2024屆江蘇省無(wú)錫市達(dá)標(biāo)名校數(shù)學(xué)高一上期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2024屆江蘇省無(wú)錫市達(dá)標(biāo)名校數(shù)學(xué)高一上期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知直線：與直線：，則（）A.，平行 B.，垂直C.，關(guān)于軸對(duì)稱 D.，關(guān)于軸對(duì)稱2．用b，表示a，b，c三個(gè)數(shù)中的最小值設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的最大值為A.4 B.5C.6 D.73．已知圓方程為，過(guò)該圓內(nèi)一點(diǎn)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積是（）A.4 B.C.6 D.4．計(jì)算：（）A.0 B.1C.2 D.35．若，則A. B.C.1 D.6．下列函數(shù)中，與函數(shù)有相同圖象的一個(gè)是A. B.C. D.7．已知函數(shù)，則下列區(qū)間中含有的零點(diǎn)的是（）A. B.C. D.8．在一段時(shí)間內(nèi)，若甲去參觀市博物館的概率為0.8，乙去參觀市博物館的概率為0.6，且甲乙兩人各自行動(dòng)．則在這段時(shí)間內(nèi)，甲乙兩人至少有一個(gè)去參觀博物館的概率是（）A.0.48 B.0.32C.0.92 D.0.849．已知數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列，則公比等于（）A. B.C. D.10．已知函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B.是的一個(gè)周期C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D.的定義域是二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)，的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是_____.12．在△ABC中，點(diǎn)滿足，過(guò)點(diǎn)的直線與，所在直線分別交于點(diǎn)，，若，，，則的最小值為_(kāi)__________.13．奇函數(shù)的定義域?yàn)?，若在上單調(diào)遞減，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________________.14．已知，，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，則的最小值是_________15．已知函數(shù)，若方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是____16．已知冪函數(shù)在上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)_______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知f(x)＝log3x.(1)作出這個(gè)函數(shù)圖象；(2)若f(a)<f(2)，利用圖象求a的取值范圍18．已知函數(shù).（1）求的值；你能發(fā)現(xiàn)與有什么關(guān)系？寫(xiě)出你的發(fā)現(xiàn)并加以證明：（2）試判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明.19．已知正方體ABCD-的棱長(zhǎng)為2.（1）求三棱錐的體積；（2）證明：.20．如圖，甲、乙是邊長(zhǎng)為4a的兩塊正方形鋼板，現(xiàn)要將甲裁剪焊接成一個(gè)正四棱柱，將乙裁剪焊接成一個(gè)正四棱錐，使它們的全面積都等于一個(gè)正方形的面積（不計(jì)焊接縫的面積）（1）將你的裁剪方法用虛線標(biāo)示在圖中，并作簡(jiǎn)要說(shuō)明；（2）試比較你所制作的正四棱柱與正四棱錐體積的大小，并證明你的結(jié)論21．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，是與的交點(diǎn).求證：(1)平面(2)求與的所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】根據(jù)題意,可知兩條直線都經(jīng)過(guò)軸上的同一點(diǎn),且兩條直線的斜率互為相反數(shù),即可得兩條直線的對(duì)稱關(guān)系.【題目詳解】因?yàn)?都經(jīng)過(guò)軸上的點(diǎn),且斜率互為相反數(shù),所以,關(guān)于軸對(duì)稱.故選:D【題目點(diǎn)撥】本題考查了兩條直線的位置關(guān)系,關(guān)于軸對(duì)稱的直線方程特征,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出三個(gè)函數(shù)，，的圖象，以此確定出函數(shù)圖象，觀察最大值的位置，通過(guò)求函數(shù)值，解出最大值【題目詳解】如圖所示：則的最大值為與交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由，得即當(dāng)時(shí)，故選B【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的概念、圖象、最值問(wèn)題利用了數(shù)形結(jié)合的方法關(guān)鍵是通過(guò)題意得出的簡(jiǎn)圖3、C【解題分析】由圓的方程可知圓心為,半徑,則過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的最長(zhǎng)弦為直徑,最短弦為該點(diǎn)與圓心連線的垂線段,進(jìn)而求解即可【題目詳解】由題,圓心為,半徑,過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的最長(zhǎng)弦為直徑,故；當(dāng)時(shí),弦長(zhǎng)最短,因?yàn)?