橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程“黃岡賽”一等獎(jiǎng)

2.2橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程10/6/2023平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)F1F2叫做橢圓的焦點(diǎn)兩焦點(diǎn)的距離F1F2叫做焦距一、橢圓定義：M（大于|F1F2|）10/6/2023怎樣畫橢圓呢？10/6/2023F1F2M10/6/2023幾點(diǎn)說明：

1、F1、F2是兩個(gè)不同的定點(diǎn)；

如果2a=2c，

如果2a<2c，

2、M是橢圓上任意一點(diǎn)，且MF1+MF2=常數(shù)；M則M點(diǎn)的軌跡是線段F1F2.則M點(diǎn)的軌跡不存在.通常這個(gè)常數(shù)記為2a，焦距記為2c3、通常這個(gè)常數(shù)記為2a，焦距記為2c，且2a>2c；10/6/2023OXYF1F2M求橢圓的方程10/6/2023OXYF1F2MOXYF1F2M方案一方案二求橢圓的方程10/6/2023YOXF1F2M求橢圓的方程YOXF1F2M如圖所示：F1、F2為兩定點(diǎn)，且

F1F2=2c，求平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2距離之和為定值2a（2a>2c)的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。10/6/2023OXYF1F2M解：以F1F2所在直線為X軸，F(xiàn)1F2

的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則焦點(diǎn)F1、F2的坐標(biāo)分別為(-c,0)、(c,0)。(-c,0)(c,0)(x,y)設(shè)M（x,y)為所求軌跡上的任意一點(diǎn)，則:MF1+MF2=2a10/6/2023OXYF1F2M(-c,0)(c,0)(x,y)兩邊平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)因?yàn)?a>2c，即a>c，所以a2-c2>0，令a2-c2=b2，其中b>0，代入上式可得：b2x2+a2y2=a2b2兩邊同時(shí)除以a2b2得：(a>b>0)10/6/2023OXYF1F2M(-c,0)(c,0)YOXF1F2M(0,-c)(0,c)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的再認(rèn)識(shí)：（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個(gè)分式的平方和，右邊是1（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù)a、b、c滿足a2=b2+c2。由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個(gè)參數(shù)a、b、c的值。（3）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，x2與y2的分母哪一個(gè)大，則焦點(diǎn)在哪一個(gè)軸上。F1F2M10/6/2023例題精析例1、填空：(1)已知橢圓的方程為：，則a=_____，b=_______，c=_______，焦點(diǎn)坐標(biāo)為：____________焦距等于______;若CD為過左焦點(diǎn)F1的弦，則△F2CD的周長為________543(3,0)、(-3,0)620F1F2CD10/6/2023(2)已知橢圓的方程為：，則a=_____，b=_______，c=_______，焦點(diǎn)坐標(biāo)為：___________焦距等于__________;曲線上一點(diǎn)P到F1的距離為3，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)F2的距離等于_________，則△F1PF2的周長為___________21(0,-1)、(0,1)2PF1F210/6/20231.求下列橢圓的焦點(diǎn)和焦距。解：因?yàn)樗越裹c(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)為：焦點(diǎn)為：練焦距為：2焦距為：所以焦點(diǎn)在Y軸上因?yàn)?0/6/2023例2、求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）滿足a=4,b=1，焦點(diǎn)在X軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________（2）滿足a=4,b=，焦點(diǎn)在Y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________或c10/6/2023變式：若方程4x2+ky2=1表示的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，求k的取值范圍。解：由4x2+ky2=1因?yàn)榉匠瘫硎镜那€是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓即：0<k<4所以k的取值范圍為0<k<4。10/6/2023例題講解xOy例3、已知一個(gè)運(yùn)油車上的貯油罐橫截面的外輪廓線是一個(gè)橢圓，它的焦距為2.4m，外輪廓線上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離和為3m，求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程F1F2P解：以兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2所在的直線為x軸，以線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為根據(jù)題意知，2a=3，2c=2.4，即a=1.5，c=1.2。所以b2=a2-c2=1.52-1.22=0.81，因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為10/6/2023例4、將圓x2+y2=4上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?，求所得曲線的方程，并說明它是什么曲線.x2+（2y）2=4,所以x2+4y2=4,即這就是變換后所得曲線的方程,它表示一個(gè)橢圓oxy解：設(shè)所得曲線上任一點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），圓x2+y2=4上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（x,2y),由題意可得PP′10/6/2023

平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。橢圓定義：橢圓定義1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

210/6/2023推導(dǎo)橢圓的方程建立直角坐標(biāo)系列等式設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)代入坐標(biāo)化簡(jiǎn)方程10/6/2023定義圖形方程焦點(diǎn)F(±c，0)F(0，±c)

a,b,c的關(guān)系{P|PF