2022 溫州市搖籃杯高一數(shù)學(xué)競賽-解析版

2022年浙江省溫州市搖籃杯高一數(shù)學(xué)競賽試題2022.9本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．所有答案答在答題紙上才有效. 第Ⅰ卷選擇題（共60分） 一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．每小題只有1個正確答案．）1．設(shè)集合，，則（▲）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)集合，易見，且，故.2．已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），的共軛復(fù)數(shù)為，則下列說法錯誤的是（▲）A． B． C． D．【答案】D【解析】，同理3．地發(fā)生地震時(shí)，相距km的兩地都能感受到，已知地位于A地的正東方向上，地位于B地的東偏南方向上，且地距離兩地分別為km和km，則的值是（▲）A． B． C． D．【答案】A【解析】4．有三個盒子，每個盒子里有若干大小形狀都相同的卡片．第一個盒子中有三張分別標(biāo)號為的卡片；第二個盒子中有五張分別標(biāo)號為的卡片；第三個盒子中有七張分別標(biāo)號為的卡片．現(xiàn)從每個盒子中隨機(jī)抽取一張卡片，設(shè)從第個盒子中取出的卡片的號碼為，則為奇數(shù)的概率是（▲）A． B． C． D．【答案】B解析：簡單的分類討論即可得到答案.5．設(shè)，，，則（▲）A． B． C． D．【答案】A【解析】因函數(shù)在單調(diào)遞增，故，即.6．已知，，則是的（▲）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】設(shè)，則為奇函數(shù)易知上單調(diào)遞增，因此上單調(diào)遞增即從而.第7題圖7．已知矩形中，,．,分別在邊,上,且,．如圖所示，沿將四邊形翻折成，在翻折過程中，二面角的大小為，則的最大值是（▲）第7題圖A． B．C． D．【答案】C【解析】如圖,過作EF,垂足為,直線BK交直線CD于,過作,由翻折知,于是平面,得,故平面ABCD.過作,連接,則由三垂線定理知,于是就是二面角的平面角,故.設(shè),計(jì)算得,因此.令,則 當(dāng)時(shí)等號成立.所以的最大值為.8．已知點(diǎn)是邊長為的正五邊形內(nèi)(含邊界)一點(diǎn)，則的最大值是（▲）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)點(diǎn)A,B,C,D,E的坐標(biāo)依次為 設(shè)點(diǎn).則 由此易得 的最大值是.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．某高中有學(xué)生500人，其中男生300人，女生200人．希望獲得全體學(xué)生的身高信息(單位:cm)，按照按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的原則抽取了容量為50的樣本．經(jīng)計(jì)算得到男生身高樣本均值為170，方差為17；女生身高樣本均值為160，方差為30．下列說法中正確的是（▲）A．男生的樣本量為30 B．每個女生被抽入到樣本的概率均為C．總樣本的均值為166 D．總樣本的方差為46.2【答案】ACD【解析】10．已知定義在上的函數(shù)滿足：，，，且當(dāng)時(shí)，，則下列說法正確的是（▲）A．是奇函數(shù) B．是周期函數(shù)C．的值域?yàn)? D．在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)【答案】ABD【解析】，，即，故是奇函數(shù)；，，即，故是以為周期的周期函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，再由的對稱性、周期性，可知不是的最大值；當(dāng)時(shí)，，則.再由的圖象關(guān)于直線對稱，知在內(nèi)恒正.又，故在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn).11．設(shè),,是平面上任意三點(diǎn)，定義向量的運(yùn)算：，其中由向量以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)直角得到(若為零向量，規(guī)定也是零向量)．對平面向量，下列說法正確的是（▲）A．B．對任意,C．若為不共線向量，滿足，則,D．【答案】BD【解析】設(shè)向量在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為設(shè)以各自的起始點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)直角后分別得到向量，則，.我們有 可得.所以A錯誤.再來看B選項(xiàng). 所以B正確.選項(xiàng)C錯在和的值發(fā)生了交換.事實(shí)上，將等式兩邊同時(shí)和向量作數(shù)量積可得，因?yàn)椋?又因?yàn)橄蛄坎还簿€，所以，故同理可得選項(xiàng)D中的式子具有形式上輪換對稱的美感，其正確性可以證明如下：(1)當(dāng)向量不共線時(shí)，由對選項(xiàng)C的分析可得 即 等式兩邊同時(shí)乘以，再移項(xiàng)可得 (2)當(dāng)向量共線時(shí)，由輪換對稱性，不妨設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，則 12．設(shè)函數(shù)，則下列說法正確的是（▲）A．若，則在上單調(diào)遞減B．若，無最大值，也無最小值C．若，則D．若，則【答案】ABC【解析】若，則且，，，則，故在上單調(diào)遞減；若，則當(dāng)且趨于時(shí)，趨于；當(dāng)且趨于時(shí)，趨于，故無最大值，也無最小值；若，則當(dāng)時(shí)，，故，即；若，舉反例：，則，故.