高斯定理場(chǎng)強(qiáng)的刻畫

高斯定理場(chǎng)強(qiáng)的刻畫

靜電場(chǎng)是電磁學(xué)中非常重要的部分。它不僅是場(chǎng)的基本內(nèi)容和重要組成部分，而且是分析問題的最佳方法。1.求p點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)電場(chǎng)強(qiáng)度通常簡(jiǎn)稱為場(chǎng)強(qiáng),由于場(chǎng)強(qiáng)是空間點(diǎn)的矢量函數(shù),場(chǎng)強(qiáng)疊加為矢量疊加,在電荷連續(xù)分布時(shí),場(chǎng)強(qiáng)疊加原理可以寫作矢量的積分,即。用此方法原則上可以求任意靜止帶電體包括連續(xù)靜止帶電體周圍空間某點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng),此方法一般涉及到矢量和微積分知識(shí),故這種方法往往比較復(fù)雜。例1.設(shè)真空中有均勻帶正電的細(xì)棒,長(zhǎng)為L(zhǎng),總電量為q,線外一點(diǎn)P離細(xì)棒的垂直距離為a,求P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。(P點(diǎn)與細(xì)棒兩端的連線與細(xì)棒的夾角分別為θ1,θ2。見圖1)解:在P與細(xì)棒構(gòu)成的平面內(nèi),取直角坐標(biāo)xoy,細(xì)棒的電荷線密度;在棒上距o為x處取一線元dx,電荷元dq=λdx,離P點(diǎn)的距離為r,則dq在點(diǎn)激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)的大小為,方向如圖1所示。將分解為直角坐標(biāo)分量:dEx=dEcosθ,dEy=dEsinθ式中θ為與x軸正向的夾角。r、x、θ是相互聯(lián)系的三個(gè)變量,積分時(shí)必須統(tǒng)一變量,本題可選θ為自變量(也可選r或x,視解題方便而定)。由圖可知對(duì)上兩式沿x正向積分,dθ的積分下限為1θ,上限為θ2。合場(chǎng)強(qiáng)的大小為:。方向可用與x軸正向夾角a表示:。[討論]:、若P點(diǎn)位于棒的中垂面上,OP為中垂線,這時(shí)θ2=π-θ1,代入(1)、(2)兩式得:因細(xì)棒對(duì)中垂線y軸對(duì)稱,故p點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)在垂直y軸方向的分量Ex=0,合場(chǎng)強(qiáng)沿中垂線y方向。、若細(xì)棒L→∞,這時(shí)θ1=0,θ2=π,則:因細(xì)棒為無限長(zhǎng),任何垂直于它的平面都可看成是中垂面,所以無限長(zhǎng)細(xì)棒周圍任何地方的電場(chǎng)都與棒垂直,這個(gè)結(jié)果對(duì)有限長(zhǎng)細(xì)棒在L>>a條件下也適用。2.用高斯定理求解高斯定理是靜電場(chǎng)的基本定理之一。當(dāng)帶電體的電荷分布具有某種對(duì)稱性(平面對(duì)稱、球?qū)ΨQ、軸對(duì)稱)時(shí),可用高斯定理求場(chǎng)的分布,根據(jù)對(duì)稱性的特點(diǎn),選取合適的坐標(biāo)系,通過場(chǎng)點(diǎn)作出合適的高斯面,以便于計(jì)算出用場(chǎng)點(diǎn)表示的電通量,由高斯定理解出場(chǎng)強(qiáng)。用高斯定理解題的步驟可歸納如下:(1)分析帶電體的對(duì)稱性(因?yàn)楦咚苟ɡ硭芮蟮碾妶?chǎng)只限于具有某種對(duì)稱性分布的情況)。(2)選擇適當(dāng)?shù)拈]合面作高斯面,其目的是使場(chǎng)強(qiáng)從積分號(hào)中提出來。(3)寫出電通量的表達(dá)式,根據(jù)高斯定理,求出場(chǎng)強(qiáng)分布。(4)對(duì)于某些復(fù)雜的電荷分布,要注意到對(duì)帶電體的各部分可以分別使用高斯定理,再用場(chǎng)強(qiáng)疊加原理來求總的場(chǎng)強(qiáng)分布。3.