第十二講三角恒等變換解析版

第十二講：簡單的三角恒等變換【考點梳理】兩角和與差的三角函數(shù)公式二倍角公式3、輔助角公式(其中)4、降冪公式【典型題型講解】考點一：兩角和與差公式【典例例題】例1．（2022·廣東汕頭·高三期末）已知，則（

）A．-1 B．0 C． D．【答案】B【詳解】∵，∴，故故選：B例2.（2022·廣東湛江·一模）已知，，則（

） B． C． D．【答案】B【詳解】由，，得，所以，故選:B.例3．（2022·廣東汕頭·一模）已知，，則（

）A． B． C．3 D．【答案】B【詳解】由，得，又，得，即，整理，得或(舍去)，所以，又，，解得，故.故選：B【方法技巧與總結(jié)】1.三角函數(shù)式化簡的方法：化簡三角函數(shù)式常見方法有弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪與升冪等.2.給值求值：解題的關(guān)鍵在于“變角”，把待求三角函數(shù)值的角用含已知角的式子表示出來，求解時要注意對角的范圍的討論.【變式訓(xùn)練】1.已知，則__________．【答案】【解析】本題主要考查三角恒等變換，考查考生的運算求解能力.，解方程得.故答案為.2.（2022·廣東韶關(guān)·一模）若，則__________.【答案】【詳解】因為，所以，所以，所以.故答案為：3.（2022·全國·高考真題）若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由已知得：,即：，即：,所以,故選：C4.已知，，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】易知，利用角的范圍和同角三角函數(shù)關(guān)系可求得和，分別在和兩種情況下，利用兩角和差正弦公式求得，結(jié)合的范圍可確定最終結(jié)果.【詳解】且，，.又，，.當(dāng)時，，，，不合題意，舍去；當(dāng)，同理可求得，符合題意.綜上所述：.故選：.5.已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意得到進而得到，，從而有.【詳解】∵，∴，則，，∴，故選A.考點二：二倍角公式【典例例題】例1.（2022·廣東中山·高三期末）若，則___________.【答案】【分析】根據(jù)余弦的二倍角公式即可計算.【詳解】.故答案為：.例2．（2022·廣東清遠(yuǎn)·高三期末）已知，則________．答案】【詳解】．故答案為：例3.若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，，，，解得，，.故選：A.【方法技巧與總結(jié)】三角恒等變換的基本思路：找差異，化同角(名)，化簡求值.三角恒等變換的關(guān)鍵在于觀察各個角之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)題目所給條件與恒等變換公式的聯(lián)系.【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東汕頭·一模）已知，，則（

）A． B． C．3 D．【答案】．B【詳解】由，得，又，得，即，整理，得或(舍去)，所以，又，，解得，故.故選：B2．（2022·廣東韶關(guān)·二模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】．C【詳解】由題知，有，所以，故選：C．3.（2022·廣東佛山·二模）已知sin，則___________.【答案】【詳解】所以所以故答案為：4.（2022·廣東肇慶·二模）若，則______．【答案】【詳解】∵，∴，所以．故答案為：.5．（2022·廣東深圳·二模）已知，則__________．【答案】【詳解】解：由題意可知：.6.若，且，則（

）A． B． C．2 D．2【答案】D【詳解】，故，可解得或，又，故，故，故選：D7．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為，所以，.故選：B.8．已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，所以又，所以，所以所以故選：D9．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為，所以.故選：B．10．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：因為，所以，又，所以，所以。即，所以故選：B【鞏固練習(xí)】一、單選題1．已知角與角的頂點均與原點O重合，始邊均與x軸的非負(fù)半軸重合，它們的終邊關(guān)于x軸對稱．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為與關(guān)于軸對稱，，所以，，則，，，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，所以，故選：A．2．已知，，則（

）A．0 B． C． D．1【答案】C【詳解】因為，，兩式平方相加得：，即，即，則，故即，，即，即，，即，故，故選：C3．已知，，則（

）A． B． C．1 D．2或6【答案】A【詳解】因為，所以，解得，又，所以.故選:A.4．公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割約為0.618，這一數(shù)值也可以表示為，若，則（

）A．－4 B．－2 C．2 D．4【答案】B【詳解】．故選：B．5．若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，可得又，則故選：D6．若，則（

）A．B．C． D．【答案】C【詳解】，因為所以，，因為，，所以，，則．故選：C二、多選題7．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】BD【詳解】因為，所以，又，所以，，故A錯誤，B正確．，所以，，故C錯誤，D正確．故選：BD.8．下列各式的值為的是（

）.A．sinB．sincosC． D．【答案】AD【詳解】A：，符合題意；B：，不符合題意；C：，不符合題意；D：，符合題意，故選：AD9．已知，其中為銳角，則以下命題正確的是（）A． B．C． D．【答案】AB【詳解】因為，，所以，故A正確；因為，所以所以，故B正確；，，由得，，解得；故C不正確；由得，，解得；，故D不正確.故選：AB.三、填空題10．若，則__________，_________．【答案】

【詳解】，∴，即，即，令，，則，∴，即，∴，則．故答案為：；．11．已知，則________.【答案】【詳解】因為，，所以，所以，所以，，所以，則.故答案為：.12．已知，則_____________.【答案】【詳解】因為所以..故答案為：13．__________.【答案】0【詳解】.故答案為：0．四、解答題14．已知，．(1)求的值；(2)若，，求的值．【答案】(1)(2)【解析】(1)解：因為，，又，所以，所以.(2)解：因為，，又因為，所以，由（1）知，，所以．因為，，則，所以．15．已知角為銳角，，且滿足，(1)證明：；(2