事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，.第Ⅱ卷非選擇題（共90分）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．請將答案寫在橫線上．）13．光線通過某種玻璃，強(qiáng)度損失．要使光線強(qiáng)度減弱為原來的，至少要通過▲塊這樣的玻璃．（參考數(shù)據(jù)：，．）【答案】16【解析】設(shè)至少要通過塊這樣的玻璃，則，即，故要使光線強(qiáng)度減弱為原來的，至少要通過塊這樣的玻璃.14．已知虛數(shù)滿足為實(shí)數(shù)，，則實(shí)數(shù)的值是▲．【答案】4【解析】為實(shí)數(shù)，則因?yàn)闉樘摂?shù)，所以，因此第15題圖15．如圖，在中，的內(nèi)角平分線交于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，則的值是▲．第15題圖【答案】【解析】取的中點(diǎn)，則過作交延長線于，則，由角平分線定理可得，所以16．設(shè)．若當(dāng)時(shí)，恒有，則的取值范圍是▲．【答案】【解析】設(shè)函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，恒有.當(dāng)時(shí)，在上遞增，則，且，從而，則，于是，矛盾；同理，當(dāng)，矛盾；當(dāng)，；當(dāng)，；由此得，的取值范圍是.當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.四、解答題（本題共6大題，第17題10分，其余各題12分，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算．）第17題圖17．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載的“芻甍”是底面為矩形，頂部只有一條棱的五面體．如圖，五面體是一個“芻甍”，四邊形為矩形，與都是正三角形，,．第17題圖(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．17.解析(1)面面,面,又面面,,又面面,所以面(2)如圖,延長棱EF至MN,使得,由題可知ABNM與CDMN皆為矩形,于是我們得到了直三棱柱,過作于,則面,在面內(nèi)的射影為與平面所成角為,又中,BC邊上的高為,故.18．袋中裝有除顏色外完全相同的的個球，其中有個黑球和個白球．現(xiàn)由甲、乙兩人從袋中輪流取球，取后不放回，規(guī)定甲先取，乙后取，然后甲可再取，接下來再由乙取，若有人取到白球，則馬上終止取球，每次取球時(shí)，袋中的每個球被取出的概率相等．記事件“第次取到的球是白球”,．試將下列事件用,表示，并求出相應(yīng)事件的概率．(1)取球次即終止；(2)最后一次取球的是乙．解：(1)取球3次終止情況為第一次取黑球,第二次取黑球,第三次取白球該事件為,所求概率為(2)最后一次取球的是乙,則意味著取到白球的次數(shù)為偶數(shù),則包括兩種情況,即事件“最后一次取球的是乙”為事件,事件對應(yīng)的概率事件對應(yīng)的概率,因此,最后一次取球的是乙的概率19．已知函數(shù)，且為奇函數(shù)．(1)求的解析式；(2)若方程在上有四個不同的實(shí)數(shù)解,求的值．解：為奇函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱方程，即方程在上有四個不同的實(shí)數(shù)解則或，即或當(dāng)，即時(shí)則當(dāng)，即20．已知三角形中，角所對的邊分別為，且．(1)當(dāng)，時(shí)，求的值；(2)判斷的形狀．解：由，得則（1）由，得 （2）化簡，得為銳角三角形21．近些年來，三維掃描技術(shù)得到空前發(fā)展，從而催生了數(shù)字幾何這一新興學(xué)科．?dāng)?shù)字幾何是傳統(tǒng)幾何和計(jì)算機(jī)科學(xué)相結(jié)合的產(chǎn)物．?dāng)?shù)字幾何中的一個重要概念是曲率，用曲率來刻畫幾何體的彎曲程度．規(guī)定：多面體在頂點(diǎn)處的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的所有面角之和的差（多面體的面角是指多面體的面上的多邊形的內(nèi)角的大小，用弧度制表示），多面體在面上非頂點(diǎn)處的曲率均為零．由此可知，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和．例如：正方體在每個頂點(diǎn)有個面角，每個面角是，所以正方體在各頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為．(1)求四棱錐的總曲率；(2)表面經(jīng)過連續(xù)變形可以變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w稱為簡單多面體．關(guān)于簡單多面體有著名歐拉定理：設(shè)簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)為，棱數(shù)為，面數(shù)為，則有：．利用此定理試證明：簡單多面體的總曲率是常數(shù)．解析：(1)四棱錐有個頂點(diǎn),個三角形面,個凸四邊形面,故其總曲率為（答案正確即可給分）.(2)設(shè)多面體有個面,給組成多面體的多邊形編號,分別為號.設(shè)第號多邊形有條邊.則多面體共有 條棱(在給所有多邊形的邊數(shù)求和時(shí),每條棱被計(jì)了兩次數(shù)).由題意,多面體共有 個頂點(diǎn).號多邊形的內(nèi)角之和為,故所有多邊形的內(nèi)角之和為 故多面體的總曲率為所以滿足題目要求的多面體的總曲率為.22．設(shè)函數(shù)．（1）證明：存在唯一的函數(shù)，使得；（2）求所有的非負(fù)實(shí)數(shù)使得；（3），（i）證明：關(guān)于的方程與都有唯一實(shí)根；（ii）記分別為方程，的實(shí)根，證明：．解析：（1）證明：注意到在上單調(diào)遞增，