空腔內(nèi)均勻電場(chǎng)的確定對(duì)于不具有某種對(duì)稱性的帶電體,可以經(jīng)過巧妙的補(bǔ)償處理,使其成為若干個(gè)典型帶電體,可比較方便地計(jì)算出場(chǎng)強(qiáng)的分布。解:本題求解的帶電體形狀不大規(guī)則,利用補(bǔ)償法求解。我們可以設(shè)想不帶電的球形空腔內(nèi)有體密度(ρ)相同等值異號(hào)的兩種電荷。這樣整個(gè)帶電系統(tǒng)可以認(rèn)為是由一個(gè)以1O為球心、半徑為1R、體密度為ρ的均勻帶電球體和另一個(gè)以2O為球心、半徑為2R、體密度為-ρ的均勻帶電球體所構(gòu)成。根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)疊加原理,空腔內(nèi)任一點(diǎn)P處的場(chǎng)強(qiáng)可看成這兩個(gè)實(shí)心球分別產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的疊加。則空腔內(nèi)任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為:EP=E1+E2=3ε0空腔內(nèi)的電場(chǎng)是勻強(qiáng)電場(chǎng)。用上述方法可求解任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。4.電勢(shì)疊加原理電勢(shì)通常也說成是電位,是從靜電場(chǎng)力做功的角度來研究靜電場(chǎng)的。因?yàn)殡妱?shì)V是標(biāo)量,與矢量相比,V比較容易計(jì)算,所以在實(shí)際計(jì)算時(shí),常是先計(jì)算電勢(shì)V,然后再用求出場(chǎng)強(qiáng)分布,一般在數(shù)學(xué)運(yùn)算上這樣較為方便。用這種方法解題的步驟可歸納如下:(1)用點(diǎn)電荷的電勢(shì)和電勢(shì)疊加原理求電勢(shì)分布,電勢(shì)疊加原理可寫作V=∫dV,此步與前面講的用點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)和場(chǎng)強(qiáng)疊加原理計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)分布步驟類似。但由于電勢(shì)是標(biāo)量,電勢(shì)的疊加是標(biāo)量的疊加,它比起計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)時(shí)的矢量疊加要簡(jiǎn)單一些。(2)用公式求場(chǎng)強(qiáng)分布。5.鏡象法上的無界問題在有導(dǎo)體或電介質(zhì)存在的情況下,靜電場(chǎng)是由帶電體和導(dǎo)體的感應(yīng)電荷或介質(zhì)的束縛電荷共同產(chǎn)生。鏡象法的實(shí)質(zhì)是在所研究的場(chǎng)域外的適當(dāng)處,放置適當(dāng)數(shù)量的電荷來代替導(dǎo)體的感應(yīng)電荷或介質(zhì)的束縛電荷作用,所放置的電荷稱鏡象電荷。這樣,便把實(shí)際的有界問題化為假想的無界問題來處理,這種方法就叫做鏡象法。一般適用于求解點(diǎn)電荷(或線電荷或面電荷)與導(dǎo)體(或介質(zhì))具有規(guī)則界面時(shí)的電場(chǎng)問題。例3:一無限大導(dǎo)體平面上方充滿均勻介質(zhì)。設(shè)在半徑為R的球形范圍內(nèi),介質(zhì)均勻帶電,總電荷為Q,球心O距導(dǎo)體平面距離也為R,介質(zhì)的介電常數(shù)為ε,分別求O及A處之電場(chǎng)強(qiáng)度。(A距導(dǎo)體平面的距離為2R)解:用鏡象法求解,電荷集中放在O點(diǎn),并在導(dǎo)體面的對(duì)稱位置放鏡象電荷-Q,則A點(diǎn)之場(chǎng)強(qiáng)可直接求得為:因帶電Q的介質(zhì)球在球心O點(diǎn)產(chǎn)生之場(chǎng)強(qiáng)為零,故僅計(jì)算-Q在O點(diǎn)產(chǎn)生之場(chǎng)強(qiáng)就行了,即運(yùn)用合適的方法以上介紹了幾種求解靜電場(chǎng)問題的基本方法、步驟及各自的優(yōu)缺點(diǎn)。在實(shí)際解