上海市西南模范中學2024屆數(shù)學高一上期末考試試題含解析

上海市西南模范中學2024屆數(shù)學高一上期末考試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知在海中一孤島的周圍有兩個觀察站，且觀察站在島的正北5海里處，觀察站在島的正西方.現(xiàn)在海面上有一船，在點測得其在南偏西60°方向相距4海里處，在點測得其在北偏西30°方向，則兩個觀察站與的距離為A. B.C. D.2．已知函數(shù)，且在上的最大值為，若函數(shù)有四個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.3．著名數(shù)學家、物理學家牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，如果物體的初始溫度為，空氣溫度為，則分鐘后物體的溫度（單位：）滿足：．若常數(shù)，空氣溫度為，某物體的溫度從下降到，大約需要的時間為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.分鐘 B.分鐘C.分鐘 D.分鐘4．下列四個函數(shù)中，在上為增函數(shù)的是（）A. B.C. D.5．在一段時間內，若甲去參觀市博物館的概率為0.8，乙去參觀市博物館的概率為0.6，且甲乙兩人各自行動．則在這段時間內，甲乙兩人至少有一個去參觀博物館的概率是（）A.0.48 B.0.32C.0.92 D.0.846．已知集合，，則（）A. B.C. D.7．給定函數(shù)①；②；③；④，其中在區(qū)間上單調遞減的函數(shù)的序號是（）A.①② B.②③C.③④ D.①④8．已知函數(shù)，，則（）A.的最大值為 B.在區(qū)間上只有個零點C.的最小正周期為 D.為圖象的一條對稱軸9．函數(shù)f(x)=|x|+(aR)的圖象不可能是（）A. B.C. D.10．已知直線與直線平行，則的值為A. B.C.1 D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．制造一種零件，甲機床的正品率為，乙機床的正品率為．從它們制造的產(chǎn)品中各任抽1件，則兩件都是正品的概率是__________12．=______13．已知是第四象限角，，則______14．若函數(shù)(，且)，在上的最大值比最小值大，則______________.15．已知函數(shù)f（x）=lg（x2+2ax-5a）在[2，+∞）上是增函數(shù)，則a的取值范圍為______16．已知，，則的值為__________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．對于兩個函數(shù)：和，的最大值為M，若存在最小的正整數(shù)k，使得恒成立，則稱是的“k階上界函數(shù)”.（1）若，是的“k階上界函數(shù)”.求k的值；（2）已知，設，，.（i）求的最小值和最大值；（ii）求證：是的“2階上界函數(shù)”.18．已知函數(shù)，只能同時滿足下列三個條件中的兩個：①的解集為；②；③最小值為（1）請寫出這兩個條件的序號，求的解析式；（2）求關于的不等式的解集.19．如圖，正方形的邊長為，，分別為邊和上的點，且的周長為2.（1）求證：；（2）求面積的最小值.20．已知函數(shù)，（1）求函數(shù)的最大值；（2）若，，求的值21．我們知道，函數(shù)的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).若函數(shù)的圖象關于點對稱，且當時，.（1）求的值；（2）設函數(shù).(i)證明函數(shù)的圖象關于點對稱；(ii)若對任意，總存在，使得成立，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】畫出如下示意圖由題意可得，，又，所以A,B,C,D四點共圓，且AC為直徑、在中，,由余弦定理得，∴∴（其中為圓的半徑）.