2024屆福建省永泰縣數學九年級第一學期期末綜合測試模擬試題含解析

2024屆福建省永泰縣數學九年級第一學期期末綜合測試模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，半徑為3的⊙O內有一點A，OA=，點P在⊙O上，當∠OPA最大時，PA的長等于（）A． B． C．3 D．22．某小組做“用頻率估計概率”的試驗時，統(tǒng)計了某結果出現(xiàn)的頻率，繪制了如圖的折線統(tǒng)計圖，則符合這一結果的試驗最有可能的是（）A．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機出的是“剪刀”B．一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌花色是紅桃C．袋子中有1個紅球和2個黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，從中任取一球是黃球D．擲一個質地均勻的正六面體骰子，向上的面點數是偶數3．如圖1，E為矩形ABCD邊AD上一點，點P從點C沿折線CD﹣DE﹣EB運動到點B時停止，點Q從點B沿BC運動到點C時停止，它們運動的速度都是1cm/s．若P，Q同時開始運動，設運動時間為t（s），△BPQ的面積為y（cm2）．已知y與t的函數圖象如圖2，則下列結論錯誤的是（）A．AE=8cmB．sin∠EBC=C．當10≤t≤12時，D．當t=12s時，△PBQ是等腰三角形4．如圖，斜面AC的坡度（CD與AD的比）為1：2，AC=3米，坡頂有旗桿BC，旗桿頂端B點與A點有一條彩帶相連．若AB=10米，則旗桿BC的高度為（）A．5米 B．6米 C．8米 D．（3+）米5．式子在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是（）A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣26．如圖，在△ABC中，D、E分別是BC、AC上的點，且DE∥AB，若S△CDE：S△BDE＝1：3，則S△CDE：S△ABE＝（）A．1：9 B．1：12C．1：16 D．1：207．在以下四個圖案中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是()A． B． C． D．8．如圖，弦和相交于內一點，則下列結論成立的是（）A．B．C．D．9．拋物線y=x2+bx+c(其中b,c是常數)過點A(2,6),且拋物線的對稱軸與線段y=0(1≤x≤3)有交點,則c的值不可能是()A．4 B．6 C．8 D．1010．如圖，⊙的半徑垂直于弦，是優(yōu)弧上的一點（不與點重合），若，則等于（）A． B． C． D．11．在比例尺為1：800000的“中國政區(qū)”地圖上，量得甲市與乙市之間的距離是2.5cm，則這兩市之間的實際距離為()km．A．20000000 B．200000 C．200 D．200000012．如圖是二次函數y＝ax1+bx+c圖象的一部分，圖象過點A(﹣3，0)，對稱軸為直線x＝﹣1，下列結論：①b1＞4ac；②1a+b＝0；③a+b+c＞0；④若B(﹣5，y1)、C(﹣1，y1)為函數圖象上的兩點，則y1＜y1．其中正確結論是（）A．②④ B．①③④ C．①④ D．②③二、填空題（每題4分，共24分）13．二次函數y＝ax2＋bx＋c（a，b，c為常數，且a≠0）中x與y的部分對應值如下表x－1013y－1353那么當x＝4時，y的值為___________.14．已知圓錐的底面半徑為3，母線長為7，則圓錐的側面積是_____．15．在一個不透明的口袋中，有大小、形狀完全相同，顏色不同的球15個，從中摸出紅球的概率為，則袋中紅球的個數為_____．16．方程的根為_____．17．如圖，量角器的0度刻度線為，將一矩形直尺與量角器部分重疊，使直尺一邊與量角器相切于點，直尺另一邊交量角器于點，，量得，點在量角器上的讀數為，則該直尺的寬度為____________．18．如圖,港口A在觀測站O的正東方向,OA=4.某船從港口A出發(fā),沿北偏東15°方向航行一段距離后到達B處,此時從觀測站O處測得該船位于北偏東60°的方向,則該船航行的距離(即AB的長)為____.

