北師大數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第7章第6課時(shí)空間直角坐標(biāo)系

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精【A級】基礎(chǔ)訓(xùn)練1．點(diǎn)(2，0,3）在空間直角坐標(biāo)系中的位置在(）A．y軸上 B．xOy平面上C．xOz平面上 D．yOz平面上解析：由點(diǎn)的坐標(biāo)的特征可得該點(diǎn)在xOz平面上．答案：C2．若ABCD為平行四邊形,且A（4，1,3)，B(2，－5,1），C（3,7，－5)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A.eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（7,2），4，－1）） B．（2,3，1)C．（－3，1,5) D．（5,13，－3)解析：設(shè)對角線AC，BD交于點(diǎn)O?！逜(4,1,3)，C（3,7，－5)，∴Oeq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（7,2）,4,－1）).又B（2，－5，1），∴D(5,13,－3）．答案:D3．已知點(diǎn)A（1，a，－5）、B(2a，－7,－2)(a∈R）,則｜ABA．3eq\r(3） B．3eq\r(6)C．2eq\r(3） D．2eq\r（6）解析：｜AB|＝eq\r(1－2a2＋［a－－7]2＋－5＋22)＝eq\r(5a＋12＋54)≥3eq\r（6).∴當(dāng)a＝－1時(shí),|AB|取最小值3eq\r(6)。答案：B4．在空間直角坐標(biāo)系中，正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點(diǎn)為A（3，－1,2),其中心為M解析：∵A（3，－1，2)，中心M（0,1,2），∴C1（－3，3,2）．∴｜AC1|＝2eq\r（13)，∴棱長a＝eq\f(2\r(13），\r(3))＝eq\f(2\r（39），3）.答案:eq\f(2\r(39)，3)5．點(diǎn)A（10,4，－2)關(guān)于點(diǎn)M(0，3，－5)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是________．解析:設(shè)所求點(diǎn)為P(x,y,z）,則M是AP的中點(diǎn)．即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（0＝\f(10＋x，2)，,3＝\f(4＋y,2)，，－5＝\f（－2＋z,2），)）即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－10，，y＝2，,z＝－8.))∴P（－10,2，－8)．答案:(－10,2，－8）6．在z軸上與點(diǎn)A（－4,1,7)和點(diǎn)B（3，5,－2)等距離的點(diǎn)C的坐標(biāo)為________．解析:設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，0，z）,由條件得｜AC|＝|BC|，即eq\r（－4－02＋1－02＋7－z2）＝eq\r（3－02＋5－02＋－2－z2),解得z＝eq\f（14，9).答案：eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（0，0，\f(14,9）））7．設(shè)正四棱錐S－P1P2P3P4的所有棱長均為a,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求點(diǎn)S、P1、P2、P3和P4的空間坐標(biāo)．解：以正四棱錐S－P1P2P3P4的高為z軸，以平行于底面相鄰兩邊的直線為x軸,y軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,其中原點(diǎn)O為底面正方形的中心，P1P2⊥Oy軸,P1P4⊥Ox軸，SO在Oz軸上,∵d（P1,P2)＝a，而P1、P2、P3、P4均在xOy平面上．∴P1eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（a，2)，\f(a，2）,0))，P2eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(a，2），\f（a，2），0)）.P3與P1關(guān)于原點(diǎn)O對稱，P4與P2關(guān)于原點(diǎn)O對稱．∴P3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(a，2），－\f（a，2)，0))，P4eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(a，2)，－\f（a,2)，0)).又∵｜OP1|＝eq\f（\r(2）,2）a?！嘣赗t△SOP1中，|SO｜＝eq\r(a2－\f(a2，2）)＝eq\f（\r（2),2）a.∴Seq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（0，0，\f（\r（2)，2）a)).8．