電動(dòng)力學(xué)中函數(shù)的特殊表示

電動(dòng)力學(xué)中函數(shù)的特殊表示

為了強(qiáng)調(diào)磁體的主要性質(zhì)，經(jīng)常采用點(diǎn)電荷、電偶極子和線電流等抽象模型，以便更深入、準(zhǔn)確、科學(xué)地量化磁體。由于點(diǎn)電荷的體積為零,電量有限所以它的電荷密度為無(wú)窮大,但電荷密度的體積積分從物理上講是有限的。其它電磁模型以及力學(xué)中的質(zhì)點(diǎn)和瞬時(shí)力模型也有類似的特征。通常的連續(xù)函數(shù)難以描述這類抽象概念,為此物理學(xué)家狄拉克定義了一種特殊函數(shù)——δ函數(shù),用來(lái)描述物理學(xué)中某些具有突變特征的物理現(xiàn)象。一、函數(shù)的定義和性質(zhì)1.維函數(shù)積分一維δ函數(shù)δ(x-x0)={∞x=x00x≠x0(1)δ(x?x0)={∞x=x00x≠x0(1)∫+∞-∞δ(x-x0)dx=1(2)二維δ函數(shù)δ(ρ-ρ0)=δ(x-x0)δ(y-y0)(3)三維δ函數(shù)δ(x-x0)=δ(x-x0)δ(y-y0)δ(z-z0)(4)δ(x-x0)=1ρδ(ρ-ρ0)δ(φ-φ0)δ(z-z0)(5)δ(x-x0)=1r2δ(r-r0)δ(φ-φ0)δ(cosθ-cosθ0)(6)?vδ(x-x0)dv=1(x0包含在v中)(7)其中x和x0均為三維位置矢量,并且(4)、(5)、(6)式分別是δ函數(shù)的直角坐標(biāo)、柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)表示,對(duì)應(yīng)(7)式的積分運(yùn)算應(yīng)采用相應(yīng)的微分體積元。由δ函數(shù)的定義可知,其函數(shù)式表現(xiàn)了不連續(xù)的無(wú)限突變性,而其積分式則體現(xiàn)了整體上的有限性。因此δ函數(shù)的準(zhǔn)確含義應(yīng)由其積分式和函數(shù)式來(lái)共同體現(xiàn)。2.等式解析δ(-x)=δ(x)(8)δ(ax)=1|a|δ(x)(9)∫+∞-∞f(x)δ(x-x0)dx=f(x0)(10)∫+∞-∞f(x)dδ(x-x0)dxdx=-f′(x0)(11)δ(x-x0)=-14π?21r(12)其中r=|x-x0|.(12)式的正確性可利用等式兩邊積分值相等來(lái)證明。二、確定荷導(dǎo)率的參數(shù),保證荷導(dǎo)體的負(fù)荷平衡n個(gè)點(diǎn)電荷構(gòu)成的體系的電荷密度ρ(x)=n∑i=0qiδ(x-xi)(13)其中xi為第i個(gè)點(diǎn)電荷所處的空間位置矢。電荷Q均勻地分布在半徑為a的球面上的電荷密度,ρ(x)=Q4πR2δ(r-a)(球坐標(biāo)表示)(14)半徑為a總電荷為Q的帶電園環(huán)的電荷密度,ρ(x)=Q2πa2δ(r-a)δ(cosθ)(球坐標(biāo)表示)(15)ρ(x)=Q2πaδ(ρ-a)δ(z)(柱坐標(biāo)表示)(16)均勻分布在半徑為a的園柱上的電荷密度ρ(x)=η2πaδ(ρ-a)(柱坐標(biāo)表示)(17)其中η為單位長(zhǎng)度上的電荷。電荷Q均勻地分布有半徑為a的園盤面上的電荷密度ρ(x)=Q2πar2δ(cosθ)(0≤r≤a球坐標(biāo)表示)(18)ρ(x)=Q2πaρδ(z)(0≤ρ≤a柱坐標(biāo)表示)(19)置于z軸上無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電線的電荷密度ρ(x)=δ(x)δ(y)(直角坐標(biāo)表示)(20)對(duì)(13)-(20)各式進(jìn)行體積分,可得到各電荷體系對(duì)應(yīng)的電荷量。置于x軸上的電偶極子的電荷密度ρ(x)=-pdδ(x)dxδ(y)δ(z)(21)對(duì)(21)式進(jìn)行體積分并利用(11)式可得體系的總電荷Q=?ρ(x)dv=-∫+∞-∞pdδ(x)dxdx∫+∞-∞δ(y)dy∫+∞-∞δ(z)dz=0(22)即電偶極子的電荷代數(shù)和為零。另一方面(22)式應(yīng)符合電偶極矩的定義p=?ρ(x)xdv=-∫+∞-∞xpdδ(x)dxdx∫+∞-∞δ(y)dy∫+∞-∞δ(z)dzex=-∫+∞-∞xpdδ(x)dxdxex(23)利用(11)式可得(23)式的結(jié)果為p=pex。由此可見(jiàn)面(22)式同時(shí)滿足電荷和電偶極矩的定義,準(zhǔn)確地體現(xiàn)了電偶極子的特點(diǎn)。均勻無(wú)限長(zhǎng)載流線的電流密度j(x)=Iδ(x)δ(y)ez(24)半長(zhǎng)為a的薄園筒沿軸向載有穩(wěn)恒電流I,其電流密度為j(x)=Ι2πρδ(ρ-a)ez(25)均勻載流螺旋管的電流密度為j(x)=αδ(ρ-a)eθ(26)其中α為垂直流過(guò)單位橫截線上的電流。通過(guò)對(duì)(24)、(25)、(26)式進(jìn)行積分(∫j·ds)運(yùn)算,可得到各電流體系對(duì)應(yīng)的電流強(qiáng)度。三、函數(shù)外標(biāo)磁體的提取1.dvx-xv靜電場(chǎng)強(qiáng)E的積分式為E=14πε0?vρ(x′)rr3dv′(其中r=|x-x′|)(27)??E=14πε0?vρ(x′)??rr3dv′=14πε0?vδ(x-x′)ρ(x′)dv=ρ(x)ε0(28)2.單位頻率輻射能流模型求解恒磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=?×AA=14πε0?vJ(x′)rdv′(29)?×B=?×?×A=?(??A)-?2A(30)其中?·A=0(參閱文獻(xiàn)2)?2A=μ04π?vJ(X′)?1r2dv′=-μ0?vJ(X′)δ(x-x′)dv′=-μ0J(X)(31)由(30)、(31)式可得?×B=J(X)(32)求解達(dá)朗伯方程時(shí),可利用δ函數(shù)表示式