx3sinx.x0解（錯誤做法）當x0時，sinx~x,tanx~x.則tanxsinxxxlimx3lim30.x0x0x（正確做法）當x0時，sinx~x,tanx~x.則tanxsinxtanx1cosxx1x212lim3lim3lim3.x0xx0xx0xcosx2說明：在代數和中各等價無量小不可以分別替代，在因式中能夠用等價無量小的替代.習題1-3求以下極限：（1）lim2x2x3；（2）limx21；x1x1x3（3）limx38；（4）limx22x1；x2x2x1x21122111（5）lim1；（6）lim22n；xxxn11133n（7）limx21；（8）limx21x21；3x2x1xx（9）lim16；（10）lim3x1193x2；x3x3x2x（11）limn(n1)(n2)；2n3n（13）limsinkx（k0常數）；x0x（15）limcosx1；x0xsinx（17）limxcscx；019）limxcot2x；03x（21）lim2x；x22x2（23）lim13xsinx；x0

（12）limx21；x2x214）limtan2x；0x（16）lim3nsinxn（x0常數）；n3sinxsina（18）lim；xaxa（20）lim12xx；x01x（22）lim1；xx（24）lim2xsinx12arctan.x1xx2.已知limax2bx21，求常數a,b.x2x13.已知lim

xc

x24，求常數c.xxc第4節(jié)函數的連續(xù)性在自然界中，有很多現象都是連續(xù)變化的，如氣溫的變化、河水的流動、植物的生長等.這類現象在函數關系上的反應，就是函數的連續(xù)性.函數連續(xù)的觀點函數的增量定義1設變量u從它的一個值u1變到另一個值u2，其差u2u1稱作變量u的增量，記作u，即uu2u1.比如，一天中某段時間[t1,t2]，溫度從T1到T2，則溫度的增量TT2T1.當溫度升高時，T0；當溫度降低時，T0；當時間的改變量tt2t1很細小時，溫度的變化T也會很??；當t0時，T0.定義2對于函數yf(x)，假如在定義區(qū)間內自變量從x0變到x，對應的函數值由f(x0)變化到f(x)，則稱xx0為自變量的增量，記作x，即xxx0或xx0x.（1-4-1）f(x)f(x0)為函數的增量，記作y，即yf(x)f(x0)或yf(x0x)f(x0).（1-4-2）注：增量不必定是正的，當初值大于終值時，增量就是負的.函數連續(xù)的觀點設函數yf(x)在點x0的某一鄰域內有定義，當自變量x在這鄰域內從x0變到x0x時，函數增量yf(x0x)f(x0)（圖1-21）.圖1-21假定x0不變，讓x改動，y也隨之變化.假如當x無窮變小時，y也無窮變小.根據這一特色，給出函數yf(x)在x0處連續(xù)的觀點.定義3設函數yf(x)在點x0的某一鄰域內有定義，假如limlim()()0，（1-4-3）x0yfx0xfx0x0則稱函數yf(x)在點x0處連續(xù).設xx0x，則當x0時，即是xx0.而yf(x0x)f(x0)f(x)f(x0)，由y0就是f(x)f(x0)，即limf(x)f(x0).xx0定義3能夠改寫為以下定義：定義4設函數yf(x)在點x0的某一鄰域內有定義，假如limf(x)f(x0)，（1-4-4）xx0那么就稱函數yf(x)在點x0處連續(xù).