三、解答題（共78分）19．（8分）已知：為的直徑，,為上一動點（不與、重合）.（1）如圖1，若平分，連接交于點.①求證：；②若，求的長；（2）如圖2，若繞點順時針旋轉得，連接.求證：為的切線.20．（8分）如圖甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果點P由點B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，同時點Q由點A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為1cm/s．連接PQ，設運動時間為t（s）（0＜t＜4），解答下列問題：（1）設△APQ的面積為S，當t為何值時，S取得最大值，S的最大值是多少；（2）如圖乙，連接PC，將△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP′C，當四邊形PQP′C為菱形時，求t的值；（3）當t為何值時，△APQ是等腰三角形．21．（8分）如圖，在一筆直的海岸線上有A，B兩觀景臺，A在B的正東方向，BP＝5（單位：km），有一艘小船停在點P處，從A測得小船在北偏西60°的方向，從B測得小船在北偏東45°的方向．（1）求A、B兩觀景臺之間的距離；（2）小船從點P處沿射線AP的方向進行沿途考察，求觀景臺B到射線AP的最短距離．（結果保留根號）22．（10分）平行四邊形中，點為上一點，連接交對角線于點，點為上一點，于，且，點為的中點，連接；若．（1）求的度數；（2）求證：23．（10分）在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點A，將點A向右平移2個單位長度，得到點B，點B在拋物線上．（1）①直接寫出拋物線的對稱軸是________；②用含a的代數式表示b；（2）橫、縱坐標都是整數的點叫整點．點A恰好為整點，若拋物線在點A，B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域內（不含邊界）恰有1個整點，結合函數的圖象，直接寫出a的取值范圍．24．（10分）為弘揚傳統(tǒng)文化，某校開展了“傳承經典文化，閱讀經典名著”活動．為了解七、八年級學生(七、八年級各有600名學生)的閱讀效果，該校舉行了經典文化知識競賽．現(xiàn)從兩個年級各隨機抽取20名學生的競賽成績(百分制)進行分析，過程如下：收集數據：七年級：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，1．八年級：92，74，87，82，72，81，94，83，1，83，80，81，71，81，72，1，82，80，70，2．整理數據：七年級010a71八年級1007b2分析數據：平均數眾數中位數七年級7875八年級7880.5應用數據：(1)由上表填空：a=，b=，c=，d=．(2)估計該校七、八兩個年級學生在本次競賽中成績在90分以上的共有多少人？(3)你認為哪個年級的學生對經典文化知識掌握的總體水平較好，請說明理由．25．（12分）在校園文化藝術節(jié)中，九年級（1）班有1名男生和2名女生獲得美術獎，另有2名男生和2名女生獲得音樂獎.（1）從獲得美術獎和音樂獎的7名學生中選取1名參加頒獎大會，恰好選到男生是事件（填隨機或必然），選到男生的概率是.（2）分別從獲得美術獎、音樂獎的學生中各選取1名參加頒獎大會，用列表或樹狀圖的方法，求剛好是一男生和一女生的概率.26．如圖，已知AB為⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，CD＝BD，E、F是線段AC、AB的延長線上的點，并且EF與⊙O相切于點D．（1）求證：∠A＝2∠BDF；（2）若AC＝3，AB＝5，求CE的長．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、B【解題分析】如圖所示：∵OA、OP是定值，∴在△OPA中，當∠OPA取最大值時，PA取最小值，∴PA⊥OA時，PA取最小值；在直角三角形OPA中,OA=3√，OP=3，∴PA=故選B.點睛：本題考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理的應用.解答此題的關鍵是找出“PA⊥OA時，∠OPA最大”這一隱含條件.當PA⊥OA時，PA取最小值，∠OPA取得最大值，然后在直角三角形OPA中利用勾股定理求PA的值即可．2、D【解題分析】根據圖可知該事件的概率在0.5左右，在一一篩選選項即可解答.【題目詳解】根據圖可知該事件的概率在0.5左右,（1）A事件概率為，錯誤.(2)B事件的概率為，錯誤.(3)C事件概率為，錯誤.(4)D事件的概率為，正確.故選D.【題目點撥】本題考查概率，能夠根據事件的條件得出該事件的概率是解答本題的關鍵.3、D【分析】觀察圖象可知：點P在CD上運動的時間為6s，在DE上運動的時間為4s，點Q在BC上運動的時間為12s，所以CD=6，DE=4，BC=12，然后結合三角函數、三角形的面積等逐一進行判斷即可得.