選D2、B【解題分析】由在上最大值為，討論可求出，從而，若有4個零點，則函數(shù)與有4個交點，畫出圖象，結合圖象求解即可【題目詳解】若，則函數(shù)在上單調遞增，所以的最小值為，不合題意，則，要使函數(shù)在上的最大值為如果，即，則，解得，不合題意；若，即，則解得即，則如圖所示，若有4個零點，則函數(shù)與有4個交點，只有函數(shù)的圖象開口向上，即當與）有一個交點時，方程有一個根，得，此時函數(shù)有二個不同的零點，要使函數(shù)有四個不同的零點，與有兩個交點，則拋物線的圖象開口要比的圖象開口大，可得，所以，即實數(shù)a的取值范圍為故選：B【題目點撥】關鍵點點睛：此題考查函數(shù)與方程的綜合應用，考查二次函數(shù)的性質的應用，考查數(shù)形結合的思想，解題的關鍵是由已知條件求出的值，然后將問題轉化為函數(shù)與有4個交點，畫出函數(shù)圖象，結合圖象求解即可，屬于較難題3、D【解題分析】由已知條件得出，，，代入等式，求出即可得出結論.【題目詳解】由題知，，，所以，，可得，所以，，.故選：D.4、C【解題分析】A.利用一次函數(shù)的性質判斷；B.利用二次函數(shù)的性質判斷；C.利用反比例函數(shù)的性質判斷；D.由，利用一次函數(shù)的性質判斷；【題目詳解】A.由一次函數(shù)的性質知：在上為減函數(shù)，故錯誤；B.由二次函數(shù)的性質知：在遞減，在上遞增，故錯誤；C.由反比例函數(shù)的性質知：在上遞增，在遞增，則在上為增函數(shù)，故正確；D.由知：函數(shù)在上為減函數(shù)，故錯誤；故選：C【題目點撥】本題主要考查一次函數(shù)，二次函數(shù)和反比例函數(shù)的單調性，屬于基礎題.5、C【解題分析】根據(jù)題意求得甲乙都不去參觀博物館的概率，結合對立事件的概率計算公式，即可求解.【題目詳解】由甲去參觀市博物館的概率為0.8，乙去參觀市博物館的概率為0.6，可得甲乙都不去參觀博物館的概率為,所以甲乙兩人至少有一個去參觀博物館的概率是.故選：C.6、D【解題分析】利用對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質化簡集合，再根據(jù)集合交集的定義求解即可．【題目詳解】因為，，所以，，則，故選：D．7、B【解題分析】根據(jù)指對冪函數(shù)性質依次判斷即可得答案.【題目詳解】解：對于①，在上單調遞增；對于②，在上單調遞減；對于③，時，在上單調遞減；對于④，在上單調遞增；故在區(qū)間上單調遞減的函數(shù)的序號是②③故選：B8、D【解題分析】首先利用二倍角公式及輔助角公式將函數(shù)化簡，再結合正弦函數(shù)的性質計算可得；【題目詳解】解：函數(shù)，可得的最大值為2，最小正周期為，故A、C錯誤；由可得，即，可知在區(qū)間上的零點為，故B錯誤；由，可知為圖象的一條對稱軸，故D正確故選：D9、C【解題分析】對分類討論，將函數(shù)寫成分段形式，利用對勾函數(shù)的單調性，逐一進行判斷圖象即可.【題目詳解】，①當時，，圖象如A選項；②當時，時，，在遞減，在遞增；時，，由，單調遞減，所以在上單調遞減，故圖象為B；③當時，時，，可得，，在遞增，即在遞增，圖象為D；故選：C.10、D【解題分析】由題意可得：，解得故選二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】由獨立事件的乘法公式求解即可.【題目詳解】由獨立事件的乘法公式可知，兩件都是正品的概率是.故答案為：12、【解題分析】由題意結合指數(shù)的運算法則和對數(shù)的運算法則整理計算即可求得最終結果.【題目詳解】原式=3+-2=.故答案為點睛】本題考查了指數(shù)與對數(shù)運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題13、【解題分析】利用同角三角函數(shù)的基本關系求出的值，在利用誘導公式可求得結果.【題目詳解】因為是第四象限角，，則，所以，.故答案為：.14、或.【解題分析】分和兩種情況，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性確定最大值和最小值，根據(jù)已知得到關于實數(shù)的方程求解即得.