由定義4知，函數yf(x)在點x0處連續(xù)，一定知足以下三個條件：（1）函數yf(x)在點x0處有定義；（2）limf(x)存在，即limf(x)limf(x)；xx0xx0xx0（3）limf(x)f(x0)xx010在x例1議論函數f(x)xsinx,x0處的連續(xù)性.0,x0解因為limf(x)limxsin10，x0x0x而f(0)0，故limf(x)f(0).x0由連續(xù)性的定義知，函數f(x)在x0處連續(xù).因為函數f(x)在x0處極限存在等價于f(x)在x0處左、右極限都存在而且相等，聯合這一特色，下邊定義左、右連續(xù)的觀點.假如limf(x)f(x0)，則稱函數f(x)在點x0處的左連續(xù).假如limf(x)f(x0)，xx0xx0則稱函數f(x)在點x0處的右連續(xù).假如函數yf(x)在點x0處連續(xù)，必有l(wèi)imf(x)f(x0)，則有xx0limf(x)limf(x)f(x0)，xx0xx0這說了然函數yf(x)在點x0處連續(xù)，既包括了f(x)在點x0處左連續(xù)，又包括了f(x)在點x0處右連續(xù).定理1函數yf(x)在點x0處連續(xù)的充要條件是函數yf(x)在點x0處既左連續(xù)又右連續(xù).注：此定理常用于判斷分段函數在分段點處的連續(xù)性.例2議論函數x2,x1f(x)1x1,x在x1處的連續(xù)性.解函數f(x)圖形如圖1-22.圖1-22因為limf()limx21f(1)，故f(x)在x1處左連續(xù).x1xx1limf(x)limx11f(1)，故f(x)在x1處不右連續(xù).x1x1所以由定理1知，函數f(x)在x1處不連續(xù).以上是介紹函數在一點處連續(xù)的觀點，下邊介紹連續(xù)函數的觀點.定義5假如函數f(x)在區(qū)間(a,b)內每一點都連續(xù),稱f(x)為(a,b)內的連續(xù)函數.假如函數f(x)在(a,b)內連續(xù),且在左端點xa處右連續(xù)，在右端點xb處左連續(xù)，則稱f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù).例3證明函數ysinx在(,)內是連續(xù)的.證明任取x0(,)，則yf(x0x)f(x0)sin(x0x)sinx02cosx0xsinx.22因為limy2limcosx0xsinx，x0x022當x0時，由無量小的性質知，limy0.x0由定義1，ysinx在x0處連續(xù).而x0是在(,)內任取的，故ysinx在(,)內是連續(xù)的.近似地，能夠考證ycosx在定義區(qū)間內是連續(xù)的.函數的中斷點定義6假如函數yf(x)在點x0處不連續(xù)，則稱f(x)在x0處中斷，x0稱為f(x)的中斷點.依據定義3，函數yf(x)在點x0處連續(xù)一定知足的三個條件知.換句話說，只需此中一個條件不知足，函數f(x)就在x0處中斷.所以f(x)在x0處出現中斷的情況有以下三種：1）在2）在

