寧夏銀川市2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中文試題含解析

Page13銀川2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.本試卷共22小題，滿分150分.考試時(shí)間為120分鐘.答案寫在答題卡上的指定位置.考試結(jié)束后，交回答題卡.一、選擇題:本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題1.點(diǎn)的直角坐標(biāo)是，則點(diǎn)的極坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)，再根據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系求解即可【詳解】設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為則，故，，故，故點(diǎn)的極坐標(biāo)為故選：B2.若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的值（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)絕對(duì)值不等式的解法建立條件關(guān)系即可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?，即，因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以，解得?故選：D.3.若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化兩點(diǎn)的極坐標(biāo)為直角坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間的距離公式求解.【詳解】由兩點(diǎn)，，得兩點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為，由兩點(diǎn)的距離公式得：.故選：C.4.下列點(diǎn)在曲線上是A. B.C. D.【答案】B【解析】【詳解】將參數(shù)方程化為普通方程是，代入各點(diǎn)可得在曲線上.考點(diǎn)：參數(shù)方程.5.不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)絕對(duì)值不等式的方法求解即可【詳解】即，即，即故選：B6.在以為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，圓和直線相交于兩點(diǎn).若是等邊三角形，則a的值等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由為等邊三角形，結(jié)合圓的對(duì)稱性可得，從而可求出，進(jìn)而可求出【詳解】因?yàn)閳A和直線相交于兩點(diǎn)，且是等邊三角形，所以，所以，所以，故選：C7.已知直線的極坐標(biāo)方程為，則極點(diǎn)到該直線的距離是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先將直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可【詳解】由，得，，得，所以極點(diǎn)到該直線的距離為，故選：A8.曲線在坐標(biāo)伸縮變換下的方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)伸縮變換，將用表示出來(lái)，代入曲線方程中即可求解.【詳解】，將代入曲線中可得：故選：D9.設(shè)，當(dāng)時(shí)，，則的取值范圍（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】解不等式，結(jié)合已知條件可得出集合的包含關(guān)系，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由可得，解得，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，則，所以，，解得.故選：B.10.直線（為參數(shù)）被曲線所截的弦長(zhǎng)（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先將直線的參數(shù)方程化為普通方程，曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，然后求出圓心到直線的距離，再利用圓心距，弦和半徑的關(guān)系可求出弦長(zhǎng)【詳解】直線（為參數(shù)）消去參數(shù)得，由，得，，，，即，所以圓的圓心為，半徑，所以圓心到直線的距離為，所以所求弦長(zhǎng)為，故選：D11.已知函數(shù)，若存在，使得成立，則的取值范圍（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意得，由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得，所以，由不等式的性質(zhì)得，所以，從而可求出的取值【詳解】存在，使得成立，等價(jià)于，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，所以，則，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，所以，解得或，所以的取值范圍為，故選：C12.已知，且，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用作差法可判斷AB選項(xiàng)；利用特殊值法可判斷CD選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋?，，因?yàn)?，則，A對(duì)B錯(cuò)；若，則成立，但，C錯(cuò)；若，則成立，則不成立，D錯(cuò).故選：A.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.13.若點(diǎn)的極坐標(biāo)是，則點(diǎn)的直角坐標(biāo)為______【答案】【解析】【分析】根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系求解即可【詳解】點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，即故答案為：14.曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是_______【答案】【解析】【分析】分別令求解與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)即可【詳解】令，則，此時(shí)，，故與軸的交點(diǎn)是；令，則，此時(shí)，，故與軸的交點(diǎn)是；故答案為：、15.不等式的解集_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，分段去絕對(duì)值符號(hào)，求解不等式作答.【詳解】當(dāng)時(shí)，原不等式化為：，解得，則，當(dāng)時(shí)，原不等式化為：，無(wú)解，當(dāng)時(shí)，原不等式化為：，解得，則，所以原不等式的解集為.故答案為：16.在直角坐標(biāo)系中，曲線方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），若曲線截直線所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則的斜率是_____.