【題目詳解】觀察圖象可知：點P在CD上運動的時間為6s，在DE上運動的時間為4s，點Q在BC上運動的時間為12s，所以CD=6，DE=4，BC=12，∵AD=BC，∴AD=12，∴AE=12﹣4=8cm，故A正確，在Rt△ABE中，∵AE=8，AB=CD=6，∴BE==10，∴sin∠EBC=sin∠AEB=，故B正確，當10≤t≤12時，點P在BE上，BP=10﹣（t﹣10）=20﹣t，∴S△BQP=?t?（20﹣t）?=﹣t2+6t，故C正確，如圖，當t=12時，Q點與C點重合，點P在BE上，此時BP=20-12=8，過點P作PM⊥BC于M，在Rt△BPM中，cos∠PBM=，又∠PBM=∠AEB，在Rt△ABE中，cos∠AEB=，∴，∴BM=6.4，∴QM=12-6.4=5.6，∴BP≠PC，即△PBQ不是等腰三角形，故D錯誤，故選D．【題目點撥】本題考查動點問題的函數圖象，涉及了矩形的性質，勾股定理，三角形函數，等腰三角形的判定等知識，綜合性較強，解題的關鍵是理解題意，讀懂圖象信息，靈活運用所學知識解決問題．4、A【解題分析】試題分析：根據CD：AD=1:2，AC=3米可得：CD=3米，AD=6米，根據AB=10米，∠D=90°可得：BD==8米，則BC=BD－CD=8－3=5米.考點：直角三角形的勾股定理5、B【分析】根據二次根式有意義的條件可得，再解不等式即可．【題目詳解】解：由題意得：，解得：，

故選：B．【題目點撥】此題主要考查了二次根式有意義的條件，關鍵是掌握二次根式中的被開方數是非負數．6、B【分析】由S△CDE：S△BDE＝1：3得CD：BD＝1：3，進而得到CD：BC＝1：4，然后根據DE∥AB可得△CDE∽△CAB，利用相似三角形的性質得到，然后根據面積和差可求得答案.【題目詳解】解：過點H作EH⊥BC交BC于點H，∵S△CDE：S△BDE＝1：3，∴CD：BD＝1：3，∴CD：BC＝1：4，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴，∵S△ABC＝S△CDE＋S△BDE＋S△ABE，∴S△CDE：S△ABE＝1：12，故選：B．【題目點撥】本題綜合考查相似三角形的判定與性質，三角形的面積等知識，解題關鍵是掌握相似三角形的判定與性質．7、B【分析】旋轉180后能夠與原圖形完全重合即是中心對稱圖形，根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【題目詳解】A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不合題意；B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不合題意；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不合題意．故選：B．【題目點撥】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部分重合．8、C【分析】連接AC、BD，根據圓周角定理得出角相等，推出兩三角形相似，根據相似三角形的性質推出即可．【題目詳解】連接AC、BD，∵由圓周角定理得：∠A=∠D，∠C=∠B，∴△CAP∽△BDP，∴∴，所以只有選項C正確．故選C．【題目點撥】本題考查了相似三角形的判定與性質、圓周角定理，連接AC、BD利用圓周角定理是解題的關鍵．9、A【解題分析】試題分析：根據拋物線y=x2+bx+c（其中b，c是常數）過點A（2，6），且拋物線的對稱軸與線段y=0（1≤x≤3）有交點，可以得到c的取值范圍，從而可以解答本題．∵拋物線y=x2+bx+c（其中b，c是常數）過點A（2，6），且拋物線的對稱軸與線段y=0（1≤x≤3）有交點，∴解得6≤c≤14考點：二次函數的性質10、A【分析】根據題意，⊙的半徑垂直于弦，可應用垂徑定理解題，平分弦，平分弦所對的弧、平分弦所對的圓心角，故,又根據同一個圓中，同弧所對的圓周角等于其圓心角的一半，可解得【題目詳解】⊙的半徑垂直于弦，故選A【題目點撥】本題考查垂徑定理、圓周角與圓心角的關系，熟練掌握相關知識并靈活應用是解題關鍵.11、C【分析】比例尺＝圖上距離：實際距離．列出比例式，求解即可得出兩地的實際距離．【題目詳解】設這兩市之間的實際距離為xcm，則根據比例尺為1：800000，列出比例式：1：800000＝2.5：x，解得x＝1．1cm＝200km故選：C．【題目點撥】本題考查了比例尺的意義，注意圖上距離跟實際距離單位要統(tǒng)一．12、C【分析】根據拋物線與x軸有兩個交點可得△＝b1﹣4ac>0，可對①進行判斷；由拋物線的對稱軸可得﹣＝﹣1，可對②進行判斷；根據對稱軸方程及點A坐標可求出拋物線與x軸的另一個交點坐標，可對③進行判斷；根據對稱軸及二次函數的增減性可對④進行判斷；綜上即可得答案．【題目詳解】∵拋物線與x軸有兩個交點，∴b1﹣4ac＞0，即：b1＞4ac，故①正確，∵二次函數y＝ax1+bx+c的對稱軸為直線x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴1a＝b，即：1a﹣b＝0，故②錯誤．