所以,因?yàn)樵谥睆缴?所以,所以四邊形ABCD的面積是,故選:C【題目點(diǎn)撥】本題考查過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)弦長(zhǎng)的最值問(wèn)題,考查兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用,考查數(shù)形結(jié)合思想4、B【解題分析】根據(jù)指數(shù)對(duì)數(shù)恒等式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算可得；【題目詳解】解：；故選：B5、A【解題分析】由，得或，所以，故選A【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，倍角公式【方法點(diǎn)撥】三角函數(shù)求值：①“給角求值”將非特殊角向特殊角轉(zhuǎn)化，通過(guò)相消或相約消去非特殊角，進(jìn)而求出三角函數(shù)值；②“給值求值”關(guān)鍵是目標(biāo)明確，建立已知和所求之間的聯(lián)系6、B【解題分析】逐一考查選項(xiàng)中的函數(shù)與所給的函數(shù)是否為同一個(gè)函數(shù)即可確定其圖象是否相同.【題目詳解】逐一考查所給的選項(xiàng)：A.，與題中所給函數(shù)的解析式不一致，圖象不相同；B.，與題中所給函數(shù)的解析式和定義域都一致，圖象相同；C.的定義域?yàn)椋c題中所給函數(shù)的定義域不一致，圖象不相同；D.的定義域?yàn)椋c題中所給函數(shù)的定義域不一致，圖象不相同；故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)相等的概念，需要同時(shí)考查函數(shù)的定義域和函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，屬于中等題.7、C【解題分析】分析函數(shù)的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理可得出結(jié)論.【題目詳解】由于函數(shù)為增函數(shù)，函數(shù)在和上均為增函數(shù)，所以，函數(shù)在和上均為增函數(shù).對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，，所以，函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)；對(duì)于BCD選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi).故選：C.8、C【解題分析】根據(jù)題意求得甲乙都不去參觀博物館的概率，結(jié)合對(duì)立事件的概率計(jì)算公式，即可求解.【題目詳解】由甲去參觀市博物館的概率為0.8，乙去參觀市博物館的概率為0.6，可得甲乙都不去參觀博物館的概率為,所以甲乙兩人至少有一個(gè)去參觀博物館的概率是.故選：C.9、A【解題分析】由等差數(shù)列性質(zhì)得，由此利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式能求出公比【題目詳解】數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列，，，解得（舍或故選A【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的公比的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用10、C【解題分析】畫(huà)出函數(shù)的圖象，觀察圖象可解答.【題目詳解】畫(huà)出函數(shù)的圖象，易得的周期為，且是偶函數(shù)，定義域是，故A，B，D正確；點(diǎn)不是函數(shù)的對(duì)稱中心，C錯(cuò)誤.故選：C二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】令，解得，且恒成立，所以函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)；故填.12、3【解題分析】先利用條件找到，然后對(duì)減元，化為，利用基本不等式求最小值.【題目詳解】，，，三點(diǎn)共線，.則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故答案為：3.【題目點(diǎn)撥】（1）在向量運(yùn)算中:①構(gòu)造向量加、減法的三角形法則和平行四邊形法則；②樹(shù)立“基底”意識(shí)，利用基向量進(jìn)行線性運(yùn)算；（2）基本不等式求最值要注意應(yīng)用條件：“一正二定三相等”.13、【解題分析】因?yàn)槠婧瘮?shù)的定義域?yàn)?，若在上單調(diào)遞減，所以在定義域上遞減，且，所以解得，故填.