【答案】【解析】【分析】將直線的參數(shù)方程代入曲線方程化簡(jiǎn)，由題意可知，則，從而可求出直線的斜率【詳解】因?yàn)橹本€的參數(shù)方程為（為參數(shù)），表示過點(diǎn)的直線，所以將直線的參數(shù)方程代入曲線方程得，化簡(jiǎn)整理得，因?yàn)橹本€的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義為直線上的點(diǎn)到點(diǎn)的位移，所以兩交點(diǎn)到中點(diǎn)的距離和為0，即，所以，解得，所以，所以的斜率是，故答案為：三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.設(shè)函數(shù)，其中．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式的解集為，求a的值．【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）2.【解析】【分析】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，可化為，去掉絕對(duì)值求解即可；（Ⅱ）可化為不等式組或，分別求解與已知不等式的解集對(duì)應(yīng)相等，求出a的值．【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，可化為，由此可得或．故不等式的解集為或．(

Ⅱ)由得，此不等式化為不等式組或，即或，因?yàn)?，∴不等式組的解集為，由題設(shè)可得=，故．【點(diǎn)睛】本題考查含絕對(duì)值的不等式的解法，考查學(xué)生計(jì)算能力和分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題．18.在直角坐標(biāo)系中，曲線的方程為，以為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）已知射線與曲線交于兩點(diǎn)，射線與曲線交于兩點(diǎn)．求面積．【答案】（1）（2）9【解析】【分析】（1）根據(jù)化簡(jiǎn)求解即可（2）設(shè)，，再結(jié)合極坐標(biāo)的幾何意義與三角形面積公式求解即可【小問1詳解】由，即，將，代入，得，即，故曲線的極坐標(biāo)方程為．【小問2詳解】依題意，設(shè)，．由曲線的極坐標(biāo)方程為．得，曲線的極坐標(biāo)方程為．則，所以19.（1）設(shè)且．證明：；（2）已知為正數(shù)，且滿足．證明：【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）將展開可得，由題意可得，，都不為，則即可求證；（2）利用基本不等式可得，三式相加，結(jié)合，可得結(jié)論【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，，都不為，則，所以.（2）因?yàn)閍，b，c為正數(shù)，，所以，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即20.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，直線的參數(shù)方程為.（1）若，求與的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若時(shí)，曲線上的點(diǎn)到距離的最大值為，求.【答案】（1），（2）8【解析】【分析】（1）將曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程，直線的參數(shù)方程化為一般方程，聯(lián)立方程可以求得交點(diǎn)坐標(biāo).（2）曲線上的點(diǎn)可以表示成，應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式可以表示出到直線的距離，再結(jié)合距離最大值為進(jìn)行分析，即可求出的值.【小問1詳解】曲線的普通方程為.當(dāng)時(shí)，直線的普通方程為.由解得或從而與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，.【小問2詳解】直線的普通方程為，故上的點(diǎn)到的距離為.當(dāng)時(shí)，的最大值為.由題設(shè)得，所以.21.已知函數(shù)．（1）若，求不等式解集；（2）對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)，且，若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分類討論去絕對(duì)值求解即可；（2）變換根據(jù)基本不等式求解最小值，再根據(jù)絕對(duì)值的三角不等式，結(jié)合恒成立問題求解即可【小問1詳解】原不等式為，當(dāng)時(shí)，得，顯然成立，所以．當(dāng)時(shí)，得，得所以，當(dāng)時(shí)，，不成立.綜上得不等式的解集為．【小問2詳解】因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，并且，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值．又因?yàn)?，?dāng)時(shí)取到等號(hào)，要使恒成立，只需．所以．22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，0≤α＜π），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2＝，直線l與曲線C的交點(diǎn)為A，B．（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程及α＝時(shí)|AB|的值；（2）設(shè)點(diǎn)P（﹣1，1），求的最大值．【答案】（1）；|AB|＝3；（2）2．【解析】【分析】(1)結(jié)合即可得出曲線的直角方程，將當(dāng)α＝代入直線l的參數(shù)方程得出的直角方程為x＝﹣1，聯(lián)立曲線方程解出的值即可.(2)把直線的參數(shù)方程代入曲線的直角方程得出關(guān)于的一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理和的幾何意義即可求出結(jié)果.【詳解】解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2＝，根據(jù)，轉(zhuǎn)換直角坐標(biāo)方程為，當(dāng)α＝時(shí)，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，0≤α＜π），轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為x＝﹣1．所以，由，解得，所以|AB|＝3．（2）把直線的參數(shù)方程，代入，得到（3+sin2α）t2+（8sinα﹣6cosα）t﹣5＝0，設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，故，，故t1、t2的符號(hào)相反，由此時(shí)的幾何意義可得：||PA|﹣|PB||＝||t1|﹣|t2||＝|t1+t2|，＝2|sin（α﹣φ）|的最大值為2，(其中).【點(diǎn)睛】(1)極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化方法:①直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程：將公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入直角坐標(biāo)方程并化簡(jiǎn)即可．②極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程：通過變形，構(gòu)造出形如ρ