【題目詳解】若，則函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，所以，，由題意得，又，故；若，則函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，所以，，由題意得，又，故.所以的值為或.【題目點撥】本題考查函數(shù)的最值問題，涉及指數(shù)函數(shù)的性質，和分類討論思想，屬基礎題，關鍵在于根據(jù)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的不同情況確定函數(shù)的單調性.15、【解題分析】利用對數(shù)函數(shù)的定義域以及二次函數(shù)的單調性，轉化求解即可【題目詳解】解：函數(shù)f（x）＝lg（x2+2ax﹣5a）在[2，+∞）上是增函數(shù)，可得：，解得a∈[﹣2，4）故答案為[﹣2，4）【題目點撥】本題考查復合函數(shù)的單調性的應用，考查轉化思想以及計算能力16、【解題分析】根據(jù)兩角和的正弦公式即可求解.【題目詳解】由題意可知，因為，所以，所以，則故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）（i）時，，；時，，；時，，；（ii）證明部分見解析.【解題分析】（1）先求，的范圍，再求的最大值，利用恒成立問題的方式處理；（2）分類討論對稱軸是否落在上即可；先求的最大值，需觀察發(fā)現(xiàn)最值在取得，不要嘗試用三倍角公式，另外的最大值必定在端點或者在頂點處取得，通過討論的范圍，證明即可【小問1詳解】時，單調遞增，于是，于是，則最大值為，又恒成立，故，注意到是正整數(shù)，于是符合要求的為.【小問2詳解】（i）依題意得，為開口向上，對稱軸為的二次函數(shù)，于是在上遞減，在上遞增，由于，，下分類討論：當，即時，，；當，即時，，；當，即當，在上遞減，，.（ii），則，當，即取等號，，，則，下令，只需說明時，即可，分類如下：當時，，且注意到，此時，顯然時，單調遞減，于是；當，由基本不等式，，且，，即，此時，而，時，由基本不等式，，故有：綜上，時，，即當時，最小正整數(shù)【題目點撥】本題綜合的考查了分類討論思想，函數(shù)值域的求法等問題，特別是觀察分析出的最大值，若用三倍角公式反倒會變得更加復雜.18、（1）（2）答案見解析【解題分析】（1）若選①②，則的解集不可能為；若選②③，，開口向下，則無最小值．只能是選①③，由函數(shù)的解集為可知，-1，3是方程的根，則，又由的最小值可知且在對稱軸上取得最小值，從而解出；（2）由，即，然后對分類求解得答案；【小問1詳解】選①②，則，開口向下，所以的解集不可能為；選①③，函數(shù)的解集為，，3是方程的根，所以的對稱軸為，則，所以，又的最小值為，（1），解得，，所以則；選②③，，開口向下，則無最小值綜上，.【小問2詳解】由化簡得若，則或；若，則不等式解集為R；若，則或當時，不等式的解集為或；當，則不等式解集為R；當，則不等式的解集為或19、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】（1）補形得證明其與全等，從而得證.（2）引進參數(shù)，由已知建立參數(shù)變量之間的等量關系，再用方程根的判別式獲得變量最值，進一步得到所求面積最值.【題目詳解】（1）如圖：延長至，使，連接，則.故，，.又.，即.（2）設，，，則，，，于是，整理得：，.即.又，，當且僅當時等式成立.此時，因此當，時，取最小值.的最小值為.【題目點撥】方法點睛：引進參數(shù)建立參變量方程，再變換主次元，利用方程根的判別式，確定參數(shù)取值范圍是求最值的方法之一.20、（1）3（2）【解題分析】（1）利用倍角公式和輔助角公式化簡，結合三角函數(shù)性質作答即可.（2）利用換元法求解即可.【小問1詳解】函數(shù)令解得∴當，時，函數(shù)取到最大值3.【小問2詳解】∵，∴設，則21、（1）；（2）(i)證明見解析；(ii).【解題分析】(1)根據(jù)題意∵為奇函數(shù)，∴，令x＝1即可求出；(2)(i)驗證為奇函數(shù)即可；(ii))求出在區(qū)間上的值域為A，記在區(qū)間上的值域為，則.由此問題轉化為討論f(x)的值域B，分，，三種情況討論即可.【小問1詳解】∵為奇函數(shù)，∴，得，則令，得.【小問