x0處無定義；xx0處固然有定義，可是limf(x)不存在；xx0（3）在xx0處有定義，limf(x)存在，可是limf(x)f(x0).xx0xx0f(x)在x0處只需切合上述三種情況之一，則函數f(x)在x0處必中斷.下邊舉例函數中斷的例子.（1）函數f(x)10處無定義，所以x0是f(x)1在x的中斷點.xx1,x0（2）符號函數f(x)sgnx0,x0，在x0處，因為1,x0limf(x)lim(1)1，limf(x)lim11.x0x0x0x0因為在x0處函數左、右極限不相等，故limf(x)不存在，所以x0是此函數的中斷點.x0sin5x,x0，在x（3）函數f(x)x0處，因為0,x0limf(x)limsin5xx5，x0x0而f(0)0,故limf(x)f(0)，x0是此函數的中斷點.x0從上邊的例子看出，函數f(x)在x0處固然都是中斷，但產生中斷的原由各不相同.根據這一特色，下邊對中斷點進行分類:假如f(x0)與f(x0)都存在，則稱x0為f(x)的第一類中斷點，不然稱為第二類中斷點.在第一類中斷點中，假如f(x0)f(x0)，則稱x0為f(x)的可去中斷點；假如f(x0)f(x)，則稱x0為f(x)的跳躍中斷點.0在上邊的例子中，在（2）中x0是跳躍中斷點，在（3）中x0是可去中斷點.在第二類中斷點中，假如f(x0)與f(x0)起碼有一個為，則稱x0為f(x)的無量間斷點；假如f(x0)與f(x0)起碼有一個是不停振蕩的，則稱x0為f(x)的振蕩中斷點.在上例（1）中，x0是無量中斷點.再如ysin10為函數的中斷點.當x0時，函數在-1和1之間出現無窮次的，xx振蕩，如圖1-23：圖1-23則x0為振蕩中斷點.初等函數的連續(xù)性定理2設函數f(x)與g(x)在x0處連續(xù)，則其和、差、積、商（分母在x0處函數值不為零）在x0處也連續(xù).定理3設函數yf(x)由yf(u)和u(x)復合而成.且yf(u)在u0處連續(xù)，u(x)在x0處極限lim(x)u0存在，則xx0limf(x)limfuf(u0)flim(x).xx0uu0xx0注：內函數的極限存在,外函數在該極限點連續(xù)，則求復合函數的極限時極限符號能夠與外函數符號交換.例4求limx32.x3x9解yx3由yu和ux3復合而成.且limx31，yu在x29x29x3x2961處連續(xù)，則6limx3limx316x2996.x3x3x26在定理3中，假如把條件lim(x)u0改為u(x)在xx0處連續(xù)，且(x0)u0結xx0論仍舊成立，即limf(x)flim(x)f(x0).xx0xx0例5求lim225.x0xx解yx22x5由yu和ux22x5復合而成.ux22x5在x0處連續(xù)，u(0)5；yu在u5處連續(xù)，則limx22x5022055.x0因為初等函數是由基本初等函數經過有限次的四則運算和有限次的復合構成的，聯合定理2和定理3知，初等函數在定義區(qū)間是連續(xù)的.定理4初等函數在其定義區(qū)間內是連續(xù)的.例6求limx293.x2x0解limx293limx293limx211.x0x2x0x2x2x0936例7求limln(1x).x0xln(1x)1ln(111解limlimx)limln(1x)xlnlim(1)xlne1.xxx0x0x0x0例8求limexx1.x0解令ex1t，則xln(1t)，當x0時，t0.則limex1limt11.x0xx0ln(1t)limln(1t)x0t里7、例8也說了然當x0時，ln(1x)~x，ex1~x.例9求lim1cot2x2tan2x.x0解因為12tan2cot2x22xecotxln12tanx，當x0時，ln12tan2x~2tan2x，故lim12tan2xcot2x22limcot2xln12tan2x2limcot2xtan2xe2.limecotxln12tanxex0ex0x0x0一般地，形如1u(x)v(x)的函數稱為冪指函數.假如limu(x)0,limv(x),則lim1u(x)v(x)elimv(x)ln1u(x)elimv(x)u(x).閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質在中已經介紹了函數

y

f(x)

在閉區(qū)間

[a,b]

連續(xù)的觀點，下邊持續(xù)議論閉區(qū)間

[a,b]上連續(xù)函數的性質

.最值定理定理

5（最值定理）閉區(qū)間上連續(xù)的函數在該區(qū)間上必定存在最大值和最小值

.此定理說明，假如函數

f(x)

C[a,b]

，如圖

1-24：圖1-24則起碼存在一點1[a,b]，f(1)m，對x[a,b]，都有f(x)m，則m是f(x)在[a,b]上的最小值.起碼存在一點2[a,b]，f(2)M，對x[a,b]，都有f(x)M，則M是f(x)在[a,b]上的最大值.注：定理5中條件“閉區(qū)間”和“連續(xù)”很重要，假如缺乏一個，定理5不必定成立.比如，函數yx在開區(qū)間(0,2)內固然連續(xù)，可是沒有最大值和最小值（圖1-25）.x1,0x1