已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，M為BC1的中點(diǎn)，N為A1B1的中點(diǎn)，求｜MN解：如圖,以A為原點(diǎn),AB，AC,AA1為x軸，y軸,z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B（2,0,0），C1（0,2,2）,A1（0,0,2)，B1（2，0，2）,∴N(1，0,2),M（1,1,1),∴｜MN｜＝eq\r（1－12＋0－12＋2－12)＝eq\r（2)?！綛級】能力提升1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（1，eq\r(2)，eq\r(3)),過點(diǎn)P作平面xOy的垂線PQ，則Q的坐標(biāo)為(）A．(0，eq\r（2）,0) B．（0，eq\r(2)，eq\r（3))C．（1，0，eq\r(3)) D．（1，eq\r（2)，0）解析：由于點(diǎn)Q在xOy內(nèi)，故其豎坐標(biāo)為0,又PQ⊥xOy平面，故點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別與點(diǎn)P相同，從而點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，eq\r(2），0)．答案：D2．以棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直線為坐標(biāo)軸,建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則正方形AA1B1BA.eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(0，\f(1，2),\f(1,2)）) B．eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,2)，0，\f(1，2)))C.eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，2），\f（1,2），0)) D．eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，2），\f（1，2），\f（1，2））)解析:由題知所求點(diǎn)即為AB1的中點(diǎn),由于A（0，0，0)，B1（1，0,1)，所以AB1的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，2）,0，\f(1，2))）。答案：B3．到點(diǎn)A(－1，－1，－1），B（1,1,1)的距離相等的點(diǎn)C（x，y，z)的坐標(biāo)滿足（）A．x＋y＋z＝－1 B．x＋y＋z＝1C．x＋y＋z＝4 D．x＋y＋z＝0解析：到點(diǎn)A(－1，－1，－1)，B（1,1，1）的距離相等的點(diǎn)C應(yīng)滿足｜eq\o（CA,\s\up10（→））｜2＝|eq\o（CB,\s\up10（→))|2,即（x＋1）2＋（y＋1）2＋(z＋1）2＝(x－1)2＋（y－1)2＋(z－1)2,化簡得x＋y＋z＝0.答案:D4．已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A（2，－1，4)，B（3,2，－6)，C（5,0,2)，則過A點(diǎn)的中線長為________．解析：由題意知BC的中點(diǎn)為D（4，1，－2）,故|AD｜＝eq\r（2－42＋－1－12＋4＋22）＝2eq\r(11)。答案：2eq\r（11)5．給定空間直角坐標(biāo)系，在x軸上找一點(diǎn)P，使它與點(diǎn)P0（4,1，2)的距離為eq\r（30），則該點(diǎn)的坐標(biāo)為________．解析：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x，0,0），由題意得，|P0P｜＝eq\r（30），即eq\r(x－42＋12＋22）＝eq\r(30），∴（x－4)2＝25,解得x＝9或x＝－1.∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（9,0,0）或（－1，0,0)．答案：(9,0，0)或（－1，0,0）6．對于任意實(shí)數(shù)x，y，z則eq\r(x2＋y2＋z2）＋eq\r(x＋12＋y－22＋z－12）的最小值為________．解析：設(shè)P（x，y，z)，M（－1，2,1)，則eq\r（x2＋y2＋z2)＋eq\r(x＋12＋y－22＋z－12),M(－1，2,1)，則eq\r(x2＋y2＋z2)＋eq\r(x＋12＋y－22＋z－12）＝|PO|＋|PM|，由于x，y，z是任意實(shí)數(shù)，即點(diǎn)P是空間任意一點(diǎn)，所以｜PO｜＋｜PM｜≥｜OM｜＝eq\r（1＋4＋1）＝eq\r(6)，即所求代數(shù)式的最小值為eq\r（6）.答案：eq\r（6）7．（創(chuàng)新題）在空間直角坐標(biāo)系中，已知A（3，0,1)和B(1，0，－3），試問:(1）在y軸上是否存在點(diǎn)M，滿足｜MA｜＝|MB｜？（2)在y軸上是否存在點(diǎn)M，使△MAB為等邊三角形？若存在，試求出點(diǎn)M坐標(biāo)．解:(1）假設(shè)在y軸上存在點(diǎn)M，滿足｜MA|＝|MB｜.因M在y軸上,可設(shè)M(0,y,0）,由|MA|＝|MB|，可得eq\r(32＋y2＋12）＝eq\r(12＋y2＋32)，顯然，此式對任意y∈R恒成立．這就是說y軸上所有點(diǎn)都滿足關(guān)系|MA｜＝｜MB｜.（2）假設(shè)在y軸上存在點(diǎn)M，使△MAB為等邊三角形．由（1)可知，y軸上任一點(diǎn)都有|MA｜＝｜MB|，所以只要｜MA｜＝｜AB｜就可以