點(diǎn)睛：利用奇函數(shù)及其增減性解不等式時(shí)，一方面要確定函數(shù)的增減性，注意奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性一致，同時(shí)還要注意函數(shù)的定義域?qū)?wèn)題的限制，以免遺漏造成錯(cuò)誤.14、4【解題分析】由題意可知，當(dāng)時(shí)，有，所以，所以點(diǎn)睛：本題考查基本不等式的應(yīng)用．本題中，關(guān)于的不等式恒成立，則當(dāng)時(shí)，有，得到，所以．本題的關(guān)鍵是理解條件中的恒成立15、【解題分析】先畫(huà)出函數(shù)的圖象，把方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與有四個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【題目詳解】由題意，函數(shù)，要先畫(huà)出函數(shù)的圖象，如圖所示，又由方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)的圖象與有四個(gè)不同的交點(diǎn)，可得，且，則=，因?yàn)?，則，所以.故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，其中解答中把方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的有四個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.16、-1【解題分析】利用冪函數(shù)的定義列出方程求出m的值，將m的值代入函數(shù)解析式檢驗(yàn)函數(shù)的單調(diào)性【題目詳解】∵y=（m2﹣5m﹣5）x2m+1是冪函數(shù)∴m2﹣5m﹣5=1解得m=6或m=﹣1當(dāng)m=6時(shí)，y=（m2﹣5m﹣5）x2m+1=x13不滿足在（0，+∞）上為減函數(shù)當(dāng)m=﹣1時(shí)，y=（m2﹣5m﹣5）x2m+1=x﹣1滿足在（0，+∞）上為減函數(shù)故答案為m=﹣1【題目點(diǎn)撥】本題考查冪函數(shù)的定義：形如y=xα（其中α為常數(shù)）、考查冪函數(shù)的單調(diào)性與冪指數(shù)的正負(fù)有關(guān)三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析（2）0<a<2.【解題分析】(1)有對(duì)數(shù)函數(shù)作數(shù)圖像；(2)利用圖象可求a的取值范圍【題目詳解】(1)作出函數(shù)y＝log3x的圖象如圖所示(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2.由圖象知，當(dāng)0<a<2時(shí)，恒有f(a)<f(2)∴所求a的取值范圍為0<a<2.【題目點(diǎn)撥】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.18、（1），，與的關(guān)系：，證明見(jiàn)解析（2）在上單調(diào)遞減，證明見(jiàn)解析【解題分析】（1）通過(guò)函數(shù)解析式計(jì)算出，通過(guò)計(jì)算證明.（2）通過(guò)來(lái)證得在區(qū)間上單調(diào)遞減.【小問(wèn)1詳解】，.證明：..【小問(wèn)2詳解】在區(qū)間上遞減.證明如下：且.在上單調(diào)遞減.19、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解題分析】（1）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求即可；（2）根據(jù)線面垂直證明線線垂直.【小問(wèn)1詳解】在正方體ABCD-中，易知⊥平面ABD，∴.【小問(wèn)2詳解】證明：在正方體中，易知，∵⊥平面ABD，平面ABD，∴.又∵，、平面，∴BD⊥平面.又平面，∴20、(1)見(jiàn)解析(2)正四棱柱的體積比正四棱錐的體積大【解題分析】1該四棱柱的底面為正方體，側(cè)棱垂直底面，可知其由兩個(gè)一樣的正方形和四個(gè)完全相同的長(zhǎng)方形組成，對(duì)圖形進(jìn)行切割，畫(huà)出圖形即可，畫(huà)法不唯一；2正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為2a，高為a，正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2a，高為h=(3a)解析：（1）將正方形甲按圖中虛線剪開(kāi)，以兩個(gè)正方形為底面，四個(gè)長(zhǎng)方形為側(cè)面，焊接成一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2a，高為a的正四棱柱將正方形乙按圖中虛線剪開(kāi)，以兩個(gè)長(zhǎng)方形焊接成邊長(zhǎng)為2a的正方形為底面，三個(gè)等腰三角形為側(cè)面，兩個(gè)直角三角形合拼成為一側(cè)面，焊接成一個(gè)底面板長(zhǎng)為2a，斜高為3a的正四棱錐（2）∵正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為2a，高為a，∴其體積V1又∵正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2a，高為h=(3a)∴其體積V∵42即4>823，4故所制作的正四棱柱的體積比正四棱錐的體積大（說(shuō)明：裁剪方式不唯一，計(jì)算的體積也不一定相等）點(diǎn)睛：本題考查了四棱錐和四棱柱的知識(shí)，需要掌握二者的特征以及其體積的求法，對(duì)于圖形進(jìn)行分割，畫(huà)出圖形即可，注意畫(huà)法不唯一，結(jié)合體積公式求得體積，然后比