∵二次函數y＝ax1+bx+c圖象的一部分，圖象過點A（﹣3，0），對稱軸為直線x＝﹣1，∴二次函數與x軸的另一個交點的坐標為（1，0），∴當x＝1時，有a+b+c＝0，故結論③錯誤；④∵拋物線的開口向下，對稱軸x＝﹣1，∴當x＜﹣1時，函數值y隨著x的增大而增大，∵﹣5＜﹣1則y1＜y1，則結論④正確故選：C．【題目點撥】本題主要考查二次函數圖象與系數的關系，對于二次函數y=ax1+bx+c（a≠0），二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小：當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左側；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右側；常數項c決定拋物線與y軸交點位置：拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點個數由△=b1-4ac決定：△＞0時，拋物線與x軸有1個交點；△=0時，拋物線與x軸有1個交點；△＜0時，拋物線與x軸沒有交點．二、填空題（每題4分，共24分）13、－1【分析】將表中數值選其中三組代入解析式得方程組，解方程組得到函數解析式，再把x=4代入求值即可.【題目詳解】解：將表中數值選其中三組代入解析式得：解得：所以解析式為：當x=4時，故答案為：-1【題目點撥】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，根據表中數據求出二次函數解析式是解題的關鍵．14、21π．【分析】利用圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和扇形的面積公式計算．【題目詳解】解：圓錐的側面積＝×2π×3×7＝21π．故答案為21π．【題目點撥】本題考查圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．15、【分析】等量關系為：紅球數：總球數=，把相關數值代入即可求解．【題目詳解】設紅球有x個，根據題意得：，

解得：x=1．

故答案為1．【題目點撥】用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．16、x=3【分析】方程兩邊同時乘以，變?yōu)檎椒匠?，然后解方程，最后檢驗，即可得到答案.【題目詳解】解：，∴方程兩邊同時乘以，得：，解得：，經檢驗：是原分式方程的根，∴方程的根為：.故答案為：.【題目點撥】本題考查了解分式方程，解題的關鍵是熟練掌握解分式方程的步驟，注意要檢驗.17、【分析】連接OC,OD,OC與AD交于點E，根據圓周角定理有根據垂徑定理有：解直角即可.【題目詳解】連接OC,OD,OC與AD交于點E，直尺的寬度：故答案為【題目點撥】考查垂徑定理，熟記垂徑定理是解題的關鍵.18、1【解題分析】過點A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=OA=1，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=1，則AB=AD=1．【題目詳解】如圖，過點A作AD⊥OB于D．在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4，∴AD=OA=1．在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°，∴BD=AD=1，∴AB=AD=1．即該船航行的距離（即AB的長）為1．故答案為1．【題目點撥】本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，難度適中，作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．三、解答題（共78分）19、（1）①見解析，②2；（2）見解析【分析】（1）①先根據圓周角定理得出，再得出，再根據角平分線的定義得出，最后根據三角形外角定理即可求證；②取中點，連接，可得是中位線，根據平行線的性質得，然后根據等腰三角形的性質得出，最后再根據中位線的性質得出；（2）上截取，連接，由題意先得出，再得出，然后由旋轉性質得、，再根據同角的補角相等得出，然后證的，最后得出即可證明.【題目詳解】解：（1）①證明：為的直徑，.，，..平分，.，，.；②解法一：如圖，取中點，連接，為的中點，，..，，..；解法二：如圖，作，垂足為，平分，，.......在中，.；解法三：如圖，作，垂足為，設平分，，.∴∴，即∴解得：∴（2）證明（法一）：如圖，在上截取，連接.，....由旋轉性質得，，.，..（沒寫不扣分）...為的切線．證法二：如圖，延長到，使.由旋轉性質得，，..，..（沒寫不扣分），.，.......為的切線．證法三：作交延長線于點.（余下略）由旋轉性質得，，∴，∴.∵∴∴、∴∴∴∴∵為的直徑，∴∴∴∴.∴為的切線．【題目點撥】本題主要考察圓周角定理、角平分線定義、中位線性質、全等三角形的判定及性質等，準確作出輔助線是關鍵.20、(1)當t為秒時，S最大值為；（1）；（3）或或．【分析】（1）過點P作PH⊥AC于H，由△APH∽△ABC，得出，從而求出AB，再根據，得出PH=3﹣t，則△AQP的面積為：AQ?PH=t（3﹣t），最后進行整理即可得出答案；（1）連接PP′交QC于E，當四邊形PQP′C為菱形時，得出△APE∽△ABC，，求出AE=﹣t+4，再根據QE=AE﹣AQ，QE=QC得出﹣t+4=﹣t+1，再求t即可；（3）由（1）知，PD=﹣t+3，與（1）同理得：QD=﹣t+4，從而求出PQ=，在△APQ中，分三種情況討論：①當AQ=AP，即t=5﹣t，②當PQ=AQ，即=t，③當PQ=AP，即=5﹣t，再分別計算即可．【題目詳解】解：（1）如圖甲，過點P作PH⊥AC于H，∵∠C=90°，∴AC⊥BC，∴PH∥BC，∴△APH∽△ABC，∴，∵AC=4cm，BC=3cm，∴AB=5cm，∴，∴PH=3﹣t，∴△AQP的面積為：S=×AQ×PH=×t×（3﹣t）=﹣（t﹣）1+，∴當t為秒時，S最大值為cm1．（1）如圖乙，連接PP′，PP′交QC于E，當四邊形PQP′C為菱形時，PE垂直平分QC，即PE⊥AC，QE=EC，∴△APE∽△ABC，∴，∴AE==﹣t+4QE=AE﹣AQ═﹣t+4﹣t=﹣t+4，QE=QC=（4﹣t）=﹣t+1，∴﹣t+4=﹣t+1，解得：t=，∵0＜＜4，∴當四邊形PQP′C為菱形時，t的值是s；（3）由（1）知，PD=﹣t+3，與（1）同理得：QD=AD﹣AQ=﹣t+4∴PQ==，在△APQ中，①當AQ=AP，即t=5﹣t時，解得：t1=；②當PQ=AQ，即=t時，解得：t1=，t3=5；③當PQ=AP，即=5﹣t時，解得：t4=0，t5=；∵0＜t＜4，∴t3=5，t4=0不合題意，舍去，∴當t為s或s或s時，△APQ是等腰三角形．【題目點撥】本題考查相似形綜合題．21、（1）A、B兩觀景臺之間的距離為＝（5+5）km；（2）觀測站B到射線AP的最短距離為（）km．【分析】（1）過點P作PD⊥AB于點D，先解Rt△PBD，得到BD和PD的長，再解Rt△PAD，得到AD和AP的長，然后根據BD+AD=AB，即可求解；

（2）過點B作BF⊥AC于點F，解直角三角形即可得到結論．【題目詳解】解：（1）如圖，過點P作PD⊥AB于點D．在Rt△PBD中，∠BDP＝90°，∠PBD＝90°﹣45°＝45°，∴BD＝PD＝BP＝5km．在Rt△PAD中，∠ADP＝90°，∠PAD＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝PD＝5km，PA＝1．∴AB＝BD+AD＝（5+5）km；答：A、B兩觀景臺之間的距離為＝（5+5）km；（2）如圖，過點B作BF⊥AC于點F，則∠BAP＝30°，∵AB＝（5+5），∴BF＝AB＝（）km．答：觀測站B到射線AP的最短距離為（）km．【題目點撥】本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，難度適中．通過作輔助線，構造直角三角形是解題的關鍵．22、（1）30°（2）證明見解析【分析】（1）通過平行四邊形的性質、中點的性質、平行線的性質去證明，可得，再根據求解即可；（2）延長FE至點N，使，連接AN，通過證明，可得，再根據特殊角的銳角三角函數值，即可得證．【題目詳解】（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形∵M為AD的中點即即；（2）延長FE至點N，使，連接AN，由（1）知，．【題目點撥】本題考查了平行四邊形的綜合問題，掌握平行四邊形的性質、平行線的性質、全等三角形的性質以及判定定理、特殊三角函數值是解題的關鍵．23、（1）①直線x＝1；②b＝－1a；（1）－1≤a＜－1或1＜a≤1．【分析】(1)①根據拋物線的對稱性可以直接得出其對稱軸；②利用對稱軸公式進一步求解即可；（1）分兩種情況：①，②，據此依次討論即可．【題目詳解】解：（1）①∵當x=0時，y=c，∴點A坐標為（0，c），∵點A向右平移1個單位長度，得到點B，∴點B（1，c），∵點B在拋物線上，∴拋物線的對稱軸是：直線x=1；故答案為：直線x=1；②∵拋物線的對稱軸是直線：x=1，∴，即；（1）①如圖，若，因為點A（0，c），B（1，c）都是整點，且指定區(qū)域內恰有一個整點，因此這個整點D的坐標必為（1，c－1），但是從運算層面如何保證“恰有一個”呢，與拋物線的頂點C（1，c－a）做位置與數量關系上的比較，必須考慮到緊鄰點D的另一個整點E（1，c－1）不在指定區(qū)域內，所以可列出不等式組：，解得：；②如圖，若，同理可得：，解得：；綜上所述，符合題意的a的取值范圍是－1≤a<－1或1<a≤1．【題目點撥】本題主要考查了拋物線的性質和一元一次不等式組的綜合運用，熟練二次函數的性質、靈活應用數形結合的數學思想是解題關鍵．24、(1)11，10，78，81；(2)90人；(3)八年級的總